Bab 5
Sinyal dan Sistem Waktu Diskrit
Oleh:
Tri Budi Santoso
Materi:
Tujuan:
• Siswa mampu menyelesaikan konsep dasar
transformasi Fourier Waktu Diskrit
• Siswa mampu membawa persoalan dari konsep
sinyal waktu kontinyu menjadi sinyal waktu diskrit.
Representasi matematik pada sinyal waktu diskrit,
domain waktu dan frekuensi pada suatu sinyal waktu
diskrit, transformasi pada sinyal waktu diskrit
Sub Bab:
5.1. Transformasi Fourier Waktu Kontinyu
5.2. Discrete-Time Fourier Series (DTFT)
5.3. Discrete-Fourier Transform (DFT)
5.4. Komputasi DFT
5.5. Komputasi Inverse DFT
5.6. Interpretasi Hasil DFT
5.1. Continues Time Fourier Transform
• Sinyal periodik waktu kontinyu f(t) dengan periode T dinyatakan sebagai bentuk weighted sum pada complex exponential:
dimana: Fk = koefisien-koefisien ekspansi Ω0 = frekuensi fundamental Î Ω0 =π/T
t
e
F
t
f
k jk k∑
∞ −∞ = Ω=
0)
(
Î untuk semua nilai t (1)∫
− Ω = T jk k f t e tdt T F 0 0 ) ( 1Lanjutan….
• Persamaan (1) dikenal sebagai deret Fourier eksponensial komplek • Dalam terminologi deret geometri seringkali dinyatakan sebagai
(
)
∑
∞ =Ω
+
Ω
+
=
1 0 0 0cos
sin
)
(
k k kk
t
b
k
t
a
a
t
f
∫
=
=
Tf
t
dt
F
T
a
0 0 0(
)
1
(2)
(3)
∫
Ω
=
+
−=
T k k kf
t
k
dt
F
F
T
a
0 0cos
)
(
2
(
)
∫
Ω
=
−
=
T −k k kf
t
k
dt
F
F
j
T
b
0 0sin
)
(
2
(4)
(5)
5.2. Discrete-Time Fourier Series (DTFT)
• Untuk sinyal periodik waktu diskrit x(n) dengan periode N. Kita kenal frekuensi digital 0 ~ 2π. Ekspansinya dinyatakan dalam:
∑
− ==
1 0 0)
(
1
)
(
N k n jke
k
X
N
n
x
ω (6) (7)∑
− = −=
1 0 0)
(
)
(
N k n jke
n
x
k
X
ωPersamaan (6) dan (7) dikenal sebagai pasangan Discrete Fourier Series (DFS) Dalam hal ini
ω0 = frekuensi fundamental = 2π/sampling rate
Lanjutan….
• Untuk N genap:
• Untuk N ganjil:
n
N
A
n
N
k
k
B
n
N
k
k
A
A
n
x
N k N kπ
π
π
cos
2
2
sin
)
(
2
cos
)
(
)
0
(
)
(
1 ) 2 / ( 1 1 ) 2 / ( 1⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
∑
∑
− = − =∑
∑
− = − =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
( 1)/2 1 2 / ) 1 ( 12
sin
)
(
2
cos
)
(
)
0
(
)
(
N k N kn
N
k
k
B
n
N
k
k
A
A
n
x
π
π
……….(8a)
……….(8b)
Lanjutan
Untuk N Genap:
∑
− ==
1 0)
(
1
)
0
(
N nn
x
N
A
(
)
∑
− =−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
1 01
2
/
,...,
2
,
1
2
cos
)
(
2
)
(
N nN
k
untuk
n
N
k
n
x
N
k
A
π
(
)
∑
− =−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
1 01
2
/
,...,
2
,
1
2
sin
)
(
2
)
(
N nN
k
untuk
n
N
k
n
x
N
k
B
π
(
)
∑
− =−
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
1 01
2
/
,...,
2
,
1
cos
)
(
1
2
N nN
k
untuk
n
n
x
N
N
A
π
(9)
5.3. Discrete-Fourier Transform (DFT)
• Bisa digunakan untuk sinyal periodik dan non periodik
• Dimana ω0=2π/N • Bentuk Inversnya:
• Dalam terminologi (WN=e-j2π/N) dinyatakan:
1
0
)
(
)
(
1 0 0≤
≤
−
=
∑
− = −N
k
e
n
x
k
X
N n n jkω(10)
1
0
)
(
1
)
(
1 0 0≤
≤
−
=
∑
− =N
n
e
k
X
N
n
x
N n n jkω(11)
1
0
)
(
)
(
1 0−
≤
≤
=
∑
− =N
k
W
n
x
k
X
N n kn N1
0
)
(
1
)
(
1 0−
≤
≤
=
∑
− = −N
n
W
k
X
N
n
x
N n kn NSifat-Sifat DFT
• Secara umum sama dengan sifat Transformasi Fourier waktu kontinyu.
