Diktat Ajar SM : Mata Kuliah Aljabar I. Abstrak

(1)

Home Page Title Page JJ II J I Page1of135 Go Back Full Screen Close Quit

Diktat Ajar SM 091318: Mata Kuliah

Aljabar I

Subiono

subiono2008@matematika.its.ac.id

18 Pebruari 2011

Abstrak

Dalam Diktat Ajar ini diberikan materi dari mata kuliah Al-jabar Iuntuk program sarjana (S1) jurusan matematika FMIPA-ITS. Materi kuliah berupa perencanaan yang disajikan agar mempermudah peserta ajar dalam proses belajar. Peserta ajar diharapkan mempersiapkan diri melalui pemahaman yang di-punyai sebelumnya dan menambah kekurangan pemahaman pengetahuannya yang dirasa kurang saat proses belajar di ke-las. Untuk mempermudah proses mengajar digunakan alat bantu perangkat lunak GAP (Group Algorithm and Program-ming). Materi ajar disesuaikan dengan Kurikulum 2009-2014.

(2)

Rencana materi yang akan dibahas dalam kelas adalah: • Relasi ekivalen, Partisi, kongruensi dan fungsi

• Pengertian suatu grup dan contoh-contoh • Beberapa sifat-sifat grup

• Pengertian Subgrup dan contoh-contoh • Beberapa sifat-sifat subgrup

• Pengertian koset kiri dan koset kanan, grup faktor (grup kuasi) dan contoh-contoh

• Grup permutasi, grup Dehidral dan grup Alternating • Homomorpisma dan Isomorpisma grup dan

contoh-contoh

• Beberapa sifat Homomorpisma grup.

• Pengenalan GAP (Group Algorithm and Program-ming)

(3)

Relasi Ekivalen dan Partasi:

Suatu pasangan terurut ditulis (a, b) dengan elemen per-tama a dan elemen kedua b. Ini berarti bahwa dua pasang-an terurut (a, b) dpasang-an (c, d) sama bila dpasang-an hpasang-anya bila a = c dpasang-an b = d. Jadi pasangan terurut (a, b) tidak sama dengan _{{a, b}} yang mana notasi terakhir menyatakan himpunan dengan

dua elemen (anggota) a dan b. Tetapi himpunan _{{a, b} dan}

{b, a} adalah sama.

Definisi Diberikan himpunan A dan B. Hasil kali A dan B adalah himpunan

A_{× B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} ,}

yaitu himpunan semua pasangan terurut dengan

ele-men pertama di A dan eleele-men kedua di B. Bila

A = B, ditulis A2 untuk A _{× A. Secara umum, bila n}

adalah suatu bilangan bulat positip, maka n-pasangan terurut ditulis (a1, a2, . . . , an) mempunyai elemen pertama,

(4)

Home Page Title Page JJ II J I Page4of135 Go Back Full Screen Close Quit Jadi, (a1, a2, . . . , an) = (b1, b2, . . . , bn)

bila dan hanya bila a1 = b1, . . . , an = bn. Hasil kali dari

A1, A2, . . . , An adalah

A1×A2×· · ·×An = {(a1, a2, . . . , an)| a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, . . . , an ∈ An}

dan An = A_{× A × · · · × A}

| {z }

n

. Banyaknya elemen dalam suatu himpunan A dinamakan kardinalitas dari A dan ditulis

se-bagai _{|A|. Walaupun notasi yang digunakan sama dengan}

notasi nilai mutlak tetapi mempunyai arti yang berbeda.

Misalnya, _{| − 3| = 3 tetapi |{−3}| = 1. Bila himpunan A}

adalah berhingga, maka kardinalitinya adalah suatu bi-langan bulat tak negatif.

Proposisi. Diberikan himpunan A dan B berhingga, maka (a) _{|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|,}

(5)

Home Page Title Page JJ II J I Page5of135 Go Back Full Screen Close Quit Bukti : (a) Karena A _{∪ B = A + B − A ∩ B,} maka |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. (b) Misalkan B = _{{1, 2, . . . , n}, didapat} A _{× B = (A × {1}) ∪ (A × {2}) ∪ . . . ∪ (A × {n})} dengan (A _{× {i}) ∩ (A × {j}) = ∅, ∀i 6= j. Jadi}

|A × B| = |A × {1}| + |A × {2}| + . . . + |A × {n}| = _{|A| + |A| + . . . + |A|}

| {z }

n

= _{|A| · n.}

(6)

Home Page Title Page JJ II J I Page6of135 Go Back Full Screen Close Quit Contoh : 1. _{{1, 2} × {1, 2, 3} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)},} {1, 2, 3} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}. Terlihat _{{1, 2} × {1, 2, 3} 6= {1, 2, 3} × {1, 2} sebab} (1, 3) _{∈ {1, 2} × {1, 2, 3}, tetapi (1, 3) /}_{∈ {1, 2, 3} × {1, 2}} dan _{|{1, 2} × {1, 2, 3}| = 2 · 3 = 6 = 3 · 2 = |{1, 2, 3} × {1, 2}|.} 2. {1, 2} × {2, 3} × {4, 5} = {(1, 2, 4), (1, 2, 5), (1, 3, 4), (1, 3, 5), (2, 2, 4), (2, 2, 5), (2, 3, 4), (2, 3, 5)_} dan _{|{1, 2} × {2, 3} × {4, 5}| = 2 · 2 · 2 · 2 = 8.}

3. Diberikan P adalah himpunan bilangan bulat positip

dan A = _{{(a, b) ∈ P}2_{| a < b}. Bila (x, y) ∈ A berkibat} bahwa x < y dan bila (y, z) _{∈ A berakibat bahwa y < z.} Hal ini menunjukkan bahwa x < y dan y < z akibatnya x < z. Jadi (x, z) _{∈ A.}

(7)

Definisi :

Suatu relasi diantara himpunan A dan B adalah suatu sub-set _{R dari A × B. Dalam hal ini (a, b) ∈ R dibaca sebagai a} berelasi dengan b dan ditulis sebagai a_Rb.

Contoh

Relasi sama dengan: Diberikan himpunan A dan didefini-sikan _{R = {(a, a) | a ∈ A} ⊂ A × A. Jadi a}1Ra2 berarti bahwa

a1 = a2.

Misalkan T himpunan titik dan G himpunan garis

dibidang. Didefinisikan t_{Rg bila titik t terletak pada garis} g.

Suatu relasi _{R pada himpunan bilangan bulat Z}

didefini-sikan oleh: m_{Rn bila m − n genap.}

Bila A himpunan berhingga, maka banyaknya relasi pada A adalah 2|A|2.

(8)

Misalkan _{R adalah suatu relasi pada A}

a. Relasi _{R refleksif bila aRa untuk semua a ∈ A.} b. Relasi _{R simetri bila aRb selalu berakibat bRa.}

c. Relasi _{R antisimetri bila aRb dan bRa berakibat a = b.} d. Relasi _{R transitif bila aRb dan bRc berakibat aRc.}

Bila relasi _{R hanya memenuhi a, b dan d, maka R}

dina-makan relasi ekivalen.

Contoh : Sama dengan dalam suatu himpunan adalah re-lasi ekivalen. Rere-lasi _{R pada Z didefinisikan oleh: mRn bila}

dan hanya bila m _{− n adalah genap adalah relasi ekivalen.}

Relasi _{R pada N didefinisikan oleh: aRb bila a membagi b}

adalah relasi ekivalen.

Misalkan _{∼ adalah suatu relasi ekivalen pada A dan x ∈ A.}

Klas ekivalen [x] dari elemen x adalah himpunan bagian dari A yang diberikan oleh

(9)

Home Page Title Page JJ II J I Page9of135 Go Back Full Screen Close Quit Proposisi

Misalkan _{∼ adalah suatu relasi ekivalen pada himpunan A}

dan a, b _{∈ A, maka (i). a ∈ [a]}_∼, (ii). b _{∈ [a]}_∼ bila dan hanya bila [b]_∼ = [a]_∼, (iii). bila [a]_∼ dan [b]_∼ sebarang dua klas ekivalen, maka salah satu [a]_∼ = [b]_∼ atau [a]_∼ _{∩ [b]}_∼ = _∅. Bukti :

(i). Gunakan sifat refleksif, didapat a _{∼ a. Akibatnya}

a _{∈ [a].}

(ii). Bila b _{∈ [a]}_∼ didapat b _{∼ a. Misalkan x ∈ [b]}_∼, maka

x _{∼ b dengan sifat transitif didapat x ∼ a. Jadi x ∈ [a],}

akibatnya didapat [b] _{⊂ [a]. Dengan cara serupa didapat}

[a]_∼ _{⊂ [b]}_∼. Hal ini menunjukkan bahwa [b]_∼ = [a]_∼. Seba-liknya bila [b]_∼ = [a]_∼, gunakan hasil (i). didapat b _{∈ [b]}sim,

akibatnya b _{∈ [a]}_∼.

(iii). Misalkan [a]_∼ dan [b]_∼ adalah dua klas ekivalen. Maka salah satu [a]_∼_∩[b]_∼ = _{∅ atau [a]}_sim_∩[b]_∼ _{6= ∅. Bila [a]}_∼_∩[b]_∼ _{6= ∅,}

maka ada x _{∈ A sedemikian hingga x ∈ [a]}_∼ _{∩ [b]}_∼ atau

x _{∈ [a]}_∼ dan x _{∈ [b]}_∼. Dengan menggunakan hasil (ii). di-dapat [x]_∼ = [a]_∼ dan [x]_∼ = [b]_∼. Jadi [a]_∼ = [b]_∼.

