RANK MATRIKS
ADJACENCY
DARI GRAF
SKRIPSI
NOVITA ADELIA
PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS AIRLANGGA
SURABAYA
RANK MATRIKS
ADJACENCY
DARI GRAF
SKRIPSI
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika di Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Airlangga
Oleh :
NOVITA ADELIA NIM. 080810550
Tanggal Lulus : 14 Agustus 2012
Disetujui Oleh :
Pembimbing I
Nenik Estuningsih,S.Si, M.Si NIP. 19720630 199702 2 001
Pembimbing II
LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI
Judul : Rank Matriks Adjacency dari Graf
Penyusun : Novita Adelia
NIM : 080810550
Pembimbing I : Nenik Estuningsih, S.Si, M.Si
Pembimbing II : Dra. Yayuk Wahyuni, M.Si
Tanggal Seminar : 14 Agustus 2012
PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI
Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam
lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi
kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penyusun dan harus menyebutkan
sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik
Universitas Airlangga.
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh.
Syukur Alhamdulillah kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan
rahmat-Nya, sehingga penyusun dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul
“Rank Matriks Adjacency dari Graf ”. Dalam penyusunannya,
penyusun memperoleh banyak bantuan dari berbagai pihak, karena itu penyusun
mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :
1. Kedua orang tua tercinta, Achwan Arif dan Siti Lailatul Badriyah, serta adik
tersayang Dendy Adityawan P. yang telah memberikan dukungan, kasih
sayang, harapan dan kepercayaan yang begitu besar.
2. Nenik Estuningsih, S.Si, M.Si dan Dra.Yayuk Wahyuni, M.Si selaku dosen
pembimbing I dan II yang telah memberikan banyak arahan, masukan,
perhatian, semangat, rasa sabar yang begitu besar dan pengetahuan yang tidak
ternilai harganya.
3. Liliek Susilowati, S.Si., M.Si selaku dosen penguji bersama Dr. Miswanto,
yang telah memberikan saran-saran untuk kesempurnaan skripsi ini.
4. Dra. Utami Dyah Purwati, M.Si. selaku dosen wali selama menjadi mahasiswa
Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga yang telah banyak
memberikan arahan dan saran demi kesuksesan menjadi mahasiswa
5. Segenap dosen Departemen Matematika Universitas Airlangga yang telah
banyak memberikan bimbingan dan masukan mulai dari awal hingga akhir
masa perkuliahan.
6. Mas Edi, mas Udin, mas Aziz, mas Khoni, Pak Budi dan segenap karyawan
yang telah membantu memperlancar keperluan di kampus.
7. Mas Indra Kurniawan dan keluarga yang telah banyak memberikan semangat
dan motivasi. Terima kasih buat ketulusan dan kasih sayangnya.
8. Sahabatku Faizah, Safiq, Mbak Mei, Zuda, Citra, Arifah, Mas Aga, Mas Hari
yang banyak memberikan support .
9. Teman-teman Matematika 2008 atas kekompakan dan rasa kekeluargaan yang
begitu hangat.
10.Gesty, Mbak Astrid dan teman-teman kos Hayu Karang Menjangan, Ani,
Bayu, Vembri, Cahyono, dan teman-teman Nimsener, terima kasih atas
dukungan dan hiburannya.
11.Serta pihak-pihak lain yang tidak dapat disebutkan satu persatu, terima kasih
atas segala bantuan dalam penyelesaian skripsi ini.
Penyusun menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih banyak kekurangan,
untuk itu mohon kritik dan saran yang bersifat membangun demi kesempurnaan
skripsi ini.
Akhir kata, penyusun berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca.
Wassalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh.
Surabaya, Agustus 2012
Novita Adelia, 2012, Rank Matriks Adjacency dari Graf . Skripsi ini di bawah bimbingan Nenik Estuningsih, S.Si, M.Si dan Dra.YayukWahyuni, M.Si, Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya.
ABSTRAK
Graf dan matriks memiliki banyak peranan penting dalam kehidupan sehari-hari. Karena itulah banyak penelitian telah dilakukan mengenai graf, salah satunya adalah tentang rank matriks adjacencynya. Selama beberapa tahun terakhir sejumlah
penelitian telah dilakukan mengenai rank matriks adjacency dari cross product dua
graf khusus. Matriks adjacency dari graf dengan titik, adalah suatu
matriks dengan jika titik terhubung dengan titik di dan jika titik dan tidak terhubung, dengan and adalah titik-titik di . Sedangkan rank adalah banyaknya baris atau kolom dari matriks tersebut yang bebas linier.
Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk menentukan hubungan antara
rank matriks adjacency dengan rank matriks adjacency dari masing-masing
graf tangga dan graf path . Sebelum menentukan bentuk umum dari matriks adjacency graf terlebih dahulu ditentukan bentuk umum dari matriks adjacency graf tangga . Selanjutnya untuk menentukan rank matriks adjacency
dari graf tangga dan graf digunakan program M-file MATLAB. Hasil program tersebut kemudian dianalisis sesuai dengan konsep aljabar. Dari hasil analisis diperoleh rumusan umum rank matriks adjacency dari graf tangga adalah
untuk dan untuk dengan . Sementara dari hasil analisis rank matriks adjacency dari graf , tidak ditemukan keteraturan
pola rank berdasarkan dan .
Novita Adelia, 2012, The Rank of Adjacency Matrices from Graph. This final project is under advised by Nenik Estuningsih, S.Si, M.Si and Dra. Yayuk Wahyuni, M.Si, Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Airlangga University, Surabaya.
ABSTRACT
Graphs and matrices have many important roles in everyday life. That's why a lot of research has been done on the graph, one of which is about the rank of its adjacency matrix. During recent years numerous studies have been done regarding the rank of the adjacency matrix from the cross product of two special graphs. The adjacency matrix of a graph with vertices, is a matrix in which if vertex is adjacent to in and , otherwise, where and are vertices of . While rank is the number of rows or columns of the matrix which are linearly independent.
