Transformasi Fourier Sinyal Waktu Kontinyu. oleh: : Tri Budi Santoso DSP Group, EEPIS-ITS

Sinyal dan Sistem

Transformasi Fourier Sinyal Waktu Kontinyu

oleh: Tri Budi Santoso

DSP Group, EEPIS-ITS

Sinyal

Sinyal

dan

_dan

Sistem

_Sistem

Transformasi

Transformasi

Fourier

Fourier

Sinyal

Sinyal

Waktu

Waktu

Kontinyu

Kontinyu

oleh

oleh

: Tri Budi Santoso

: Tri Budi Santoso

DSP Group, EEPIS

DSP Group, EEPIS

-

-

ITS

ITS

Tujuan:

- Siswa mampu menyelesaikan bentuk representasi

alternatif pada sinyal dan sistem waktu kontinyu.

Sub Bab:

4.1. Representasi Sinyal-Sinyal dalam Terminology

Komponen Frekuensi

4.2. Representasi Deret Fourier pada Sinyal Periodik

4.3. Trigonometri Deret Fourier

4.3. Fenomena Gibbs

4.5. Transformasi Fourier

4.6. Spektrum amplitudo dan fase sinyal persegi secara umum

4.7. Bentuk Rectangular Transformasi Fourier

4.8. Sinyal-sinyal dengan Simetri Genap dan Simetri Ganjil

4.9. Sifat-Sifat Transformasi Fourier

4.10. Studi Kasus Sistem Modulasi Amplitudo DSB FC

4.11. Studi Kasus Sistem Modulasi Amplitudo DSB SC

4.1. Representasi Sinyal-Sinyal

dalam Terminology Komponen Frekuensi

Sebuah sinyal waktu kontinyu dimana:

N = bilangan integer positif A_n = amplitudo sinyal sinusoida

ω_n = frekuensi sudut (dalam radiant/detik) θ_n = fase sinyal sinusoida

(

)

∑

= ∞ < < −∞ + = N n n n n t t A t x 1 cos ) (

ω

θ

Contoh 1:

Berikan gambaran sebuah sinyal sinusoida yang tersusun dari persamaan berikut ini:

x(t) = A₁ cos t + A₂ cos (4t + π/3) + A₃ cos (8t + π/2) 0 < t < 20 Dari kasus ini gambarkan frekuensi penyusun dari sinyal tersebut.

Penyelesaian:

Dari persamaan tersebut di atas kita dapat melihat bahwa tiga parameter sinyal yang utama adalah: - Amplitudo adalah A₁, A₂dan A₃.

- Frekuensi adalah 1, 4, dan 8 radiant. - Fase adalah 0, π/3 dan π/2.

Dengan mencoba nilai-nilai amplitudo seperti berikut ini akan kita dapatkan bentuk sinyal yang berfariasi.

a) A₁= 0,5 A₂= 1 A₃= 0

b) A₁= 1 A₂= 0,5 A₃= 0

Gambar.4.1 Gambaran nilai x(t) untuk berbagai nilai amplitudo berbeda

Gambar 4.2. Spektral amplitudo sinyal penyusun x(t)

Bentuk Eksponensial Komplek

(

)

[

( ) ( )

]

t j j n t j j n j j n n n n n n n n n n n n

e

e

A

e

e

A

e

e

A

t

A

) (

2

2

2

cos

ω θ ω θ θ ω θ ω

θ

ω

− − + − +

+

=

+

=

+

Definisi:

₁

_,

₂

_,

_...

2

=

=

A

e

n

c

_n n jθ

1

,

2

,

...

2

=

=

− −

e

n

A

c

_n n jθ

(

)

j

t

n

t

j

n

n

n

n

t

c

e

n

c

e

n

A

cos

ω

+

θ

=

ω

+

₋

(

−

ω

)

[

]

∑

∑

∑

= − − = = − −

+

=

+

=

N n t j n N n t j n N n t j n t j n n n n n

e

c

e

c

t

x

e

c

e

c

t

x

1 ) ( 1 1 ) (

)

(

)

(

ω ω ω ω

∑

∑

∑

− = − − = =

=

+

=

N N n t j n N n t j n N n t j n n n n

e

c

t

x

e

c

e

c

t

x

ω

ω

ω

)

(

)

(

1 ) ( 1

4.2. Representasi Deret Fourier pada Sinyal Periodik

Sinyal waktu kontinyu x(t) dengan periode T

x(t + T) = x(t) untuk semua nilai t

-2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 -0,5 -1,0 -1,5 -2,0 -2,5 x(t)

1

. . . . . .

