(Contoh Solusi) PR 1 METODE FORMAL (CIG4F3) Semester Ganjil

(Contoh Solusi)

PR 1 METODE FORMAL (CIG4F3)

Semester Ganjil 2015-2016

Dikumpulkan paling lambat pukul 15:00, Jumat, 25 September 2015, di slot pengumpulan PR diidea(softcopy)

atau Loker Pengumpulan PR Metode Formal (hardcopy). Lokasi loker berada di antara toilet dan ruang E 108 (IF2.01.08). Petunjuk pengerjaan:

1. Sebagaimana telah dijelaskan di awal perkuliahan, bobot seluruh nilai PR yang diberikan dalam satu semester untuk perkuliahan Metode Formal pada semester ganjil 2015-2016 direncanakan sebesar 25% dari nilai akhir.

2. Gunakan PR sebagai sarana berlatih untuk menghadapi ujian. Oleh karenanya, ker-jakan PR ini dengan serius. Jangan hanya memberi jawaban dan argumen untuk PR ini tanpa memahaminya dengan baik.

3. PR dikerjakan secara individu. Meskipun begitu, Anda diperkenankan berdiskusi dengan teman sekelas, teman sekampus, atau teman yang berasal dari kampus lain. Tuliskan nama-nama orang yang Anda ajak berdiskusi lengkap dengan asal insti-tusinya pada bagian referensi yang mungkin perlu ditambahkan pada bagian akhir PR. 4. PR ini terdiri dari 6 (enam) soal dengan bobot masing-masing soal yang bervariasi. Anda akan dinilai tidak hanya pada jawaban akhir saja, tetapi juga pada argumen dan tata bahasa penulisan ilmiah yang Anda tuliskan.

5. Berkas PR dikumpulkan dalam bentuk softcopy saja, atau softcopy dan hardcopy. 6. Pengumpulan berkas softcopy dilakukan pada slot yang telah disediakan di idea,

batas waktu unggah adalah Jumat 25 September 2015 pukul 15:00 waktu idea. Berkas yang diunggah berformat.pdfdengan format penamaan

PR1MetFor-<NIM>-Nama_Panggilan. Contoh:PR1MetFor-1103130128-Indra. 7. PR boleh dikerjakan dengan cara:

Ditulis dengan tulisan tangan sendiri, kemudian hasilnya dipindai (scan) dan di-jadikan berkas.pdf. Kertas yang boleh dipakai adalah kertas A4, HVS, atau folio bergaris. Jawaban boleh ditulis dengan pensil 2B, pensil HB, atau pulpen bertinta hitam/ biru.

Diketik rapi. Usahakan untuk memakai notasi yang telah diajarkan diperkulia-han. Jika tidak, jelaskan terlebih dulu notasi yang Anda pakai.

8. Jika Anda berniat untuk mengumpulkan berkas hardcopy, berkas dikumpulkan di loker pengumpulan PR Metode Formal yang terdapat pada loker dosen KK ICM di depan ruang E 108 (IF2.01.08). Batas pengumpulan berkas hardcopy adalah Jumat 25 Sep-tember 2015 pukul 15:00 waktuidea.

Soal 1 (5 + 5 + 2 + 6 + 2 = 20) Diberikan proposisi p, q, dan r. (a). [5 poin] Buatlah tabel kebenaran untuk proposisi (p q) r. (b). [5 poin] Buatlah tabel kebenaran untuk proposisi p (q r).

(c). [2poin] Apakah merupakan operator logika proposisi yang bersifat asosiatif? Jelaskan jawaban Anda.

(d). [6 poin] Buatlah tabel kebenaran untuk (p_{^ :q ^ :r)_(:p ^ q ^ :r)_(:p ^ :q ^ r).} (e). [2 poin] Apakah p q r ekuivalen dengan

(p_{^ :q ^ :r) _ (:p ^ q ^ :r) _ (:p ^ :q ^ r)?} SOLUSI:

(a). Tabel kebenaran untuk(p q) r adalah:

p q r p q (p q) r 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0

(b). Tabel kebenaran untukp (q r) adalah:

p q r q r p (q r) 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0

(c). Karena tabel kebenaran(p q) rdanp (q r)identik untuk konfigurasi nilai kebenaran proposisi atom yang sama, maka

(p q) r p (q r), akibatnya merupakan operator logika yang bersi-fat asosiatif dan penulisanp q r tidak ambigu.

