PERTEMUAN 2 DASAR METODE NUMERIK

(1)

PERTEMUAN 2

DASAR METODE NUMERIK

Materi pada pertemuan ini:

1. Dalil-dalil dasar matematika untuk metode numerik 2. Teori bilangan

3. Ralat

Setelah menyelesaikan pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan dalil dasar matematika untuk metode numerik, teori bilangan dan ralat.

APAKAH METODE NUMERIK ITU?

Metode analitik menggunakan simbol-simbol atau rumus untuk menyelesaikan sebuah persoalan matematika, sedangkan metode numerik, sesuai dengan namanya, memanfaatkan angka-angka dan rumus yang relatif sederhan untuk menyelesaikan suatu persoalan matematika. Metode numerik menggunakan pendekatan alih-alih mencari jawaban yang eksak dari persoalan teknik. Banyak metode numerik yang dilakukan dengan cara memberi tebakan awal dari jawabannya kemudian memperbaiki jawaban tersebut sehingga semakin mendekati jawaban eksaknya. Hal ini dinamakan iterasi.

Mengapa menggunakan metode numerik?

 Mempermudah penyelesaian persoalan teknik. Pada contoh-contoh persoalan teknik yang telah dikemukakan pada pertemuan sebelumnya, tidak semuanya dapat diselesaikan secara analitik dengan mudah, atau bahkan penyelesaian analitiknya tidak ditemukan karena terlalu kompleks. Oleh karena itu dikembangkan metode numerik yang mempermudah dalam menyelesaikan persoalan teknik karena berbasis pendekatan.

 Dengan semakin berkembangnya teknologi komputer, penggunaan komputer untuk menyelesaikan persoalan teknik semakin banyak dilakukan. Tidak mudah untuk menterjemahkan langkah-langkah metode analitik menjadi algoritma yang dapat digunakan untuk memprogram komputer. Sebaliknya metode numerik lebih mudah diterapkan dalam program komputer karena sifat alaminya yang menggunakan angka.

 Untuk aturan emasnya: jika pada persoalan yang hendak diselesaikan terdapat teori atau analisis matematika sederhana yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya, maka penyelesaian analitis ini disarankan untuk digunakan karena akan memberikan hasil yang eksak. Jika tidak, maka metode numerik dapat digunakan.

Persoalan apa sajakah yang dapat diselesaikan menggunakan metode numerik? 1. Turunan numerik

2. Penyelesaian persamaan tak linier

(2)

4. Interpolasi 5. Regresi

6. Integrasi numerik

7. Penyelesaian persamaan differensial biasa dan parsial

RALAT

Karena metode numerik menggunakan pendekatan untuk mencari penyelesaian suatu persoalan matematika, maka terdapat perbedaan antara jawaban pendekatan tadi dengan jawaban yang sebenarnya (eksak), hal ini dinamakan dengan ralat. Berkaitan dengan ralat ini, dalam menggunakan metode numerik, kita perlu untuk:

1. mengidentifikasi sumber dari mana ralat tersebut muncul 2. menghitung ralat tersebut

3. meminimalkan ralat tersebut, untuk mendapatkan hasil terbaik Ralat sejati (true error)

Ralat sejati didefinisikan sebagai perbedaan antara nilai sejatinya (nilai eksak) dengan nilai pendekatannya. eksak nilai -sejati ralat  t E contoh:

Sebuah fungsi, f(x) = 7e0.5x akan dihitung nilai turunannya pada x = 2

 Penyelesaian analitik: f'(x) = 3.5e0.5x f'(2) = 9.514

 Penyelesaian numerik: f'(2) = 10.265

 Ralat sejati: Et = 9.514 - 10.265 = -0.751 Ralat sejati relatif (relative true error)

Ralat sejati relatif didefinisikan sebagai rasio antara ralat sejati dengan nilai eksaknya.

eksak nilai sejati ralat  t 

biasanya ralat sejati relatif juga dinyatakan dalam nilai absolut persentasenya contoh:

Pada kasus di atas

 Ralat sejati relatif: -0.07894 9.514 0.751 - _  t  100% 7.894% 9.514 0.751 - _ _  t 

Ralat pendekatan (approximate error)

Dalam penerapan metode numerik, seringkali nilai eksak dari penyelesaiannya tidak diketahui. Justru metode numerik digunakan karena penyelesaian analitik yang menghasilkan nilai eksak tidak dapat atau sulit untuk dilakukan. Oleh karena itu, ralat sejati seringkali tidak dapat dihitung.

Metode numerik juga banyak dilakukan dengan menyediakan tebakan awal sebagai jawaban pendekatan, yang kemudian diperbaiki dengan cara iterasi sehingga jawaban pendekatannya semakin mendekati nilai eksaknya. Ralat pendekatan digunakan untuk

(3)

menilai apakah jawaban kita sudah memenuhi syarat tertentu (disebut sebagai toleransi) sehingga dapat diambil sebagai jawaban terbaik.

