Menentukan Harga Opsi eropa dengan Metode Crank-Nicolson. Determining Europan option by using Crank-Nicolson Method

Menentukan Harga Opsi eropa dengan Metode Crank-Nicolson

Reskiana Nasir1),DR. Jefry Kusuma2), Muhammad Nur 3).

Universitas Hasanuddin

abstrak

Opsi Eropa merupakan suatu kontrak antara holder dengan writer, dimana holder mempunyai hak (bukan kewajiban) dari writer untuk membeli atau menjual saham tertentu dengan harga yang telah disepakati (strike price) dan waktu yang telah ditentukan (pada saat jatuh tempo). Dalam tulisan ini akan ditentukan nilai opsi call dan opsi put dengan menggunakan metode beda hingga Crank-Nikolson. Adapun pengaruh harga saham awal dan tingkat suku bunga bebas risiko terhadap harga opsi Eropa, semakin meningkat nilai parametermaka harga opsi call akan semakin meningkat, sebaliknya jika harga opsi put akan semakin menurun. Sedangkan untuk stike price, harga opsi call menurun apabila nilai parameter meningkat, sebaliknya nilai opsi put akan meningkat. Selain itu, waktu jatuh tempo dan volatilitas berbanding lurus dengan harga opsi call eropa dan harga opsi put eropa. Untuk keakuratan metode Crank-Nicolson memiliki nilai error yang cenderung lebih kecil sehingga nilai harga opsi lebih mendekati harga opsi model Black-Scholes.

Kata kunci: Saham, Opsi Eropa, Model Black-Scholes, Metode Crank-Nicolson.

Determining Europan option by using Crank-Nicolson Method

Reskiana Nasir1),DR. Jefry Kusuma2), Muhammad Nur 3).

ABSTRACT

Europan option is a contract between holder and writer, where the holder has the right (not obligation) from a writer to buy and sella particular stock with an agreement price (strike price) and predetermined time (at maturity time). So we can determine the value call option and put option using the finite difference Crank-Nicolson. The initial stock price effect and the risk-free interest rate of the Europan option price. Increasing the value of the parameter call option price will increase, and the otherwise the put option price will decline. Where as for the strike price, call option price will decreases when the value of the parameter increases. And the otherwise the put option price will increases. In addition maturities and volatility in propotional to the price Europan call option and the put option Europan. For the Crank-Nicolson method accuracy has an error values tend to be that the value of the option price is closer to option price the Black-Scholes medel.

Pendahuluan

Kontak opsi atau opsi adalah suatu kontrak atau perjanjian antara dua pihak, di mana pihak pertama sebagai pembeli yang memiliki hak bukan kewajiban untuk membeli atau menjual dari pihak kedua yaitu penjual terhadap suatu asset tertentu pada harga dan waktu yang telah ditetapkan.

Terdapat dua jenis opsi yang paling mendasar, yaitu opsi call atau opsi put. Opsi call memberikan hak kepada pembeli untuk membeli suatu asset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga yang telah di tentukan selama priode waktu tertentu. Sedangkan opsi put memberikan hak kepada pembeli untuk menjual suatu asset dengan jumlah tertentu pada harga yang telah ditentukan selama priode tertentu. Pada opsi ini, terdapat dua macam perhitungan harga opsi yaitu Black - Scholes Option Pricing Model (Opsi Eropa) dan Binominal Option Pricing Model (Opsi Amerika). Opsi Eropa hanya bisa dieksekusi pada waktu jatuh tempo, sedangkan opsi Amerika dapat di eksekusi di sembarang waktu sampai waktu jatuh tempo. Dalam paper ini, pembahasan akan difokuskan dalam model Black-Scholes dengan menggunakan asumsi opsi tipe Eropa, kemudian menyelesaikan persamaan differensialnya menggunakan metode beda hingga Crank-Nicolson.

Model Black-Scholes merupakan model yang digunakan untuk menentukan harga opsi yang telah banyak di terima oleh masyarakat keuangan. Model ini penggunaannya terbatas karena hanya digunakan pada penentuan harga opsi tipe Eropa yang di jalankan pada waktu

expiration date saja, sedangkan model ini

tidak digunakan untuk menghitung harga nilai opsi Amerika dapat di jalankan setiap saat sampai waktu expiration date.

Model Harga Saham

Saham dapat didefinisikan sebagai salah satu instrumen pasar keuangan yang paling popular. Harga saham yang berubah secara acak menurut waktu diasumsikan sebagai suatu proses stokastik, diasumsikan sebagai suatu proses stokastik, diasumsikan juga tidak ada pembayaran deviden atas saham. Misalkan harga saham S pada waktu

t. Pada selang waktu yang kecil dt, harga

saham S akan berubah menjadi S+dS. Tingkat pengembalian saham 𝑑𝑆

𝑆 dapat di modelkan dalam dua betuk yaitu yang pertama pengembalian dari harga saham yang bersifat deterministik yaitu µ dt dengan µ adalah tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham (drift), dan bentuk yang kedua adalah pengembalian dari harga saham yang bersifat stokastik yaitu 𝜎dB dengan 𝜎 adalah volisititas harga saham dan dB adalah bentuk keacakaan yang mempengaruhi harga saham. Dengan adanya bentuk pengembalian saham seperti di atas harga saham dapat dituliskan sebagai persamaan deferensial stokastik yaitu

𝑑𝑆 = 𝜇𝑆 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆 𝑑𝐵

𝑑𝑆_𝑆 = 𝜇 𝑑𝑡 + 𝜎 (1) Dengan 𝑡 𝜖 0, ∞ , 𝑆 𝜖 [0, ∞] dan B Gerak Brown dimensi satu (Hull 2003).

