RANK MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF

(1)

Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 1 (2013), hal . 63 – 70.

63

RANK MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF

Eka Wulan Ramadhani, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani

INTISARI

Rank dari matriks atas field merupakan banyaknya elemen basis pada ruang baris atau ruang kolom matriks tersebut. Namun, definisi dari rank matriks atas field ini tidak selalu berlaku untuk matriks atas ring komutatif, karena tidak semua ruang baris atau ruang kolom dari matriks atas ring komutatif memiliki basis.

Oleh karena itu, diperlukan pendefinisian baru untuk menentukan rank matriks atas ring komutatif. Rank matriks atas ring komutatif adalahnilai maksimum sedemikian sehingga Annihilator dari ideal yang dibangun oleh minor berukuran hanya memuat nol. Annihilator dari merupakan himpunan yang memuat semua sedemikian sehingga jika untuk setiap . Jika matriks atas ring komutatif ini diganti dengan sebarang matriks atas field maka definisi dari rank matriks atas ring komutatif juga berlaku untuk matriks atas field.

Kata kunci: Modul, Rank Matriks atas Ring Komutatif, Rank Matriks atas Field

PENDAHULUAN

Salah satu masalah penting dalam matematika adalah menyelesaikan sistem persamaan linear.

Suatu sistem persamaan linear dikatakan konsisten jika rank dari matriks koefisien sama dengan rank matriks diperbesar. Namun, jika rank matriks koefisien lebih kecil dari rank matriks diperbesarnya, maka sistem persamaan linear tersebut tidak konsisten. Definisi rank matriks klasik erat kaitannya dengan matriks atas field yaitu matriks yang entri-entrinya elemen suatu field. Dalam menentukan rank matriks atas field dapat digunakan metode eliminasi Gauss dengan menggunakan operasi baris atau kolom elementer, sehingga diperoleh basis dari ruang kolom atau ruang baris matriks tersebut.

Banyaknya elemen pada basis ruang baris atau ruang kolom matriks tersebut disebut sebagai dimensi ruang baris atau ruang kolom. Dimensi ruang baris atau ruang kolom inilah yang disebut dengan rank matriks atas field, atau dinotasikan dengan . Pada suatu matriks , dengan merupakan suatu field operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris dan ruang kolom . Selanjutnya, vektor-vektor baris tak nol yang berbentuk eselon dari matriks akan membangun basis untuk ruang baris , dan vektor-vektor kolom tak nol yang berbentuk eselon dari matriks akan membangun basis untuk ruang kolom [1]. Suatu himpunan yang tidak kosong yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian disebut ring, jika himpunan tersebut terhadap operasi penjumlahan merupakan grup abelian, terhadap operasi perkalian semigrup, dan memenuhi sifat distributif kiri dan kanan operasi penjumlahan terhadap perkalian [2]. Salah satu jenis ring adalah ring komutatif yaitu ring yang bersifat komutatif terhadap operasi perkalian. Jadi, matriks atas ring komutatif adalah matriks yang entri-entrinya elemen dari suatu ring komutatif. Himpunan disebut modul kiri atas ring jika , grup abelian dan memenuhi aksioma-aksioma berikut [3]:

M1. (tertutup terhadap operasi pergandaan skalar) M2.

M3.

M4.

M5. , dengan merupakan elemen satuan terhadap operasi perkalian.

Sebaliknya, himpunan dan grup abelian disebut modul kanan atas ring , jika memenuhi aksioma M1 sampai M5 dengan syarat perkalian skalarnya dari kanan. Namun, jika

(2)

64 E WULAN RAMADHANI, N KUSUMASTUTI, E NOVIANI

merupakan ring komutatif, maka struktur modul kiri sama dengan struktur modul kanan atas ring dan disebut sebagai modul atas . Untuk selanjutnya, jika diketahui modul atas , maka yang dimaksud adalah ring komutatif.

Struktur himpunan semua matriks atas ring komutatif adalah modul, dan tidak semua modul memiliki basis. Akibatnya, tidak selalu dapat dicari dimensi dari ruang baris atau ruang kolom pada matriks atas ring komutatif. Oleh karena itu, definisi rank matriks atas field tidak selalu berlaku untuk matriks atas ring komutatif.