(d). Untuk memperingkas penulisan, kolom untuk _:p, _:q, dan _:r tidak ditulis dan misalkan = (p_{^ :q ^ :r) _ (:p ^ q ^ :r) _ (:p ^ :q ^ r)}. Tabel kebe-naran untuk adalah:

p q r p_{^ :q ^ :r :p ^ q ^ :r :p ^ :q ^ r} 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

(e). Untuk konfigurasi nilai kebenaran proposisi atom yang sama, kolom paling kanan tabel kebenaran untuk p q r berbeda dengan tabel kebenaran untuk(p_{^ :q ^ :r) _ (:p ^ q ^ :r) _ (:p ^ :q ^ r)}. Akibatnya

Soal 2 (2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10) Misalkan a, s, dan n adalah proposisi-proposisi berikut: a : “sistem dijalankan dalam administrator mode”

s : “sistem dijalankan dalam safe mode” n : “sistem dijalankan dalam normal mode”

Translasikan pernyataan-pernyataan berikut ke dalam formula logika proposisi meng-gunakan proposisi a, s, dan n yang telah dijelaskan serta operator-operator logika_{:, ^,} _, , !, dan $.

(a). [2 poin] Sistem tidak dapat dijalankan dalam administrator mode bila sistem di-jalankan dalam safe mode.

(b). [2 poin] Ketika sistem dijalankan dalam normal mode, maka sistem dijalankan dalam tepat salah satu dari administrator mode atau safe mode.

(c). [2 poin] Sistem selalu dijalankan dalam administrator mode dan normal mode se-cara bersamaan.

(d). [2 poin] Sistem dapat dijalankan dalam administrator mode jika tidak dijalankan dalam safe mode.

(e). [2 poin] Sistem dapat dijalankan dalam tepat salah satu dari administrator mode, safe mode, atau normal mode. (Petunjuk: perhatikan kembali Soal 1 (d) dan (e)). SOLUSI:

(a). Kalimat dapat ditulis ulang sebagai: “jika sistem dijalankan dalam safe mode, maka sistem tidak dapat dijalankan dalam administrator mode”, sehingga translasinya adalah: s_{! :a}.

(b). n_{! a} s

(c). Kalimat dapat ditulis ulang sebagai: “sistem dijalankan dalam administrator mode jika dan hanya jika sistem dijalankan dalam normal mode”, sehingga translasinya adalah: a_{$ n}.

(d). Kalimat dapat ditulis ulang sebagai: “jika sistem tidak dijalankan dalam safe mode, maka sistem dapat dijalankan dalam administrator mode, sehingga translasinya adalah: _{:s ! a}.

(e). Kalimat menyatakan suatu spesfikasi yang bernilai benar tepat ketika hanya salah satu dari proposisi a, s, dan n bernilai benar. Berdasarkan jawaban Soal 1 (e), hasil translasi kalimat ini adalah:

Definisi 1 Misalkan adalah sebuah formula logika proposisi:

(a). formula dikatakan absah (valid) apabila selalu bernilai benar untuk setiap in-terpretasi_I

(b). formula dikatakan terpenuhi (satisfiable) apabila dapat bernilai benar untuk suatu interpretasi_I

(c). formula dikatakan kontradiksi (contradictory) apabila selalu bernilai salah un-tuk setiap interpretasi_I

(d). formula dikatakan tersalahkan (falsifiable) apabila dapat bernilai salah untuk suatu interpretasi_I

(e). formula dikatakan kontingensi (contingency) apabila bukan formula yang bersi-fat absah dan bukan pula formula yang bersibersi-fat kontradiksi.

Soal 3 (4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20) Diberikan formula-formula 1, 2, 3, 4, dan 5berikut: (a). [4 poin] 1 := (p_ q) ^ (:q _ r) ^ (:r _ s) ! p _ s

(b). [4 poin] 2 := p_ q _ r _ s ! p ^ q ^ r ^ s (c). [4 poin] 3 := p! (q ! r) ^ (p ^ q ^ :r)

(d). [4 poin] 4 := (:p ^ q ^ r) _ (p ^ :q ^ r) _ (p ^ q ^ :r) (e). [4 poin] 5 := (:p _ :q _ r) ^ (:p _ q _ :r) ^ (p _ :q _ :r)

Berikan tandaX pada baris dan kolom yang bersesuaian untuk Tabel 1 bila formula imemenuhi sifat-sifat yang telah dijelaskan pada Definisi 1. Berikan bukti dan argumen yang mendukung jawaban Anda.

valid satisfiable contradiction falsifiable contingency 1

2 3 4 5

SOLUSI: Tabel dapat dilengkapi sebagai berikut

valid satisfiable contradiction falsifiable contingency

1 X X

2 X X X

3 X X X

4 X X X

5 X X X

(a). Formula 1 := (p_ q) ^ (:q _ r) ^ (:r _ s) ! p _ sbersifat absah (valid ). Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut.

