METODE MAX MIN VOGEL’S APPROXIMATION METHOD UNTUK
MENEMUKAN BIAYA MINIMAL PADA
PERMASALAHAN TRANSPORTASI
Bilqis Amaliah 1), Agri Krisdanto2), dan Astris Dyah Perwita3) 1,2,3)Teknik Informatika, Fakultas Teknologi Informasi,
Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Jl. Teknik Kimia, Gedung Teknik Informatika, Surabaya 60111, Indonesia e-mail: 1)[email protected], 2)[email protected],
dan 3)[email protected]
ABSTRAK
Vogel’s Approximation Method (VAM) adalah salah satu metode yang sering digunakan
untuk mencari biaya minimum pada persoalan transportasi. Namun pada kenyataannya VAM memiliki banyak celah pada langkah-langkah pengerjaannya sehingga dapat menghasilkan nilai yang tidak optimal (mencapai biaya minimal). Oleh karena itu, diusulkan sebuah metode modifikasi VAM yaitu Max Min Vogel’s Approximation Method (MM-VAM) untuk menyempurnakan langkah-langkah pengerjaan VAM. Metode yang diusulkan dapat menghasilkan nilai yang lebih optimal daripada VAM, karena menggunakan Max-Min penalti dan matriks Total Oportunity Cost (TOC). Untuk membuktikan MM-VAM lebih baik dari pada VAM, maka akan diberikan contoh perhitungan numerik. Dari hasil penelitian, MM-VAM menghasilkan nilai biaya yang lebih kecil daripada MM-VAM dan dapat mecapai nilai optimal atau mendekati optimal dengan tingkat akurasi 99% .
Kata kunci: Vogel’s Approximation Method (VAM), persoalan transportasi, Total Oportunity Cost.
PENDAHULUAN
Permasalahan transportasi masih menjadi permasalahan klasik yang muncul pada banyak bidang diantaranya manajemen kan pendistribusian barang dari sumber (source) ke tujuan (destination). Telah banyak penelitian untuk menemukan biaya minimal pada permasalahan transportasi ini. Salah satu penyelesaian yang banyak di pakai adalah Vogel’s
Approximation Method (VAM). Telah banyak penelitian yang bertujuan untuk
menyempurnakan VAM.
Berikut ini adalah beberapa penelitian yang bertujuan menemukan biaya minimum yang lebih rendah daripada VAM. Soomro, memodifikasi VAM untuk menentukan banyaknya barang yang dapat dikirimkan dari source ke destination sehingga kebutuhan dapat terpenuhi dan biaya pengiriman minimal (Soomro, 2015). Sebuah permasalahan transportasi memiliki permasalahan utama yang bergantung dari keefektifan fungsi yang dijalankannya. Keefektifan fungsi ini mengatur hubungan antara Source dengan peluang alokasinya ke beberapa pekerjaan atau job. Permasalahan akan diketahui dari jumlah source dan job atau destination yang tersedia. Tujuan dari penyelesaian masalah ini ditujukan untuk
Berbagai macam metode tersedia untuk menyelesaikan permasalahan transportasi. Beberapa metode dasar yang sudah dikenal antara lain metode Stepping Stone(Charnes, 1954), metode Modified Distribution (Danziq, 1963), metode Modified Stepping-Stone (Shih, 1987), algoritma Simplex-Type (Arsham, 1989), dan pendekatan Dual-Matrix (Ji.P, 2002).
Tiap metode yang diusulkan, bertujuan untuk mencari biaya minimum yang hasilnya lebih rendah dari VAM. Namun pada kenyataannya VAM memiliki banyak celah pada langkah-langkah pengerjaannya sehingga dapat menghasilkan nilai yang tidak optimal (mencapai biaya minimal). Oleh karena itu diusulkan sebuah metode modifikasi VAM yaitu Max Min Vogel’s Approximation Method (MM-VAM) untuk menyempurnakan langkah-langkah pengerjaan VAM.
Max Min Vogel’s Approximation Method (MM-VAM) yang diusulkan dapat menghasilkan nilai yang lebih optimal daripada VAM, karena memodifikasi beberapa langkah yang ada di VAM. Modifikasi yang dilakukan adalah: pertama adalah mencari matriks Total Oportunity Cost (TOC), berikutnya mencari penalti dengan cara mengurangkan antara biaya terbesar (Max) dengan biaya terkecil (Min), selanjutnya pilih dua penalti terbesar dan terakhir menggunakan minimal (biaya X alokasi) untuk memilih cell.