Gambar 4.3 Sinyal persegi periodik dengan T = 2

Bentuk jumlahan eksponensial komplek:

∑

∞

−∞

=

=

n

t

jn

n

e

o

c

t

x

(

)

ω

∫

−

±

±

=

−

=

/2 2 /

2

,

1

,

0

)

(

1

T T t jn n

x

t

e

dt

n

T

c

ωo

Contoh 2:

Dari sinyal persegi periodik pada Gambar 4.3, coba anda cari nilai c_n.

Penyelesaian:

Sinyal ini merupakan periodik dengan periode T =2, dan frekuensi fundamentalnya adalah ω_o = 2π/2 = π radian/detik. Sinyal ini memenuhi kondisi Derichlet, sehingga dapat diberikan representasi Fourier.

Konstanta dapat dicari:

∫

∫

− −

=

=

=

1 1 1 1

2

1

)

1

(

2

1

)

(

2

1

dt

dt

t

x

c

_o ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ± ± = ± ± = = ± ± = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_{− −} − = − = = = = − = − − − − −

∫

∫

,... 3 , 1 1 ,.... 4 , 2 0 ... , 2 , 1 , 2 sin 1 2 sin 2 sin 2 1 2 1 2 1 ) ( 2 1 5 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0 1 1 n n n n n n n j n j n j e n j dt e dt e t x c t t t jn t jn t jn n π π π π π π π π π π

4.3. Trigonometri Deret Fourier

Deret Fourier dalam bentuk trigonometri dimana: |c_n| = magnitudo dari c_n = sudut dari c_n ∞ < < −∞ ∠ + + =

∑

∞ = t c t n c t x ganjil n n n o n 1 ) cos( 2 2 1 ) ( ω n c ∠ Contoh 3:

Coba anda cari bantuk trigonometri deret Fourier pada Contoh.2.

Penyelesaian:

Representasi trigonometri dari Deret Fourier

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ... , 3 , 1 1 ... , 4 , 2 0 n untuk n n untuk c_n π

( )

( )

[

]

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − − = = ∠ ₋ ... , 3 , 1 2 1 1 ... , 4 , 2 0 2 / 1 n untuk n untuk c_{n n} π

( )

( )

[

]

⎟ −∞ < < ∞ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ − −} + =

∑

∞ = − t t n n t x ganjil n n n 1 2 / 1 2 1 1 cos 2 2 1 ) (

π

π

π

4.3. Fenomena Gibbs

( )

( )

[

]

⎟ −∞ < < ∞ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ − −} + =

∑

= − t t n n t x N ganjil n n n N 1 2 / 1 2 1 1 cos 2 2 1 ) (

π

π

π

Gambar 4.5. Sinyal x(t) pada N=21 Gambar 4.4. Sinyal x(t) pada N=9

4.4. Spektral Garis

Komponen-komponen frekuensi disajikan dalam terminologi amplitudo dan fase Ægambar |c₀| dan 2|c_n| sebagai fungsi ω = nω₀ untuk n = 0, +1, +2,…

Dalam spectral garis hanya frekuensi non negatif.

Contoh 4:

Pertimbangkan suatu pulsa persegi seperti pada Gambar 4.5, dalam hal ini c₀=0,5. Berikan koefisien-koefisien c_npada deret Fourier-nya.

Penyelesaian:

Koefisien-koefisien c_nderet Fourier diberikan sebagai:

⎩

⎨

⎧

=

=

=

,..

2

,

1

1

,...

4

,

2

0

n

n

n

c

_n

π

_⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

−

−

=

=

∠

₋

..

,

3

,

1

2

]

1

)

1

[(

,...

4

,

2

0

2 / ) 1 (

n

n

c

_{n n}

π

Gambar 4.6 Spektral garis deretan pulsa persegi

4.5. Transformasi Fourier

Deret fourierÆ untuk sinyal periodik saja,

Transformasi FourierÆ sinyal periodik dan non periodik

-2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 x(t)

1

t

Gambar 4.7 Pulsa persegi satu detik

Evaluasi untuk n = 0

T

dt

T

dt

t

x

T

c

T T

1

1

)

(

1

0,5 5 , 0 2 / 2 / 0

=

∫

=

∫

=

− −

Untuk n yang lain:

[

]

[

]

,..

