BAB II
DASAR TEORI
Sebagaimana telah diketahui dalam kinematika relativistik, persamaan-persamaannya diturunkan dari dua postulat relativitas. Dua kerangka inersia yang bergerak relatif satu dengan yang lain dengan kecepatan konstan dihubungkan melalui transformasi Lorentz. Ada suatu cara sederhana untuk memperoleh persamaan yang konsisten secara relativitas khusus (yaitu persamaan-persamaannya tampak sama dari sudut pandang pengamat dalam gerak relatif) dengan menyatakan persamaan-persamaan tersebut dengan cara invarian Lorentz.
2.1Teori Relativitas Umum Einstein
Teori relativitas umum Einstein adalah teori yang menyatakan bahwa gravitasi bukan gaya seperti halnya gaya lain, namun gravitasi merupakan efek dari kelengkungan ruang-waktu karena adanya penyebaran massa dan energi didalam ruang waktu tersebut. Teori relativitas umum ini dibangun atas dua asas, yaitu pertama asas kesetaraan (principle of equivalence) dan kedua, kovariansi umum (general covariance)
kerangka (y,t) adalah kerangka yang dipercepat sebesar g terhadap kerangka inersial (y‟,t‟) pada daerah tanpa medan gravitasi. ωontoh penerapannya adalah bahwa sistem pengamatan jatuh bebas dalam medan gravitasi bumi seperti misalnya elevator yang kabel gantungannya putus adalah kerangka inersial lokal. Seorang pengamat dalam elevator tersebut dapat melepaskan benda dari keadaan diam (dalam kerangka pengamat) dan akan mendapati bahwa benda tersebut tetap diam. Kesimpulannya adalah hukum gerak pada kerangka inersial dalam daerah tanpa medan gravitasi sama dengan hukum gerak pada kerangka jatuh bebas didalam medan gravitasi. hal ini sesuai pada asas kovariansi umum yang berbunyi,”hukum alam harus memiliki bentuk yang tetap terhadap sembarang pemilihan transformasi koordinat”.
2.2Prinsip Relativitas
Pada intinya, teori relativitas Einstein (baik teori relativitas khusus maupun teori relativitas umum) adalah teori fisika modern dari ruang dan waktu, yang telah diganti konsep ruang dan waktu absolut Newton dengan ruang – waktu .
Semula dalam fisika, relativitas berarti penghapusan ruang absolut,suatu penyelidikan yang telah dikenal sebagaimana yang diinginkan sejak Newton. Dan ini tentu saja apa yang disempurnakan dua teori Einstein: relativitas khusus, teori ruang waktu datar, menghapuskan ruang mutlak dalam peranan Maxwell sebagai „eter‟ yang membawa medan elektromagnetik, dan khususnya gelombang cahaya, sedangkan relativitas umum, teori ruang – waktu lengkung, menghapuskan ruang waktu mutlak juga dalam peranan Newtonian – nya mengenai standar ada dimana – mana dan tidak dapat dipengaruhi dari gerak seragam atau diam. Anehnya , dan tidak secara terencana tetapi agak sebagai satu hasil sampingan yang tidak dapat dihindarkan, teori Einstein juga menghapuskan konsep waktu mutlak Newton.
akan kita lihat, mekanika Newton memiliki relativitas yang disebut grup galilean, relativitas khusus memiliki relativitas dari grup Lorentz (grup poincare).(Wolfgang Rindler, 2006)
2.3Teori Relativitas khusus
Teori relativitas khusus yang dikemukakan Einstein pada tahun 1905 merupakan salah satu tulang punggung fisika modern. Sumbangannya terutama dalam bentuk penataan dan pelurusan konsep – konsep dasar dalam fisika, khususnya yang berkaitan dengan ruang – waktu , momentum – energi sebagai aspek kinematika semua gejala alam, yang selanjutnya mengangkat cahaya sebagai pembawa isyarat berkelakuan maksimum.