The purpose of this final project is to determine the relationship between the rank of adjacency matrix from graph and the one from ladder graph and path respectively. Before determining the general form of adjacency matrix from graph, first we determine the general form of the adjacency matrix from ladder graph . Then, to determine the rank of the adjacency matrix from ladder graph and graph we use M-file MATLAB program. The results of the program is then analyzed according to the concepts of algebra. From the analysis we obtain the formula of the rank of adjacency matrix from ladder graph is for and for where . While, from the analysis of the rank of adjacency matrix from graph, it can’t be found the regularity of the pattern of rank according to and .
DAFTAR ISI
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 18
4.1Rank Matriks Adjacency dari Graf Tangga ... 18
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Gambar Halaman
1 Gambar 1 4
2 Gambar 2 5
3 Gambar 3 6
4 Gambar 4 18
5 Gambar 5a 33
6 Gambar 5b 33
7 Gambar 5c 34
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor Judul Lampiran
1. Program untuk menentukan rank matriks adjacency dari graf tangga
dengan M-File MATLAB beserta outpunya pada command window.
2. Tabel Rank Matriks Adjacency dari Graf Tangga dengan
3. Program untuk menentukan rank matriks adjacency dari graf
dengan menggunakan bantuan M-File MATLAB beserta outputnya di
command window.
4. a. Tabel Rank Matriks Adjacency dari Graf dengan
dan
b. Tabel Rank Matriks Adjacency dari Graf dengan
dan
c. Tabel Rank Matriks Adjacency dari Graf dengan
dan
d. Tabel Rank Matriks Adjacency dari Graf dengan
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori graf merupakan bagian penting dari ilmu pengetahuan dan teknologi
saat ini. Hal ini disebabkan teori graf banyak diaplikasikan pada berbagai
macam bidang, di antaranya adalah kimia, fisika, biologi, teknik lingkungan,
arsitektur, jaringan transportasi, riset operasi, teknik industri, teknik sipil,
bahkan di bidang ekonomi. Karena alasan itu pula sejumlah penelitian telah
dilakukan untuk mengembangkan teori-teori yang sudah ada sebelumnya.
Salah satu penelitian yang banyak dilakukan adalah penelitian tentang
keterhubungan suatu graf. Hal ini berkaitan erat dengan salah satu aplikasi
graf dalam kehidupan sehari-hari yaitu untuk menentukan lintasan terpendek
(shortest path) dengan ketentuan bahwa suatu titik harus terhubung dengan
titik-titik yang lain.
Graf G didefinisikan sebagai himpunan berhingga V G yang tidak
kosong yang anggota-anggotanya disebut titik (vertice) dan himpunan E G
yang mungkin kosong, yang anggota-anggotanya terdiri dari himpunan bagian
dari V G dengan dua elemen dan disebut garis (edge). Sebuah graf dapat
disajikan dalam suatu matriks yang dinamakan matriks adjacency (matriks
keterhubungan) dengan baris dan kolomnya menyatakan titik – titik graf dan
elemen matriks menyatakan keterhubungan antar titik graf tersebut. Jika kedua
dan jika kedua titik dalam graf tersebut tidak terhubung maka elemennya
bernilai 0.
Rank matriks adalah banyaknya baris atau kolom dari matriks tersebut
yang bebas linier. Penelitian tentang rank matriks adjacency dari graf khusus
(graf sikel, lengkap, bintang dan path) serta join dua graf khusus telah
dilakukan oleh Estuningsih (2008). Selain operasi join, dalam graf juga
terdapat operasi hasil kali kartesian antara dua graf (cross product), yaitu graf
yang terbentuk dari keterhubungan antar setiap titik-titik pada dua graf.
Penelitian tentang rank matriks adjacency hasil cross product graf path
dengan graf sikel telah dilakukan oleh Handayani (2011). Penelitian tentang
rank matriks adjacency hasil cross product graf star dengan graf sikel telah
dilakukan oleh Latifah (2011). Sedangkan penelitian tentang rank matriks
adjacency hasil cross product graf sikel dengan graf sikel telah dilakukan oleh
Istiqomah (2012). Berdasarkan uraian tersebut peneliti tertarik untuk
melanjutkan penelitian menentukan rank dari matriks adjacency hasil cross product dua graf yang merupakan pengembangan dari graf-graf khusus yang
telah disebutkan di atas. Graf yang digunakan adalah graf tangga dan
graf path dengan ordo . Graf tangga sendiri adalah graf hasil cross product dari graf path berordo dengan graf , dengan kata lain
(Ngurah, dkk, 2010). Selanjutnya akan diteliti mengenai
hubungan antara rank matriks adjacency dari graf hasil cross product antara
graf tangga dan graf path dengan rank matriks adjacency dari
masing-masing graf tangga dan graf path dan kemudian dianalisis
1.2Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah tersebut di atas, maka rumusan
masalah yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah bagaimana hubungan rank
matriks adjacency graf tangga , dan graf path dengan rank matriks adjacency dari graf ?
1.3Tujuan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan penulisan skripsi ini
adalah menentukan hubungan rank matriks adjacency graf tangga , dan
graf path dengan rank matriks adjacency dari graph .
1.4Manfaat
Manfaat dari tulisan ini diharapkan dapat menambah keluarga graf yang
sudah diketahui rank matriks adjacencynya. Selain itu, informasi yang didapat
dari penulisan ini akan membantu penelitian lebih lanjut tentang matriks
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Graf
Definisi 2.1 Graf didefinisikan sebagai himpunan berhingga yang tidak
kosong yang anggota-anggotanya disebut titik (vertice) dan himpunan
yang mungkin kosong, yang anggota-anggotanya terdiri dari
himpunan bagian dari dengan dua elemen dan disebut garis (edge).