2

,

1

;

2

2

sin

2

2

sin

2

1

1

1

1

0 0 0 0 2 / 2 / 0 5 , 0 5 , 0 0 5 , 0 5 , 0 0 0 0 0

±

±

=

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

−

=

−

−

=

−

=

=

− = − = − − −

∫

n

n

T

n

n

j

T

jn

e

e

T

jn

e

T

jn

dt

e

T

c

jn jn t t t jn t jn n

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

Gambar 4.9. Spektrum Amplitudo Sinyal Persegi

Fase X(ω)

Gambar 4.10. Spektrum Fase Sinyal Persegi

0 2π 4π 6π 8π 10π ω

−10π −8π −6π −4π −2π

-180

o

Contoh 5

Berikan gambaran spektrum amplitudo dan spektrum fase dari suatu fungsi x(t) = e-jbt_{u(t). Dimana b merupakan}

konstanta real, u(t) merupakan fungsi step.

Penyelesaian:

Untukb=0, akan didapakan x(t) = u(t). Untuk nilai b yang lain, transformasi Fourier X(ω) pada x(t) diberikan sebagai: disini u(t) = 0 untuk t < 0. u(t) = 1untuk t > 0

( )

∞

_∫

∞ − − − = e u t e dt X ω bt ( ) jωt

( )

∫

∫

∞ + − ∞ − − = = 0 ) ( 0 dt e dt e e X t j b t j bt ω ω ω

Evaluasi integral ini memberikan:

( )

[

− +

]

=₌∞

+

−

=

b j t t_t

e

j

b

X

1

( ω) ₀

ω

ω

Untuk b > 0, x(t) memiliki transformasi Fourier:

ω ω ω j b j b X + = − + − = 1 (0 1) 1 ) ( Spektrum amplitudo: Spektrum fase:

( )

2 2

1

ω

ω

+

=

b

X

( )

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

∠

−

b

X

ω

tan

1

ω

Hasilnya

4.7 Bentuk Rectangular Transformasi Fourier

Transformasi Fourier sinyal x(t)

Persamaan dasar Euler

Tandai

∫

∞ ∞ − −

=

x

t

e

dt

X

(

ω

)

(

)

jωt

∫

∫

∞ ∞ − ∞ ∞ −

−

=

x

t

t

dt

j

x

t

t

dt

X

(

ω

)

(

)

cos(

ω

)

(

)

sin(

ω

)

∫

∫

∞ ∞ − ∞ ∞ − − = = dt t t x I dt t t x R ) sin( ) ( ) ( ) cos( ) ( ) ( ω ω ω ω

•Bentuk Rectangular adalah:

X(ω) = R(ω) + j I(ω)

Dimana:

R(ω) = bagian real

I(ω) = bagian imajiner

•Bentuk polar:

dimana

|X(ω)| = magnitudo pada X(ω)

= magnitudo pada X(ω)

( )

ω

X

( )

ω

[

j

X

( )

ω

]

X

=

exp

∠

( )ω X ∠

( )

( )

( )

_{( )}

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ∠ + = −

ω

ω

ω

ω

ω

ω

R I X I R X 1 2 2 tan ) ( ) ( Polar ÅÆ Rectangular

4.8 Sinyal-sinyal dengan Simetri Genap dan Simetri Ganjil

•Fungsi genap jika x(t) = x(-t)

•Fungsi ganjil jika x(t) = - x(-t)

( ) ( ) ∫

=

=

∞

0

cos

)

(

2

x

t

tdt

R

X

ω

ω

ω

( ) ( )

=

=

−

∞

_∫

0

sin

)

(

2

x

t

tdt

j

I

X

ω

ω

ω

Contoh 7:

Suatu nilai positif τ, digunakan untuk pulsa persegi p_τ(t) yang memiliki durasiτ detik dan didefinisikan sebagai:

Berikan penyelesaian bentuk transformasi Fouriernya.

( )

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

_≤

_≤

=

lain

yang

t

t

t

p

0

2

2

1

τ

τ

τ

Gambar 4.12 Pulsa persegi dengan durasi τ detik -τ/2 0 τ/2

p_τ(t) 1

Penyelesaian

Pulsa rectangular (persegi) p_τ(t) dapat diberikan seperti pada Gambar 4.12. Dari gambar tersebut jelas bahwa sinyal ini merupakan fungsi genap

Transformasi Fouriernya:

Dalam terminology sinc: X(ω) = τ sinc(τω/2)

( )

[

]

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

=

=

= =

∫

2

sin

2

sin

2

cos

)

1

(

2

2 / 0 2 0

ωτ

ω

ω

ω

ω

ω

τ

τ

t t

t

tdt

X

4.9 Sifat-Sifat Transformasi Fourier

•. Linearitas

Jika x(t) ÅÆ X(ω) dan v(t)ÅÆ V(ω) maka: ax(t) + bx(t) ÅÆ aX(ω) + bV(ω)

Contoh 9:

Perhatikan sebuah sinyal pada Gambar 4.14, tampak bahwa sinyal tersebut merupakan jumlahan dari dua pulsa persegi seperti berikut ini:

x(t) = p₄(t) + p₂(t)

Dengan memanfaatkan sifat linearitas coba anda berikan bentuk transformasi Fouriernya.