Ralat pendekatan didefinisikan sebagai perbedaan antara nilai pendekatan sekarang dengan nilai pendekatan sebelumnya.

sebelumnya pendekatan nilai -sekarang pendekatan nilai  a E contoh:

Sebuah fungsi, f(x) = 2-ex akan dihitung akarnya, yaitu nilai x pada f(x) = 0

 Penyelesaian analitik: 69314 . 0 2 0 2 ) (      x e e x f x x

 Penyelesaian numerik (metode Newton Raphson), dengan tebakan x = 0.6

0.69762 2 6 . 0 2 ) ( ' ) ( 6 . 0 6 . 0 1 1 1 1 ₁ 1                  e e e e x x f x f x x i i x x i i i i i  Ralat pendekatan: Ea = 0.69762 - 0.6 = 0.09762

 Perhatikan bahwa nilai absolut ralat sejatinya berkurang dari 0.09314 menjadi 0.00448. Artinya, interasi berikutnya lebih mendekatkan jawaban ke nilai eksaknya (konvergen).

Ralat pendekatan relatif (relative approximate error)

Ralat pendekatan relatif didefinisikan sebagai rasio antara ralat pendekatan dengan nilai pendekatan sekarang. sekarang pendekatan nilai pendekatan ralat  a 

biasanya ralat pendekatan relatif juga dinyatakan dalam nilai absolut persentasenya contoh:

Pada kasus di atas

 Ralat pendekatan relatif: 0.139937 0.69762 0.09762   a  100% 13.9937% 0.69762 0.09762 _ _  a 

Kapankah kita berhenti melakukan iterasi?

Jika kita sudah dapat menghitung ralat pendekatan, maka nilai ralat tersebut dapat digunakan untuk menentukan apakah iterasi sudah dapat dihentikan atau perlu dilakukan iterasi lagi untuk memperoleh jawaban yang lebih baik. Di sini kita menggunakan parameter toleransi ralat, yang digunakan sebagai batas. Apabila ralat pendekatan sudah lebih kecil daripada toleransi ralat, maka iterasi dapat dihentikan.

Jadi kriteria berhenti iterasi dapat dituliskan sebagai salah satu di bawah ini:

 E_a E_tol

 _a _tol

Iterasi dapat juga dihentikan apabila cacah iterasi sudah melebihi nilai tertentu:

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(4)

 iter iter_max

hal ini berlaku apabila ternyata iterasi yang dilakukan bersifat divergen (semakin menjauh dari jawaban eksaknya).

DERET TAYLOR

Deret Taylor, yang diperkenalkan oleh Brook Taylor pada tahun 1715, banyak digunakan dalam metode numerik. Setiap fungsi kontinyu dapat diwakili oleh deret Taylor yang merupakan jumlahan tak berhingga dari suku-suku yang dihitung dari nilai turunan fungsi tersebut pada sebuah titik tunggal.

Deret Taylor dari sebuah fungsi f(x):



            0 ) ( 3 ) 3 ( 2 ) ( ! ) ( ... ) ( ! 3 ) ( ) ( ! 2 ) ( '' ) )( ( ' ) ( ) ( i i i a x i a f a x a f a x a f a x a f a f x f alternatif penulisan:



xh

  

 f x hf

 

x h f 

 

x h f

 

x h f

 

x  f (4) 4 ) 3 ( 3 2 ! 4 ! 3 ! 2

Khusus untuk a = 0, deret ini disebut sebagai Deret Maclaurin.



        0 ) ( 3 ) 3 ( 2 ! ) 0 ( ... ! 3 ) 0 ( ! 2 ) 0 ( '' ) 0 ( ' ) 0 ( ) ( i i i x i f x f x f x f f x f

Contoh deret Maclaurin untuk beberapa fungsi:       ! 6 ! 4 ! 2 1 ) cos( 6 4 2 x x x x       ! 7 ! 5 ! 3 ) sin( 7 5 3 x x x x x       ! 3 ! 2 1 3 2 x x x ex

Pada prakteknya, dalam metode numerik, Deret Taylor biasanya dituliskan/digunakan dalam orde atau banyaknya suku yang terbatas (pada definisinya, orde atau banyaknya suku adalah tak berhingga).

contoh:

 Hitung nilai e0.25 menggunakan deret Maclaurin orde 4

2840 . 1 ! 4 25 . 0 ! 3 25 . 0 ! 2 25 . 0 25 . 0 1 ! 4 ! 3 ! 2 1 4 3 2 25 . 0 4 3 2            e x x x x ex