Sumbangan teori relativitas khusus adalah mampu menampilkan persamaan maxwell, yang merupakan persamaan dasar dalam elektrodinamika, dalam yang bentuk kovarian.Konsekuensi teori relativitas khusus adalah kelajuan gelombang elektromagnet, tidak ada kerangka istimewa. Dalam kerangka inersial, kelajuan cahaya sama dengan c, atau dengan kata lain , c merupakan suatu besaran invarian. Selain itu persamaan maxwell berlaku dalam semua kerangka inersial, yang oleh karena itu konsep ruang – waktu dan momentum – energi yang mutlak harus diganti.(Anugraha R,2005)
Teori ini didasarkan pada dua asas, yaitu:
1. Semua hukum fisika memiliki bentuk yang tetap (kovarian) dalam setiap kerangka acuan inersial
2. Ketidakubahan laju cahaya : laju cahaya memiliki nilai c yang sama dalam semua sistem inersial.
2.3.1 Transformasi Lorentz
baru yang dapat meramalkan berbagai efek relativistik seperti penyusutan panjang,pemuluran waktu dan efek dopler relativistik. Karena juga diketahui bahwa transformasi Galileo berlaku baik pada laju rendah, transformasi baru ini haruslah memberikan hasil yang sama seperti transformasi Galileo, apabila laju relatifnya rendah.(Krane K.,2006)
Transformasi yang memenuhi semua persyaratan ini dikenal dengan Transformasi Lorentz dan, seperti halnya dengan transformasi Galileo ia mengaitkan koordinat dari suatu peristiwa (x,y,z,t) sebagaimana diamati dari kerangka S dengan koordinat peristiwa yang sama (x‟,y‟,z‟,t‟) yang diamati dari kerangka acuan S‟ yang sedang bergerak dengan kecepatan v terhadap S. dengan menganggap bahwa gerak relatifnya adalah sepanjang arah x positif.
Gambar (2.3.1) Kerangka S’ Bergerak Dengan Kecepatan Konstan
Terhadap Kerangka S
Bentuk persamaan Transformasi Lorentz ini adalah sebagai berikut
………...(2.1)
………(2.2)
………..(2.4)
Sekarang anggap suatu jam standar ω‟ yang ditempatkan dalam keadaan diam dalam S‟ pada suatu titik di sumbu x‟. Ketika jam ω‟ merekam waktu , jam standar di S pada saat itu akan direkam waktu t1 yang diberikan oleh
transformasi Lorentz,
………(2.5)
Dengan :
……….(2.6)
Selanjutnya, ketika ω‟ direkam waktu‟ = , ini juga serupa dengan jam lain dalam S yang direkam waktu
……….(2.7)
Dengan mengurangkan persamaan ini diperoleh
……….(2.8) Maka disimpulkan bahwa periode jam ketika diamati bergerak lebih besar dari periode dalam keadaan diamnya. Dengan kata lain: jam yang bergerak lebih lambat daripada jam yang berada dalam keadaan diam. Hal ini disebut pemuluran waktu relativistik.(Gron O.,Hervik S.,2007)
Pada kasus pengukuran panjang, kondisinya agak lebih rumit, karena persamaan transformasi mengandung y dan z dalam cara yang berbeda daripada x, dalam arah gerak relatifnya. Suatu skala yang tegak lurus terhadap arah gerak relatif mempunyai panjang yang sama dalam sistem koordinat lain. Dianggap pertama suatu batang tegar yang dihubungkan dengan S‟, titik – titik ujung mempunyai koordinat dan . Panjang batang dalam sistem ini (dimana batang relatif dalam keadaan diam terhadap sistem S‟ ini) adalah
Suatu pengamat yang dihubungkan dengan S akan menganggap panjang batang dengan perbedaan koordinat (x2 –x1) dari titik-titik ujungnya pada waktu yang
sama yaitu t. Koordinat dan dihubungkan ke x2 , x1 dan t dengan persamaan
transformasi
Lorentz, menghasilkan
……….(2.10)
……….(2.11)
Oleh karena itu perbedaan koordinatnya adalah
……….(2.12)
Dengan memisalkan panjang (x2 –x1) dengan l, maka diperoleh
……….(2.13)
Batang yang kelihatan dikontraksi dengan faktor . Efek ini disebut
dengan kontraksi Lorentz. (Peter G.Bergman,1961)
2.3.2 Massa dan Momentum Relativistik
Ada empat hukum kekekalan dalam mekanika klasik, tiga menggambarkan tiga komponen momentum dari suatu sistem terisolasi dan satu lagi menunjukkan energinya. Terhadap transformasi ruang, hukum kekekalan tiga momentum bertransformasi bersama sebagai komponen – komponen dari tiga vektor dimensional, sedangkan hukum kekekalan energi invarian.