Penyelesaian:

Menggunakan sifat linearitas kita dapatkan bahwa tansformasi Fourier masing-masing adalah seperti berikut:

P₄(ω) = 4 sinc 2ω/π P₂(ω) = 2 sinc 2ω/π Maka kita dapatkan untuk

X(ω) = P₄(ω) + P₂(ω) = 4 sinc 2ω/π + 2 sinc 2ω/π

=

+

-2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 _{-2 -1 0 1 2} 2 1 2 1 2 1 x(t) p₂(t) p₄(t) t _t t

• Pergeseran Waktu

Jika x(t) ÅÆX(ω), maka untuk suatu nilai real c positif atau negatif: x(t-c) ÅÆX(ω)e-jωc

Contoh 10:

Sinyal x(t) yang ditunjukkan pada Gambar 4.15 memiliki ekuivalensi dengan pulsa persegi p₂(t) yang mengalami pergeseran 1 detik. Dalam hal ini : x(t) = p₂(t-1). Berikan bentuk transformasi Fouriernya

Penyelesaian:

Transformasi Fourier X(ω) untuk sinyal x(t) hasilnya adalah: X(ω) = 2(sinc ω/π)e-jω_.

Sementara kita tahu bahwa:

|e-jω| =1 untuk semua nilai ω spektrum aplitudo |X(ω)| pada

x(t) = p₂(t-1) adalah sesuai dengan spektrum amplitudo pada p₂(t).

0 1 2 3

1

t

x(t)

• Penskalaan Waktu

Jika x(t) ÅÆ X(ω), untuk suatu nilai real positif a, x(at) ÅÆ(1/a)X(ω/a)

-1,0 -0,5 0 0,5 1,0 t p₂(2t)

-1,0 -0,5 0 0,5 1,0 t p₂(t)

Gambar 4.16 Contoh bentuk kompresi waktu pada suatu sinyal

• Pembalikan Waktu

Jika x(t) ÅÆX(ω), maka akan kita miliki: x(-t)ÅÆX(-ω)

Jika sinyal x(t) bernilai real

( )

ω

X

( )

ω

X − =

Contoh 11:

Suatu bilangan real b>0 diberikan untuk suatu sinyal sedemikian hingga x(-t) = e-bt_{u(t). Berikan bentuk}

transformasi Fouriernya

Penyelesaian:

Transformasi Fourier pada x(-t) adalah 1/(b + jω). Sehingga transformasi Fourier pada x(t) adalah:

⎩

⎨

⎧

≤

>

=

0

0

0

)

(

t

e

t

t

x

bt

( )

ω

ω

ω

j

b

j

b

X

−

=

+

=

1

1

Gambar 4.19. Spektrum amplitudo sinyal

• Perkalian dengan Suatu Bentuk Pangkat

Jika x(t)ÅÆX(ω), untuk suatu nilai positif integer n:

( )

( )

ω

ω

X d d j t x t n n n n ↔ ) ( Contoh 12:

Tetapkan x(t) = t p₂(t) yang diberikan pada Gambar 4.18 Berikan bentuk transformasi Fourier dan

spektrum amplitudonya.

Gambar 4.18 Sinyal x(t) = tp₂(t)

Penyelesaian:

Dengan menggunakan sifat persamaan (4-52) dan pasangan transformasi Fourier (4-44) memberikan bentuk seperti berikut:

( )

cos

₂

sin

2

sin

2

sin

2

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

π

ω

ω

ω

_⎟

=

−

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

c

j

d

d

j

c

d

d

j

X

Gambar 4.20. Deretan sinusoida

• Perkalian dengan Sinusoida

Jika x(t) ÅÆ X(ω), maka untuk suatu bilangan ω₀, x(t) cos ω₀t ÅÆ (j/2) [X(ω + ω₀) - X(ω − ω₀)] x(t) sin ω₀t ÅÆ (1/2) [X(ω + ω₀) - X(ω − ω₀)]

Contoh 13:

Pertimbangkan suatu sinyal

x(t) = p_τ(t)cosω₀t yang diinterpretasikan sebagai sinyal sinusoida. Untuk nilai τ = 0.5 dan ω₀ = 60 radiant/dt bentuknya bisa

dilihat pada Gambar 4.20. Berikan gambaran transformasi Fouriernya.