Sifat (iii). menunjukkan bahwa _{∼ mempartisi A kedalam}

klas ekivalen yang saling asing. Himpunan semua partisi pada A ditulis A/ _∼.

(10)

Contoh-contoh Klas ekivalen

1. Relasi H = _{{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)} adalah relasi} eki-valen pada himpunan A = _{{1, 2, 3}. Disini [1]}H = {1, 2} =

[2]_H dan [3]H = {3} dan A/H = {{1, 2}, {3}}

2. Relasi pada himpunan bilangan real R diberikan oleh

xy bila dan hanya bila x2 = y2 adalah relasi ekivalen

pada R. Pada contoh ini [5] = {5, −5}. Perhatikan

bahwa [₋√2] = _{−√2,√2_{}, [0]} = _{{0} dan x} = _{{x, −x}} untuk setiap x _{∈ R. Jadi R/ = {{x, −x} | x ∈ R}}

3. Dua bilangan bulat mempunayai paritas

sama bila dan hanya bila bilangan ini

adalah genap atau gasal. Misalkan _R =

{(m, n) ∈ Z × Z | m dan n mempunyai paritas yang sama}.

Maka _{R adalah relasi ekivalen pada Z dengan dua}

klas ekivalen himpunan bilangan bulat genap E dan

himpunan bilangan bulat gasal O. Bila n _{∈ E, maka}

[n]_R = E, sedangkan bila n _{∈ O, maka [n]}_R = O. Jadi

(11)

Home Page Title Page JJ II J I Page11of135 Go Back Full Screen Close Quit Kongruen

Misalkan n adalah suatu bilangan bulat positip. Dua bi-langan bulat x dan y dikatakan kongruen modulo n bila x _{− y = kn untuk suatu k ∈ Z. Hal ini ditulis sebagai}

x _{≡ y (mod n).}

Kongruensi dari bilangan bulat mempunyai peranan pen-ting dalam teori bilangan dan pemakaiannya terutama pada masalah kriptograpi. Hal ini nantinya erat kaitan-nya dengan kajian grup dan field berhingga khusus untuk n bilangan prima.

Klas ekivalen bilangan bulat modulo n. • x _{≡ x (mod n), sebab x − x = 0.n, ∀x ∈ Z.}

• Bila x _{≡ y (mod n), maka y ≡ x (mod n), sebab bila}

x _{− y = k.n didapat y − x = −k.n untuk ±k ∈ Z.}

• Bila x _{≡ y (mod n) dan y ≡ z (mod n), maka x ≡ z (mod n),} sebab bila x _{− y = k}1.n dan y − z = k2.n untuk k1, k2 ∈ Z

(12)

Terlihat relasi (mod n) suatu relasi ekivalen pada himpunan

bilangan bulat Z. Klas ekivalen ini membentuk suatu

par-tisi pada himpunan Z. Berapa banyaknya partisi dari Z

oleh klas ekivalen (mod n)? Apakah masing-masing par-tisi banyaknya elemen sama? Penulisan klas ekivalen dari bilangan bulat kongruen modulo n ditulis untuk suatu bi-langan bulat x ditulis [x]n

Teorema Misalkan n adalah suatu bilangan bulat positip. Maka setiap bilangan bulat adalah konruen modulo n ke tepat salah satu dari bilangan bulat 0, 1, 2, 3 . . . , n_{− 1.}

Bukti Misalkan k _{∈ Z. Dengan menggunakan algorithma}

pembagian bilangan bulat didapat k = p.n + r untuk beber-apa p, r _{∈ Z dengan 0 ≤ r < n. Oleh karena itu k − r = p.n}

atau k _{≡ r (mod n). Juga bila k ≡ r}0 (mod n), dengan

0 _{≤ r}₀ < n, maka k _{− r}0 = p0.n untuk suatu p0 ∈ Z atau

k = p0.n + r0. Dengan menggunakan ketunggalan hasil dan

sisa pembagian didapat p0 = p dan r0 = r.

Catatan : Ingat bahwa bila _{∼ adalah suatu relasi ekivalen}

pada suatu himpunan A, maka untuk a, b _{∈ A: a ∼ b ⇔}

[a]n = [b]n. Sehingga didapat a ≡ b (mod n) ⇔ [a]n = [b]n ⇔ n |

(13)

Home Page Title Page JJ II J I Page13of135 Go Back Full Screen Close Quit Kesimpulan

Bila k _{∈ Z, maka ada tepat satu r ∈ Z dengan 0 ≤ r < n}

sehingga [k]n = [r]n.

Jadi untuk setiap bilangan bulat positip n didapat tepat klas residu sebanyak [0]n = {qn | q ∈ Z}, [1] = {qn + 1 | q ∈

Z},. . . , [n − 1]n = {qn + (n − 1) | q ∈ Z}. Klas residu ini

mempartisi Z, yaitu setiap bilngan bulat tepat berada di

satu klas residu [0]n, [1]n, . . . , [n − 1]n.

Klas residu dari himpunan bilangan bulat sangat penting dalam pembahasan grup, terutama berkaitan dengan grup berhingga yang komutatif. Pembahasan mengenai grup ini dijelaskan berikutnya.

(14)

Home Page Title Page JJ II J I Page14of135 Go Back Full Screen Close Quit Partisi

Misalkan A adalah suatu himpunan dan _{A adalah suatu}

koleksi dari subset A. Dalam hal ini _{A dinamakan suatu}

partisi dari A bila dan hanya bila (i) Bila X _{∈ A, maka X 6= ∅ .}

(ii) Bila X _{∈ A dan Y ∈ A, maka X = Y atau X ∩ Y = ∅.}

(iii) S

X_∈A

= A. Contoh

Himpunan _{{{0}, {1, −1}, {2, −2}, · · · } adalah suatu partisi}

dari Z. Himpunan dengan dua elemen {E, O}, dengan E

adalah himpunan bilangan bulat genap dan O adalah him-punan bilangan bulat gasal adalah suatu partisi yang lain dari Z. Koleksi {{1}, {2}, · · · } adalah suatu partisi dari N. Faktanya, _{{{x} | x ∈ A} adalah suatu partisi dari suatu} him-punan takkosong A. Misalkan Gn = [n, n + 1) untuk setiap

(15)

Misalkan _{B adalah suatu partisi dari himpunan A. Untuk}

setiap x, y _{∈ A didefinisikan xQy bila dan hanya bila ada}

C _{∈ B sedemikian hingga x ∈ C dan y ∈ C. Maka}

(a) Q adalah suatu relasi ekivalen pada A.

(b) A/Q = _B.

Bukti Pada pembahasan ini A _{6= ∅.}

(a). Misalkan x, y, z _{∈ A. Asumsikan bahwa xQy dan yQz.}

Maka ada C dan D di _{B sehingga x, y ∈ C dan y, z ∈ D.}

Karena _{B adalah suatu partisi dari A, maka C = D atau}

C _{∩ D = ∅. Tetapi y ∈ C dan y ∈ D. Jadi C = D dan}

x, z _{∈ C = D. Ini berarti xQy. Sifat simetri dan refleksif} dapat dibuktikan sendiri.

(b). Pertama ditunjukkan A/Q _{⊆ B. Misalkan [x]}Q ∈ A/Q.

Karena _{B partisi dari A, pilih B ∈ B sehingga x ∈ B. Kita}

klaim bahwa [x]Q = B. Bila y ∈ [x]Q, maka xQy, ada C ∈ B

sehingga x _{∈ C dan y ∈ C. Karena C = B atau C ∩ B = ∅,}

dan x _{∈ C ∩ B, y ∈ B. Dilain pihak,, bila y ∈ B, maka xQy,} maka dari itu y _{∈ [x]}Q. Jadi [x]Q = B. Untuk membuktikan

(16)

Home Page Title Page JJ II J I Page16of135 Go Back Full Screen Close Quit Contoh

(1) Misalkan A = _{{1, 2, 3, 4} dan B = {{1}, {2, 3}, {4}}. Relasi}

ekivalen Q yang berkaitan dengan partisi _{B adalah}

Q = _{{(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (4, 4)}.} Klas ekivalenya adalah

[1]_Q = _{{1}, [2]}_Q = _{{2, 3} = [3]}_Q dan [4]_Q = _{4}.

Terlihat bahwa himpunan semua klas ekivalen ini tepat

sama dengan _B.

(2) Misalakan Z dipartisi menjadi A = {A0, A1, A2, A3}

dengan A0 = {· · · , −8, −4, 0, 4, 8, · · · }, A1 =

{· · · , −7, −3, 1, 5, 9, · · · }, A2 = {· · · , −6, −2, 2, 6, 10, · · · } dan

A3 = {· · · , −5, −1, 3, 7, 11, · · · }. Untuk setiap bilangan

bulat x dan y, bila x _{∈ A}i dan y ∈ Ai bila dan hanya bial

x = 4n1+i dan x = 4n2+i untuk beberapa bilangan bulat

n1 dan n2. Dengan kata lain bila dan hanya bila x − y

adalah kelipatan 4. Jadi relasi ekivalen yang berkaitan

(17)

Home Page Title Page JJ II J I Page17of135 Go Back Full Screen Close Quit Relasi Urutan

Suatu realasi R pada suatu himpunan A dinamakan teru-rut parsial untuk A bila R refleksif, antisimetri dan

tran-sitif. Dalam hal ini himpunan A dinamakan himpunan

terurut secara parsial.