Berdasarkan uraian tersebut, maka penelitian ini akan mengkaji tentang definisi rank matriks atas ring komutatif, mengkaji sifat-sifat rank matriks atas ring komutatif serta menyelidiki apakah definisi rank matriks atas ring komutatif juga berlaku untuk matriks atas field. Dalam penelitian ini, matriks yang digunakan adalah matriks atas ring komutatif berordo . Untuk menentukan rank matriks atas ring komutatif, diawali dengan menentukan ideal dari yang dibangun oleh setiap minor-minor matriks berordo , dinotasikan dengan , dengan syarat . Selanjutnya ditentukan himpunan yang memuat suatu elemen di sedemikian sehingga jika elemen tersebut dikalikan dengan setiap elemen di maka hasilnya sama dengan nol. Himpunan tersebut disebut sebagai Annihilator dari atau disingkat . Setelah itu diperoleh rank dari matriks yang merupakan maksimum dari sedemikian sehingga hanya memuat elemen nol. Namun jika tidak terdapat sedemikian sehingga merupakan himpunan yang hanya memuat nol, maka rank dari matriks tersebut sama dengan nol.

Rank Matriks atas Ring Komutatif

Seperti halnya matriks atas field, matriks atas ring komutatif juga dibangun oleh ruang baris dan ruang kolom. Dimisalkan , maka ruang kolom dari matriks merupakan submodul di dan ruang baris matriks merupakan submodul di , tetapi submodul-submodul ini belum tentu mempunyai basis. Karena itu perlu dilakukan inovasi, sehingga dapat didefinisikan rank matriks atas ring komutatif yang tidak bertentangan dengan definisi matriks atas field. Pada suatu ring dikenal istilah ideal yaitu subring yang bersifat khusus. Diberikan yang merupakan ideal dari ring , maka untuk setiap berlaku dan . Selain itu, di dalam ring juga terdapat istilah Annihilator. Annihilator dari suatu ideal didefinisikan sebagai berikut:

yang disebut Annihilator dari ideal [3]. Ideal yang digunakan dalam menentukan rank matriks atas ring komutatif adalah ideal yang menyerupai pendefinisian basis pada matriks atas field, sehingga dapat digunakan untuk mencari rank matriks ring komutatif. Jika definisi matriks atas field dilihat dari sisi adanya minor matriks yang tidak nol, maka pendefinisian rank matriks atas ring komutatif dapat dilakukan melalui pengkajian ideal yang dibangun oleh semua minor dari matriks atas ring . Definisi 1 [4] Diberikan . Himpunan didefinisikan sebagai ideal di dalam ring yang dibangun oleh minor berukuran dari matriks untuk setiap .

Definisi 1 dapat dijelaskan sebagai berikut, dimisalkan ( ) dengan dan . Minor-minor matriks yang berukuran adalah

Dari minor-minor tersebut dapat dibentuk ideal yang dibangun oleh minor berukuran dari matriks , dinotasikan . Sedangkan minor-minor berukuran dari matriks adalah:

|

| |

| (1)

(3)

Rank Matriks atas Ring Komutatif 65

Dari minor-minor (1) dapat dibentuk ideal yang dibangun oleh minor-minor berukuran dari matriks . Dengan cara yang sama, jika , maka dari minor matriks yang berukuran dapat dibentuk ideal yang dibangun semua minor matriks yang berukuran , dinotasikan dengan .

Diandaikan adalah minor ukuran dari matriks . Karena maka .

Akibatnya untuk setiap berlaku

(2)

Jika diambil sebarang , maka dapat dinyatakan sebagai berikut:

|

| |

|

( |

| |

| )

( |

| |

| )

|

| |

|

Terlihat bahwa ternyata juga dibangun oleh minor ukuran dari matriks . Akibatnya, . Karena untuk sebarang berakibat , maka dapat disimpulkan

(3)

sehingga jika rantai ideal (3) diperluas, maka untuk setiap berlaku

(4) Telah diketahui bahwa merupakan ring komutatif. Karena ring komutatif, maka dan merupakan ideal dalam , sehingga dalam kasus ini, , maka . Sedangkan karena semua ideal berada di dalam , maka bias diambil . Akibatnya, Definisi 1 dapat diperluas seperti berikut ini [2]:

{ Dengan demikian rantai ideal (4) menjadi:

Kemudian, jika diambil sebarang , untuk setiap . Karena maka untuk setiap berakibat juga elemen . Sehingga . Akibatnya ( ). Karena untuk sebarang berakibat maka terbukti . Sehingga diperoleh

( ) ( )

Selanjutnya akan dibahas mengenai salah satu sifat dari ideal dari yang dibangun oleh minor berukuran dari matriks .

