II. TEORI DASAR. Definisi 1. Transformasi Laplace didefinisikan sebagai

II.

TEORI DASAR

2.1 Transformasi Laplace

Ogata (1984) mengemukakan bahwa transformasi Laplace adalah suatu metode operasional yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear. Dengan menggunakan transformasi Laplace, maka persamaan diferensial linear dapat diubah ke dalam persamaan aljabar di dalam peubah kompleks s.

Definisi 1. Transformasi Laplace didefinisikan sebagai

0

( ) st ( ) ( ),

f t e f t dt F s

£ (2.1) dengan f t adalah fungsi peubah t dan f t 0 untuk t 0, s adalah peubah kompleks, £ adalah simbol yang mengindikasikan bahwa persamaan diubah

dengan menggunakan integral Laplace

0

, st

e f t dt F s adalah transformasi

Laplace dari f t . Selanjutnya kebalikan proses menemukan fungsi ( )f t dari

transformasi Laplace F s( ) disebut invers transformasi Laplace, dinotasikan sebagai

£-1 F s( ) f t( ). (2.2)

2.2 Eksistensi Transformasi Laplace

Transformasi Laplace suatu fungsi f t ada jika f t secara sepotong-sepotong kontinu pada setiap selang takhingga (infinite interval) dalam daerah

0

t dan jika fungsi tersebut mempunyai orde eksponensial dengan membesarnya

t menuju takhingga. Dengan kata lain, integral Laplace harus konvergen.

Suatu fungsi f t mempunyai orde eksponensial jika ada suatu konstanta nyata positif, sedemikian sehingga fungsi e t f t mendekati nol jika t mendekati tak hingga. Jika limit fungsi t

e f t mendekati nol untuk lebih besar dari c dan limit tersebut mendekati tak hingga untuk lebih kecil c,

4

2.3 Sifat-Sifat Transformasi Laplace

Beberapa sifat penting dari transformasi Laplace berturut-turut sebagai berikut (Cochin et al. 1990):

Teorema 1. Misalkan £ f t( ) F s( ) dan £ g t( ) G s( ), maka penjumlahan dan pengurangan transformasi Laplace dari dua buah fungsi f dan g diberikan oleh

£ f t( ) g t( ) F s( ) G s( ). (2.3)

Teorema 2. Misalkan £ f t( ) F s( ), maka transformasi Laplace perkalian fungsi f dengan bilangan konstan a diberikan oleh

£ af t( ) aF s( ). (2.4)

Teorema 3. Misalkan £ f t( ) F s( ), maka turunan pertama transformasi Laplace fungsi f diberikan oleh

df t( ) sF s( ) f 0 .

dt

£ (2.5) dengan f(0) merupakan nilai f pada saat t 0.

Teorema 4. Misalkan £ f t( ) F s( ), maka turunan kedua transformasi Laplace fungsi f diberikan oleh

2 2 ( ) ( ) 0 0 , d f t s F s f sf dt £ (2.6) dengan f(0),f 0 merupakan nilai ,f f pada saat t 0.

5

2.4 Pelinearan Model Taklinear

Ogata (1984) mengemukakan bahwa untuk mendapatkan model matematika yang linear dari sistem yang taklinear, maka diasumsikan bahwa terjadi simpangan yang sangat kecil di sekitar titik kesetimbangan.

Misalkan sistem mempunyai masukan t dan keluaran y t , maka hubungan antara y t dan t diberikan oleh

.

y f (2.7) Jika keadaan pada titik kesetimbangan dinyatakan dengan dan ,y maka

persamaan (2.7) dapat diuraikan menjadi suatu deret Taylor di sekitar titik kesetimbangan sebagai 2 2 2 1 , 2! df d f y f d d (2.8) dengan 2 2 , , df d f d d dihitung pada .

Jika selisih adalah kecil, maka yang berorde tinggi dapat diabaikan. Selanjutnya persamaan (2.8) dapat dituliskan sebagai y y K , (2.9) dengan , df . y f K d

Persamaan (2.9) dapat ditulis kembali sebagai

y y K , (2.10) di mana menunjukan bahwa y y sebanding dengan . Persamaan (2.10) memberikan suatu model matematika linear untuk sistem taklinear yang diberikan oleh persamaan (2.7).

Selanjutnya misalkan sistem yang keluarannya y merupakan fungsi dari dua buah masukan 1 t dan 2 t , maka

6

Untuk memperoleh pendekatan linear pada sistem taklinear ini, maka persamaan (2.11) dapat diuraikan menjadi suatu deret Taylor di sekitar titik kesetimbangan ₁ dan ₂. Selanjutnya persamaan (2.11) dapat dituliskan menjadi

1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 , 1 2 2! , f f y f f f f f

(2.12) dengan turunan parsialnya dihitung pada _{1 1} dan _{2 2} di sekitar titik kesetimbangan, bentuk 1 1 dan 2 2 berorde tinggi dapat diabaikan.