Model Black-Scholes

Model Black-Scholes merupakan model yang digunakan untuk menentukan harga opsi yang telah banyak di terima oleh masyarakat keuangan. Model ini ini dikembangkan oleh Fischer Black dan Myron Scholes. Model ini penggunaannya terbatas karena hanya digunakan pada penentuan harga opsi tipe Eropa yang di jalankan pada waktu expiration date saja, sedangkan model ini tidak digunakan untuk menghitung harga nilai opsi Amerika dapat di jalankan setiap saat sampai waktu

expiration date. Penilaian opsi murupakan

salah satu masalah yang berkembang cukup lama dalam finansial, namun masalah ini telah terpecahkan pada tahun 1973 oleh Fisher Black dan Myron Scholes, kemudian diformulanya dikenal dengan formula Black-Scholes. Sehingga diperoleh teorema sebagai berikut:

Teorema (Hull,2003):

Misalkan V(S,t) menyatakan nilai opsi, maka V memenuhi persamaan diferensial Black-Scholes: 1₂ 𝜎2 𝑆2 𝜕 2_𝑉 𝜕𝑆2 + 𝜕𝑉 𝜕𝑆 𝑟𝑆 + 𝜕𝑉 𝜕𝑡 − 𝑟𝑉 = 0 (2)

 Formula Black-Scholes untuk opsi call Misalkan 𝑆_𝑇 adalah harga saham dan K adalah harga eksekusi yang disepakati. Apabila K < 𝑆_𝑇 pada saat jatuh tempo, maka pemegang kontrak opsi akan mengeksekusi kontraknya karena investor mendapatkan untung sebesar 𝑆_𝑇− 𝐾, sebaliknya jika 𝑆_𝑇 < K pada saat jatuh tempo, maka pemegang kontrak opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya, maka investor akan rugi sebesar 𝐾 − 𝑆_𝑇, untuk kondisi ini opsi tidak mempunyai nilai pada saat jatuh tempo. Jadi nilai interistik opsi call pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff (penerimaan) bagi pemegang kontrak sebagai berikut :

C(S,T) = max (𝑆𝑇 - K,0)

 Formula Black – Scholes untuk opsi put

Berdasarkan definisi terlihat bahwa opsi put dan opsi call mempunyai perilaku yang bertolak belakang. Put dan call dapat dikombinasikan dalam suatu bentuk dimana kolerasinya sangat dekat. Jika nilai opsi call sudah diketahui, maka nilai opsi put juga

dapat ditentukan. Dari segi holder (pemegang kontrak opsi) payoff yang didapat dari adanya kontrak opsi adalah

C(S,T) = max (𝑆𝑇 - K,0)

Sedangkan dari segi written (pembuat kontrak opsi), payoff yang di terima adalah sebesar

P(S,T) = max (𝑆𝑇 - K,0).

SKEMA CRANK-NICHOLSON Skema persamaan Black-Scholes berikut

0 2 1 2 2 2 2           V r S V S r S V S t v _ (3)

Persamaan diatas dibawa kevariabel dengan Tt, maka diperoleh:

V r S V S r S V S v V r S V S r S V S v                    2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 1     Transformasikan t T   _, xlnS

Sehingga persamaan Black-Scholes pada persamaan pada persamaan (3.12) menjadi:

V r x V r x V v                 2 2 2 2 2 2    (4)

Selanjutnya PDP Black-Scholes pada persamaan (4) yang akan digunakan. Jika diketahui bahwa persamaan untuk menentukan harga opsi call eropa dengan



S T



C , . Saat expiration date t T yaitu:



S,T



C



S,T



maks



S K,0



V   T  ₍₅₎

Dan syarat batas:

 

0,T 0



S T



S

C ,  ,untukS (6) Saat tT, diperoleh  0sehingga nilai opsi call eropa (3.15) menjadi:

 

S,0 maks



S₀ K,0



C   (7) Sedangkan nilai opsi put eropa dinotasikan dengan P



S,T



. Saat expiration date tT

yaitu:



S,T



P



S,T



maks



K S_T,0



V    (8)

Dengan syarat batas:

 

( ) , 0 T Ee rT t P    , untuk semua0tT



S,T



0 P , untukS (9) SaattT,diperoleh 0sehingga nilai opsi put eropa (9) menjadi :



S,T



maks



K S0,0



P   (10) Karena syarat batas untuk opsi call dan opsi put mempunyai domain S

 

0, maka sulit diselesaikan sehingga range ini harus diwakili oleh himpunan titik berhingga, sehingga domainnya menjadiS

 

0,L dimana Lmempunyai nilai yang sangat besar.

