METODE CHEBYSHEV-HALLEY BEBAS TURUNAN KEDUA. FakultasMatematikadanIlmuPengetahuanAlamUniversitas Riau KampusBinawidyaPekanbaru, 28293, Indonesia

(1)

1

METODE CHEBYSHEV-HALLEY BEBAS TURUNAN KEDUA

V. Sitompul1*, Syamsudhuha2, T.P Nababan2

1 Mahasiswa JurusanMatematika 2 Dosen JurusanMatematika FakultasMatematikadanIlmuPengetahuanAlamUniversitas Riau KampusBinawidyaPekanbaru, 28293, Indonesia *veronika@yahoo.co.id ABSTRACT

This paper discusses the Chebyshev-Halley method and the Chebyshev-Halley method free from second derivative for finding a root of a nonlinear equation. Both methods have cubic order of convergence. It is shown that through numerical examples that the Chebyshev-Halley methods free from second derivative is more efficient than the Chebyshev-Halley method.

Keywords: Chebyshev method, Halley method, iterative method, order of convergence, nonlinear equation

ABSTRAK

Artikel ini membahas tentang metode Chebyshev-Halley dan metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua yang merupakan modifikasi dari metode Chebyshev dan metode Halley untuk menemukan akar hampiran dari suatu persamaan nonlinear. Kedua metode tersebut memiliki orde kekonvergenan kubik. Melalui contoh numeric diperlihatkan bahwa metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua lebih efisien dibandingkan dengan metode Chebyshev-Halley.

Kata Kunci: metode Chebyshev, metode Halley, metode iterasi, orde konvergensi, persamaan nonlinear.

1. PENDAHULUAN

Salah satu masalah matematika yang sering dijumpai adalah bagaimana menyelesaikan suatu persamaan nonlinear f(x)0._{Akar-akar dari persamaan nonlinear dapat} dihitung dengan metode analitik dan metode numerik, akan tetapi dengan keterbatasan metode analitik untuk menemukan akar maka dilakukan penyelesaian dengan menggunakan metode numerik yaitu metode iterasi.

Metode Chebyshev [3] adalah salah satu metode untuk menyelesaikan akar dari suatu persamaan nonlinear f(x)0 dengan f _{kontinu, dan mempunyai turunan} pertama dan turunan kedua di xn . Metode Chebyshev diperoleh dengan melakukan

(2)

2

ekspansi pada f(x)dengan menggunakan teorema Taylor [1,hal.184] disekitarxxn

sampai turunan kedua sehingga diperoleh

. ) ( ' ) ( ) ( ' ) ( ) ( " 2 1 1 ₂ 1 n n n n n n n x f x f x f x f x f x x _          (1)

Metode Halley [3] diperoleh dengan teknik yang sama tetapi dengan manipulasi aljabar berbeda dengan bentuk iterasi

. ) ( ' ) ( ) ( ' 2 ) ( ' ) ( 2 2 1 n n n n n n n x f x f x f x f x f x x     (2)

Sebagaimana metode Chebyshev dan Halley, metode Chebyshev-Halley [2] yang memiliki orde konvergensi kubik, dan masih memiliki turunan kedua pada formulasi iterasinya, yang bentuk iterasinya diberikan oleh:

, ) ( ' ) ( ) ( 1 ) ( 2 1 1 1 n n n f n f n n x f x f x L x L x x _                    _ (3) dengan

 

. ) ( ' ) ( ) ( '' 2 n n n n f x f x f x f x L  (4)

Pada artikel ini dibahas metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua dimana hanya perlu dicari turunan pertama dari fungsinya, yang didasarkan kepada tulisan Chungbum Chun yang berjudul “ Some Variants of Chebyshev-Halley Methods free from second derivative.’’