Elemen dari dinotasikan dengan dan elemen dari
dinotasikan dengan . Jika terdapat garis yang menghubungkan titik dan ,
maka dikatakan adjacent dengan , dalam hal ini titik dan dikatakan incident dengan .
(Chartrand dan Oellerman, 1993)
Definisi 2.2 Jumlah titik dalam sebuah graf dinamakan ordo (order) dari ,
dan jumlah garis dalam graf dinamakan ukuran (size) dari . Ordo dari
dapat ditulis dan ukuran dari dapat ditulis .
(Chartrand dan Oellerman, 1993)
Definisi 2.3 Perjalanan (walk) dari graf adalah rangkaian secara bergantian
elemen dan elemen yang berbentuk
yang diawali dan diakhiri dengan titik,
sehingga setiap garisnya incident dengan dua titik terdekat sebelum dan
sesudahnya. Penulisan dapat disingkat menjadi
.
Panjang walkadalah banyaknya garis dalam walk tersebut.
(Chartrand dan Oellerman, 1993)
Definisi 2.4 Lintasan (Path ) adalah walk yang semua titiknya berbeda.
Graf path merupakan graf dengan ordo yang merupakan lintasan. Graf path dengan ordo n dinotasikan dengan .
(Chartrand dan Oellerman, 1993)
Gambar 2
Contoh 2 : Pada Gambar 2, merupakan titik-titik pada graf path
yang dinotasikan dengan .
Definisi 2.5 Hasil kali kartesian (cross product) dua graf dan dinotasikan
dengan didefinisikan sebagai graf yang memiliki himpunan titik
, dan dua titik dan adjacent pada
jika hanya jika
dan E(G2) , atau
dan E(G1)
(Chartrand dan Oellerman, 1993)
Contoh 3 : Pada Gambar 3,
merupakan titik-titik pada graf hasil cross pruduct graf path berordo 3
dengan graf path berordo 2 yang dinotasikan dengan .
Definisi 2.6 Graf tangga ( ) merupakan hasil cross product dari graf path
berordo n dengan graf path berordo dua, atau dapat ditulis .
(Ngurah, dkk, 2010)
2.2 Matriks
Bahasan mengenai matriks dapat menyangkut banyak hal, mulai dari
jenis-jenisnya hingga komponen-komponen yang ada di dalamnya. Salah satu jenis
matriks yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari adalah matriks simetri
Definisi 2.7 Matriks simetri merupakan sebuah matriks persegi yang
hasil transposenya adalah dirinya sendiri . Dengan kata lain untuk
setiap baris ke-i dan kolom ke-j dengan dan berlaku
, dengan ) menyatakan elemen ke – dari matriks
.
(Jacob, 1990)
Selain jenis-jenis matriks, bahsan mengenai matriks juga menyangkut
komponen-komponen di dalamnya, seperti ruang baris, ruang kolom, dan rank.
Sebelum membahas tentang rank terlebih dahulu diberikan definisi mengenai
operasi baris elementer, ruang baris, dan ruang kolom, serta basis dan dimensi.
Definisi 2.8 Diberikan sebarang matriks berukuran , sebuah operasi
baris [kolom] elementer yang diterapkan pada matriks adalah salah
satu dari aturan berikut:
i. Menukar baris [kolom] ke-i dan baris [kolom] ke-j, dinyatakan dengan bij [kij].
ii. Menggandakan setiap elemen baris [kolom] ke i dengan skalar l 0,
dinyatakan dengan bi(l) [ki(l)].
iii. Menambahkan l kali elemen-elemen baris [kolom] ke-j (l skalar)
kepada baris [kolom] ke-i, dinyatakan dengan bij(l) [kij(l)].
(Friedberg, Insel dan Spence, 2003)
Definisi 2.9 Matriks Elementer adalah matriks yang didapat dari matriks
identitas berukuran dengan satu operasi baris elementer.
Teorema 2.10 Diberikan matriks berukuran dan matriks yang
diperoleh dari dengan satu operasi baris elementer, maka terdapat
sebuah matriks elementer berukuran yang memenuhi ,
dimana diperoleh dari sebuah matriks identitas berukuran
dengan operasi baris elementer yang sama yang diterapkan pada untuk
mendapatkan . Sedangkan jika matriks yang diperoleh dari dengan
satu operasi kolom elementer, maka terdapat sebuah matriks elementer
berukuran yang memenuhi , dimana diperoleh dari sebuah
matriks identitas berukuran dengan operasi kolom elementer yang
sama yang diterapkan pada untuk mendapatkan .
(Friedberg, Insel dan Spence, 2003)
Teorema 2.11 Setiap matriks elementer mempunyai invers, dan invers dari
matriks elementer adalah matriks elementer.
(Jacob,1990)
Definisi 2.12 Misalkan adalah sebuah matriks berukuran atas bilangan
real. Ruang bagian dari ruang vektor yang dibangun oleh baris-baris dalam
matriks disebut sebagai ruang baris dari , dan dinotasikan row( ).
Sedangkan ruang bagian dari ruang vektor yang dibangun oleh kolom-kolom
dalam matriks disebut sebagai ruang kolom dari , dan dinotasikan col( ).
Ruang bagian dari yang berisi semua penyelesaian dari disebut ruang
null dari , dan dinotasikan ker( ).
(Jacob, 1990)
sebagai jumlahan berhingga yang berbentuk
dengan merupakan skalar, .
(Jacob, 1990)
Definisi 2.14 Sebuah himpunan vektor-vektor dikatakan bebas
linier (linearly independent) jika
mengakibatkan skalar .
(Jacob, 1990)
Definisi 2.15 Himpunan semua kombinasi linier dari disebut ruang bagian
yang dibangun oleh dan dinotasikan atau span . Dalam hal ini
dikatakan sebagai pembangun atau generator dari span .