(4)

Teorema 2[4] Jika matriks dan maka untuk setiap berlaku:

Bukti: Untuk , makaberlaku , , dan , sehingga jelas . Sehingga berlaku untuk . Selanjutnya untuk dalam pembuktian teorema ini akan dibagi menjadi dua kasus, yaitu sebagai berikut:

Kasus 1: Akan dibuktikan . Matriks dipartisi ke dalam vector kolom [ ], sehingga [ ]. Diberikan sebagai minor ukuran dari matriks dan merupakan pembangun . Diandaikan nomor kolom dari adalah . Sehingga:

[ | | ] dan

([ | | ]) ( [ | | ])

Dengan kata lain, dalam membuktikan dapat diasumsikan dengan mengambil . Kemudian, dengan merupakan indeks baris yang dapat dipilih dari . Diandaikan . Kemudian ∑ , untuk setiap

([

])

([

∑

])

Dengan menggunakan fakta bahwa determinan adalah fungsi -linear pada baris, maka diperoleh:

∑

([

])

Dari persamaan di atas diperoleh bahwa dibangun oleh determinan submatriks dari dengan . Akibatnya dengan .

Karena untuk sebarang berakibat , maka dapat disimpulkan bahwa

Kasus 2: Akan dibuktikan .

Diambil sebarang . Dengan menggunakan kasus 1 dan persamaan (2) diperoleh:

Karena dari kasus 1 dan kasus 2 terbukti bahwa dan maka terbukti bahwa .

Definisi 3[4] Diberikan matriks . Rank dari matriks , dinotasikan , adalah sebagai berikut:

(5)

Contoh 4

Diberikan sistem persamaan linear atas :

Selidiki apakah sistem persamaan linear tersebut konsisten atau tidak konsisten.

Jawab: SPL tersebut dapat diubah menjadi persamaan , dengan [

] [ ] dan

[ ]. Berikut ini langkah-langkah dalam menyelidiki apakah sistem persamaan linear tersebut konsisten atau tidak konsisten.

I. Akan ditentukan rank matriks koefisien dari SPL tersebut.

Akan ditentukan masing-masing ideal yang dibangun oleh minor berukuran , dengan

〈{|

|}〉 〈 〉

〈{| | | | | | | | | | | | | | | |}〉

〈 〉

Kemudian diperoleh:

( )

Karena ( ) dan ( ) maka

II. Akan ditentukan rank matriks diperbesar dari SPL tersebut. Diandaikan matriks adalah matriks diperbesar dari SPL, maka dapat dinyatakan sebagai berikut:

(

| )

〈{|

| |

| [

]}〉 〈 〉 〈 〉

〈 〉

(6)

Kemudian diperoleh:

( ) ( )

( )

Karena ( ) , ( ) dan ( ) maka :

Dari I dan II diperoleh dan , sehingga dapat disimpulkan . Dengan kata lain SPL tersebut tidak konsisten.

Teorema 5 berikut ini memberikan beberapa sifat rank matriks atas ring komutatif Teorema 5 [4] Diberikan berlaku:

a.

b.

c. ( ) Bukti:

a. Karena dan , sehingga jelas . Sedangkan untuk berlaku dan ( ) . Oleh karena itu, pastilah .

b. Karena sehingga jelas ( ) untuk setiap . Akibatnya

c. Dengan memperhatikan kembali rantai ideal-ideal

yang berakibat:

( ) ( )

Jika maka ( ) . Untuk akan berlaku dan ( ) Selanjutnya untuk artinya , akan selalu berlaku dan ( ) . Dengan kata lain ( ) . Sebaliknya jika ( ) maka . Untuk juga akan selalu berlaku ( ) . Dengan kata lain, ( ) .

PadaTeorema 5, dibahas tentang sifat dari suatu matriks . Berikut ini diberikan sifat dari rank matriks atas ring komutatif, sedemikian sehingga matriks tersebut diperoleh dari hasil perkalian dua matriks.