Model matematika linear dari sistem taklinear di sekitar titik kesetimbangan dituliskan sebagai y y K1 1 1 K2 2 2 , (2.13) dengan 1, 2 y f 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 , 2 , , . f f K K

2.5 Persamaan Ruang Keadaan

Bentuk standar persamaan ruang keadaan merupakan bentuk persamaan diferensial biasa yang berorde satu dengan berdimensi n, dan persamaan keluaran (output) dengan berdimensi m, yang didefinisikan sebagai berikut (Ogata 1984).

Definisi 2. Diberikan sistem persamaan ruang keadaan dan persamaan keluaran

berturut-turut sebagai berikut

( )x t f x u t (2.14) ( , , ), ( )y t g x u t (2.15) ( , , ). Jika vektor fungsi f , g bergantung terhadap t, maka persamaan (2.14) dan (2.15) disebut sistem parameter-berubah (time-varying). Jika sistem tersebut dilinearkan,

7 maka persamaan linear ruang keadaan dan persamaan keluarannya dituliskan sebagai

( )x t A t x t( ) ( ) B t u t (2.16) ( ) ( ), ( )y t C t x t( ) ( ) D t u t (2.17) ( ) ( ), dengan A t B t C t D t adalah matriks-matriks yang bergantung terhadap ( ), ( ), ( ), ( )

peubah t, x adalah vektor peubah keadaan (variable state), y adalah keluaran (output) sistem, dan u adalah input kendali.

Jika vektor fungsi f, g tidak bergantung terhadap t, maka persamaan (2.14) dan (2.15) disebut sistem parameter-konstan (time-invariant). Di dalam kasus ini persamaan (2.14) dan (2.15) dituliskan sebagai

( )x t f x u (2.18) ( , ), ( )y t f x u (2.19) ( , ). Jika sistem tersebut dilinearkan, maka persamaan linear ruang keadaan dan persamaan keluarannya dituliskan sebagai

( )x t Ax t( ) Bu t (2.20) ( ), ( )y t Cx t( ) Du t (2.21) ( ), dengan A,B,C,D adalah matriks-matriks bernilai real, x adalah vektor peubah keadaan (variable state), y adalah keluaran (output) sistem, dan u adalah input kendali. Sistem pada persamaan (2.20) dan (2.21) dapat dituliskan dalam bentuk

( , , ,A B C D untuk ), A Rn nx ,B Rn mx ,C Rr nx , dan D Rr mx .

2.6 Fungsi Transfer, Diagram Blok, Pole dan Zero

Fungsi transfer sering kali digunakan untuk mencirikan hubungan antara masukan (input) dengan keluaran (output) dari sistem linear parameter-konstan. Selain itu, fungsi transfer didefinisikan juga sebagai perbandingan dari transformasi Laplace keluaran (fungsi respon) dan transformasi Laplace masukan (fungsi refreksi) dengan asumsi syarat awal bernilai nol (Ogata 1984).

Definisi 3. Diberikan sistem linear parameter-konstan untuk n m berikut.

a y₀ ( )n a y₁ (n 1) a_{n 1}y a y_n b u₀ ( )m b u₁ (m 1) b_{m 1}u b u (2.22) _m , dengan y adalah keluaran (output) sistem dan u adalah masukan (input) sistem.

8

Fungsi transfer dari persamaan (2.22) dapat diperoleh dengan mencari transformasi Laplace dari kedua ruas persamaan, dengan asumsi bahwa semua syarat awal bernilai nol.

Selanjutnya diagram blok digunakan di dalam teori pengendalian untuk mempresentasikan interaksi atau hubungan timbal balik antara setiap komponen yang dipresentasikan seperti pada Gambar 1 berikut.

Gambar 1 Diagram blok hubungan antara input dan output.

Anak panah yang menuju ke blok fungsi transfer P menyatakan input atau dalam bentuk notasi u dan anak panah yang meninggalkan blok fungsi transfer P menyatakan output atau dalam notasi y.

Definisi 4. Diberikan fungsi transfer P s berikut

1 1 1 0 1 1 1 0 ( ) ( ) , ( ) m m m m n n n b s b s b s b N s P s D s s a s a s a (2.23)

dengan pembilang N s dan penyebut ( )( ) D s adalah koprima (tidak memiliki faktor

persekutuan). Selain itu, Loi (2003) mengemukakan bahwa pole dari sistem P didefinisikan sebagai akar dari persamaan D s( ) 0 dan zero dari sistem P didefinisikan sebagai akar dari persamaan N s( ) 0.

Thompson (1990) mengemukakan bahwa istilah pole dan zero digunakan untuk mencirikan kestabilan sistem. Misalkan p adalah sebarang pole dari

P s dan z adalah sebarang zero dari P s . Jika Re p 0, maka p disebut pole stabil, selain itu disebut pole takstabil. Jika Re z 0, maka z disebut zero minimum phase, selain itu disebut zero non-minimum phase.