(Jacob, 1990)
Definisi 2.16 Himpunan vektor-vektor disebut basis dari ruang
vektor jika :
i. bebas linier.
ii. = span
Banyaknya vektor dalam suatu basis disebut dimensi.
(Jacob, 1990)
Teorema 2.17 Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuah
matriks.
(Jacob, 1990)
Dalam teori matriks, dikenal suatu bentuk matriks yang dinamakan bentuk
eselon baris tereduksi. Bentuk ini didapatkan dengan cara melakukan sejumlah
ruang baris dari suatu matriks adalah sama dengan ruang baris dari bentuk eselon
baris terduksinya, sehingga dapat dicari basis dari ruang baris dan ruang kolom
suatu matriks dengan menggunakan bantuan dari bentuk eselon baris
tereduksinya. Sehingga hal tersebut dituliskan dalam teorema berikut
Teorema 2.18 Misalkan adalah matriks berukuran dan adalah bentuk
eselon baris tereduksi dari , maka
i. Basis dari row( ) adalah baris-baris tidak nol dari .
ii. Basis dari col( ) adalah kolom-kolom yang bersesuaian dengan
kolom-kolom yang memuat 1 utama pada .
(Jacob, 1990)
Definisi 2.19 Misalkan adalah matriks berukuran , rank dari matriks
adalah dimensi dari ruang baris atau ruang kolom , dinotasikan dengan
rk( ).
(Jacob, 1990)
Berdasarkan teorema 2.18, dari definisi di atas didapatkan
Akibat 2.20 Rank matriks adalah jumlah baris dalam matriks tersebut yang
saling bebas linier.
Teorema 2.21 Misalkan merupakan matriks berukuran . Jika dan
merupakan matriks yang mempunyai invers yang masing-masing
berukuran dan maka berlaku:
a. rank rank
b. rank rank
c. rank rank
(Friedberg, Insel dan Spence, 2003)
Dalam aplikasinya di kehidupan sehari-hari, sering dijumpai matriks dengan
ukuran dan yang besar. Hal tersebut tentu menyulitkan dalam melakukan
analisis terhadap matriks tersebut. Maka dari itu matriks yang berukuran besar
tersebut dapat dijadikan matriks dengan ukuran yang lebih kecil, dengan cara
mempartisinya menjadi beberapa blok baris dan blok kolom. Secara detail
penggambaran matriks partisi dijelaskan dalam definisi berikut
Definisi 2.22 Matriks partisi (blok) merupakan matriks yang terdiri dari
submatriks-submatriks dan terpartisi menjadi blok baris dan blok
kolom, berbentuk
Submatriks-submatriks yang terletak pada satu blok kolom, memiliki
jumlah kolom yang sama. Submatriks-submatriks yang terletak pada satu
blok baris, memiliki jumlah baris yang sama.
(Abadir dan Magnus, 2005)
Jika dalam matriks dikenal operasi baris elementer, maka dalam matriks
dinamakan operasi blok baris elementer. Bedanya, dalam operasi blok baris
elementer tidak dilakukan operasi pertukaran blok baris, perkalian blok baris
dengan skalar, atapun penjumlahan suatu blok baris dengan blok baris yang lain
seperti dalam operasi baris elementer. Dalam operasi blok baris elementer setiap
operasinya diwakili oleh perkalian matriks tersebut dengan suatu matriks blok
elementer tertentu yang didefinisikan sebagai berikut
Definisi 2.23 Operasi blok baris elementer pada matrikspartisi yang berbentuk
=
1. Mengalikan dari kiri dengan matriks blok elementer .
2. Mengalikan dari kiri dengan matriks blok elementer
3. Mengalikan dari kiri dengan matriks blok elementer .
(Abadir dan Magnus, 2005)
Teorema 2.24 Misalkan Z1merupakan matriks partisi yang berbentuk
Akibat 2.25 Misalkan Z2merupakan matriks partisi yang berbentuk
matriks yang disebut matriks keterhubungan atau yang sering disebut dengan
matriks adjacency. Penjelasan mengenai matriks keterhubungan dituliskan dalam
definisi berikut
Definisi 2.26 Matriks Keterhubungan (Adjacency Matrix) sebuah graf adalah
suatu matriks dengan baris dan kolomnya menyatakan titik – titik graf dan
elemen matriks menyatakan keterhubungan antar titik graf tersebut. Jika
kedua titik dalam graf tersebut terhubung maka elemen matriks tersebut
bernilai 1 dan elemennya bernilai 0 jika kedua titik dalam graf tersebut
tidak terhubung. Matriks adjacency merupakan matriks simetri.
(Foulds, 1992)
Contoh 4 : Graf pada Gambar 1 dapat disajikan dalam matriks adjacency ,
yaitu
Teorema 2.27 Misalkan matriks merupakan matriks adjacency dari graf path
berordo . Untuk sebarang dengan , bentuk umum
adalah:
, ,
dengan
(Estuningsih dan Wahyuni, 2008)
Contoh :
Teorema 2.28 Rank matriks adjacency graf path bernilai untuk genap dan
bernilai untuk gasal.
(Estuningsih dan Wahyuni, 2008)
Definisi 2.29 Algoritma adalah suatu himpunan langkah-langkah atau instruksi
yang telah dirumuskan dengan baik (well defined) untuk memperoleh
suatu keluaran khusus (spesific output) dari suatu masukan khusus
(spesific input) dalam langkah yang jumlahnya berhingga.
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
Langkah-langkah yang digunakan dalam menyelesaikan permasalahan
dalam penelitian ini adalah:
1. Mengkaji hasil penelitian sebelumnya tentang hubungan antara graf path
dengan matriks adjacencynya serta rumusan umum untuk rank matriksnya.
2. Menggambarkan graf tangga sebagai hasil cross product dari graf
dengan graf .