Relasi relasi berikut adalah terurut parsial:

≤ pada N, ≤ pada Z dan ≤ pada R, ⊆ pada P(A) untuk

sebarang himpunan A, ”pembagian” pada N.

Contoh

Relasi W pada N diberikan oleh xW y bila dan hanya bila

x _{≤ y dan x + y genap adalah terurut parsial.}

Misal-nya 2W 2, 4W 6, 6W 8,_{· · · dan 1W 3, 3W 5, 5W 7, · · · . Terlihat} bahwa tidak akan pernah mW n yang mana m genap dan

n gasal atau sebaliknya. Sifat refleksif: misalkan x _{∈ N.}

Maka x + x = 2x adalah genap dan x _{≤ x, jadi xW x. Sifat}

antisimetri: misalkan xW y dan yW x. Maka x + y genap, x _{≤ Y dan y ≤ x Jadi x = y. Sifat transitif: misalkan xW y}

dan yW z. Maka x _{≤ y, x + y genap dan y ≤ z, y + z genap.}

Jadi x _{≤ z dan x + z = (x + y) + (y + z) − 2y adalah genap.} Maka dari itu xW z.

(18)

Fungsi :

Suatu fungsi f : A _{→ B adalah himpunan bagian dari A×B}

sedemikian hingga untuk setiap a _{∈ A, ada dengan tunggal}

b _{∈ B yang memenuhi (a, b) ∈ f ⊂ A × B atau bila (a, b) ∈ f} dan (a, c) _{∈ f, maka b = c. Bila (a, b) ∈ f ditulis b = f(a).} Dikatakan bahwa f (a) image dari a dibawah oleh f .

Suatu fungsi sering juga disebut pemetaan. Bila f : A _{→ B,} di katkan bahwa f memetakan elemen-elemen dari A ke eleme-elemen B. Himpunan A dinamakan domain ditulis

Dom(f ) = A, sedangkan himpunan B dinamakan kodomain.

Image atau range dari f adalah himpunan semua nilai-nilai f (a) ditulis

Im(f ) = _{{f(a) | a ∈ A}.} Himpunan Im(f ) adalah subset dari B.

(19)

Contoh:

1. Asumsikan U adalah himpunan semesta yang tertentu

dan A _{⊆ U. Didefinisikan fungsi karakteristik dari A,}

χA : U → {0, 1} oleh

χA(x) = 1, bila x ∈ A

0, bila x _{∈ U − A.}

Sebagai contoh, bila A suatu interval A = [1, 4) dan U = R, maka χA(x) = 1 bila 1 ≤ x < 4 dan χA(x) = 0 bila x /∈ A.

2. Satu bentuk umum dari fungsi karakteristik adalah

fungsi unda. Misalkan a = _{Cδ| δ ∈ ∆} adalah suatu

partisi dari suatu himpunan A. Masing-masing Cδ

adalah suatu interval dan masing-masing δ _{∈ ∆, b}δ ∈ B.

Didefinisikan fungsi f : A _{→ B oleh}

f (x) = bδ, untuk x ∈ Cδ.

Sebagai contoh, misalkan A = [1, 5] dengan C1 =

[1, 2], C2 = (2, 4) dan C3 = [4, 5]. Pilih bilangan real

b1 = 3, b2 = 4 dan b3 = 2, maka f (x) = 3, x ∈ C1,

(20)

Lanjutan Contoh:

3. Suatu fungsi dengan domain himpunan bilangan natural N juga dinamakan suatu barisan. Fungsi a diberikan oleh a(n) = _n1, _{∀n ∈ N mempunyai range {1,} 1₂, 1₃, 1₄,_{· · · }.} Penulisan a(n) = _n1 lebih memudahkan a(n) disebut suku ke-n dari barisan a dan dinotasikan oleh an. Jadi suku

ke-25 dari barisan adalah a25 = ₂₅1

4. Bila R adalah suatu relasi ekivalen pada himpunan X, maka fungsi dari X ke X/R dengan hubungan

se-tiap x _{∈ X dikaitkan dengan [x]}R dinamakan pemetaan

kanonik. Sebagai contoh, misalkan R adalah relasi

kongruen modulo 5 pada Z. Bila f adalah pemetaan

kanonik, maka image dari 7 dan -4 adalah

f (7) = [7]R = [7]5 = {· · · , −13, −8, −3, 2, 7, 12, · · · }

(21)

Aturan pengaitan diantara klas kongruen mempunyai

keu-tamaan yang penting. Suatu contoh klas ekivalen dari

himpunan bilangan bulat modulo 4, yaitu Z4 = {[0]4, [1]4, [2]4, [3]4} .

Misalkan aturan dari f diberikan oleh f ([x]4) = [2x]10,

de-ngan aturan ini didapat

f ([0]4 = [0]10, f ([1]4 = [2]10

f ([2]4 = [4]10, f ([3]4 = [6]10.

Bagaimanapun, 0 dan 4 adalah terletak pada klas

eki-valen modulo 4 yang sama ([0]4 = [4]4). Menurut aturan

dari f , maka f ([4]4) = [8]10. Dalam hal ini terlihat bahwa

f ([0]4) = [0]10 sekaligus f ([0]4) = [8]10 dengan [0]10 6= [8]10. Jadi

aturan dari f tidak mendifinisikan suatu fungsi. Dalam hal yang mana obyek lebih dari satu representasi (wakil) misalnya [0]4 dapat direpresentasikan oleh [4]4, [−4]4, [8]4,· · ·

dan misalkan suatu ”fungsi” mengaitkan menjadi nilai-nilai yang berbeda tergantung pada representasinya, maka dikatakan bahwa ”fungsi tidak terdefinisi dengan baik (function is not well defined)”. Ini berarti bahwa aturan tsb. secara nyata bukan suatu fungsi.

(22)

Misalkan A adalah sebarang himpunan dan didefinisikan IA(x) = x, ∀x ∈ A,

maka IA adalah suatu fungsi dari A ke A. Dalam hal ini

IA dinamakan fungsi identitas pada A. Bila A ⊆ B, maka

fungsi

i : A _{→ B}

yang diberikan oleh i(x) = x, _{∀x ∈ A dinamakan pemetaan}

inklusi dari A ke B. Terlihat jelas bahwa i = _{{(x, x) | x ∈ A} = I}A,

tetapi i adalah pemetaan dari A ke B sedangkan IA adalah

(23)

Untuk suatu realasi S dari A ke B dapat diturunakan fungsi proyeksi, π1 dan π1 dengan

π1 : S → A dan π2 : S → B

Didefinisikan

π1(a, b) = a;

untuk semua (a, b) _{∈ S. Dengan cara serupa, didefinisikan}

Didefinisikan

π2(a, b) = b;

untuk semua (a, b) _{∈ S. Proyeksi π}1 pada suatu garis lurus

di R×R akan menjadikan setiap titik pada sumbu-x (sumbu

horizontal). Sedangkan proyeksi Proyeksi π2 pada suatu

garis lurus di R × R akan menjadikan setiap titik pada

(24)

Dua fungsi f dan g sama bila dan hanya bila 1. Dom(f ) = Dom(g) dan

2. f (x) = g(x) untuk semua x _{∈ Dom(f) .} Bukti

1. Misalkan x _{∈ Dom(f), maka (x, y0 ∈ Dom(f) untuk}

be-berapa y. Karena f = g, maka (x, y) _{∈ Dom(g). Maka}

dari itu x _{∈ Dom(g).} Hal ini menunjukkan bahwa

Dom(f ) _{⊆ Dom(g). Dengan cara yang sama, didapat}

Dom(g) _{⊆ Dom(f). Jadi Dom(f) = Dom(g). Bukti}

seba-liknya dapat dilakukan sendiri.

2. Misalakan x _{∈ Dom(f), maka (x, y) ∈ f untuk beberapa}

y. Karena f = g, maka (x, y) _{∈ g. Jadi f(x) = y = g(x).} Bukti sebaliknya dapat dilakukan sendiri.

(25)

Karena setiap fungsi adalah suatu relasi, maka operasi komposisi dan invers dapat diperlakukan sama sebagai su-atu relasi. Jadi bila F : A _{→ B, maka invers dari F adalah} suatu relasi

F−1 = _{{(b, a) | (a, b) ∈ F }.}

Perluh diperhatikan disini bahwa, F−1 adalah suatu relasi dari B ke A dan belum tentu memenuhi kriteria suatu fungsi. Untuk sebarang fungsi f dan g, (x, z) _{∈ f ◦ g bila}

dan hanya bila (x, y) _{∈ f untuk beberapa y dan (y, z) ∈ g}

untuk beberapa y. Yaitu f (x) = y dan g(y) = z. Ini berarti bahwa (x, z) _{∈ f ◦ g bila dan hanya bila z = f(g(x)). Misal} f (x) = sin x dan g(x) = x2 + x, maka

(f _{◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x}2 +x) = sin(x2 +x), dan

(g _{◦ f)(x) = g(f(x)) = g(sin x) = sin}2x, + sin x.