Untuk mengevaluasi performa dan untuk membuktikan bahwa MM-VAM lebih baik dari pada VAM, maka akan diberikan dua contoh perhitungan numerik. Hasil dari MM-VAM akan dibandingkan dengan VAM. Selain dibandingkan dengan VAM, hasil MM-VAM juga akan dibandingkan dengan hasil optimal yang di dapat dari program TORA.
FORMULA PERMASALAHAN TRANSPORTASI
Komponen penting permasalahan transportasi terdiri atas source sejumlah m dan
destination sejumlah n. Kondisi didukung oleh komponen:
xij = jumlah barang yang ditransportasikan dari source ke-i menuju destination ke-j,
cij = biaya yang dibutuhkan untuk mentransportasikan barang dari source ke-i menuju destinasi ke-j,
ai = jumlah barang yang tersedia di source ke-i,
bj = jumlah barang yang dibutuhkan di destination ke-j.
Formulasi solusi permasalahan trasnportasi dapat dinotasikan pada Persamaan 1 dengan batasan pada Persamaan 2, 3, dan 4 (Girmay, 2013).
(1)
(2)
(3) (4)
Algoritma VAM
VAM adalah model solusi heuristik dan biasanya menghasilkan solusi awal yang lebih baik daripada metode lain (Nort West dan biaya terkecil). Namun pada kenyataannya, solusi yang dihasilkan VAM belum tentu sebuah solusi yang optimal. Adapun langkah-langkah metode VAM adalah sebagai berikut (Singh, 2012):
1. Hitung penalti dari setiap baris dan kolom. Nilai penalti didapat dari selisih antara nilai terkecil dari baris atau kolom dengan nilai terkecil kedua dari baris atau kolom yang sama. 2. Pilih Penalti terbesar.
3. Alokasikan sebanyak mungkin barang pada sel dengan biaya terkecil.
4. Hentikan proses bila semua barang telah dialokasikan dan semua permintaan telah dipenuhi. Bila belum,
5. Ulangi langkah 1 dengan syarat baris/kolom dengan jumlah barang 0 tidak ikut diperhitungkan pada iterasi berikutnya.
VAM biasanya menghasilkan nilai yang optimal atau mendekati optimal dengan tingkat akurasi hingga 80%.
Algoritma Max Min VAM (MM-VAM)
Metode yang diajukan pada penelitian ini dinamakan Max Min Vogel’s Approximation
Method (MM-VAM) dan merupakan modifikasi dari VAM dasar. Max Min Vogel’s Approximation Method (MM-VAM) yang diusulkan dapat menghasilkan nilai yang lebih
optimal daripada VAM, karena memodifikasi beberapa langkah yang ada di VAM. Metode modifikasi ini merupakan metode heuristik dan melibatkan matriks Total Opportunity Cost (TOC). Matrix TOC diperoleh dari penjumlahan antara Opportunity Cost (OC) baris dan OC kolom. OC baris merupakan nilai matriks yang didapatkan dari pengurangan setiap baris dengan nilai terkecil dari baris tersebut. Sedangkan OC kolom adalah nilai matriks yang didapatkan dari pengurangan setiap kolom dengan nilai terkecil dari kolom tersebut. Setelah didapatkan marix TOC, berikutnya mencari penalti dengan cara mengurangkan antara biaya terbesar (Max) dengan biaya terkecil (Min), selanjutnya pilih dua penalti terbesar dan terakhir menggunakan minimal (biaya X alokasi) untuk memilih cell.
Detail dari langkah-langkah algoritma MM-VAM adalah sebagai berikut:
1. Hitung penalti dari setiap baris dan kolom. Nilai penalti didapatkan dari pengurangan nilai maksimal dengan nilai minimal dari setiap baris dan kolom.
2. Pilih dua penalti tertinggi. Jika terdapat nilai penalti yang sama, pilih semua. 3. Cari sel dengan biaya terkecil pada tiap penalti.
4. Alokasikan sebanyak mungkin barang pada sel tersebut.
5. Diantara beberapa sel yang terpilih, pilih sel yang memiliki nilai transportasi (biaya x alokasi) terkecil.
a. Jika terdapat nilai transportasi yang sama, pilih biaya terkecil. b. Jika biaya terkecil sama, maka pilih alokasi tertinggi.
c. Jika alokasi tertinggi sama, pilih nilai penalti tertinggi.