Dengan transformasi Galilean, hukum momentum adalah invarian, sedangkan hukum energi berlaku dalam sistem yang pertama. Hukum kekekalan klasik tidak kovarian terhadap transformasi Lorentz yang mana melibatkan waktu.Oleh karena itu, hukum ini harus dimodifikasi sehingga mereka kovarian Lorentz, tetapi juga mendekati hukum klasik untuk kecepatan rendah.
akan ada lagi hukum vektor (dengan tiga komponen) dan hukum skalar. Hal ini akan menentukan pencapaian besar bentuk hukum relativistik. Momentum relativistik didefenisikan sebagai:
………(2.14) Einstein meyakinkan bahwa hukum kekekalan momentum harus berlaku, dia membantunya dengan hipotesis yang berani: massa dari suatu objek harus bergantung pada kecepatannya. Dalam teori tumbukan partikel dapat ditentukan bahwa berlaku hubungan
………....(2.15)
Sehingga persamaan (2.14) menjadi
………(2.16)
Dengan m0 disebut massa diam yaitu massa yang diukur terhadap kerangka acuan
yang terhadapnya benda diam. Dalam kerangka acuan lainnya, massa relativistik m akan lebih besar dari m0. Dalam defenisi baru kita tentang massa relativistik diatas telah memungkinkan untuk dipertahankan berlakunya hukum kekekalan momentum dalam semua kerangka acuan inersial.(Michael Fowler,2008)
2.3.3 Energi Kinetik
Energi kinetik dalam fisika klasik didefenisikan sebagai usaha sebuah gaya luar yang mengubah laju sebuah objek. Defenisi yang sama tetap dipertahankan berlaku dalam mekanika relativistik (dengan membatasi bahasan pada satu dimensi). Perubahan energi kinetik ΔK = Kf – Ki adalah ΔK = W=⎰ F dx
Jika benda bergerak dari keadaan diam , Ki= 0, maka energi kinetik akhir K adalah:
Jadi sebuah partikel yang bergerak, memiliki energi E0 dan tambahan energi K, sehingga dengan demikian energi relativistik total E partikel adalah:
………(2.18) Persamaan ini merupakan hasil temuan terkenal Einstein yang menyatakan bahwa energi sebuah benda merupakan ukuran lain dari massanya, energi dan massa adalah setara, dan bahwa perolehan atau kehilangan energi sebuah benda dapat dipandang pula sebagai perolehan atau kehilangan massanya.
Sangat bermanfaat untuk mempunyai hubungan antara energi total dan momentum relativistik, yaitu:
………(2.1λ)
2.4Persamaan Dirac
Dalam menurunkan persamaannya Dirac menggunakan sebuah strategi, bahwa pada persamaan energi dan momentum empat-vektor kompleks dari sebuah partikel,
………(2.20)
Dimana: adalah notasi momentum 4-Vektor
Dapat difaktorisasi sehingga menghasilkan sebuah persamaan keadaan untuk partikel spin -1/2. Partikel ini diberikan simbol ψ( spinor empat– komponen ). Sehingga
………(2.21)
Disini dan adalah koefisien – koefisien yang belum diketahui. Selanjutnya, ruas kanan persamaan (2.21) diuraikan menjadi:
………(2.23)
Koefisien – koefisien dan ditentukan oleh suku linier dari . Jika suku linier dalam pada persamaan (2.23) diabaikan maka diperoleh:
………(2.24)
Akibatnya persamaan (2.22) menjadi:
………(2.25)
Dengan diuraikan komponen – komponen untuk masing – masing ruas persamaan (2.25) maka diperoleh:
………(2.26)
Dimana: adalah komponen – komponen momentum kontravarian.Dari persamaan ini dapat dilihat bahwa tidak ada satu himpunan skalar yang memenuhi ruas kanan persamaan. Persamaan tersebut hanya dipenuhi jika harus merupakan bentuk – bentuk matriks, yang kemudian dikenal dengan matriks Dirac. Dirac memilih matriks – matriks yang merupakan matriks orde empat, sebagai berikut:
(2.27)
Dimana adalah matriks orde dua yang diberikan oleh matriks-matriks Pauli sebagai berikut:
…. (2.28)
………(2.2λ) Atau
………(2.30) Disini adalah hubungan anti komutator untuk kuantitas A dan B dan adalah matrik Minkowski. Dapat dibuktikan bahwa matriks dipenuhi
………(2.31) Hubungan energi – momentum relativistik persamaan (2.21) kemudian menjadi :
………(2.32)
Persamaan diatas mengandung dua solusi yaitu:
………(2.33)
Dan ini diijinkan pula dua solusi baik untuk solusi energi positif maupun negatif. Berikut ini akan dijelaskan solusi (i) seperti dalam penurunan persamaan Schrodinger dan persamaan Klein – Gordon, momentum relativistik diganti menjadi operator dalam mekanika kuantum, persamaan operator – operator diferensial dalam notasi empat- vektor. Dan mengingat kembali bahwa operator bekerja pada suatu keadaan , ψ, maka persamaan (2.33) untuk solusi (i) menjadi:
(Persamaan Dirac) ………(2.34)
Ini adalah persamaan diferensial orde pertama yang kovarian dan dikenal sebagai persamaan Dirac dengan sebagai medan spinor Dirac. Persamaan (2.34) adalah persamaan matriks orde empat sehingga mudah dipahami bahwa medan spinor
Dirac merupakan sebuah matriks kolom, 4 x 1, dengan empat komponen
2.5Matriks Dan Aljabar Dirac
Matriks Dirac diberikan oleh
………(2.36)
Dengan representasi matriks
, ………(2.37)
Dengan matriks Pauli dinotasikan :
, , ………(2.38)
Matriks-matrik tersebut mempunyai hubungan antikomutasi yaitu:
………(2.3λ)
Dan juga hubungan komutasi yaitu :
………(2.40)
mempresentasikan bentuk non-kovarian dari tensor anti simetrik Levi-Civita
yang didefenisikan dalam persamaan (2.48).