Terlihat bahwa f _{◦ g 6= g ◦ f, yaitu komposisi suatu fungsi} tidak komutatif.

(26)

Bila fungsi f : A _{→ B dan g : B → C, maka g ◦ f : A → C}

adalah suatu fungsi. Bukti

Komposisi g_{◦f adalah suatu relasi dari A ke C dan Dom(g ◦}

f ) _{⊆ A juga Im(g ◦ f) ⊆ C. Misalkan a ∈ A. karena A =}

Dom(f ), maka ada b _{∈ B sehingga f(a) = b. Tetapi B =}

Dom(g), jadi ada c _{∈ C sehingga g(b) = c. Maka dari itu, c =} g(b) = g(f (a)) = (g_{◦ f)(a), terlihat bahwa a ∈ Dom(g ◦ f). Jadi} A _{⊆ Dom(g ◦ f). Karena Dom(g ◦ f) ⊆ A, maka Dom(g ◦ f) = A.} Misalkan bahwa (a, y) _{∈ g ◦ f dan (a, z) ∈ g ◦ f, maka ada}

b _{∈ B sehingga (a, b) ∈ f dan (b, y) ∈ g. Selanjutnya ada}

β _{∈ B sehingga (a, β) ∈ f dan (β, z) ∈ g. Karena f adalah}

suatu fungsi maka b = β. Didapat (b, y) _{∈ g dan (b, z) ∈ g.} Karena g adalah fungsi, maka haruslah y = z. Jadi bila (a, y) _{∈ g ◦ f dan (a, z) ∈ g ◦ f berakibat bahwa y = z hal ini}

(27)

Bila fungsi f : A _{→ B, g : B → C dan h : C → D maka}

(h_{◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f).} Bukti Bila a _{∈ A, maka} ((h_{◦ g) ◦ f)(a) = (h ◦ g)(f(a))} = h(g(f (a))) = h((g _{◦ f)(a))} = (h_{◦ (g ◦ f))(a).} Terlihat bahwa (h _{◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f).} Sifat ini dinamakan sifat assosiatif.

(28)

Misalkan f : A _{→ B, maka f ◦ I}A = f dan IB ◦ f = f

Bukti

Dom(f _{◦ I}A) = Dom(IA) = A = Dom(f ). Bila a ∈ A, maka

(f _{◦ I}A)(a) = f (IA(a)) = f (a). Jadi f ◦ IA = f . Dengan yang

sama dapat ditunjukkan bahwa IB ◦ f = f.

Misalkan f : A _{→ B denagn Im(f) = C. Bila f}−1 adalah

suatu fungsi, maka f−1 _{◦ f = I}A dan f ◦ f−1 = IC.

Bukti Dom(f−1 _{◦ f) = Dom(f) = A. Misalkan a ∈ A. Dari}

fakta bahwa (a, f (a)) _{∈ f, didapat (f(a), a) ∈ f}−1. Maka dari itu (f−1 _{◦ f)(a) = f}−1(f (a)) = a = IA(a). Jadi f−1 ◦ f = IA.

Dengan cara yang sama dapat dibuktikan f _{◦ f}−1 = IC.

(29)

Suatu fungsi f : A _{→ B dikatakan satu-satu atau injective}

bila a _{6= b berakibat f(a) 6= f(b) atau ekivalen bila f(a) = f(b)} berakibat a = b. Suatu fungsi f : A _{→ B dikatkan pada atau} surjective bila setiap titik di B adalah image dari beberapa titik di A dan dikatkan satu-satu pada atau bijective bila f adalah fungsi satu-satu dan pada. Bila f adalah suatu fungsi bijective dari A ke B, maka ada suatu fungsi invers

g dari B ke A yang membawa semua elemen b _{∈ B dengan}

tunggal ke elemen a _{∈ A, yaitu a = g(b), ∀b ∈ B. Dengan}

kata lain, g adalah fungsi invers dari f bila:

a = g(b),_{∀b ∈ B bila dan hanya bila b = f(a), ∀a ∈ A.} Fungsi invers g juga nerupakan fungsi bijective. Jadi suatu fungsi bijective f dan fungsi inversnya g memenuhi

• g(f (a)) = a untuk semua a _{∈ A,} • f (g(b)) = b untuk semua b _{∈ B.}

(30)

Suatu grup adalah suatu himpunan G

₆₌

∅ bersama-sama dengan suatu operasi

biner

_{∗ : G × G → G yang mana untuk}

setiap (a, b) di G

_{×G, ∗(a, b) biasanya}

dino-tasikan oleh a

_{∗b, sedemikian hingga}

sifat-sifat berikut dipenuhi:

1. (a

_{∗b)∗c = a∗(b∗c) untuk semua a, b, c ∈ G.}

2. Ada e

_{∈ G, sedemikian hingga}

e

_{∗ g = g = g ∗ e untuk semua g ∈ G.}

3. Untuk setiap g

_{∈ G ada g}

−1

yang

memenuhi g

_{∗ g}

−1

=

e = g

−1

_{∗ g.}

Tambahan pula, bila masih memenuhi

a

_{∗ b = b ∗ a untuk semua a, b ∈ G,}

maka

grup

G

dinamakan

grup

abelian/komutatif

.

(31)

Contoh-contoh :

1. Himpunan-himpunan bilangan bulat Z, bilangan

ra-sional Q, bilangan riil R dan bilangan kompleks C

bersama-sama operasi biner penambahan merupakan grup komutatif.

2. Himpunan bilangan Q − {0} dengan operasi biner

perkalian merupakan grup abelian.

3. Himpunan GL(n,R) matriks nonsingular n × n

de-ngan operasi perkalian matriks merupakan grup tak-komutatif.

4. Himpunan matriks n _{× n dengan determinan sama}

de-ngan 1 (SL(n,R)) bersama-sama dengan operasi biner

perkalian matriks merupakan grup tak-komutatif.

5. Misalkan S = _{{1, 2, . . . n} dan S}n adalah himpunan dari

semua fungsi satu-satu pada f : S _{→ S. Maka S}n dengan

operasi komposisi fungsi merupakan suatu grup, grup ini dinamakan suatu grup permutasi.

(32)

Lanjutan Contoh-contoh :

6. Himpunan Zn bilangan bulat modulo n dengan operasi

biner penambahan merupkan grup komutatif.

7. Himpunan Zp − {[0]} bilangan bulat modulo p dengan

p bilangan prima bersama-sama dengan operasi biner perkalian merupakan grup abelian.

8. Himpunan H = 1 a 0 1 a _{∈ Z}

dengan operasi perkalian matriks merupakan suatu grup.

9. Himpunan Zn = _{(a₁, a2, . . . , an)| ai ∈ Z} dengan

op-erasi biner tambah didefinisikan oleh (a1, a2, . . . , an) +

(b1, b2, . . . , bn) def= (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn) adalah suatu

grup.

10. Himpunan _{{1, −1, i, −i} dengan operasi perkalian adalah} suatu grup (i = √_−1).

(33)

Catatan : Untuk sederhananya penulisan a _{∗ b cukup}

di-tulis ab, penulisan suatu grup G dengan operasi biner _∗

biasanya ditulis (G,_{∗) adakalanya ditulis grup G.}

Beberapa sifat suatu grup

Penghapusan kurung

, dikarenakan

op-erasi biner

_{∗ adalah assosiatif, maka}

penulisan

(

a

_{∗ b) ∗ (c ∗ d) = ((a ∗ b) ∗ c) ∗ d = (a ∗ (b ∗ c)) ∗ d}

ditulis a

_{∗ b ∗ c ∗ d.}

Misalkan G suatu grup, maka :

1. Elemen netral e

_{∈ G adalah tunggal.}

2. Untuk setiap g

_{∈ G invers dari g yaitu}

(34)

Bukti

1. Misalkan e

₁

dan e

₂

adalah dua elemen

identitas dari grup G, maka e

₁

g = g

un-tuk semua g

_{∈ G (elemen netral kiri),}

khususnya didapat e

₁

e

₂

=

e

₂

. Hal yang

serupa berlaku e

₁

e

₂

=

e

₁

(elemen netral

kanan). Sehingga didapat

e

₁

=

e

₁

e

₂

=

e

₂

.

2. Misalkan g

₁

dan g

₂

keduanya

meru-pakan invers dari sebarang elemen g

_∈

G. Maka didapat g

₁

g = e = gg

₁

dan

g

₂

g = e = gg

₂

.

Perhatikan ekspresi

berikut: h = (g

₁

g)g

₂

=

eg

₂

=

g

₂

disam-ping itu juga h = g

₁

(

gg

₂

) =

g

₁

e = g

₁

.

(35)

Berikut ini beberapa sifat grup yang

lainnya.

Misalkan G suatu grup:

3. Bila a, b

_{∈ G maka ada dengan tunggal}

x dan y sehingga ax = b dan ya = b.

4. Bila gx = gy, maka

x = y untuk g, x, y

_{∈ G.}

5. Bila xg = yg, maka

x = y untuk g, x, y

_{∈ G.}

6. Bila g

_{∈ G, maka (g}

−1

)

−1

=

g.