Cara 1 (metode falsifikasi): Andaikan 1 tidak absah, maka terdapat inter-pretasi_I sehingga_{I (} 1) = F. Akibatnya

I ((p _ q) ^ (:q _ r) ^ (:r _ s)) = Tdan (1)

I (p _ s) = F. (2)

Dari persamaan (1) kita memiliki

I (p _ q) = T (3)

I (:q _ r) = T (4)

I (:r _ s) = T (5)

dan dari persamaan (2) kita memiliki_{I (p) = I (s) = F}. Akibatnya: (i) dari persamaan (3) diperoleh_{I (q) = T},

(ii) dari persamaan (5) diperoleh_{I (:r) = T}, sehingga_{I (r) = F}.

Kedua hasil (i) dan (ii) di atas memberikan _{I (:q _ r) = :T _ F = F}, yang bertentangan dengan persamaan (4). Jadi formula 1 tidak mungkin berni-lai F untuk interpretasi apapun. Dengan demikian 1 bersifat absah dan terpenuhi.

Cara 2 (ekuivalensi logika): Akan dibuktikan bahwa 1 T. Perhatikan bahwa 1 := (p_ q) ^ (:q _ r) ^ (:r _ s) ! p _ s : ((p _ q) ^ (:q _ r) ^ (:r _ s)) _ (p _ s) (ekuivalensi _{! : _} ) : (p _ q) _ : (:q _ r) _ : (:r _ s) _ (p _ s) (De Morgan) : (p _ q) _ : (:q _ r) _ : (:r _ s) (ekuivalensi _{_ :} Tdan _ (p _ q _ :q _ r _ :r _ s) _ T T) : (p _ q) _ : (:q _ r) _ : (:r _ s) (sifat asosiatif_{_}) _ (p _ q) _ (:q _ r) _ (:r _ s)

: (p _ q) _ (p _ q) _ : (q _ r) _ (:q _ r) (sifat asosiatif dan komutatif_{_}) _: (:r _ s) _ (:r _ s)

T_{_ T _ T} T (ekuivalensi _{_ :} T).

(b). Formula 2 := p_ q _ r _ s ! p ^ q ^ r ^ smemiliki sifat-sifat berikut: (i) 2 terpenuhi (satisfiable) karena untuk

I (p) = I (q) = I (r) = I (s) = T, maka

I ( 2) = (T_ T _ T _ T) ! (T ^ T ^ T ^ T) = T. (ii) 2 tersalahkan (falsifiable) karena untuk

I (p) = Tdan_{I (q) = I (r) = I (s) = F}, maka

I ( 2) = (T_ F _ F _ F) ! (T ^ F ^ F ^ F) = T ! F = F. (iii) 2 tidak absah (valid ) karena 2 tersalahkan.

(iv) 2 tidak kontradiksi (contradictory ) karena 2 terpenuhi. Akibatnya 2 suatu kontingensi.

(c). Formula 3 := p! (q ! r) ^ (p ^ q ^ :r)memiliki sifat-sifat berikut: (i) 3 terpenuhi (satisfiable) karena untuk

I (p) = I (q) = I (r) = F, maka

I ( 3) = F! ((F ! F) ^ (F ^ F ^ :F)) = F ! (T ^ F) = F ! F = T. (ii) 3 tersalahkan (falsifiable) karena untuk

I (p) = Tdan_{I (q) = I (r) = F}, maka

I ( 3) = T! ((F ! F) ^ (T ^ F ^ :F)) = T ! (T ^ F) = T ! F = F. (iii) 3 tidak absah (valid ) karena 3 tersalahkan.

(iv) 3 tidak kontradiksi (contradictory ) karena 3 terpenuhi. Akibatnya 3 suatu kontingensi.