Gambar 4.21. Transformasi Fourier sinyal sinusoida

Penyelesaian:

Dengan pasangan transformasi Fourier diatas:

Untuk nilai t = 0,5 dan ω₀ = 60 rad/dt, hasilnya

(

)

(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + π ω ω τ τ π ω ω τ τ 2 sin 2 sin 2 1 _{0 0} c c

• Konvolusi dalam Domain Waktu

Jika sinyal x(t) dan v(t) memiliki transformasi Fourier X(ω) dan V(ω). x(t)*v(t) ÅÆ X(ω)V(ω)

• Perkalian dalam Domain Waktu

Jika x(t)ÅÆX(ω) dan v(t)ÅÆV(ω) maka

( ) ( )

[

]

∞

_∫

∞ − − = ↔

λ

ω

λ

λ

π

ω

ω

π

X V X V d t v t x ( ) ( ) 2 1 * 2 1 ) ( ) (

4.10 Studi Kasus

Sistem Modulasi Amplitudo DSB-FC

Informasi

Si(t)

Carrier

Sc(t)

Modulasi

_{AM DSB-FC}

Sinyal

Gambaran Rangkaian AM DSB-FC

Carrier

Info

AM

Signal

Gambaran Bentuk Matematika

(

f

t

)

A

t

s

_i

(

)

=

_i

sin

2

π

_i

(

f

t

)

A

t

s

_c

(

)

=

_c

sin

2

π

_c

Sinyal Informasi:

Sinyal Carrier:

Sinyal AM DSBSC:

(

)

(

A

A

f

t

) (

f

t

)

S

_AM

=

_c

+

_i

sin

2

π

_i

sin

2

π

_c

Pendekatan Program Matlab

%File Name: AM_DSBFC_01.m

clear all;

T=1000;

fi=1;

A=0.5;

fc=10;

t=1/T:1/T:3;

si=0.5*sin(2*pi*fi*t);

AM_DSBFC=(1 + si).*sin(2*pi*fc*t);

Disini kita akan membuat simulasi

dimana frekuensi carier sebesar 10 kali

frekuensi informasi.

Gambaran dalam Domain Waktu

Gambaran dalam Domain Frekuensi

Spektrum AM DSB_FC Spektrum Informasi Spektrum Carrier Upper Sideband Lower Sideband

Sistem Modulasi Amplitudo DSB-SC

Informasi

Si(t)

Carrier

Sc(t)

Sinyal

AM DSB-FC

Product

Modulation

Gambaran Rangkaian AM DSB-SC

Carrier

Info

DSBSC

Output

Gambaran Bentuk Matematika

(

f

t

)

A

t

s

_c

(

)

=

_c

cos

2

π

_c

(

f

t

)

A

t

s

_i

(

)

=

_i

cos

2

π

_i

Sinyal Informasi:

Sinyal Carrier:

Sinyal AM DSBSC:

_S

_S

₍

_t

₎

_S

₍

_t

₎

c

i

AM

=

×

Dimana:

A

_i

: amplitudo sinyal informasi

f

_i

: frekuensi sinyal informasi

A

_c

: amplitudo sinyal carrier

f

_c

: frekuensi sinyal carrier

Pendekatan Program Matlab

%File Name: AM_DSBSC_01.m

clear all;

T=1000;

f1=1;

f2=10;

t=1/T:1/T:1;

s1=sin(2*pi*f1*t);

s2=sin(2*pi*f2*t);

AM_DSBSC=s1.*s2;

Disini kita akan membuat simulasimirip

dengan kasus DSB-FC dimana frekuensi

carier sebesar 10 kali frekuensi

informasi.

Gambaran dalam Domain Waktu

Gambaran dalam Domain Frekuensi

Spectrum

Informasi Spectrum_Carrier

Spectrum AM DSB_SC Suppressed

Carrier

Soal Latihan

1. Cari bentuk transfromasi Fourier sinyal berikut ini: a. 10 sin(2π100t)

b. 10 cos(2π100t)

2. Dapatkan bentuk transformasi Fourier dari gambar berikut

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x(t)

1

. . . . . .

3. Cari sebuah rangkaian demodulasi amplitudo, sederhanakan dalam diagram blok dan coba jelaskan prinsip kerja dan gambaran sinyalnya dalam domain waktu dan domain frekuensi.