Matriks Dirac γ memenuhi relasi antikomutasi
………(2.41) Dan relasi komutasi:
………(2.42)
Dalam reperentasi ini diperoleh:
dan ………(2.43)
Dan kombinasi lain yang bermanfaat:
…..(2.44)
………(2.45)
………(2.46)
Dengan tensor antisimatriks Levi-Civita yang didefenisikan dengan:
…...(2.48)
Hasil kali skalar antara matriks γ dan momentum – empat ditulis dengan
………(2.4λ)
Spinor Dirac partikel bebas memiliki bentuk:
, ………(2.50)
Dan
………(2.51)
Dengan yang ternormalisasi seperti:
………(2.52)
………(2.53)
dengan spinor dua – komponen Pauli, dan spinor adjoin Dirac didefenisikan dengan
, ………(2.54)
, ………(2.55)
dengan memakai persamaan spinor Dirac dan , persamaan Dirac dapat ditulis dengan :
, ………(2.56)
, ………(2.57)
Yang dinyatakan spinor adjoin menjadi:
, ………....(2.58)
, ………(2.5λ)
Dalam teori kelompok orthogonal (seperti rotasi atau kelompok Lorentz) sebuah spinor merupakan sebuah elemen dari kompleks ruang vektor, tidak seperti vektor spasial, sebuah spinor hanya mengubah sampai tanda dibawah penuh kelompok orthogonal. Ini berarti bahwa 360 derajat rotasi mengubah koordinat numerik spinor kedalam negatif mereka, sehingga dibutuhkan rotasi 720 derajat untuk mendapatkan kembali nilai –nilai aslinya. Spinors adalah bentuk objek yang berhubungan dengan ruang vektor dengan bentuk kuadrat (seperti ruang Euclidian dengan standar metrik atau Minkowski ruang dengan metrik Lorentz), dan direalisasikan sebagai elemen ruang representasi Clifford Algebras. Spinor seperti vektor dan tensor dalam definisi mereka termasuk sifat transformasi mereka, meskipun tidak seperti tensor, ruang spinor tidak dapat dibangun dengan cara yang unik dan alami dari vektor spasial. Seperti vektor spinor dapat diubah dibawah sangat kecil transformasi orthogonal. Spinor digunakan untuk mempelajari sifat – sifat momentum sudut intrinsik dari elektron dan partikel. Secara klasik spinor dalam tiga dimensi digunakan untuk menggambarkan spin elektron tidak relativistik, spin -1/2 partikel dan lainnya. Melalui persamaan Dirac, Dirac spinor diperlukan dalam deskripsi matematis dari keadaan kuantum dari relativistik elektron maupun partikel. Spinor dapat digambarkan dalam hal sederhana, sebagai vektor ruang transformasi yang berhubungan dengan cara tertentu untuk rotasi dalam ruang fisik. Dengan kata lain spinor memberikan representasi linier dari kelompok rotasi dalam ruang dengan sejumlah dimensi, masing – masing memiliki spinor 2υ dengan atau 2υ. ψeberapa contoh sederhana dari spinor dalam dua dimensi dari aljabar Clifford dibangun
Sebuah ruang spinor dapat dibangun secara eksplisit dengan konstruksi kuat atau tetap dan abstrak. Kesetaraan konstruksi ini adalah konsekuensi dari keunikan representasi spinor dari Clifford aljabar kompleks. Dalam dimensi 3, mendefinisikan matriks gamma menjadi sigma matriks pauli menimbulkan akrab dua spinor komponen yang digunakan dalam non relativistik mekanika kuantum. Demikian juga dengan menggunakan 4 × 4 matriks gamma Dirac menimbulkan 4 komponen spinor Dirac digunakan dalam 3 relativistik +1 dimensi teori medan kuantum. (Herman Paris ,1996)
2.7Persamaan Spinor Relativistik Foton Bebas