3. Menentukan pola penomoran titik-titik pada graf tangga yang terbentuk
pada langkah 2 dan menyajikannya dalam matriks adjacency .
4. Mengulangi langkah 2 dan 3 untuk graf .
5. Menentukan bentuk umum dari matriks adjacency graf tangga.
6. Menguji hasil yang diperoleh pada langkah 5 untuk graf tangga dengan .
7. Membuat algoritma dan program dari bentuk umum matriks adjacency graf
tangga dengan bantuan M-file MATLAB untuk menentukan bentuk matriks
adjacency dari graf dan menghitung ranknya dengan bantuan paket
program dari software MATLAB.
8. Mengulangi langkah 7 dengan memasukkan nilai .
9. Menggunakan hasil pada langkah 7 untuk menentukan rumusan umum rank
matriks adjacency dari graf tangga.
10.Menguji hasil yang diperoleh pada langkah 8 untuk graf tangga dengan
11.Menggambarkan graf sebagai hasil cross product dari graf dengan
graf .
12.Menentukan pola penomoran titik-titik pada graf yang terbentuk pada
langkah 11 dan menyajikannya dalam matriks adjacency .
13.Mengulangi langkah 11 dan 12 untuk graf
.
14.Menentukan bentuk umum dari matriks adjacency graf .
15.Mengulangi langkah 13 dan 14 dengan mengubah nilai (ordo graf path)
dengan .
16.Menentukan bentuk umum dari matriks adjacency graf .
17.Menguji hasil yang diperoleh pada langkah 15 untuk graf dengan
.
18.Membuat algoritma dan program dari bentuk umum matriks adjacency graf
dengan bantuan M-file MATLAB untuk menentukan bentuk matriks
adjacency dari graf dan menghitung ranknya dengan bantuan paket
program dari software MATLAB.
19.Mengulangi langkah 17 dengan memasukkan nilai .
20.Menggunakan hasil pada langkah 19 untuk menentukan rumusan umum rank
matriks adjacency dari graf .
21.Mengulangi langkah 18 dan 19 dengan memasukkan nilai .
22.Menggunakan hasil pada langkah 21 untuk menentukan rumusan umum rank
matriks adjacency dari graf .
23.Menguji hasil yang diperoleh pada langkah 22 untuk graf dengan
24.Menganalisis dan menyimpulkan hubungan antara rank matriks adjacency
graf dengan rank matriks adjacency graf tangga dan graf path sesuai
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan hubungan antara rank matriks
adjacency dari graf dengan rank matriks adjacency dari graf tangga dan
graf path. Sejauh ini peneliti hanya menemukan literatur mengenai rumusan
umum rank matriks adjacency dari graf path. Jadi, sebelum menentukan
hubungan antara rank matriks adjacency dari graf dengan rank matriks adjacency dari graf tangga dan graf path, terlebih dahulu akan dicari bentuk
umum matriks adjacency dari graf tangga dan graf serta rumusan umum
ranknya.
4.1 Rank Matriks Adjacency Graf Tangga
Berdasarkan Definisi 2.6, graf tangga ( ) merupakan hasil cross product
dari graf path berordo n dengan graf path berordo dua, atau dapat ditulis
. Dalam tulisan ini disebut panjang graf tangga atau dapat dikatakan
terdiri dari anak tangga.
Contoh :
Panjang graf tangga adalah 3, sehingga dapat dikatakan graf terdiri dari 3
anak tangga.
Misalkan adalah matriks adjacency dari graf tangga , maka ada banyak
bentuk tergantung pada cara penamaan titik-titiknya. Sebagai contoh untuk
penamaan graf dan dapat dilakukan dengan beberapa cara, di antaranya
adalah :
a)
berdasarkan aturan ini diperoleh
Dengan rank dan rank
berdasarkan aturan ini diperoleh
Dengan rank dan rank
c)
berdasarkan aturan ini diperoleh
dengan rank dan rank
berdasarkan aturan ini diperoleh
Dengan rank dan rank
Perbedaan bentuk matriks-matriks adjacency tersebut merupakan akibat dari
perbedaan penomoran titik-titik pada graf tangga, dan perbedaan aturan penamaan
pada graf tangga tersebut sebenarnya hanyalah pertukaran posisi antar titiknya.
Dalam matriks adjacencynya, pertukaran posisi antar titik tersebut diwakili oleh
pertukaran baris dan kolom. Jadi, setiap matriks adjacency dari suatu graf tangga
dapat diperoleh dari matriks adjacency lain dari graf tangga yang sama dengan
melakukan berhingga banyak pertukaran baris dan kolom. Pertukaran baris dan
kolom ini dipresentasikan oleh perkalian matriks-matriks permutasi atau matriks
elementer jenis pertukaran baris dan kolom.
Misalkan dan masing-masing adalah matriks adjacency dari graf
dengan aturan penomoran titik yang berbeda. Berdasarkan penjelasan di atas,
dapat diperoleh dari yang dikenai berhingga banyak operasi pertukaran baris
dan kolom. berdasarkan Teorema 2.10, hubungan antara dan ini dapat ditulis
sebagai berikut :
dengan adalah perkalian berhingga matriks permutasi baris dan adalah
permutasi tersebut nonsingular, maka dan juga nonsingular. Sehingga
berdasarkan Teorema 2.21:
rank rank , sehingga
rank rank
Dari penjelasan di atas, dapat disimpulkan bahwa perbedaan urutan
penomoran titik-titik pada graf tangga hanya mempengaruhi bentuk matriks
adjacencynya saja, tetapi tidak berpengaruh terhadap nilai ranknya.