7. Bila a, b

_{∈ G, maka berlaku}

(36)

Home Page Title Page JJ II J I Page36of135 Go Back Full Screen Close Quit Bukti

3. Bila ax0 = b, maka a−1(ax0) = a−1b. Sehingga didapat

x0 = a−1b. Sebaliknya bila x = a−1b, maka ax = a(a−1b)

atau ax = b. Jadi persamaan ax = b mempunyai penye-lesaian tunggal x = a−1b. Dengan cara serupa bisa di-tunjukkan bahwa ya = b mempunyai penyelesaian tung-gal y = ba−1.

4. Dari persamaan gx = gy kedua ruas kalikan dari kiri dengan g−1, didapat x = y.

5. Dari persamaan xg = yg kedua ruas kalikan dari kanan dengan g−1, didapat x = y.

6. gg−1 = e dan (g−1)−1g−1 = e. gunakan kanselasi kanan didapat g = (g−1)−1.

7. Dari persamaan (ab)−1(ab) = e kedua ruas

berturut-turut kalikan dari kanan dengan b−1 dan a−1, didapat (ab)−1 = b−1a−1.

(37)

Order grup dan order suatu elemen grup.

Misalkan G suatu grup, order dari G

di-tulis

_{|G| menyatakan banyaknya elemen}

dari himpunan G. Selanjutnya diberikan

pengertian g

n

dimana n

_{∈ Z sebagaimana}

berikut ini:

1. g

0 def

=

e, diman e elemen netral.

2. g

n def

=

ggg . . . g

|

{z

}

n

, dimana n > 0.

3. g

n def

=

g

−1

g

−1

g

−1

. . . g

−1

|

{z

}

−n

, dimana n < 0.

Selanjutnya dapat ditunjukkan

g

m+n

=

g

m

g

n

dan (g

m

)

n

=

g

mn

untuk

(38)

Misalkan G suatu grup dan g

_{∈ G. Order}

dari g dinotasikan dengan

_{|g| yang}

me-nyatakan bilangan bulat positip terkecil

n sehingga memenuhi g

n

=

e dengan e

adalah elemen netral. Bila tidak ada n

yang demikian maka

_{|g| = +∞.}

Beberapa sifat order dari g

_{∈ G}

diberi-kan berikut ini:

1. Bila

_{|g| = n, maka g}

m

=

e bila dan

hanya bila m kelipatan dari n.

2. Bila

_{|g| = n dan h = g}

m

, maka

|h| =

_fpb(

n

_{m, n)}

.

(39)

1. Bila m = nk, maka gm = gnk = (gn)k = ek = e. Selanjut-nya misalkan gm = e dan andaikan

m = nk + r dengan 0 < r < n, maka

e = gm = gnk+r = (gn)kgr = ekgr = gr, kontradiksi dengan kenyataan _{|g| = n}. Jadi haruslah r = 0 atau m = nk. 2. Dipunyai gm = h, gn = e. Misalkan d = fpb(m, n),

maka m = dm1, n = dn1, dimana fpb(m1, n1) = 1. Jadi

hn1 ₌ gmn1 ₌ gdm1n1 ₌ gdn1m1 ₌ gnm1 ₌ em1 ₌ e.

Berikut-nya misalkan hk = e, maka didapat gmk = e, oleh karena itu mk merupakan kelipatan dari n. Jadi dm1k

meru-pakan kelipatan dari dn1 atau m1k kelipatan dari n1.

Karena m1 dan n1 prima relatif, maka k merupakan

kelipatan dari n1. Berdasarkan teorema sebelumnya,

maka _{|h| = n}1 atau |h| =

n d =

n

(40)

Beberapa Catatan Order Elemen.

1. Bila g

_{∈ G dan |g| = +∞, maka g}

n

, n =

0 , 1, 2, 3, . . . semuanya adalah berbeda,

bila tidak maka ada m dan n dengan

m

_{6= n, misalkan dalam hal ini m > n}

sehingga g

m

=

g

n

. Sehingga didapat

g

m

−n

=

e. Jadi ada k = m

− n sehingga

g

k

=

e, bertentangan dengan

_{|g| = +∞.}

2. Bila

_{|g| = n, maka e, g, g}

2

, g

3

, . . . , g

n

−1

semuanya berbeda satu dengan yang

lainnya, bila tidak demikian maka ada

g

t

=

e dengan 0 < t < n, bertentangan

bahwa n bilangan bulat positip

(41)

Subgrup

Misalkan G suatu grup dan H

_{⊆ G}

de-ngan H

_{6= ∅, dikatakan bahwa H}

meru-pakan subgrup dari G bila H sendiri

merupakan grup dengan operasi biner

yang sama dengan di G. Hal ini

dino-tasikan oleh H < G.

Cara mudah menentukan himpunan H

adalah subgrup dari grup G adalah

de-ngan sifat berikut sebagai berikut:

Misalkan G adalah suatu grup.

Him-punan H adalah subgrup dari G bila dan

hanya bila untuk sebarang a, b

_{∈ H maka}

ab

−1

_{∈ H.}

(42)

Misalkan H < G, didapat bila a, b

_{∈ H}

maka b

−1

_{∈ H. Karena di H berlaku}

juga operasi biner maka ab

−1

_{∈ H.}

Selan-jutnya misalkan berlaku untuk sebarang

a, b

_{∈ H berakibat ab}

−1

_{∈ H, akan}

di-tunjukkan H < G.

Misalkan bahwa

a

_{∈ H, maka dengan hipotisis didapat}

e = aa

−1

_{∈ H. Jadi e ∈ H dan misalkan g}

sebarang di H, maka g

−1

=

eg

−1

∈ H.

Se-lanjutnya akan ditunjukkan bahwa di H

berlaku suatu operasi biner yaitu ab

_{∈ H}

untuk semua a, b

_{∈ H. Misalkan a, b ∈ H}

berdasarkan hasil sebelumnya maka b

−1

juga di H. Berdasarkan hipotisis maka

ab = a(b

−1

)

−1

∈ H. Sifat assosiatif di H

diwarisi dari G (sebab H

_{⊆ G).}

(43)

Contoh-contoh Subgrup:

1. Bila G suatu grup, maka E = _{{e} trivial subgrup dari G.} Sedangkan subgrup dari G yang selain E dan G sendiri dinamakan subgrup sejati (proper subgrup).

2. Masing-masing Z, Q dan R dengan operasi biner tambah

adalah subgrup dari grup himpunan bilangan kompleks C.

3. Himpunan _{{−1, 1} dan Q}+ dengan operasi perkalian

merupakan subgrup dari grup Q∗ = Q − {0}.

4. Himpunan matriks SL(n,R) dengan operasi biner

perkalian matriks adalah subgrup dari grup GL(n,R).

5. Himpunan H = _{{z ∈ C | |z| = 1} dengan operasi biner}

perkalian adalah subgrup dari grup C∗.

6. Misalkan n _{∈ Z dan nZ = {nm | m ∈ Z} dengan operasi}

biner tambah nZ adalah subgrup dari grup Z.

7. Himpunan H = _{₂1m | m ∈ Z} dengan operasi perkalian

(44)

Bila

_{H

_α

_{} adalah koleksi dari subgrup}

dari G, maka

T

α

H

α

juga merupakan

sub-grup dari G.

Bukti Misalkan H =

T

α

H

α

, jelas bahwa

H

_{6= ∅ sebab e ∈ H. Juga bila a, b ∈ H,}

maka a, b

_{∈ H}

_α

untuk setiap α hal ini

be-rakibat ab

−1

_{∈ H}

_α

untuk setiap α. Maka

dari itu ab

−1

juga di H. Terlihat bahwa

bila a, b

_{∈ H berakibat bahwa ab}

−1

_{∈ H,}

maka dari itu H adalah subgrup dari G.

Catatan : Gabungan dari dua subgrup

belum tentu menghasilkan subgrup, 2

Z∪

3 Z bukan subgrup dari Z. Sebab 2, 3 ∈

2 Z ∪ 3Z, tetapi 2 + 3 = 5 /∈ 2Z ∪ 3Z.

(45)

Misalkan G suatu grup dan S adalah

himpunan bagian dari G. Notasi

< S >

semua subgrup dari G yang memuat S.

Jadi

< S >

itu sendiri merupakan

sub-grup dari G yang memuat S.

Dalam

hal ini < S > =

T

S

_⊂H

_α

H

_α

dan dinamakan

subgrup yang dibangun oleh S.

Grup

< S > ini adalah subgrup terkecil dari

G yang memuat S, yaitu bila H adalah

suatu subgrup dari G yang memuat S,

maka H harus juga memuat < S >.

Khususnya bila S =

_{{a}, maka}

< S >=< a > dinamakan subgrup siklik

yang dibangun oleh elemen a.

(46)

Sifat : Diberikan suatu grup G 1. Bila S _{⊂ G, maka} < S > = _{as1 1 . . . asmm | ai ∈ S, si ∈ Z, m ≥ 1}, 2. < a > = _{ak _{| k ∈ Z}} Bukti (1). Tulis H = _{as1 1 . . . asmm | ai ∈ S, si ∈ Z, m ≥ 1} dan misalkan sebarang a = as1 1 . . . asmm, b = b p1 1 . . . bpnn ∈ H, didapat ab−1 = as1

1 . . . asmmb−pn n. . . b−p1 1 ∈ H. Jadi H < G dan untuk

sebarang a _{∈ S, maka a = a}1 _{∈ H yaitu S ⊂ H. Akibatnya}

< S >_{⊂ H. Disamping itu, S ⊂< S > dan < S > adalah} subgrup dari G, maka semua hasil kali dan invers elemen-elemen dari S berada di < S >. Jadi H _{⊂< S >. Didapat} H =< S >.