• Tetapi durasi untuk n dibatasi 0 s/d N-1. Maka setelah n = N-1, akan berputar kembali pada nilai n = 0.
• Dari beberapa sifat tsb, kita bahas 4 saja, yaitu: - Sifat Linearitas
- Sifat Circular Translation
- Sifat Perkalian dengan Eksponensial - Sifat Circular Convolution
a. Sifat Linearitas
DFT[a
1x
1(n)] = a
1X
1(k) , DFT[a
2x
2(n)] = a
2X
2(k)
Maka:
DFT[a
1x
1(n) + a
2x
2(n)] = a
1DFT[x
1(n)] + a
2DFT[x
2(n)]
b. Sifat Circular Translation
• Pada kasus translasi linearÆx(n-n0) merupakan bentuk pergeseran ke kanan.
• Tetapi pada kasus sinyal non-periodik (n = 0 s/d N-1), maka pergeseran terbatas sampai dengan N-1.
Setelah itu kembali ke n=0Î Modulo N, maka bentuknya menjadi N=8 0 1 2 3 4 5 6 7 x(n) = [x(0), x(1),……, x(N-2), x(N-1)] x((n-1)mod N) = [x(N-1), x(0),……, x(N-3), x(N-2)] …… x((n-n0)mod N) = [x(N-n0), x(N-n0+1),……., x(N- n0 -1)] …… x((n-N)mod N) = [x(0), x(1),……, x(N-2), x(N-1)] DFT[(n-N)mod N]=WNkmX(k) ………(13)
c. Sifat Perkalian dengan Eksponensial
Jika
DFT[x(n)] = X(k)
Maka DFT[W
N-lnx(n)] =X((k-l) mod N)
d. Sifat Circular Convolution
• Konvolusi Linear:
• Konvolusi Circular:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2 1 2 1 2 1n
x
n
x
n
k
x
k
atau
x
k
x
n
k
x
k k−
−
=
∗
∑
∑
∞ −∞ = ∞ −∞ =[
]
( ) ( )
[
] [
]
{
(
)
(
)
}
)
(
)
(
)
(
)
(
2 1 1 2 1 2 1 2 1n
x
F
n
x
F
F
n
x
n
x
e
X
e
X
n
x
n
x
F
j j⋅
=
∗
=
∗
− ω ω(
)
(
)
∑
∑
− = − =−
=
−
∆
⊗
1 0 2 1 1 0 2 1 2 1mod
)
(
)
(
)
(
mod
)
(
)
(
)
(
N k N kN
k
n
x
k
x
k
x
N
k
n
x
n
x
n
x
Dimana x
1(n-k)mod N) merupakan versi ter-refleksi dan
ter-translasi (geser) pada x
1(n)
Contoh 1:
• Sebuah operasi konvolusi circular dibentuk dari
dua komponen x
1(n)=(1,2,2,0) dan x
2(n)=(0,1,2,3).