Walaupun setiap aturan akan menghasilkan nilai rank yang sama, tetap
harus dipilih satu aturan yang paling efektif untuk penamaan titik-titik pada graf
tangga. Tujuannya adalah untuk mempermudah dalam menentukan rumusan
umum matriks adjacency dari graf tangga tersebut. Dari beberapa aturan di atas
dipilih aturan penamaan b yang secara umum membentuk pola sebagai berikut :
Penamaan dimulai dari pojok kiri atas dilanjutkan ke kanan sampai titik
ke-
kembali lagi ke titik pojok bawah dan berlanjut ke kanan lagi sehingga
titik terletak tepat di atas titik .
Berdasarkan aturan penamaan tersebut, penyajian matriks dapat ditulis
.
.
.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa rumusan umum matriks adjacency graf tangga
adalah
dengan adalah matriks adjacency dari graf path dan adalah matriks
indentitas.
Matriks adjacency dari graf tangga dapat juga dinyatakan dengan bentuk
, , yang didefinisikan sebagai berikut :
Adapun program untuk menentukan rank matriks adjacency dari graf
tangga disajikan pada Lampiran 1. Dari running program tersebut dengan
memasukkan banyaknya yang berbeda-beda diperoleh beberapa rank matriks
adjacency sesuai dengan . Selanjutnya hasil ranktersebut dinyatakan dalam tabel
rank dengan yang disajikan pada Lampiran 2. Dari tabel tersebut
dapat diperoleh rumusan rank matriks adjacency dari graf tangga berdasarkan
banyaknya . Dari hasil perumusan rank tersebut terlihat bahwa terdapat matriks
adjacency yang mempunyai rankpenuh dan juga terdapat matriks adjacency yang
mempunyai rank tidak penuh. Pada matriks adjacency yang mempunyai rank
penuh, semua baris-barisnya bebas linear. Sedangkan pada matriks adjacency
yang mempunyai rank yang tidak penuh terdapat baris yang bergantung linear
dimana baris tersebut merupakan kombinasi linear dari baris-baris yang lain.
Untuk mengetahui baris manakah yang bergantung linear pada suatu matriks,
perlu dilakukan pengecekan pada setiap baris dalam matriks tersebut. Selanjutnya
perumusan tersebut disajikan sebagai teorema berikut.
Teorema 4.1 Misalkan merupakan matriks adjacency dari graf tangga dengan
, maka
(i) untuk , dan
(ii) untuk .
Bukti.
(i) Pembuktian dilakukan dengan induksi matematika atas .
Diketahui matriks adjacency berukuran . Jika rank ,
lain. Dengan menggunakan induksi matematika akan ditunjukkan bahwa rumus
benar dengan sebagai variabelnya.
Pangkal.
Untuk , maka . Bentuk adalah
Dari matriks tersebut terlihat bahwa baris pertama sama dengan baris keempat dan
baris kedua sama dengan baris ketiga. Baris pertama dan baris kedua saling bebas
linier, sehingga rank( .
Langkah.
Misalkan rumusan benar untuk , maka . Dalam hal ini matriks
berukuran dan rank
. Bentuk umum dari adalah
Dari matriks tersebut diperoleh dua baris yang merupakan kombinasi linear dari
baris-baris yang lain yaitu baris yang pertama dan baris ke- , dalam
dari baris-baris yang lain pada matriks adjacency graf tangga tersebut dinyatakan
sebagai berikut
o Untuk , maka
o Untuk , maka
Selanjutnya akan dibuktikan rumus benar untuk , yaitu rank
. Graf dapat diperoleh dari graf
dengan menambahkan 3 anak tangga, yang berarti penambahan 6 titik pada
graf tangga tersebut. Berdasarkan aturan penamaan graf tangga, titik-titik yang
ditambahkan tersebut akan dinamai dan ,
dengan adjacent dengan , adjacent dengan , dan adjacent dengan .
Berdasarkan aturan di atas, maka matriks dibentuk dari
dengan dan adalah baris yang ditambahkan, serta dan adalah kolom
yang ditambahkan. Dengan demikian ukuran dari matriks adalah
.
Bentuk matriks di atas dapat juga dinyatakan sebagai
Berdasarkan bentuk tersebut dapat dipastikan bahwa baris-baris pada bukan
Baris-baris pada tersebut juga bukan merupakan kombinasi linier dari
baris-baris di bawahnya, yaitu baris di bawahnya, maupun baris-baris pada .
Begitu pula dengan baris –baris pada yang bukan merupakan kombinasi linier
dari baris di atas dan baris di bawah .
Selain itu, penambahan 6 baris serta 6 kolom tersebut tidak mengubah pola
umum dari matriks , sehingga posisi baris-baris yang tidak bebas linier juga
tidak berubah. Baris-baris tersebut adalah baris pertama yang dinotasikan dengan
dan baris ke- , dalam hal ini adalah baris ke- yang
dinotasikan dengan . Rumusan baris yang merupakan kombinasi linear
dari baris-baris yang lain tersebut dinyatakan sebagai berikut
o Untuk , maka
o Untuk , maka
sehingga untuk terdapat dua baris yang bergantung linier dengan
baris-baris yang lain. Dengan demikian banyaknya baris-baris-baris-baris yang bebas linier adalah
(ii) Untuk akan dicari nilai rank dari masing-masing
untuk dan . Diketahui bentuk umum dari adalah
Untuk menghitung rank dilakukan perkalian dengan matriks blok elementer
sebagai berikut:
1. Mengalikan dengan matriks blok elementer , yaitu
Berdasarkan Teorema 2.21, karena adalah matriks nonsingular, maka,
rank = rank
2. Mengalikan matriks hasil operasi pada langkah 1 dengan matriks blok
elementer , yaitu
Berdasarkan Teorema 2.21, karena adalah matriks nonsingular, maka
rank = rank .
Dari langkah 1 dan 2 di atas diperoleh rank = rank .