(2). Bila S = _{{a}, maka H dalam (1) menjadi H = {a}k_{|k ∈ Z}} dan didapat < a > = _{ak_{|k ∈ Z}.}

Bila operasi biner adalah tambah, maka

< S > = _{s1a1 +. . . + smam | ai ∈ S, si ∈ Z, m ≥ 1} dan

(47)

Contoh-contoh:

1. Diberikan S = _{{2, 3} ⊂ Z dengan operasi biner tambah}

subgrup dari Z yang dibagun oleh S adalah < S > = {2s1 + 3s2|s1, s2 ∈ Z}. Karena 1 = 2(−1) + 3(1), maka

1 _{∈< S >. Jadi untuk setiap n ∈ Z, n.1 ∈< S >. hal ini} menunjukkan bahwa < S > = Z atau < S >=< 1 >.

2. Diberikan S = _{{4, 6} ⊂ Z dengan operasi biner tambah}

subgrup dari Z yang dibagun oleh S adalah < S > = {4s1+ 6s2|s1, s2 ∈ Z} = {2(2s1+ 3s2)|s1, s2 ∈ Z}. Berdasarkan

hasil (1), didapat < S > = _{{2n|n ∈ Z} = 2Z atau}

< S >=< 2 >. Jadi < S > adalah himpunan bilangan bulat genap.

3. Himpunan bilangan bulat modulo n, Zn =< 1 >.

4. Untuk setiap k _{∈ Z dengan k dan n prima relatif,}

him-punan bilangan bulat modulo n, Zn =< k >.

Semua contoh diatas merupakan grup siklik (grup yang dibangun oleh satu elemen).

(48)

Sifat : Setiap grup siklik G adalah

ko-mutatif.

Bukti

Bila G =< a >=

_{a

k

_{|k ∈ Z}, maka untuk}

setiap x = a

m

, y = a

n

_{∈< a >}

didapat xy = a

m

a

n

=

a

m+n

=

a

n+m

=

a

n

a

m

=

yx. Jadi G adalah grup

komu-tatif.

Sifat ini tidak berlaku sebaliknya.

Grup-grup yang komutatif tetapi tidak siklik

adalah

Q, R, C dengan operasi biner

pe-nambahan dan

Q

∗

,

R

∗

,

C

∗

dengan operasi

(49)

Sifat : Setiap subgrup dari suatu grup siklik G =< a > adalah siklik.

Bukti

Misalkan H < G, bila H = _{{e} jelas H siklik. Bila H 6= {e},}

maka ada bilangan bulat s _{6= 0 sehingga a}s _{∈ H dan juga}

(as)−1 = a−s _{∈ H. Misalkan T = {t ∈ Z}+_|at _{∈ H} dengan sifat}

keterurutan dari bilangan bulat Z+, maka T mempunyai

elemen terkecil t0. Jadi at0 ∈ H. Misalkan b ∈< at0 >, maka

untuk suatu m _{∈ Z, b = (a}t0₎m ∈ H . Terlihat bahwa

< at0 >⊂ H. Sebaliknya, misalkan h ∈ H, maka ada

bilan-gan bulat k sehingga h = ak. Selanjutnya dengan

menggu-nakan algorithma pembagian untuk bilangan bulat didapat k = t0q + r untuk beberapa q, r ∈ Z dengan 0 ≤ r < t0.

Di-dapat ar = ak(at0₎−q ∈ H. Bilangan r = 0, sebab bila tidak,

maka ada bilangan yang lebih kecil dari t0, yaitu r < t0 yang

memenuhi ar _{∈ H. Hal ini bertentangan dengan a}t0 ∈ H.

Jadi h = ak = (at0₎q ∈< at0. Terlihat bahwa H ⊂< at0 >.

(50)

Sifat : Misalkan G =< a > adalah grup siklik dan _{|G| = n,} maka

G = _{{e, a, a}2, . . . , an−1_{} dengan a}n = e. Bukti

Misalkan G = _{ak_{|k ∈ Z}, karena |G| = n (berhingga),}

maka untuk beberapa h < k dengan h, k _{∈ Z a}k = ah atau ak−h = e. Misalkan T = _{{t ∈ Z}+_|at = e_{} dan l adalah} el-emen terkecil di T . Jelas bahwa _{{e, a, a}2, . . . , al−1_{} ⊂ G.} dalam hal ini dapat ditunjukkan bahwa semua elemen e, a, a2, . . . , al−1 adalah berbeda. Selanjutnya akan ditun-jukkan bahwa G _{⊂ {e, a, a}2, . . . , al−1_}. Misalkan g _{∈ G,}

maka untuk suatu m _{∈ Z, g = a}m . Dengan

menggu-nakan algorithma pembagian untuk bilangan bulat dida-pat m = lq + r untuk beberapa q, r _{∈ Z dengan 0 ≤ r < l.} Didapat am = (al)qar = eqar = ar _{∈ {e, a, a}2, . . . , al−1_{}. Jadi} G _{⊂ {e, a, a}2, . . . , al−1_{}. Karena |G| = n, maka n = l dan} an = al = e.

Catatan : Dari hasil sifat ini, terlihat bahwa elemen

pem-bangun G yaitu a mempunyai sifat an = e atau order dari

elemen a adalah n yang ditulis _{|a| = n (sebab n bilangan}

(51)

Contoh:

Dalam GL(2,R), bila A = 0 1 −1 0 dan B = 1 1 0 1 , maka A2 = −1 0 0 ₋₁ , A3 = 0 −1 1 0 , A4 = 1 0 0 1 dan B2 = 1 2 0 1 , B3 = 1 3 0 1 , . . . , Bn = 1 n 0 1 . Sehingga didapat < A > = _{{I, A, A}2, A3_{} < GL(2, R) dan}

< B > = 1 k 0 1 k _{∈ Z} < GL(2,R).

Dalam hal ini order elemen A dan B adalah _{|A| = 4 dan}

(52)

Berikut ini diberikan pengertian suatu koset. Dalam hal

ini terlihat bahwa bila H suatu subgrup dari grup G, maka H memisahkan G kedalam berbagai macam him-punan yang saling asing.

Misalkan H adalah suatu subgrup dari suatu grup G. Untuk setiap dua elemen a, b _{∈ G} didifinisikan relasi biner a _{∼ b bila ab}−1 _{∈ H}. Relasi biner _∼ ini adalah suatu relasi ekivalen.

Bukti

• Untuk setiap a _{∈ G maka aa}−1 = e _{∈ H (refleksif).}

• Bila ab−1 _{∈ H, maka ba}−1 = (ab−1)−1 _{∈ H. Jadi bila a ∼ b} maka b _{∼ a (simetrik).}

• Bila ab−1 _{∈ H dan bc}−1 _{∈ H, maka ac}−1 = ab−1bc−1 _{∈ H.} Jadi bila a _{∼ b dan b ∼ c, maka a ∼ c (transitif).}

Jadi relasi _{∼ membagi keseluruhan grup G menjadi}

klas-klas ekivalen yang saling asing (disjoint eqivalence classes). Suatu pertanyaan bagaimana cara H mempartisi G?

(53)

Koset

Misalkan G suatu grup dan H adalah

subgrup dari grup G.

Misalkan g

se-barang tetapi tetap (fixed) di G,

di-definisikan Hg

def

=

{hg|h ∈ H} maka Hg

dinamakan

koset kanan

dari H di G.

Sedangkan bila gH

def

=

{gh|h ∈ H} maka

gH dinamakan

koset kiri

dari H di G.

Berikut ini diberikan sifat suatu koset

yaitu, untuk setiap dua elemen a dan b

di grup G dan H < G, maka:

1. Bila a

_{∼ b maka Ha = Hb.}

(54)

Bukti

1. Misalkan a

_{∼ b, maka ab}

−1

=

h

₀

un-tuk suatu h

₀

_{∈ H, didapat a = h}

₀

b atau

b = h

−1

₀

a. Misalkan sebarang ha

_{∈ Ha,}

maka didapat ha = h(h

₀

b) = (hh

₀

)

b

_{∈ Hb.}

Jadi Ha

_{⊂ Hb. Misalkan sebarang hb ∈}

Hb, maka hb = h(h

−1

₀

a) = (hh

−1

₀

)a

_{∈ Ha.}

Jadi Hb

_{⊂ Ha. Maka dari itu didapat}

Ha = Hb.

2. Misalkan a

b dan andaikan g ∈

Ha

T Hb, maka a = h

−1

₁

g untuk suatu

h

₁

_{∈ H dan b}

−1

=

g

−1

h

₂

untuk suatu

h

₂

_{∈ H. Didapat ab}

−1

=

h

−1

₁

gg

−1

h

₂

=

h

−1

₁

h

₂

_{∈ H. Jadi a ∼ b, kontradiksi}

dengan kenyataan bahwa a

b. Jadi

(55)

Misalkan H < G dan Hg adalah sebarang

koset kanan dari H di G, maka

_{|H| = |Hg|.}

Bukti

Pemetaan f : H

_{→ Hg dengan f(h)}

def

=

hg,

_{∀h ∈ H. Pemetaan f adalah}

satu-satu, yaitu bila f (h) = f (h

₁

)

atau hg = h

₁

g,

maka didapat h = h

₁

dan pemetaan

f pada, yaitu bila diberikan sebarang

hg

_{∈ Hg, maka pilih h ∈ H sehingga}

f (h) = hg. Jadi pemetaan f adalah

satu-satu pada, maka dari itu

_{|H| = |Hg|.}

Misalkan H < G dan [G : H]

def

=

{Hg|g ∈

G

_{} himpunan dari semua koset H di G,}

dalam hal ini dinamakan indeks dari H

di

G.