Dapatkan hasil konvolusi
)
(
)
(
)
(
n
x
1n
x
2n
x
=
⊗
x
1(n)
x
2(n)
Penyelesaian:
Step 2: x1(k) = (1, 2, 2, 0) x2((1-k)mod 4)= (1, 0, 3, 2) --- + y(0) = 1 0 6 0 = 7 Step 1: x1(k) = (1, 2, 2, 0) x2((0-k)mod 4)= (0, 3, 2, 1) --- + y(0) = 0 6 4 0 = 10 Step 3: x1(k) = (1, 2, 2, 0) x2((2-k)mod 4)= (2, 1, 0, 3) --- + y(0) = 1 2 0 0 = 4 Step 4: x1(k) = (1, 2, 2, 0) x2((3-k)mod 4)= (3, 2, 1, 0) --- + y(0) = 3 4 2 0 = 9 Step 5: x1(k) = (1, 2, 2, 0) x2((0-k)mod 4)= (0, 3, 2, 1) --- + y(5) = 0 6 4 0 = 10Hasilnya:
)
9
,
4
,
7
,
10
(
)
(
)
(
)
(
n
=
x
1n
⊗
4x
2n
=
y
n
y(n)
[
]
[
]
{
(
)
(
)
}
)
(
)
(
2 1 2 1n
x
n
IDFT
DFT
x
n
DFT
x
n
x
⊗
N=
N N⋅
N……….(16)
5.4. Computation of DFT
( )
( )
[ ]
[ ]
( )
{
}
{
[ ]
[ ]
}
( )
[ ]
[ ]
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
[ ]
[ ]
( )
[ ]
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
+
+
=
−
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
− = − = − = − = − = − = 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0Re
Im
Im
Re
Im
Im
Re
Re
Im
Re
Im
Re
1
,...,
1
,
0
;
)
(
N n kn N N n kn N N n kn N N n kn N N n kn N kn N N n kn NW
n
x
W
n
x
j
W
n
x
W
n
x
W
j
W
n
x
j
n
x
N
k
W
n
x
k
X
perkalian
jumlahan
……(17)
5.5. Computation of Inverse DFT
( )
∑
− = −=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
1 01
,....,
1
,
0
;
1
)
(
N k kn Nn
N
W
k
X
N
n
x
……….(18)
5.6. Interpretation of DFT Result
x(n)Î versi diskrit (tersampel) pad asinyal analog x
a(t)
Frekuensi indek
(tanpa satuan)
k
Frekuensi digital
(radiant)
ω
k= k2π/N
Frekuensi indek
(tanpa satuan)
Ω
k= k2π/NT
……..(19)
Contoh 2
• Dapatkan transformasi Fourier dari sinyal cosinus yang
memiliki periode eksak di dalam window yang terdapat pada sampel. Tetapkan x(n) seperti pada Gambar dibawah yang direpresentasikan sebagai x(t) = 3cos(2πt), pada t=nT. Untuk suatu n = 0~ 99, dan T=0,01.
t
x(t)
Penyelesaian
• Didapatkan sekuen diskrit sebagai
x(n) = 3cos(2πnT) = 3cos(0.02πn) untuk
n =0,1,….,199. Perlu dicatat bahwa x(n) merupakan sinyal cosinus sepanjang dua periode.
n
x(n)
• Bagian real X
R(k) dan imajiner X
I(k) dapat
dihitung dari persamaan (11).
1
0
)
(
)
(
1 0 0≤
≤
−
=
∑
− = −N
k
e
n
x
k
X
N n n jkω(
)
(
) (
(
)
(
)
)
∑
− =−
=
1 0 0 0sin
cos
02
,
0
cos
3
)
(
N nn
k
j
n
k
n
k
X
π
ω
ω
Bagian Real
XR(k)2
0,02π
2π
Freq Analog (rad/det) Freq Digital (rad) Indek Freq Digital(rad/det)
k
ω
kΩ
km
2πm/200
mπ
100
π
Bagian Imaginer
Semua bernilai 0, atau mendekati 0
Perhatikan pada bagian Real, ada dua nilai muncul
yaitu pada indek frekuensi (2) dan (N-2 =198).
Masing-masing dengan nilai 300. Ini
merepresentasikan (AN/2), dimana:
- A=3Î amplitudo
- N = 300 Î jumlah sampel yang digunakan
Karena struktur sampling, frekuensi indek 2 berkaitan
secara tepat dengan penuh pada gelombang cosinus.