2. METODE CHEBYSHEV-HALLEY BEBAS TURUNAN KEDUA

Untuk mendapatkan metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua hal yang pertama dilakukan adalah menentukan taksiran turunan kedua dari fungsi f(x_n). Hal ini dilakukan dengan menaksir

d cx bx ax x g x f( ) ( ) 3 2   ₍₅₎ yang memenuhi ), ( ) ( ), ( ) ( ' ' ' ' n n n n g x f y g y x f   (6) dan ), ( ' ' ) ( ' ' ), ( ' ' ) ( ' ' x_n g x_n f y_n g y_n f   (7) denganx_nadalahiterasikendan

. ) ( ) ( ' n n n n x f x f x y   (8)

(3)

3 , 2 3 ) ( ' ) ( ' x g x ax2 bx c f _n  _n  _n  _n  (9) dan . 2 3 ) ( ' ) ( ' y g y ay2 by c f n  n  n  n  (10)

Kemudian dari persamaan (10) kepersamaan (9) diperoleh nilai b

). ( 2 3 ) ( 2 ) ( ' ) ( ' n n n n n n a _y _x x y x f y f b      (11) Dari persamaan (7)diperoleh

b ax x g x f''( _n) ''( _n)6 _n 2 (12) Selanjutnya subtitusi persamaan (11) kepersamaan (12) setelah penyederhanaan diperoleh ). ( 3 ) ( ' ) ( ' ) ( '' ) ( '' _n _n n n n n n n a y x x y x f y f x g x f       (13)

Kemudian persamaan (13) disubstitusikan kepersamaan (2), sehingga di peroleh

) ( ) ( 3 ) ( ) ( 1 ) ( _'₃ 2 ' ' n n n n n f x f x f a x f y f x L    , (14) Jika memsubstitusikan persamaan (14) kepersamaan (1) akan diperoleh

, ) ( ' ) ( ) ( 3 ) ( ' ) ( ' ) ( ' 1 ) ( 3 ) ( ' ) ( ' ) ( ' 2 1 1 2 2 3 2 2 3 1 n n n n n n n n n n n n x f x f x f a y f x f x f x af y f x f x f x x _               _ _ _ (15)

Dari persamaan (15) ganti nilai3a, maka diperoleh

. ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) ( ' ) ( ' 1 ) ( ) ( ' ) ( ' ) ( ' 2 1 1 2 2 3 2 2 3 1 n n n n n n n n n n n n x f x f x f y f x f x f x f y f x f x f x x _               _ _ _  (16)

Teorema [2] : MisalkanI akar sederhana dari fungsi yang mempunyai turunan secukupnya, untuk interval terbukaI. Jikax₀cukup dekat ke , maka turunan pada persamaan (16) mempunyai orde konvergensi kubik.

). ( ) ( ' 2 1 ) 1 ( 2 2 1 2 3 4 2 3 1 n n n e O e f c c e _            _  

Bukti: Dengan menggunakan ekspansikan Taylor [1,h.189] untuk mengaproksimasikan )

(x_n

f disekitarx_n dan karena f()0maka diperoleh



( )



. ) ( ' ) (x_n f e_n c₂e_n2 c₃e_n3 Oe_n4 f      (17) dengan ) ( ' ) ( ! 1   f f k c k

k  . Jika untuk nilai f'(xn) kembali dilakukan ekspansi Taylor

disekitarx0  diperoleh )). ( 3 2 1 )( ( ' ) ( ' xn f c2en c3en2 O en3 f      (18)

(4)

4

Selanjutnya persamaan (17) dibagi dengan persamaan (18) sehingga diperoleh

). ( ) ( 2 ) ( ' ) ( 3 4 3 2 2 2 2 n n n n n n e O e c c e c e x f x f      (19)

Untuk mendapat f'2(xn)Persamaan (18) dikuadratkan maka diperoleh





1 4 (4 6 ) ( ) ) ( ' ) ( ' 2 2 3 2 3 2 2 n n n n f c e c c e O e x f       (20) Langkah berikutnya untuk memperoleh f'3(x_n), kalikan persamaan (20) dengan persamaan (18) )]. ( ) 9 12 ( 6 1 )[ ( ' ) ( ' 3 2 3 2 2 2 3 3 n n n n f c e c c e O e x f       (21) Gunakan ekspansi Taylor [1] untuk mengaproksimasikan f(y_n)disekitar y_n  diperoleh



1 2 ( )



. ) ( ' ) ( ' y_n f c2₂e_n2 O e3_n f     . (22) Kemudian kalikan persamaan (22) dengan persamaan (20) diperoleh