(56)

Misalkan H < G dan

_{|G| berhingga, maka}

|G| = |[G : H]| |H|

Bukti

Misalkan

_{|G| = m, |H| = n dan}

|[G : H]| = k.

Dari hasil sebelumnya

didapat bahwa

_{|Hg| = n, ∀Hg ∈ [G : H],}

maka didapat n + n + n + . . . + n

|

{z

}

k

=

m atau

kn = m. Jadi

_{|[G : H]| |H| = |G|.}

Kesimpulan :

Bila K < H < G, maka

|[G : K]| = |[G : H]| |[H : K]|.

(57)

Contoh-contoh:

1. Diberikan Z dengan operasi biner tambah, H = 2Z

adalah subgrup dari Z. Koset kanan H+a = H bila a

bilangan bulat genap dan H+a 6= H bila a bilangan bulat

ganjil.

2. Diberikan R∗ dengan operasi biner perkalian, subgrup

H = _{{−1, 1} = {x ∈ R}∗ _{| |x| = 1}. Koset dari H dalam R}∗ adalah himpunan Ha = {−a, a|a ∈ R∗}.

3. Diberikan C∗ dengan operasi biner perkalian, subgrup

H = _{{z ∈ C | |z| = 1}. Koset dari H dalam C}∗ adalah

(58)

Home Page Title Page JJ II J I Page58of135 Go Back Full Screen Close Quit Subgrup Normal

Sebagaimana telah dibahas sebelumnya bila H < G maka [G : H] adalah himpunan dari koset-koset kanan yang saling asing, suatu pertanyaan adalah bilamana himpunan [G : H] membentuk suatu grup? Untuk menjawab pertanyaan ini pertama didefinisikan suatu operasi biner. Suatu pilihan

yang wajar adalah HaHb = Hab. Lalu apa syarat dari

sub-grup H supaya persamaan terpenuhi? Untuk menjawab pertanyaan ini, terlebih dahulu diberikan suatu

penger-tian dari P K def= _{{pk | p ∈ P, k ∈ K} dimana P ⊂ G dan}

K _{⊂ G, sehingga didapat:}

HaHb = _{{(ha)(hb) | h ∈ H}}

= _{{h(ah)b) | h ∈ H}, (bila ah = ha, ∀h ∈ H)} = _{{h(ha)b) | h ∈ H}}

= _{{(hh)(ab) | h ∈ H}} = _{{¯hab | ¯h ∈ H}}

= Hab.

Perhatikan bahwa ah = ha,_{∀h ∈ H berarti bahwa aH =}

Ha,_{∀a ∈ G, yaitu koset kiri dan koset kanan dari H di G}

sama, dalam hal ini H dinamakan subgrup normal dari G dinotasikan dengan H / G.

(59)

Home Page Title Page JJ II J I Page59of135 Go Back Full Screen Close Quit Kesimpulan:

Misalkan G suatu grup dan H < G, maka peryataan berikut ekivalen:

1. H / G.

2. Perkalian koset adalah terdifinisi dengan baik (well de-fined).

Bukti

(1 _{⇒ 2) H / G, maka aH = Ha, ∀a ∈ G. Misalkan Ha}₁ = Ha2

dan Hb1 = Hb2, maka Ha1b1 = a1b1H = a1Hb1 = a1Hb2 =

Ha1b2 = Ha2b2.

(2 _{⇒ 1) Misalkan HaHb = Hab, ∀a, b ∈ G dan g sebarang} tetapi tetap di G juga h _{∈ H, maka Hg = Hge = HgHe =} HgHh = Hgh. Sehingga didapat HgHg−1 = HghHg−1 atau Hgg−1 = Hghg−1 atau H = Hghg−1. Jadi untuk setiap g _{∈ G (g tetap) dan setiap h ∈ H, maka ghg}−1 _{∈ H atau} gHg−1 = H. Sehingga didapat gHg−1Hg = HeHg atau gHgg−1 = Hg atau gH = Hg untuk setiap g _{∈ G. Jadi H / G.} Selanjutnya bila H / G, maka himpunan semua koset dari H di G ditulis G/H.

(60)

Grup Faktor (Grup Kuasi)

Misalkan G suatu grup dan H / G, maka

G/H adalah suatu grup dengan operasi

biner HaHb

def

=

Hab,

_{∀Ha, Hb ∈ G/H.}

Dalam hal ini grup G/H dinamakan grup

faktor atau grup kuasi.

1. Sifat

assosiatif

:

Ha(HbHc)

=

Ha(Hbc) = Ha(bc) = H(ab)c = (Hab)Hc =

(

HaHb)Hc.

2. Sifat elemen netral : HHb = HeHb =

Heb = Hbe = HbHe = HbH. Jadi

ele-men netral adalah H.

3. Sifat invers : HaHa

−1

=

Haa

−1

=

He =

H = Ha

−1

a = Ha

−1

Ha. Jadi (Ha)

−1

=

(61)

Home Page Title Page JJ II J I Page61of135 Go Back Full Screen Close Quit Grup Permutasi

Misalkan S = _{{1, 2, . . . n} dan S}n adalah himpunan dari

se-mua fungsi satu-satu pada f : S _{→ S. Maka S}n dengan

operasi komposisi fungsi merupakan suatu grup, grup ini dinamakan suatu grup permutasi Selanjutnya misalkan f (1) = a1, f (2) = a2, . . . , f (n) = an, dimana aj ∈ S dengan

j = 1, 2, . . . , n. Keadaan yang demikian ini dinotasikan oleh: f = 1 2 . . . n a1 a2 . . . an .

Bila f, g, h _{∈ S}n, maka komposisi dari f dan g ditulis f g juga

di Sn, f (gh) = (f g)h, elemen netral di Sn fungsi identitas:

e = 1 2 . . . n 1 2 . . . n

dan bila f _{∈ Sn, maka invers fungsi ini adalah f}−1 diberikan oleh

a1 a2 . . . an

1 2 . . . n

(62)

Home Page Title Page JJ II J I Page62of135 Go Back Full Screen Close Quit Contoh

Misalkan S = _{{1, 2, 3} maka |S}3| = 3! = 6. Elemen-elemen

dari S3 adalah: e = 1 2 3 1 2 3 , a = 1 2 3 1 3 2 , b = 1 2 3 2 1 3 , c = 1 2 3 2 3 1 , d = 1 2 3 3 1 2 , f = 1 2 3 3 2 1 . Sedangkan ab = 1 2 3 1 3 2 1 2 3 2 1 3 = 1 2 3 3 1 2 = d, ba = 1 2 3 2 1 3 1 2 3 1 3 2 = 1 2 3 2 3 1 = c a−1 = 1 2 3 1 3 2 = a, d−1 = 1 2 3 2 3 1 = c. Grup S3 tidak komutatif sebab ab 6= ba.

(63)

Sikel dan Notasi sikel

Misalkan S = _{{1, 2, 3, . . . , n} dan a}i, aj, . . . dst adalah

elemen-elemen di S. Bila f _{∈ S}n dengan sifat f (a1) = a2, f (a2) =

a3, . . . , f (ak−1) = ak, f (ak) = a1 dan f (aj) = aj untuk j 6=

1, 2, 3 . . . , k. Pemutasi semacam f ini dinamakan suatu sikel atau sikel-k dan dinotasikan oleh f = (a1, a2, a3, . . . , ak).

Dalam hal ini k merupakan panjang dari sikel f . Bila

suatu sikel panjangnya satu, maka sikel ini adalah identi-tas (elemen netral). Dua sikel f dan g adalah disjoint bila representasi dari masing-masing sikel tidak ada yang sama dan berlaku f g = gf . Contoh Misalkan S = _{{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} dan} f = 1 2 3 4 5 6 7 8 2 4 6 5 1 7 3 8 , maka f (1) = 2, f (2) = 4, f (4) = 5, f (5) = 1 _{⇒ g = (1, 2, 4, 5) dan} f (3) = 6, f (6) = 7, f (7) = 3 _{⇒ h = (3, 6, 7). Jadi f = gh = hg,} disini terlihat bahwa permutasi f merupakan komposisi dari sikel g dan h yang saling asing.

(64)

Home Page Title Page JJ II J I Page64of135 Go Back Full Screen Close Quit Lanjutan Contoh.. Permutasi σ = 1 2 3 4 5 6 7 6 3 5 1 4 2 7 = (1, 6, 2, 3, 5, 4, ) dan τ = 1 2 3 4 5 6 1 4 2 3 5 6 = (2, 4, 3)

σ adalah sikel dengan panjang 6 sedangkan τ adalah sikel

dengan panjang 3. Tidak semua permutasi merupakan

sikel, misalnya

1 2 3 4 5 6 2 4 1 3 6 5

(65)

Home Page Title Page JJ II J I Page65of135 Go Back Full Screen Close Quit Lanjutan Contoh..