Teorema 6 [4] Jika dan , maka . Bukti: Akan ditunjukkan terlebih dahulu bahwa . Dari rantai ideal berikut:

diperoleh:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dimisalkan , maka diperoleh ( ) dan diperoleh

( ) , untuk setiap .

(7)

Karena , maka ( ) untuk setiap . Oleh karena itu, diperoleh bahwa

Selanjutnya akan ditunjukkan . Dari rantai ideal berikut diperoleh

Dimisalkan , maka akan diperoleh ( ) dan juga diperoleh:

( ) , untuk setiap .

Karena , maka untuk setiap berlaku ( ) . Oleh karena itu, diperoleh bahwa . Dengan demikian, karena dan , maka diperoleh

.

Diasumsikan , maka dapat dinyatakan sebagai jumlah maksimal dari vektor-vektor baris (vektor-vektorkolom) matriks yang bebas linear. Dengan kata lain juga bisa dinyatakan sebagai maksimal sedemikian sehingga memiliki minor berukuran yang tidak sama dengan nol. Karena minor berukuran tersebut tidak sama dengan nol, sehingga diperoleh . Akibatnya ( ) . Diperoleh:

Jadi, dapat disimpulkan bahwa definisi rank matriks atas ring komutatif juga berlaku untuk matriks atas field.

Contoh 7

Diberikan adalah himpunan yang memuat semua bilangan real dengan (

). Akan ditunjukkan bahwa definisi rank matriks atas ring komutatif juga berlaku untuk matriks

Jawab:

i. Akan ditentukan dengan menggunakan operasi baris elementer. Vektor-vektor baris dari matriks adalah sebagai berikut:

Hasil operasi baris elementer matriks sebagai berikut:

(

)

Dari hasil operasi baris elementer tersebut diperoleh basis dari ruang baris matriks yaitu:

Karena elemen basis dari ruang baris terdiri dari tiga vektor, maka . ii. Akan ditentukan rank matriks dengan menggunakan Definisi 3.

(8)

〈{|

|}〉 〈 〉

〈{| | | | | | | | | | | | | | | | | |}〉

〈 〉 〈 〉

Untuk setiap , , dan , diperoleh:

( ) ( )

( ) Jadi { ( ) }

Berdasarkan i dan ii dapat disimpulkan . Jadi, definisi rank matriks atas ring komutatif juga bisa digunakan untuk menentukan rank .

PENUTUP

Jika diberikan , maka tahap-tahap dalam menentukan adalah diawali dengan menentukan ideal yang dibangun oleh minor berukuran dari matriks untuk setiap , dinotasikan dengan . Selanjutnya ditentukan Annihilator dari masing-masing

. Jika terdapat sedemikian sehingga Annihilator dari hanya memuat nol, maka diperoleh dari nilai maksimum sedemikian sehingga Annihilator hanya memuat nol. Namun, jika tidak terdapat yang demikian, maka . Kemudian, dari definisi rank matriks atas ring komutatif diperoleh sifat-sifat dari rank matriks atas ring komutatif yaitu sebagai berikut:

1.

2.

3. ( )

4. Jika dan , maka .

Dari pembahasan rank matriks atas field dan rank matriks atas ring komutatif, maka dapat disimpulkan bahwa metode untuk menentukan rank dari matriks atas ring komutatif juga dapat digunakan untuk menentukan rank dari matriks atas field.

DAFTAR PUSTAKA

[1] LarsonR, FalvoDC. Elementary Linear Algebra. Boston: Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company; 2009

[2]

Hungerford TW. Abstract Algebra. New York: Springer Verlag; 2000

[3] Adkins WA, Weintraub SH. Algebra an Approach via Module Theory. New York : Springer Verlag; 1992

[4] Brown WC. Matrices over Commutative Rings. New York : Marcel Dekker Inc;1992

Eka Wulan Ramadhani : FMIPA Universitas Tanjungpura, Pontianak, ekawulan187@yahoo.co.id Nilamsari Kusumastuti : FMIPA Universitas Tanjungpura, Pontianak, uminilam@yahoo.com

Evi Noviani : FMIPA Universitas Tanjungpura, Pontianak, evi_noviani@mipa.untan.ac.id