). ( ) 6 6 ( 4 1 )[ ( ' ) ( ' ) ( ' y_n f 2 x_n f 3 c₂e_n c₂2 c₃ e_n2 O e3_n f        (23)

Jika persamaan (21) di kurang dengan persamaan (23) maka diperoleh

]. ) 3 6 ( 2 )[ ( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' 3 2 2 2 2 3 2 3 n n n n n f y f x f c e c c x f      (24)

Dengan cara yang sama untuk mendapat f2(xn), kuadratkan persamaan (17) maka diperoleh )], ( )[ ( ' ) ( 2 2 3 2 n n n f e O e x f    (25) persamaan (25) jika dikali dengan _{maka diperoleh}

)]. ( ) [( ' ) ( 2 2 3 2 n n n f e O e x f     (26) Jika persamaan (24) ditambah dengan persamaan (26) maka diperoleh

) ( ) ( ' ) ( ' ) ( '3 x_n f y_n f 2 x_n f2 x_n f   )] ( ) [( ' ] ) 3 6 ( 2 )[ ( '3 c₂e_n c₂2 c₃ e_n2 f 2 e_n2 O e_n3 f         (27)

(5)

5

Dari persamaan (21) jika dikali dengan(1)maka diperoleh

)] ( ) 9 12 ( 6 1 )[ ( ' ) 1 ( ) ( ' ) 1 (  f 3 x_n   f 3   c₂e_n c₂2 c₃ e_n2Oe_n3 . (28) Selanjutnya persamaan (23) jika dikali_{maka diperoleh}

)], ( ) 6 6 ( 4 1 )[ ( ' ) ( ' ) ( ' 3 2 3 2 2 2 3 2 n n n n n f x f c e c c e O e y f          (29)

persamaan (28) ditambah dengan persamaan (29) maka diperoleh

). ( ) ( ' ) 2 6 ( ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) 1 ( 2 2 3 3 2 3 n n n n n f y f x f f c e Oe x f           (30)

Dari persamaan (26) jika dikali dengan maka diperoleh ) ( ) ( ' ) ( 2 2 2 2 n n n f e O e x f      (31)

Jika persamaan (30) dikurang dengan persamaan (31) maka diperoleh

) ( ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) 1 (  f 3 x_n f y_n f 2 x_n f 2 x_n ), ( ) ( ' ) 2 6 ( ) ( '3 f 3 c₂e_n O e_n2 f        (32)

selanjutnya persamaan (32) dibagi dengan f'2()_{maka diperoleh} ) ( ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) 1 (  f 3 xn f yn f 2 xn f2 xn )]. ( ) 2 6 ( 1 )[ ( ' c2en O en2 f       (33) Dari persamaan (27) dibagi persamaan (33) maka diperoleh

) ( ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) 1 ( ) ( ) ( ' ) ( ' ) ( ' 2 2 3 2 2 3 n n n n n n n n x f x f y f x f x f x f y f x f          ). ( ) ( ' 4 ) 3 6 ( 2 ₂ _n ₂2 ₃ _n2 ₂ _n2 e_n2 Oe_n3 f e c e c c e c          (34)

Jika persamaan (34) dikali 2 1 maka diperoleh ) ( ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) 1 ( ) ( ) ( ' ) ( ' ) ( ' 2 1 2 2 3 2 2 3 n n n n n n n n x f x f y f x f x f x f y f x f          ). ( ) ( ' 2 1 2 ) 2 3 3 ( 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 n n n n en O en f e c e c e c e c          (35)

Berikutnya persamaan (35) ditambah 1 maka diperoleh

) ( ) ( ) ( ' ) ( ' ) 1 ( ) ( ) ( ' ) ( ' ) ( ' 2 1 1 2 2 ' 3 2 2 3 n n n n n n n n x f x f y f x f x f x f y f x f          

(6)

6 ). ( ) ( ' 2 1 2 ) 2 3 3 ( 1 ₂ _n ₂2 _n2 ₃ _n2 ₂ _n2 e_n2 O e3_n f e c e c e c e c           (36)