Sehingga syarat batas opsi call pada persamaan (6) menjadi:

 

0, 0

C danC

 

L, L (11) Sedangkan syarat batas opsi put pada persamaan (10) menjadi:

 

rt

e E

P 0,   dan P

 

L, 0 (12) Untuk metode Crank-Nicolson, pandang persamaan (13), misalkan: I i s i S   , 0  J j t j T t   , 0  Dengan J T t I K s     2

Untuk peubah t akan diperoleh:









 

 

 

 

 

2 1 2 , , , , , t t S t V t V V t t S t V t t S V t t S V t j T s i V V j i j i j i                      _  Sehingga diperoleh:

 

 

t t V V t S t V ij j i          1 ,

Sedangkan untuk peubahS akan diperoleh

seperti dibawah ini:





 

 

 





 

 

 

3 2 2 2 3 2 2 2 2 1 , , 2 1 , , S S V S S V S t S V t S S V S S V S S V S t S V t S S V                           Sehingga

 

1 1

 

2 2 , S S V V t S S V ij j i          _ dan

 

 

2 1 1 2 2 2 , S V V V t S S V _ij _ij _ij       _{ }

Nilai final condition = initial condition

 







i s K



i T maks V K S maks T S V i ,0 , 0,1,2,..., 0 , , 0      

Dan boundary condition di S 0dan

S I

S . diperoleh syarat batas untuk opsi call sebagai berikut:

0  S dan V

 

0,t 0 maka V₀j 0   S dan

 

rT t e K S t S V ,     maka J rj t I I s Ke V     

Sedangkan syarat batas untuk opsi put

0  S dan

 

rT t e K t V 0,    maka t j r j e K V₀      S dan V

 

S,t 0 maka VIJ 0

Persamaan (3.13) dapat dituliskan sebagai berikut:

 

, ₂

 

,

 

, 0 2           V t s c S V t s b S V t s a t v Dimana:

 

2 2 2 1 ,t S s a   sehingga 2

 

2 2 1 s i aj i   

 

s t rS b ,  sehingga b_ij r.is

 

s t r c , 

Sehingga diperoleh skema Crank-Nicolson adalah:

 

 



2 2



1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 , 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 s t V c V c s V V b s V V b s V V V a s V V V a t V V j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i                                                                

Sehingga persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut









j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i V C V B V A V C V B V A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                   Dengan

 

s t V b V a V C s t V c t a V B I i b V a V A j i j i j i j i j i j i j i j i j i                   2 2 1 2 1 1 2 1 , 4 1 2 1 , 2 1 1 1 , 4 1 2 1

Dan dalam bentuk matriks dapat dibentuk seperti                                                                                                                            j I j I j j j I j I j j j j j j j j I j I j j j I j j j I j I j I j I j I j j j j j V V V V C B A C B A C B A V C V A V V V B A C B A C B A C B 1 1 0 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1         Sehingga diperoleh

j j j kanan j j kiri j j kanan j j j kiri r v M V M v M r V M               1 1 1 1 Kesimpulan

1. Harga opsi eropa dengan metode Crank-Nicolson dipengaruhi oleh nilai 𝑆0, 𝜎, t, r, K.

2. skema Crank Nicolson stabil tanpa syarat.

3. Penentuan harga opsi Eropa, yaitu opsi call dan opsi put dengan menggunakan skema Crank-Nicolson diperoleh selisih yang relative sedikit sehingga skema ini cukup efektif digunakan

Referensi

1. Asmara, Nusa. 2006. Persamaan

Balck-Scholes-Barnblatt untuk opsi dengan volatilitas dan Suku Bunga Tak Pasti

[Skripsi].bogor. Jurusan Matematika FIMIPA, Institut Pertanian Bogor

2. Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. 2006 .

Investasi, jilid 1, 2. Budi Wibowo,

penerjemah;jakarta:Salemba Empat. Terjemahan dari “investment”.

3. Higham, Desmond J. An Introduction to Financial Option Valuation. departement of Mathematics University of Strathclycle.

4. Hull JC. 2003. Option future, and Other

derivaties. Ed.ke-5. New Jersey: Pearson

education ,inc.

5. Luknato, Djoko Ir. 2003. Model Metematika. Yogyakarta: Universitas Gajahmadah.

6. Niwiga, D B. 2005. Numerical Method

for Valuation Of Financial Derivatives

[tesis]. University of Western Cape, Soulth Africa.

7. Suritno. 2008. Metode Beda hingga

Untuk Solusi Numerik Dari Persamaan Black-Scholes Harga Opsi Put Amerika

[tesis]. bogor:asekolah pasca sarjana institute Pertanian Bogor.

8. Yusuf, Alyusi AK. 2007. model Harga

Opsi eropa Menggunakan Persamaan

Black-Scholes. Skripsi Universitas