6. Hentikan proses bila semua barang telah dialokasikan dan semua permintaan telah dipenuhi. Bila belum,
7. Ulangi langkah 1 dengan syarat baris/kolom dengan jumlah barang 0 tidak ikut diperhitungkan pada iterasi berikutnya.
Ilustrasi Numerik
Pada bagian ini, akan di diperlihatkan uji coba untuk dua matriks. Setiap matriks di selesaikan dengan menggunakan metode MM-VAM dan VAM. Penelitian ini juga menyertakan solusi optimal yang diproses dengan program TORA.
1. Contoh Kasus pertama
Matriks yang diteliti pada penelitian ini ditunjukkan oleh Matriks 1. Hasil perhitungan OC baris ditunjukkan pada Matriks 2 dan hasil perhitungan OC Kolom ditunjukkan pada Matriks 3. Sedangkan matriks TOC ditunjukkan pada Matriks 4.
D1 D2 D3 D4 D5 Supply O1 65 8 73 56 38 15 O2 31 66 54 42 97 10 O3 63 19 28 27 11 5 O4 96 97 77 46 91 20 Demand 12 13 10 10 5 50
Matriks 1. Matriks Awal
D1 D2 D3 D4 D5 O1 57 0 65 48 30
O2 0 35 23 11 66
O3 52 8 17 16 0
O4 50 51 31 0 45
Matriks 2. Matriks OC Baris
D1 D2 D3 D4 D5 O1 34 0 45 29 27
O2 0 58 26 15 86
O3 32 11 0 0 0
O4 65 89 49 19 80
Matriks 3. Matriks OC Kolom
D1 D2 D3 D4 D5 O1 91 0 110 77 57
O2 0 93 49 26 152
O3 84 19 17 16 0
O4 115 140 80 19 125
Matriks 4. Matriks TOC
Proses MM-VAM dilakukan dengan langkah-langkah seperti yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya yang terus diulang setiap iterasi. Pada setiap iterasi dilakukan perhitungan penalti dan pengambilan keputusan untuk penempatan barang atau supply yang diminta. Setiap proses iterasi akan ditunjukkan pada Matriks 5 hingga Matriks 10.
D1 D2 D3 D4 D5 Supply Penalty 1 O1 91 0 110 77 57 15 2 110 13 O2 0 93 49 26 152 10 152 O3 84 19 17 16 0 5 84 O4 115 140 80 19 125 20 121 Request 12 13 0 10 10 5 50/50 Penalty 1 115 140 93 61 152
Matriks 5. Iterasi 1 Proses MM-VAM
D1 D2 D3 D4 D5 Supply Penalty 2 O1 91 0 110 77 57 2 53 13 O2 0 93 49 26 152 10 0 152 10 O3 84 19 17 16 0 5 84 O4 115 140 80 19 125 20 106 Request 12 2 0 10 10 5 50/50 Penalty 2 115 x 93 61 152
Matriks 6. Iterasi 2 Proses MM-VAM
D1 D2 D3 D4 D5 Supply Penalty 3 O1 91 0 110 77 57 2 53 13 O2 0 93 49 26 152 0 126 10 O3 84 19 17 16 0 5 0 84 5 O4 115 140 80 19 125 20 106 2 0 10 10 5 0 50/50
D1 D2 D3 D4 D5 Supply Penalty 4 O1 91 0 110 77 57 2 33 13 O2 0 93 49 26 152 0 X 10 O3 84 19 17 16 0 0 X 5 O4 115 140 80 19 125 20 10 96 10 Request 2 0 10 10 0 0 50/50 Penalty 4 24 x 30 58 x
Matriks 8. Iterasi 4 Proses MM-VAM
D1 D2 D3 D4 D5 Supply Penalty 5 O1 91 0 110 77 57 2 19 13 O2 0 93 49 26 152 0 x 10 O3 84 19 17 16 0 0 x 5 O4 115 140 80 19 125 10 0 35 10 10 Request 2 0 10 0 0 0 50/50 Penalty 5 24 x 30 x x
Matriks 9. Iterasi 5 Proses MM-VAM
D1 D2 D3 D4 D5 Supply Penalty 6 O1 91 0 110 77 57 2 91 2 13 O2 0 93 49 26 152 0 x 10 O3 84 19 17 16 0 0 x 5 O4 115 140 80 19 125 0 x 10 10 Request 2 0 0 0 0 50/50 Penalty 6 91 x x x x
Setelah didapatkan semua alokasi yang diinginkan untuk setiap permintaan, maka dilakukan perhitungan biaya yang melibatnya biaya dari matriks awal. Matriks akhir lengkap beserta alokasi yang telah diputuskan oleh sistem ditunjukkan pada Matriks 11.