Selanjutnya persmaan (36) dikali dengan persamaan (19) maka diperoleh

) ( ' ) ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( ' ) 1 ( ) ( ) ( ' ) ( ' ) ( ' 2 1 1 2 2 ' 3 2 2 3 n n n n n n n n n n x f x f x f x f y f x f x f x f y f x f                 ). ( ) ( ' 2 1 2 3 2 1 2 2 3 3 4 3 2 2 3 3 3 2 2 n n n n n n n e O e f e c e c e c e c e           (37)

Persamaan (37) disubstitusikan kepersamaan (16) maka diperoleh

)] ( ) ) ( ' 2 1 2 3 2 1 2 ( [ ₂2 ₃ ₂2 ₂ 3 4 1 n n n n n e O e f c c c c e x x _            (38)

karenaxn1 en1maka persamaan (38)

). ( ) ( ' 2 1 ) 1 ( 2 2 1 2 3 4 2 3 1 n n n e O e f c c e _            _   (39)

Persamaan (39) merupakan metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua yang konvergen secara kubik.

3. PERBANDINGAN NUMERIK

Pada bagian ini akan dibahas contoh numerik yang bertujuan untuk membandingkan metode Chebyshev, metode Halley, metode Halley dan metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua dalam menemukan akar dari persamaan nonlinear. Dalam melakukan perbandingan ini, persamaan nonlinear yang digunakan adalah:

1. f₁(x)x3 4x2 10 2. f₂(x)sin2xx21 3. f₃(x) x2 ex 3x2

Tabel 1: Perbadingan iterasi dari Metode MC dan MCHB dengan 0 , 0 ) (xn f x0 Metode n NFE xn f(xn) xnxn1 1 f 4 .0 MC 5 15 1.3652300134140968 1.62e-37 2.86e-13 MCHB 5 15 5.22e-33 8.52e-12 2 f 3.0 MC 5 15 1.4044916482153412 8.97e-48 1.47e-16 MCHB 4 12 6.58e-31 5.93e-11 3 f 0.8 MC 3 9 0.2575302854398608 2.37e-22 1.17e-07 MCHB 3 9 4.35e-25 1.36e-08

(7)

7

Tabel2 : Perbadingan iterasi dari Metode MC, MH, MCH, dan MCH 14 , 0.

) (xn f x0 Metode n NFE xn f(xn) xn xn1 1 f 4.0 MC 5 15 1.3652300134140968 1.26e-44 1.37e-15 MH 5 15 3.03e-19 1.93-10 MCH 5 15 6.56e-31 4.56e-11 MCHB 5 15 4.59e-48 1.16e-16 2 f 3.0 MC 5 15 1.4044916482153412 8.97e-48 1.47e-16 MH 4 12 4.11e-19 6.80e-07 MCH 4 12 2.28e-17 4.99e-09 MCHB 4 12 6.88e-17 3.09e-06 3 f 0.8 MC 3 9 0.2575302854398608 2.37e-22 1.17e-07 MH 3 9 6.09e-22 1.33e-07 MCH 3 9 3.88e-22 1.33e-07 MCHB 5 15 3.71e-26 1.62e-13

Dari Tabel 1 terlihat bahwa tidak ada perbedaan yang segnifikan antara metode Chebyshev (MC) dan metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua (MCHB) dimana jumlah iterasi dan NFE sama. Hal yang sama terlihat pada Tabel 2 dimana jumlah iterasi dan NFE yang tidak berbeda.

Secara keseluruhan untuk semua fungsi setelah melakukan perbandingan antara metode yang masih memuat turunan kedua dengan metode modifikasi tanpa turunan kedua terlihat bahwa cara kerjanya lebih efisiena dalah metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua (MCHB).

DAFTAR PUSTAKA

[1]. Bartle, R.G & D.R. Sherbert.2000. Introduction to Real Analysis, Second Edition.

John Wiley and Sons, New York.

[2]. C, Changbun. Some Variants Of Chebyshev-Halley methods free from second derivative. Applied Mathematics and Computation,191 (2007) 193-198.

[3]. Wu, X. & Wu, H. 2000. On a Class of Quadratic Convergence Iteration FormulWithout Derivative. Applied Mathematics and computation,107: 77-80.