(d). Formula 4 := (:p ^ q ^ r) _ (p ^ :q ^ r) _ (p ^ q ^ :r) memiliki sifat-sifat berikut:

(i) 4 terpenuhi (satisfiable) karena untuk I (p) = I (q) = Tdan_{I (r) = F}, maka

I ( 4) = (:T ^ T ^ F) _ (T ^ :T ^ F) _ (T ^ T ^ :F) = T. (ii) 4 tersalahkan (falsifiable) karena untuk

I (p) = I (q) = I (r) = T, maka

I ( 4) = (:T ^ T ^ T) _ (T ^ :T ^ T) _ (T ^ T ^ :T) = F. (iii) 4 tidak absah (valid ) karena 4 tersalahkan.

(iv) 4 tidak kontradiksi (contradictory ) karena 4 terpenuhi. Akibatnya 4 suatu kontingensi.

(e). Formula 5 := (:p _ :q _ r)^(:p _ q _ :r)^(p _ :q _ :r)memiliki sifat-sifat berikut:

(i) 5 terpenuhi (satisfiable) karena untuk I (p) = I (q) = I (r) = T,

maka_{I (} 4) = (:T _ :T _ T) ^ (:T _ T _ :T) ^ (T _ :T _ :T) = T. (ii) 5 tersalahkan (falsifiable) karena untuk

I (p) = I (q) = Tdan_{I (r) = F},

maka_{I (} 4) = (:T _ :T _ F) ^ (:T _ T _ :F) ^ (T _ :T _ :F) = F. (iii) 5 tidak absah (valid ) karena 5 tersalahkan.

(iv) 5 tidak kontradiksi (contradictory ) karena 5 terpenuhi. Akibatnya 5 suatu kontingensi.

Soal 4 (5 + 5 = 10) Periksa apakah himpunan-himpunan formula berikut konsisten atau tidak. Jelaskan jawaban Anda.

(a). [5 poin] A =_{fp _ q; :p; p ! q; :qg}

(b). [5 poin] B =_{f:p ! q; :p $ r; :q $ s; :p ! sg} SOLUSI:

(a). Kita akan membuktikan bahwaAtidak konsisten.

BUKTI: (Dengan metode falsifikasi) Andaikan A konsisten, maka terdapat interpretasi_I sehingga

I (p _ q) = T (6)

I (:p) = T (7)

I (p ! q) = T (8)

I (:q) = T (9)

Dari persamaan (7) diperoleh _{I (p) = F} dan dari persamaan (9) diperoleh I (q) = F. Kedua hasil ini memberikan _{I (p _ q) = F} yang bertentangan dengan persamaan (6).

BUKTI: (Dengan tabel kebenaran) Misalkan adalah konjungsi dari setiap formula padaA, maka

p q _{:p :q p _ q p ! q}

1 1 0 0 1 1 0

1 0 0 1 1 0 0

0 1 1 0 1 1 0

0 0 1 1 0 1 0

Karena formula kontradiksi, maka tidak terpenuhi, akibatnya himpunan Atidak konsisten.

(b). Himpunan B = _{f:p ! q; :p $ r; :q $ s; :p ! sg} konsisten bila terdapat interpretasi_I sehingga

I (:p ! q) = T (10)

I (:p $ r) = T (11)

I (:q $ s) = T (12)

Dari persamaan (11) dan persamaan (12), haruslah _{I (:p) = I (r)} dan I (:q) = I (s). Akibatnya_{I (r) = :I (p)}dan_{I (s) = :I (q)}. Dengan memilih I (p) = I (q) = Tdan_{I (r) = I (s) = F}, kita memperoleh

I (:p ! q) = :T ! T = F ! T = T I (:p $ r) = :T $ F = F $ F = T I (:q $ s) = :T $ F = F $ F = T I (:p ! s) = :T ! F = F ! F = T.

Jadi himpunan B bersifat konsisten dan salah satu interpretasi yang men-gakibatkanB konsisten adalah_{I (p) = I (q) = T}dan_{I (r) = I (s) = F}.

Catatan 1 Soal ini juga dapat diselesaikan dengan tabel kebenaran, namun tidak

Soal 5 (5 + 5 + 5 + 5 = 20) Ubahlah formula logika proposisi berikut menjadi formula yang ekuivalen dan hanya memakai operator _{: dan ! saja. Verifikasi jawaban Anda} dengan tabel kebenaran.

(a). [5 poin] p_{^ q} (b). [5 poin] p_{_ q} (c). [5 poin] p q (d). [5 poin] p_{$ q}

SOLUSI: Untuk menjawab permasalahan ini, kita akan memakai ekuivalensi ! : _ .