D1 D2 D3 D4 D5 Supply O1 65 8 73 56 38 15 2 13 O2 31 66 54 42 97 10 10 O3 63 19 28 27 11 5 5 O4 96 97 77 46 91 20 10 10 Request 12 13 10 10 5 50/50
Matriks 11. Matriks Akhir Solusi
Solusi akhir perhitungan adalah: (65*2)+(8*13)+(31*10)+(77*10)+(46*10)+(11*5)= 1.829
Contoh Kasus kedua
Pada percobaan kedua, dilakukan penyelesaian masalah dengan prosedur MM-VAM yang ditunjukkan pada Matriks 12. Hasil prosedur MM-VAM ditunjukkan pada Matriks 13.
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 Supply S1 91 76 65 76 71 90 90 6 S2 96 87 59 79 87 88 89 12 S3 98 98 79 90 92 74 85 15 S4 76 88 61 99 87 89 91 15 S5 97 82 98 76 76 80 99 21 S6 85 82 78 81 88 91 71 10 Demand 17 12 21 9 9 5 6
Matriks 12. Matriks Awal
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 Supply O1 91 76 65 76 71 90 90 6 6 O2 96 87 59 79 87 88 89 12 12 O3 98 98 79 90 92 74 85 15 10 5 O4 76 88 61 99 87 89 91 15 6 9 O5 97 82 98 76 76 80 99 21 9 9 3 O6 85 82 78 81 88 91 71 10 1 3 6 Request 17 12 21 9 9 5 6
ANALISA HASIL DAN KESIMPULAN
Pada setiap percobaan, diperoleh biaya total dari jumlah keseluruhan biaya x alokasi yang telah terpilih. Selain itu dilakukan pula perhitungan biaya dengan metode VAM dan perhitungan biaya optimal dengan bantuan program TORA. Perbandingan biaya inilah yang menjadi acuan performa dari metode MM-VAM yang diajukan pada penelitian ini.
Hasil perbandingan antara metode MM-VAM, VAM dan nilai optimal yang ditunjukkan pada tabel.
Tabel Perbandingan Metode MM-VAM, VAM, dan optimal
Contoh MM-VAM VAM Optimal akurasi (%)
Pertama 1829 1940 1829 100
Kedua 5896 5971 5854 99
Pada contoh kasus pertama didapatkan hasil MM-VAM sebesar 1829 yang juga merupakan solusi optimal dari Permasalahan yang ada. Hasil ini juga menyatakan bahwa hasil MM-VAM lebih baik daripada metode VAM.
Pada contoh kasus kedua didapatkan hasil MM-VAM sebesar 5896. Walaupun nilai yang didapatkan belum mencapai optimal, namun hasil dari proses MM-VAM masih lebih baik daripada metode VAM.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa Metode MM-VAM Modifikasi dapat menyelesaikan permasalahan transportasi dan menghasilkan biaya yang lebih kecil daripada VAM. Metode MM-VAM dapat juga mecapai nilai optimal atau mendekati optimal dengan tingkat akurasi 99%.
DAFTAR PUSTAKA
Arsham, H. dan Kahn, A. (1989). A simplex-type for generall transportation problems: An alternative to Stepping-Stone. Journal of Operational Reseach Society, 40(6), pp. 581-590.
Charnes, A. dan Cooper, W. (1954). The Stepping-Stone method for explaining linear programming calculations in transportation problem. Management Science, 1(1), pp. 49-69.
Dantzig, G. (1963). Linear Programming and Extensions. Princeton: NJ:Princeton University Press.
Girmay, N. dan Sharma, T. (2013). Balance An Unbalanced Transportation Problem By A Heuristic Approach. International Journal of Mathematics And Its Application, 1(1), pp. 13-19.
Ji, P. dan Chu, K. (2002). A dual-matrix approach to the transporation problem. Asia-Pasific
Journal of Operation Research , 19(1), pp. 35-45.
Shih, W. (1987). Modified Stepping-Stone Method as a teaching aid for capacitated transportation probems. European Journal of Operational Research, Volume 122, pp. 662-676.
Singh, S., Dubey, G. dan Shrivastava, R. (2012). Optimization and analysis of some variants through Vogel's approximation method (VAM). IOSR Journal of Engineering, 2(9), pp. 20-30.
Soomro, A. S., Junaid, M. dan Tularam, G. A. (2015). Modified Vogel's Approximation Method for Solving Transportation Problems. Mathematical Theory and Modeling, 5(4).
