Soal 1: Soal 1:
Seorang tukang kayu dan seorang tukang cat bekerja bersama-sama untuk Seorang tukang kayu dan seorang tukang cat bekerja bersama-sama untuk menghasilkan 2 jenis perabotan rumah. Tukang kayu dan tukang cat masing-masing menghasilkan 2 jenis perabotan rumah. Tukang kayu dan tukang cat masing-masing membutuhkan waktu 3 jam dan
membutuhkan waktu 3 jam dan 1 jam untuk membuat sebuah perabotan A, serta 1 jam dan 1 jam untuk membuat sebuah perabotan A, serta 1 jam dan 22 jam
jam untuk untuk membuat membuat sebuah sebuah perabootan perabootan B. B. Tukang Tukang kayu kayu bekerja bekerja 12 12 jam jam sehari sehari sedangkansedangkan tukang cat bekerja selama 14 jam sehari. Jika keuntungan bagi perabotan A dan B ialah tukang cat bekerja selama 14 jam sehari. Jika keuntungan bagi perabotan A dan B ialah masing-masing Rp 300.000,00 dan Rp 200.000,00. Berapakah banyaknya tiap jenis perabot masing-masing Rp 300.000,00 dan Rp 200.000,00. Berapakah banyaknya tiap jenis perabot itu harus dibuat oleh mereka setiap hari untuk mendapatkan keuntungan maksimum? Berapa itu harus dibuat oleh mereka setiap hari untuk mendapatkan keuntungan maksimum? Berapa keuntungan maksimumnya?
keuntungan maksimumnya? Penyelesaian:
Penyelesaian:
Misal: Z= keuntungan dari penjualan pembuatan perabot A dan B Misal: Z= keuntungan dari penjualan pembuatan perabot A dan B
= banyaknya perabot A yang dibuat tukang kayu dan tukang cat = banyaknya perabot A yang dibuat tukang kayu dan tukang cat
= banyaknya perabot B yang dibuat = banyaknya perabot B yang dibuat tukang kayu dan tukang cattukang kayu dan tukang cat
Max: Max: h.m: h.m: a.
a. Menggambar grafik dari persamaanMenggambar grafik dari persamaan dan dan pada pada bidangbidang kartesius.
kartesius. b.
b. Mengarsir daerah yang tidak memenuhiMengarsir daerah yang tidak memenuhi dan dan
Menentukan koordinat titik B dengan cara mengeliminasi persamaan
Menentukan koordinat titik B dengan cara mengeliminasi persamaan dengan
dengan sehingga diperoleh sehingga diperoleh x 2x 2 x 1x 1 --
Mensubtitusi kedalam sehingga diperoleh . Jadi B(2,6).
c. Menentukan DPF yaitu OABC dengan O(0,0), A( 4,0), B(2,6), dan C(0,7) d. Menentukan PO Titik Keterangan O 0 0 0 A 4 0 1.200.000 B 2 6 1.800.000 max C 0 7 1.400.000
Jadi pada titik B(2,6).
e. Jadi banyaknya perabot yang dibuat oleh mereka setiap hari untuk mendapat keuntungan maksimum adalah 2 perabot A dan 6 perabot B. Keuntungan maksimumnya adalah Rp 1.800.000,00.
Soal 2:
Sebuah Feri penyeberangan yang mempunyai ruang arkir seluas 150 m2 dan kapasitas muatan maksimal 21 ton hanya bisa mengangkut mobil sedan dan truk. Biaya angkut untuk sedan dan truk masing-masing Rp 40.000,00 dan Rp 90.000,00. Jika sebuuah sedan beratnya 1 ton dan memerlukan ruang seluas 10 m2, sedangkan truk bertanya 3 ton dan memerlukan ruang seluas 15 m2. Berapakah banyaknya mobil sedan dan truk yang dapat dibawa untuk sekali penyeberangan agar biaya maksimum? Berapa besar biaya maksimum itu?
Penyelesaian:
Misal: Z= keuntungan dari banyaknya mobil sedan dan truk yang diangkut untuk sekali penyeberangan.