Berdasarkan Akibat 2.25, rank rank rank ,
sehingga rank rank rank . Diketahui rank ,
sehingga untuk menghitung rank terlebih dahulu akan dicari rank dari
Bentuk umum dari matriks adalah
Matriks dapat juga dinotasikan dengan ,
dengan
Untuk menghitung rank dari dilakukan serangkaian operasi baris
elementer untuk membawa ke dalam bentuk matriks segitiga atas.
Rangkaian operasi baris elementer ini dibedakan menjadi dua, yaitu untuk
dan +1.
Untuk , algoritmanya adalah sebagai berikut:
1. a. menukar baris pertama dengan baris ke-3
b. menukar baris ke- dengan baris ke-(
sehingga bentuk menjadi
2. a. baris ke- dikurangi dengan baris ke- , dengan
c. menukar baris ke- dengan baris ke- , dengan
3. mengulangi langkah 2 untuk
sehingga bentuk menjadi
4. a. baris dikurangi dengan baris
ke-b. baris ke- dikurangi dengan baris
ke-sehingga bentuk menjadi
Untuk , algoritmanya adalah sebagai berikut:
1. a. menukar baris pertama dengan baris ke-3
sehingga bentuk menjadi
2. a. baris ke- dikurangi dengan baris ke- , untuk
b. baris ke- dikurangi dengan baris ke- , untuk
c. menukar baris ke- dengan baris ke- , untuk
3. a. mengulangi langkah 3.a untuk
b. mengulangi langkah 3.b untuk
c. mengulangi langkah 3.c untuk
sehingga bentuk menjadi
4. a. baris dikurangi dengan baris
ke-sehingga bentuk menjadi
Berdasarkan hal tersebut, diperoleh rank rank . Karena
operasi baris elementer tidak mengubah nilai rank, maka rank ,
rank rank , sehingga rank rank rank
.
4.2 Rank Matriks Adjacency dari Graf
Hasil yang didapat dari analisis mengenai matriks adjacency graf tangga di
atas selanjutnya digunakan untuk menentukan bentuk umum matriks adjacency
dari graf hasil cross product graf tangga ( ) dengan graf path berordo ( )
yang dapat dinotasikan dengan , serta rumusan umum ranknya.
Misalkan matriks adjacency dari graph dinotasikan dengan
dengan merupakan panjang graf tangga dan merupakan ordo dari graf
path. Seperti graf tangga, graf pada Gambar 5a, 5b, dan 5c juga dapat disajikan
dalam banyak matriks adjacency tergantung pada penentuan titik awal serta
urutan penempatan titik-titik pada baris dan kolom. Walaupun terdapat banyak
matriks adjacency dari graf tersebut, semua nilai ranknya tetap sama.
Pada bahasan sebelumnya telah diketahui bahwa matriks adjacency dari
graf tangga memuat matriks adjacency dari graf path dan matriks identitas. Hal
tersebut dikarenakan graf tangga sendiri merupakan graf hasil cross product dari
sebuah graf path dengan path berordo 2. Karena graf adalah graf hasil cross product dari graf tangga dan graf path, maka cara penamaannya juga analog
dengan cara penamaan graf tangga. Dalam penelitian ini urutan titik-titik dari graf
yang berjumlah ditentukan sebagai berikut:
1. sebagai titik awal adalah salah satu titik pada graf tangga berordo
yang letaknya paling atas sebelah kiri.
2. Urutan dengan sesuai dengan aturan penamaan titik pada
graf tangga.
4. Untuk urutan titik sampai titik mengikuti pola titik sampai
titik .
Selanjutnya titik dengan disajikan dalam baris ke-i dan kolom
ke-j pada matriks yang berukuran .
Berturut-turut matriks dan dapat dipartisi menjadi:
Berdasarkan contoh-contoh di atas dapat ditentukan pola umum matriks adjacency
dari graf adalah sebagai berikut :
(i)
(ii)
(iii)
Dari (i),(ii),dan (iii) dapat ditentukan bahwa matriks adjacency dari graf
merupakan matriks partisi dengan blok baris dan blok kolom yang
dengan merupakan matriks adjacency graf tangga yang berukuran ,
merupakan matriks identitas berukuran , dan merupakan matriks
nol berukuran .
Matriks adjacency dari graf dapat juga dinyatakan dalam bentuk
, , untuk berlaku
dengan ; ; ; ; ;
; .
Adapun program untuk menentukan rank matriks adjacency dari graf
disajikan pada Lampiran 3. Dari running program tersebut dengan
memasukkan dan yang berbeda-beda diperoleh beberapa rank matriks
adjacency sesuai dengan dan . Selanjutnya hasil rank tersebut dinyatakan
dalam tabel rank dengan dan yang disajikan pada
Lampiran 4. Berbeda dengan tabel rank matriks adjacency graf tangga, dari tabel
rank matriks adjacency graf tidak ditemukan keteraturan pola rank
berdasarkan banyaknya dan . Dari tabel tersebut hanya terlihat bahwa
Karena graf merupakan hasil cross product dari graf tangga dan
graf path, maka analisis mengenai rank matriks adjacency dari graf dapat
ditinjau dari dua sisi, yaitu dari rank matriks adjacency graf tangga dan rank
matriks adjacency graf path. Keteraturan pola rank matriks adjacency dari graf
tangga dibagi menjadi dua, yaitu untuk dan . Pada tabel
rank , tidak ditemukan keteraturan pola untuk . Sebagai contoh
ketika , rank adalah untuk . Diketahui pula rank
Selain ditinjau dari keteraturan pola rank matriks adjacency graf tangga,
analisis mengenai rank juga ditinjau dari pola rank matriks adjacency
graf path. Keteraturan pola rank matriks adjacency dari graf path dibagi menjadi
dua, yaitu untuk dan . Pada tabel rank , tidak
ditemukan keteraturan pola untuk . Sebagai contoh ketika , rank
rank adalah untuk dan untuk .