(5)

di sini digunakan a = /2 4 ) 3 ( 3 ) 3 ( 2 4 ) 4 ( 3 ) 3 ( 2 4 ) 4 ( 3 ) 3 ( 2 ) 4292 . 0 ( ! 4 ) 2 ( ) 4292 . 0 ( ! 3 ) 2 ( ) 4292 . 0 ( ! 2 ) 2 ( '' ) 4292 . 0 )( 2 cos( ) 2 sin( ) 2 2 ( ! 4 ) 2 ( ) 2 2 ( ! 3 ) 2 ( ) 2 2 ( ! 2 ) 2 ( '' ) 2 2 )( 2 ( ' ) 2 ( ) 2 ( ) ( ! 4 ) ( ) ( ! 3 ) ( ) ( ! 2 ) ( '' ) )( ( ' ) ( ) (               f f f f f f f f f a x a f a x a f a x a f a x a f a f x f                        90931 . 0 ) 4292 . 0 ( ! 4 1 ) 4292 . 0 ( ! 3 0 ) 4292 . 0 ( ! 2 1 ) 4292 . 0 ( 0 1 ) 2 ( 2 3 4       f

Ralat pada Deret Taylor

Deret Taylor memiliki banyak suku tak berhingga. Jika kita menggunakan hanya beberapa suku pertama, maka akan ada ralat akibat pemotongan banyaknya suku yang sering disebut ralat pemotongan (truncation error).

Polinomial Taylor orde n dapat dituliskan sebagai





 

( ) ! ... ! 3 " ! 2 ' (3) ( ) 3 2 x R x f n h x f h x f h x hf x f h x f n n n        

di mana sisa/residu Rn didefinsikan sebagai:

 

_f 

_{ }

_c _x _c _x _h n h x R n n n        , )! 1 ( 1 1 contoh:

 Deret Taylor untuk ex pada titik di sekitar x = 0 adalah         ! 5 ! 4 ! 3 ! 2 1 5 4 3 2 x x x x x ex

(a) Berapakah ralat pemotongan jika nilai e1 dihitung hanya menggunakan 4 suku pertama (orde 3)? 66667 . 2 ! 3 1 ! 2 1 1 1 ! 3 ! 2 1 3 2 1 3 2          e x x x ex

Ralat pemotongannya adalah suku-suku Deret Taylor yang tidak digunakan:

0516152 . 0 ! 5 1 ! 4 1 ! 5 ! 4 5 4 5 4        x x   Et

(6)

 

_{ }

h x c x c f n h x R n n n        , )! 1 ( 1 1

c adalah sebuah titik di dalam (x, x+h). Dalam kasus ini,

  

_



_

 

_{ }

c f x R 3 1 1 3 3 ! 1 3 1 0      f 4

 

c ! 4 1  24 c e  Karena h x c x   1 0 0c  1 0c

Batas-batas ralat adalah

 

24 1 24 1 3 0 e R e  

 

24 1 24 1 3 e R  

 

1 0.113261 041667 . 0 R₃ 

Jadi batas ralat pemotongan adalah antara 0.041667 dan 0.113261 (pada soal a, diperoleh ralat pemotongan adalah = 0.0516152.

RALAT PEMBULATAN

Komputer memiliki cara tertentu untuk menyimpan data, yang memiliki keterbatasan di dalam merepresentasikan bilangan riil. Hal ini berkaitan dengan kapasitas penyimpanan dalam suatu sistem bilangan digital. Sebagai contoh, angka 1/3 akan disimpan di dalam memori komputer sebagai 0.333333 misalnya, dengan jumlah digit terbatas. Padahal sebenarnya angka 1/3 jika ditulis dalam bilangan desimal menjadi 0.3333333333... dengan banyaknya digit tak berhingga. Dalam hal ini telah terjadi pemotongan jumlah digit menjadi terbatas. Angka 2/3 disimpan dalam memori komputer sebagai 0.666667. Di sini terlihat bahwa angka yang disimpan dalam memori komputer merupakan pembulatan dari bilangan desimal yang sebenarnya. Hal ini menimbulkan adanya ralat pembulatan (round off error). Angka  dan √2 juga akan disimpan dengan jumlah terbatas, sehingga menimbulkan ralat pembulatan.

(7)

SOAL LATIHAN

DASAR METODE NUMERIK

1. Misalkan nilai eksak = 10/3 dan nilai pendekatan = 3.333. Hitunglah ralat sejati, ralat sejati relatif, dan ralat sejati dalam persentase.

2. Apabila  ditulis dalam 6 digit di belakang titik, hitunglah ralat sejati, ralat sejati relatif, dan ralat sejati dalam persentase.

3. Sebuah fungsi f(x) = ln(x+1)

a. Tuliskan Deret Maclaurin orde 4 untuk fungsi tersebut b. Cari batas-batas ralat pemotongannya