P

9

2.7 Kestabilan Sistem

Definisi 5. Sistem ( , , ,A B C D pada persamaan (2.20) dan (2.21) dikatakan ) 1. Stabil jika

lim sup ( ) .

t x t (2.24)

Untuk setiap solusi ( )x t dari persamaan ( )x t Ax t ( ). 2. Stabil asimtotik jika

lim sup ( ) 0.

t x t (2.25)

Untuk setiap solusi ( )x t dari persamaan ( )x t Ax t ( ). 3. Takstabil jika ia tidak stabil.

Dapat dilihat bahwa kestabilan tidak terkait dengan bagian manapun dari sistem ? selain dengan matriks A. Oleh karena itu, kestabilan dapat ditentukan

dari spektrum matriks A (Lewis 2004).

Teorema 5. Diberikan sistem ( , , ,A B C D pada persamaan (2.20) dan (2.21) ) dengan matriks A berukuran nxn yang memiliki akar ciri 1, 2, , n,

pernyataan-pernyataan berikut berlaku:

1. Sistem stabil jika dan hanya jika Re _i 0 untuk semua i 1, , .n

2. Sistem stabil asimtotik jika dan hanya jika Re _i 0 untuk semua 1, , .

i n

3. Sistem takstabil jika dan hanya jika Re _i 0 untuk semua i 1, , .n

Bukti: Lihat Lampiran 2.

Teorema 6. Diberikan sistem P s( ) yang memiliki pole p i_i( 1, , ),n

pernyataan-pernyataan berikut berlaku:

1. Sistem ( )P s stabil jika dan hanya jika p_i 0 untuk semua i 1, , .n

2. Sistem P s( ) stabil asimtotik jika dan hanya jika p_i 0 untuk semua 1, , .

i n

3. Sistem ( )P s takstabil jika dan hanya jika p_i 0 untuk semua i 1, , .n

10

2.8 Sistem Umpanbalik

Doyle et al. (1990) mengemukakan bahwa istilah umpanbalik digunakan untuk menjelaskan sebuah situasi di mana dua atau lebih sistem dinamik saling terhubung sedemikian sehingga setiap sistem mempengaruhi sistem lainnya. Umpanbalik memiliki banyak sifat menarik. Salah satunya adalah mampu membuat sistem taksensitif terhadap usikan dari luar.

Sistem umpanbalik paling sederhana melibatkan tiga buah komponen, yaitu

Plant atau sistem P yang akan dikendalikan, controller atau pengendali K yang

harus didesain sehingga menghasilkan input kendali tertentu, dan sensor F yang mencatat output sistem sebagai umpanbalik. Lihat Gambar 2 berikut.

Gambar 2 Sistem pengendalian dengan umpanbalik.

Pada Gambar 2, r merupakan referensi bagi peubah yang akan dikendalikan,

e merupakan galat (error) antara input referensi dan output sensor, yaitu e r Fy dan d merupakan usikan yang bersifat eksogen.

Masalah utama dalam sistem umpanbalik adalah mendesain pengendali K sedemikian sehingga sistem menjadi stabil. Bentuk paling sederhana bagi umpanbalik u adalah

u Kx (2.26) , dengan u merupakan kombinasi linear dari peubah keadaan x.

Selanjutnya persamaan (2.26) disubtitusikan ke persamaan (2.20), maka diperoleh x (A BK x) . Dengan demikian K dipilih sehingga A BK memiliki akarciri seperti yang diinginkan. Masalah ini dikenal sebagai pole placement. Jika peubah keadaan x tidak tersedia, maka dipilih u sebagai kombinasi linear dari

output y, yaitu u Ky (2.27) . Sehingga diperoleh x (A BK I( DK) 1C x) . u d y K(s) r e P(s) F(s)

11

2.9 Masalah Regulasi Optimal

Perhatikan sistem umpanbalik pada masalah regulasi seperti Gambar 3 berikut.

Gambar 3 Sistem pengendalian dengan umpanbalik pada masalah regulasi. Gambar 3 diperoleh dari sistem pengendalian dengan umpanbalik pada Gambar 2 dengan menetapkan bahwa r t( ) 0,F s 1dan d merupakan fungsi impuls, yaitu ( ) , 0 0, 0. t d t t (2.28)

Masalah regulasi bertujuan untuk mendesain pengendali K yang menstabilkan sistem dan sekaligus meminimumkan fungsi berikut (Goval 1987). 2

0

( ) .

E u t dt (2.29)

Pada penelitian ini yang menjadi pokok perhatian bukanlah pendesainan pengendali optimum K

melainkan pada bentuk ekspresi analitik dari E*, maka hal tersebut diberikan sebagai berikut (Hara & Kogure 2003).

* 2 0 inf ( ) . K E u t dt (2.30) u d y K(s) P(s)