(a). Tinjau bahwap_{^ q : (:p _ :q) = : (p ! :q)}. Jadip_{^ q : (p ! :q)}. p q _{:q p ! :q : (p ! :q) p ^ q}

1 1 0 0 1 1

1 0 1 1 0 0

0 1 0 1 0 0

0 0 1 1 0 0

(b). Tinjau bahwap_{_ q ::p _ q : (:p) _ q :p ! q}. Jadip_{_ q :p ! q}. p q _{:p :p ! q p _ q} 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 (c). Tinjau bahwa p q (_{:p ^ q) _ (p ^ :q)} : (:p ! :q) _ : (p ! ::q) (dengan _{^ : ( ! : )}) :: (:p ! :q) ! : (p ! q) (dengan _{_ : !} ) (_{:p ! :q) ! : (p ! q)} p q _{:p :q p ! q : (p ! q) :p ! :q (:p ! :q) ! : (p ! q) p} q 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0

atau dapat pula p q (p_{_ q) ^ : (p ^ q)} (_{:p ! q) ^ : (: (p ! :q))} (dengan _{_ : !} dan _{^ : ( ! : )}) (_{:p ! q) ^ (p ! :q)} : ((:p ! q) ! : (p ! :q)) (dengan _{^ : ( ! : )}) p q _{:p :q :p ! q p ! :q : (p ! :q)} (:p ! q) ! : (p ! :q) 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 : ((:p ! q) ! : (p ! :q)) p q 0 0 1 1 1 1 0 0 (d). Tinjau bahwa p_{$ q} (p_{! q) ^ (q ! p)} : ((p ! q) ! : (q ! p)) (dengan _{^ : ( ! : )} p q p_{! q q ! p : (q ! p)} (p! q) ! : (q ! p) : (p_{! q)} ! : (q ! p) ! p_{$ q} 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1

Soal 6 (5 + 5 + 5 + 5 = 20) Periksa apakah pasangan formula-formula dan berikut ekuivalen atau tidak. Berikan argumen pada jawaban Anda.

(a). [5 poin] :=_{:p ! (q ! r) dan := q ! (p _ r)}

(b). [5 poin] := p_{! (q ! (r ! s)) dan := ((p ! q) ! r) ! s} (c). [5 poin] := p_{! (q ! (r ! s)) dan := p ^ q ^ r ! s}

(d). [5 poin] := p (q_{^ r ^ s) dan := (p} q)_{^ (p} r)_{^ (p} s) SOLUSI:

(a). Formula dan ekuivalen, buktinya adalah sebagai berikut := _{:p ! (q ! r)}

:p ! (:q _ r) (dengan _{! : _} ) ::p _ (:q _ r) (dengan _{! : _} ) p_{_ (:q _ r)} (dengan_:: )

:q _ (p _ r) (sifat komutatif dan asosiatif _{_}) q_{! (p _ r)} (dengan_{: _ !} )

(b). Formula dan tidak ekuivalen, untuk

I (p) = F,_{I (q) = I (r) = T},_{I (s) = F}kita memiliki I ( ) = I (p ! (q ! (r ! s)))

= F_{! (T ! (T ! F)) = F ! (T ! F) = F ! F = T}, tetapi I ( ) = I (((p ! q) ! r) ! s)

= ((F_{! T) ! T) ! F = (T ! T) ! F = T ! F = F}.

(c). Formula dan ekuivalen, buktinya adalah sebagai berikut := p_{! (q ! (r ! s))} p_{! (q ! (:r _ s))} (dengan _{! : _} ) p_{! (:q _ (:r _ s))} (dengan _{! : _} ) (_{:p _ (:q _ (:r _ s)))} (dengan _{! : _} ) (_{:p _ :q _ :r) _ s} (sifat asosiatif_{_}) : (p ^ q ^ r) _ s (De Morgan) p_{^ q ^ r ! s} (dengan_{: _ !} )

(d). Formula dan tidak ekuivalen, untuk I (p) = I (q) = I (r) = I (s) = T, maka I ( ) = I (p (q_{^ r ^ s))} = T (T_{^ F ^ F) = T} F = T, tetapi I ( ) = I ((p q)_{^ (p} r)_{^ (p} s)) = (T T)_{^ (T} F)_{^ (T} F) = F_{^ T ^ T = F}.

Catatan 2 Pemeriksaan ekuivalensi juga dapat dilakukan dengan tabel kebenaran, namun

tidak efisien karena memerlukan 24 _{= 16 baris untuk proposisi yang memuat 4 proposisi}