= banyaknya mobil sedan yang diangkut = banyaknya truk yang diangkut
Max: h.m:
a. Menggambar grafik dari persamaan dan pada bidang kartesius.
b. Mengarsir daerah yang tidak memenuhi
Menentukan koordinat titik B dengan cara mengeliminasi persamaan dengan sehingga diperoleh
x 1 x 1
-
Mensubtitusi ke dalam sehingga diperoleh . Jadi B(9,4).
c. Menentukan DPF yaitu OABC dengan O(0,0), A( 10,0), B(9,4), dan C(0,7) d. Menentukan PO Titik Keterangan O 0 0 0 A 15 0 600.000 B 9 4 720.000 max C 0 7 630.000
Jadi pada titik B(9,4).
e. Jadi banyaknya mobil sedan dan trk yang dapat dibawa untuk sekali angkut penyeberangan agar biaya maksimum adalah 9 mobil sedan dan 4 truk. Jadi besarnya biaya maksimumnya adalah Rp 720.000,00.
Soal 3:
Nilai minimum bentuk pada daerah penyelesaian pertidaksamaan: adalah ... Penyelesaian: Min: h.m:
a. Menggambar grafik dari persamaan dan pada bidang kartesius. b. Mengarsir daerah yang tidak memenuhi
Menentukan koordinat titik B dengan cara mengeliminasi persamaan dengan sehingga diperoleh
x 1
x 1
-
Mensubtitusi ke dalam sehingga diperoleh . Jadi B(1,2).
c. Menentukan DPF yaitu ABC dengan A( 3,0), B(1,2), dan C(0,4) d. Menentukan PO
Titik Keterangan
A 3 0 9
B 1 2 5
C 0 4 4 Min
Jadi pada titik C(0,4).
Soal 4:
Nilai max dan min untuk dari sistem pertidaksamaan: berturut-turut adalah .... Penyelesaian: Max/Min: h.m:
a. Menggambar grafik dari persamaan dan pada bidang kartesius.
b. Mengarsir daerah yang tidak memenuhi
Menentukan koordinat titik B dengan cara mengeliminasi persamaan dengan sehingga diperoleh
x 1
x 1 -
Mensubtitusi kedalam sehingga diperoleh . Jadi B(4,4).
c. Menentukan DPF yaitu ABC dengan A( 0,8), B(4,4), dan C(0,12) d. Menentukan PO
Titik Keterangan
A 0 8 -16
B 4 4 -4 Max
C 0 12 -24 Min
Jadi pada titik C(0,12). Jadi pada titik B(4,4).
Soal 5:
Nilai max dari fungsi pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan: adalah ....
Penyelesaian:
Max: h.m:
a. Menggambar grafik dari persamaan dan pada bidang kartesius.
b. Mengarsir daerah yang tidak memenuhi
Menentukan koordinat titik B dengan cara mengeliminasi persamaan dengan sehingga diperoleh
x 4 x 1
-
Mensubtitusi ke dalam sehingga diperoleh . Jadi B(16,18).
c. Menentukan DPF yaitu OABC dengan O(0,0), A(25,0), B(16,18), dan C(0,30). d. Menentukan PO Titik Keterangan O 0 0 0 A 25 0 125.000 B 16 18 188.000 max C 0 30 180.000
Jadi pada titik B(16,18).
Soal 6:
Tentukan nilai optimum (max dan min) dari fungsi tujuan dalam model-model matematika berikut ini: fungsi tujuan dengan kendala sistem pertidaksamaan linear dua variabel !
Penyelesaian:
Max/Min: h.m: 5
a. Menggambar grafik dari persamaan dan pada bidang kartesius.
b. Mengarsir daerah yang tidak memenuhi
Menentukan koordinat titik B dengan cara mengeliminasi persamaan dengan sehingga diperoleh
x 1 x 1
-
Mensubtitusi kedalam sehingga diperoleh .
Jadi B(5,
).
c. Menentukan DPF yaitu ABC dengan O(0,0), A( 6,0), B(5,
), dan C(0,5) d. Menentukan PO Titik Keterangan O 0 0 0 Min A 6 0 18 B 5 20 Max C 0 5 10
Jadi pada titik O(0,0). Jadi pada titik B(5,
).
Question 7:
Minimise and Maximise Z = x + 2y subject to x + 2y ≥ 100,
2x − y ≤ 0, 2x + y ≤ 200, x ≥ 0, and y ≥ 0 Answer:
a. The feasible region determined by the constraints, x + 2 y ≥ 100, 2x − y ≤ 0, 2x + y ≤ 200, x ≥ 0, and y ≥ 0, is as follows.
b. The corner points of the feasible region are A(0, 50), B(20, 40), C(50, 100), and D(0,200). The values of Z at these corner points are as follows.