Notasi sikel memudahkan memperoleh komposisi dari sikel-sikel. Diberikan dua sikel σ = (1, 3, 5, 2) dan τ = (2, 5, 6),

maka στ = (1, 3, 5, 6). Bila µ = (1, 6, 3, 4), maka σµ =

(1, 6, 5, 2)(3, 4). Untuk sikel-sikel yang saling asing, maka komposisinya sangat mudah, misalnya dua sikel a = (1, 3, 5) dan b = (2, 7), maka komposisi ab = (1, 3, 5)(2, 7). Masing-masing sikel σ, τ dan µ dapat diungkapkan sebagai

σ 1 _{7→ 3} 3 _{7→ 5} 5 _{7→ 2} 2 _{7→ 1} 4 _{7→ 4} 6 _{7→ 6} , τ 2 _{7→ 5} 5 _{7→ 6} 6 _{7→ 2} 1 _{7→ 1} 3 _{7→ 3} 4 _{7→ 4} dan µ 1 _{7→ 6} 6 _{7→ 3} 3 _{7→ 4} 4 _{7→ 1} 2 _{7→ 2} 5 _{7→ 5}

Untuk sikel-sikel yang saling asing a dan b, juga didapat ab = (1, 3, 5)(2, 7) = (2, 7)(1, 3, 5) = ba. Hal ini berlaku untuk sebarang sikel-sikel yang saling asing sebagaimana ditun-jukkan berikut ini.

(66)

Teorema : Misalkan σ dan τ adalah dua sikel yang saling asing di SX. Maka στ = τ σ.

Bukti

Misalkan σ = (a1, a2, . . . , am) dan τ = (b1, b2, . . . , bn). Harus

ditunjukkan bahwa στ (x) = τ σ(x),_{∀x ∈ X. Bila x tidak di} {a1, a2, . . . , am} atau juga tidak di {b1, b2, . . . , bn}, maka σ(x) =

x dan τ (x) = x. Oleh karena itu

στ (x) = σ(τ (x)) = σ(x) = x = τ (x) = τ (σ(x)) = τ σ(x).

Selanjutnya, misalkan bahwa x _{∈ {a}1, a2, . . . , am}, maka

x = ai untuk suatu i ∈ {1, 2, . . . , m} dan σ(ai) = a(i mod m)+1.

Sehingga didapat στ (x) = στ (ai) = σ(τ (ai)) = σ(ai) =

a(i mod m)+1 = τ (a(i mod m)+1) = τ (σ(ai)) = τ (σ(x)) = τ σ(x).

Dengan cara yang sama bila x _{∈ {b}1, b2, . . . , bn}, didapat

στ (x) = τ σ(x).

Sifat berikut menyatakan bahwa setiap permutasi dapat dinyatakan sebagai hasil dari komposisi sikel-sikel yang saling saling asing.

(67)

Teorema : Setiap permutasi σ _{∈ S}X merupakan hasil dari

komposisi sikel-sikel yang saling asing. Bukti

Misalkan X = _{{1, 2, . . . , n} dan sebarang permutasi σ ∈ S}X.

Difinisikan X1 = {σ(1), σ2(1), . . .}. Himpunan X1 berhingga,

sebab X berhingga. Selanjutnya misalkan i adalah

bi-langan bulat pertama di X dengan i /_{∈ X}1 dan difinisikan

X2 = {σ(i), σ2(i), . . .}. Lagi, himpunan X2 ini berhingga.

Proses ini dilanjutkan sehinga didapat himpunan yang sa-ling asing X3, X4, . . .. Proses ini dijamin akan berhenti

se-bab X berhingga, misalkan proses sampai r. Bila σi adalah

sikel yang didefinisikan oleh

σi(x) = σ(x) x ∈ Xi

x x /_{∈ X}i ,

maka σ = σ1σ2. . . σr. Karena X1, X2, . . . , Xr adalah saling

asing, maka σ1, σ2, . . . , σr adalah sikel-sikel yang saling asing

juga.

(68)

Definisi : Misalkan σ _{∈ S}n, n ≥ 1. Pada S = {1, 2, . . . , n}

didefinisikan suatu relasi biner _∼σ oleh a ∼σ b, bila b = σka

untuk beberapa k _{∈ Z.} Contoh Misalkan S = _{{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} dan} f = 1 2 3 4 5 6 7 8 2 4 6 5 1 7 3 8 ,

maka 1 _∼f 2, 1 ∼f 4, 1 ∼f 5 dan 3 ∼f 6, 3 ∼f 7. Terlihat bahwa

yang berada dalam satu sikel adalah sama terhadap re-lasi _∼f. Ada 3 sikel dalam f yaitu (1, 2, 4, 5), (3, 6, 7) dan

(8). Sikel-sikel ini jelas saling asing sehingga

mempar-tisi himpunan S = _{{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} menjadi tiga bagian} sesuai banyaknya sikel. Hasil ini mengarah bahwa relasi ∼f adalah relasi ekivalen sebagaimana ditunjukkan berikut

(69)

Relasi _∼σ sebagaiman yang telah didefinisikan sebelumnya

adalah relasi ekivalen pada himpunan S. Bukti

Relasi _∼σ adalah refleksif, sebab untuk setiap a ∈ S σ0a = a.

Relasi _∼σ adalah simetri, sebab bila a ∼σ b, a, b ∈ S , maka

b = σka untuk beberapa k _{∈ Z. Sehingga didapat a = σ}−kb atau b _∼σ a. Relasi ∼σ adalah transitif, sebab bila a ∼σ b

dan b _∼σ c dengan a, b, c ∈ S, maka b = σma dan c = σnb untuk

beberapa m, n _{∈ Z. Sehingga didapat c = σ}nσma = σn+ma atau a _∼σ c.

Notasi sikel untuk merepresentasikan suatu permutasi akan memudahkan, selanjutnya permutasi identitas dono-tasikan oleh ( ). Suatu sikel dengan panjang dua dina-makan transposisi.

(70)

Contoh Sikel (2, 3, 4, 6, 8) dapat ditulis sebagai hasil

komposisi transposisi sebagai berikut (2, 3, 4, 6, 8) =

(2, 8)(2, 6)(2, 4)(2, 3). Penulisan komposisi transposisi ini tidak tunggal. Komposisi yang lain adalah (2, 3, 4, 6, 8) = (2, 3)(3, 4)(4, 6)(6, 8). Begitu juga permutasi berikut ini (1, 6)(2, 5, 3) = (1, 6)(2, 3)(2, 5) = (1, 6)(4, 5)(2, 3)(4, 5)(2, 5). Dari beberapa hasil ini terlihat tidak ada cara merepresen-tasikan permutasi sebagai hasil komposisi transposisi

se-cara tunggal. Misalnya, permutasi identitas dapat

di-tuliskan sebagai (1, 2)(1, 2), (1, 3)(2, 4)(1, 3)(2, 4) dan

bebera-pa cara yang lainnya. Bagaimanapun hal ini,

mem-berikan suatu hasil bahwa tidak ada permutasi dapat di-tulis sebagai hasil komposisi transposisi yang banyaknya

genap dan sekaligus juga ganjil. Misalnya, berbagai

penyajian dari permutasi (1, 6) adalah (2, 3)(1, 6)(2, 3) atau (3, 5)(1, 6)(1, 3)(1, 6)(1, 3)(3, 5)(5, 6), tetapi hal ini memperli-hatkan bahwa permutasi (1, 6) selalu akan merupakan hasil komposisi transposisi yang banyaknya ganjil.

(71)

Lemma Setiap permutasi merupakan hasil komposisi dari transposisi

Bukti

Hali, ini cukup dibuktikan sebagai berikut : (a1, a2, . . . , as) = (a1, as)(a1, as₋₁). . . (a1, a2)

Diberikan permutasi σ _{∈ S}n. Didefisikan tanda dari σ

dino-tasikan oleh sgn(σ) adalah bilangan sgn(σ) = Y

i<j

σ(i) _{− σ(j)} i_{− j}

Contoh Permutasi identitas ( ) dari Sn, maka sgn( ) = 1,

sebab 1 = Q

i<j i−j

i−j. Sedangkan permutasi σ = (1, 2), maka

sgn(σ) = _{−1, sebab 1 =} Q i<j i−j i_−j untuk i, j > 2 dan −1 = σ(1)−σ(2) 1₋₂ = 2₋₁ 1₋₂.

(72)

Teorema Misalkan σ, τ _{∈ S}n, maka sgn(στ ) = sgn(σ)sgn(τ )

Bukti sgn(στ ) = Y i<j στ (i) _{− στ(j)} i_{− j} = Y i<j σ(τ (i)) _{− σ(τ(j))} τ (i)_{− τ(j)} Y i<j τ (i)_{− τ(j)} i_{− j} = Y i<j σ(τ (i)) _{− σ(τ(j))} τ (i)_{− τ(j)} sgn(τ )

Perhatikan bahwa, untuk 1 _{≤ k < l ≤ n berlaku} σ(k)_k−σ(l)_−l =

σ(l)_−σ(k)

l−k . Karena σ, τ adalah permutasi, maka ada b 6= a

de-ngan τ (i) = a, τ (j) = b. Sehingga didapat στ (i) = σ(a), στ (j) = σ(b). Jadi στ (i)_{τ (i)}−στ(j)_−τ(j) = σ(a)_a−σ(b)_−b dan Q