umum tidak ditemukan pola yang teratur. Meski demikian, keteraturan pola rank
matriks dapat terlihat untuk suatu nilai dan tertentu. Sebagai contoh
menjadi matriks segitiga atas. Operasi blok baris elementer yang dilakukan adalah
sebagai berikut:
1. Mengalikan dengan matriks blok elementer ,
yaitu
Berdasarkan Teorema 2.21, karena adalah matriks nonsingular, maka
rank rank
2. Mengalikan matriks hasil operasi pada langkah 1 dengan matriks blok
elementer , yaitu
Berdasarkan Teorema 2.21, karena adalah matriks nonsingular, maka
rank rank
Dari langkah 1 dan 2 di atas diperoleh
rank rank (i)
Berdasarkan Akibat 2.25,
rank rank rank (ii)
Karena nilai rank sudah diketahui yaitu , maka selanjutnya adalah mencari
nilai rank dari matriks . Untuk mempermudah perhitungan, maka
Selanjutnya bentuk dapat difaktorkan sebagai berikut
Berdasarkan teorema 2.28, untuk dengan , rank bernilai . Hal
ini berarti memiliki rank penuh, yang mengakibatkan juga
memiliki rank penuh, sehingga adalah matriks yang invertibel atau
nonsingular. Karena nonsingular, maka
rank rank rank (iii)
Selanjutnya akan dicari nilai dari rank matriks . Berdasarkan
Teorema 2.24,
rank rank rank
= rank rank (iv)
Karena nilai rank sudah diketahui yaitu , maka selanjutnya yang dicari
adalah nilai rank .
Untuk memudahkan perhitungan, bentuk diubah menjadi
, sehingga rank rank
. Karena nonsingular, maka
rank rank rank (v)
Bentuk memiliki struktur yang hampir sama dengan bentuk
yang telah dibahas saat pembuktian Teorema 4.2 (ii) di halaman 30.
Maka dari itu untuk mencari rank dari digunakan cara yang sama
seperti ketika mencari rank . Bentuk umum dari adalah
sebagai berikut
Matriks dapat juga dinotasikan dengan ,
dengan
dengan .
Untuk menghitung rank dari dilakukan serangkaian operasi
baris elementer untuk membawa ke dalam bentuk matriks segitiga
atas, dengan algoritma sebagai berikut
1. Baris ke- ditambahkan dengan kali baris
ke-dengan
Dari langkah tersebut diperoleh bentuk matriks segitiga atas sebagai berikut
Misalkan matriks akhir tersebut dinamakan , maka dapat dinyatakan sebagai
, dengan
dengan .
Berdasarkan hasil tersebut diperoleh rank . Karena oparasi baris
elementer tidak mengubah nilai rank, maka rank rank .
Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (vi) ke persamaan (v)
diperoleh rank . Kemudian hasil tersebut disubstitusikan ke
persamaan (iv), sehingga
rank rank rank .
Hasil tersebut kemudian di substitusikan ke persamaan (iii) sehingga diperoleh
rank . Selanjutnya dengan mensubstitusikan hasil ini ke
persamaan (ii) diperoleh
rank rank rank .
menghasilkan rank rank , sehingga terbukti bahwa
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Rank matriks adjacency dari graf tangga dan graf diperoleh
dari running program dengan bantuan M-File MATLAB. Dari hasil tersebut
dilakukan analisis secara aljabar mengenai rumusan umum rank matriks
adjacency graf tangga serta graf sehingga diperoleh :
1. Rank matriks adjacency dari graf tangga adalah untuk
, dan untuk dengan .
2. Berdasarkan tabel rank matriks , untuk semua nilai dan secara
umum tidak ditemukan pola yang teratur. Meski demikian, keteraturan
pola rank matriks dapat terlihat untuk suatu nilai dan tertentu.
Salah satunya adalah untuk genap dan maka rank matriks
adalah .
5.2 Saran
Dari hasil penelitian ini disarankan pengadaan penelitian selanjutnya untuk
menentukan rumusan umum rank matriks adjacency dari graf untuk
DAFTAR PUSTAKA
1. Abadir, K, M. and Magnus, Jan R., 2005, Matrix Algebra, Cambridge
University Press, New York.
2. Chartrand, G., Oellerman, O, R., 1993, Applied and Algorithmic Graph Theory, McGraw-Hill Inc, Canada.
3. Estuningsih, N. dan Wahyuni, Y., 2008, Rank Matriks Adjacency Join Dua Graph,Laporan Penelitian DIPA, Universitas Airlangga, Surabaya.
4. Foulds, L,R., 1992, Graph Theory Applications, Springer Verlag Inc. New
York.
5. Friedberg, S. H, Insel, A. J, and Spence, E. L., 2003, Linear Algebra Fourth Edition, Pearson Education Inc, New York.
6. Handayani, Ayuk Fitri, 2011, Rank Matriks Adjacency dari Graf Prisma
Lampiran 1.
Program untuk menentukan rank matriks adjacency dari graf tangga dengan
M-File MATLAB beserta outputnya pada command window.
Lampiran 2.
Tabel Rank Matriks Adjacency dari graf tangga dengan
Lampiran 3.
program untuk menentukan rank matriks adjacency dari graf
dengan menggunakan bantuan M-File MATLAB,
Versi 1 :
clc;
disp('====== RANK MATRIKS ADJACENCY DARI GRAF Ln x Pm ======');
n=input('masukkan panjang graf tangga : ');
end;
end;
end;
disp(T)
disp('ranknya adalah ')
disp(rank(T))
tampilan di command window:
versi 2 :
clc;
n=input('Masukan panjang tangga = ');
m=input('Masukan ordo graf path = ');
for j=1:m
if(j==1)
for i=1:m-1
if i==1
end;
disp(finish);
R=rank(finish);
disp('ranknya adalah ');
disp(R);