Persamaan Dirac berasal faktorisasi hubungan dispersi Einstein dari persamaan medan orde pertama dalam turunan waktu. Yaitu, dengan memfaktorkan dispersi hubungan relativistik pada empat matriks;
………(2.62) Dimana dan β adalah matriks Dirac untuk sebuah foton, massa m0 = 0,
persamaan (2.62) diperoleh;
………(2.63)
maka;
………(2.64)
persamaan (2.64) merupakan persamaan kuantisasi kanonikal yang merupakan;
………(2.65)
Dimana operator Hamiltonian foton,
………...(2.66)
………(2.67)
dan metriks dinyatakan sebagai;
………(2.68)
Mereka adalah matriks hermitian
………(2.6λ)
dan operator Hamiltonian adalah hermitian
………(2.70)
2.8Operator Spin Foton
Berikut ini, akan dibuktikan pemilihan matriks wajar , mereka dinyatakan bahwa persamaan (2.65) adalah persamaan spinor foton spin 1 . persamaan (2.65) dapat ditulis sebagai;
………(2.71) dimana
………(2.72) Momentum sudut orbital foton dipenuhi
………(2.73) maka
………(2.74) Persamaan (2.74) terlihat bahwa momentum sudut orbital foton tidak konservasi , tetapi total momentum sudut foton bebas harus konservatif . Jadi , foton harus memiliki momentum sudut intrinsik,seperti momentum sudut spin ,momentum
………(2.75)
Dan adalah konservatif
………(2.76)
dengan persamaan (2.74) dan (2.76), didapatkan
………(2.77) yaitu;
….
(2.78) atau;
………(2.7λ)
Dinyatakan ada hubungan komutatif sebagai berikut;
………(2.80) dapat disimpulkan bahwa;
………(2.81)
Dengan persamaan (2.80) , dapat dihitung s matriks , dengan matriks sx adalah;
………(2.82)
dengan hubungan komutasi
……….
(2.83) didapat
………(2.84)
ambil matriks sy dengan;
………(2.
………(2.86) diperoleh
………....(2.87)
ambil matriks sz
………(2.88)
dengan hubungan komutasi
………(2.8λ)
diperoleh
………....(2.λ0)
selanjutnya, harus dihitung nilai eigen dari sx, sy,sz.
Untuk sx, nilai eigen adalah;
………..(2.9
1)
Oleh karena itu persamaan karakteristiknya adalah;
………(2.λ2) yaitu ;
………(2.λ3) ketika a=0, akar 1 adalah;
………..(2.λ
5)
oleh karena itu persamaan karakteristiknya adalah;
………(2.λ6) yaitu ;
………(2.λ7) ketika b=0,akar 2 adalah;
………(2.λ8)
untuk sz, nilai eigen adalah;
………(2.λλ)
Oleh karena itu persamaan karakteristiknya adalah;
………(2.100) yaitu ;
………(2.101) ketika c=0, akar 3 adalah;
………(2.102)
dengan penjumlahan,diperoleh matriks spin foton seperti;
..(
2.103)
…..
(2.104)
yaitu spin s adalah; s=1
Jika dibandingkan (2.68) dengan (2.103) maka didapatkan
………(2.105)
2.9Helisitas pada Foton
Dengan mempelajari helisitas foton, dapat diperoleh foton ruas kiri dan kanan . Helisitas didefinisikan sebagai proyeksi spin pada arah momentum , itu adalah;
………(2.106)
dan
……..(2.
107)
Untuk ,masalah nilai eigen
………...(2.108)
adalah;
………...(2.
109)
Oleh karena itu persamaan karakteristiknya adalah;
………(2.110)
yaitu ;
akar adalah;
………(2.112)
dan helisitas h adalah ℏ=+1 dan -1
Jika =+1 foton sesuai kaidah ruas kanan foton,dan jika =-1 foton sesuai kaidah ruas kiri foton
2.10 Persamaan Kekekalan Probabilitas Foton
Berikut ini, akan diberikan kerapatan dan persamaan kekekalan probabilitas foton.
Konjugat hermitian pada pers (2.65).
………(2.113)
Dikalikan dengan pada pers.(2.112), sehingga,
………(2.114)
Dikalikan dengan pada pers (2.65),
………(2.115)
Dengan didiferensialkan maka diperoleh,
…..(2.116)
atau
………(2.117)
………(2.118)
dimana,