Contoh 3
• Gambarkan magnitudo pada DFT 64 titik pada x(n) = (1/32) sin (0,2πn). Dengan nilai n=0,1,…,63
Penyelesaian
X(k) = X
R(k) + X
I(k)
Magnitudonya:( ) ( )
k
X
k
X
( ) ( )
k
X
k
X
k
X
(
)
=
R R+
I ISeperti terlihat pada gambar sebelumnya, dengan persamaan tersebut terjadi 6,4 gelombang sinus.
Jika gelombang sinus tepat pada 1 periode penuh, |X(k)| akan memiliki nilai (AN/2), sehingga:
1
2
64
32
1
2
⎟
⎠
=
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
AN
Tetapi ternyata hasilnya sedikit berbeda, yaitu nilai maksimum terjadi pada n=6, dan bernilai < 1.
k=6
5.7. Hubungan DFT-Fourier Transform
• Transformasi Fourier
• Discrete Fourier Transform
( )
∑
( )
∑
−( )
= − ∞ −∞ = −=
=
1 0 N n n j n n j je
n
x
e
n
x
e
X
ω ω ω( )
( )
(
)
1
,...,
1
,
0
1 0 / 2=
−
=
∑
− = −N
k
e
n
x
k
X
N n N k j πSinyal Tersampel dan Transformasi Fouriernya
Zero Padding
|8 titik DFT| dengan tambahan 4 zero pada x(n)
Hasil DFT
|16 titik DFT| dengan tambahan 12 zero pada x(n)
Hasil DFT
|64 titik DFT| dengan tambahan 60 zero pada x(n)
Hasil DFT
Contoh Lain DFT pada Sinyal Sinus
x(n) = (1/64)*(sin(2*pi*n/64) + (1/3)*sin(2*pi*15*n/64))
Soal Latihan
[ ]
⎩ ⎨ ⎧ = = = 9 ,..., 2 , 1 ; 0 0 ; 1 ) n n n x a[ ]
; 0,1,2,...,9 )x n = e 2 5 n = d j πn[ ]
⎩ ⎨ ⎧ = = = 9 ,... 2 , 1 ; 0 0 ; 1 ) k k k X a a1. Dapatkan bentuk transformasi Fourier (DFT)10-point untuk sinyal waktu diskrit berikut ini:
2. Dapatkan bentuk invers Transformasi Fourier (IDFT) 10-point untuk sinyal berikut ini:
[ ]
1 ; 0,1,2,...,9 ) X k = k = b b[ ]
1 ; 1,2,...,9 )x n = n = b[ ]
⎩ ⎨ ⎧ ≠ = = 4 ; 0 4 ; 1 ) n n n x c[ ]
⎩
⎨
⎧
=
=
=
9
,
8
,
6
,
5
,
4
,
2
,
1
,
0
;
0
7
,
3
;
1
)
k
k
k
X
c
c[ ]
cos
(
2
/
5
)
;
0
,
1
,
2
,...,
9
)
X
k
=
k
k
=
d
dπ
3. Sebuah sinyal waktu diskrit dinyatakan dalam bentuk komplek berikut ini
[ ]
( )1
,...
2
,
1
,
0
;
/ 2 1n
=
e
n
=
N
−
x
j πk N nDapatkan bentuk transformasi Fourier waktu diskrit (DFT) dari x[n] sebanyak N-titik
4. Sebuah sinyal waktu diskrit tersusun dari fungsi sinusioda: x2[n]=cos(2πkn/N)
Dapatkan bentuknya dalam domain frekuensi N-titik
5. Buatlah sebuah program visualisasi dengan Matlab untuk domain waktu dan domain frekuensi untuk sinyal berikut ini:
a) x[n] = 0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0 b) x[n] = 0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0
6. Buat visualisasi sinyal domain waktu & frekuensi sinyal ini:
a). 1,1,1,1,0,0,0,……0,0 b). 1,1,1,1,0,0,0,……….0,0
c). 1,1,1,1,0,0,0,………0,0 d). 1,1,1,1,0,0,0,……….0,0 16 titik 32 titik
64 titik 128 titik
7. Buat visualisasi domain waktu dan domain frekuensi untuk sinyal: a) x[n] = sinc(2πn/10) ; n = -30,-29,…..-1,0,1,……..,29,30 b)