Corner Point z = x + 2y
A (0,50) 300 → Minimum
B (20,40) 600 → Minimum
C (50,100) 600
D (0,200) 400 → Maximum
c. The maximum value of Z is 400 at (0, 200) and the minimum value of Z is 100 at all the points on the line segment joining the points (0, 50) and (20, 40).
Soal 8:
Nilai minimum bentuk yang memenuhi sistem pertidaksamaan: sama dengan .... Penyelesaian: Min: h.m:
a. Menggambar grafik dri persamaan pada bidang kartesius.
b. Mengarsir daerah yang tidak memenuhi
Menentukan koordinat titik A dengan cara mengeliminasi persamaan 4 dengan sehingga diperoleh
x 1 x 1 - Mensubtitusi
kedalam sehingga diperoleh . Jadi A( , ).
c. Menentukan DPF yaitu ABC dengan A(
, ), B(10,0), C(20,0), dan D(0,20) d. Menentukan PO Titik Keterangan DPF
A 50 B 10 0 30 min C 20 0 60 D 0 20 120
Jadi pada titik B(10,0).
Soal 9:
Nilai maksimum fungsi dalam kendala sama dengan . . . . Penyelesaian: Max: h.m:
a. Menggambar grafik dari persamaan pada bidang kartesius.
b. Mengarsir daerah yang tidak memenuhi
Menentukan koordinat titik B dengan cara mengeliminasi persamaan 2 dengan 4 sehingga diperoleh
x 2 x 1 - Mensubtitusi
kedalam 2 sehingga diperoleh
.
Jadi B(
,
).
c. Menentukan DPF yaitu OABC dengan O(0,0), A(15,0), B(
, ), dan C(0,12). d. Menentukan PO Titik Keterangan O 0 0 0 A 15 0 120 Max B 120 Max C 0 12 72
Jadi nilai maksimum dicapai pada titik ( ) dengan
.
Question 10:
One kind of cake requires 200g flour and 25g of fat, and another kind of cake requires 100g of flour and 50g of fat. Find the maximum number of cakes which can be made from 5 kg of flour and 1 kg of fat assuming that there is no shortage of the other ingredients used in making the cakes?
Answer
Let there be x cakes of first kind and y cakes of second kind. Therefore, x ≥ 0 and y ≥ 0
The given information can be complied in a table as follows.
Flour (g) Fat (g) Cakes of first kind (x) 200 25 Cakes of second kind (y) 100 50 Availability 5000 1000
200x + 100y ≤ 5000 2x + y ≤ 50 25x + 50y ≤ 1000 x + 2y ≤ 40
Total numbers of cakes, Z, that can be made are, Z = x + y The mathematical formulation of the given problem is Maximize Z = x + y … (1)
subject to the constraints,
2x + y ≤ 50………..(2) x + 2y ≤ 40………..(3) x, y ≥ 0………(4)
The corner points are A (25, 0), B (20, 10), O (0, 0), and C (0, 20). The values of Z at these corner points are as follows.
Corner Point z = x + y
A (25,0) 25
B (20,10) 30 → Maximum
C (0,20) 20
D (0,0) 0
Thus, the maximum numbers of cakes that can be made are 30 (20 of one kind and 10 of the other kind).
Soal diambil dari buku:
Wirodikromo, Sartono. 2002. Matematika untuk SMA Program IPA Jilid 5 Kelas XII Semester 1. Erlangga: Jakarta.
Noormandiri ,BK. 2007. Matematika Jilid 3A untuk SMA Kelas XII Program Ilmu Alam. Erlangga: Jakarta.
Arjan, Vidhy. 2012. NCERT Mathematics Class 12 English Text Book . Online. http://ncertbooks.prashanthellina.com/class_12.Mathematics.MathematicsPartI/inde x.html [diakses Senin, 29 April 2013 pukul 11.50]
TUGAS PROGRAM LINEAR
Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Program Linear Dosen Pengampu Hardi Suyitno
Oleh:
Muhammad Ardian Syah(4101410058) Pendidikan Matematika
Rombel 2
