Lecture 6: Mixed Strategy: Linear Programming Method
A. Metode Campuran dengan Program Linear
Terdapat hubungan yang erat antara teori permainan dan program linear karena setiap bentuk permainan berjumlah nol dari dua orang (yang berhingga) dapat dinyatakan sebagai suatu bentuk program linear dan sebaliknya, setiap permasalahan program linear dapat disajikan sebagai suatu permainan. Dalam penyelesaian suatu permainan dengan metode program linear ini, sering dihadapkan kepada masalah metode simpleks dualitas.
Untuk suatu permainan dengan matriks pembayaran yang berukuran besar (m x n) dan tidak mempunyai titik pelana serta metode dominasi tidak dapat digunakan untuk mereduksi ukuran matriks pembayaran menjadi lebih kecil, maka program linear menawarkan suatu metode penyelesaian yang efisien. Perhatikan matriks pembayaran di bawah ini.
Pemain P2 Pemain P1 y1 y2 …….. yn 1 2 …….. n x1 1 a11 a12 …….. a1n x2 2 a21 a22 a2n x3 3 a31 a32 a3n . . . . . . . . . . . . xm n am1 am2 …….. amn
Untuk pemain P1 (Pemain Baris)
Langkah 1: Pemain P1 memilih xi,
m i i i x x 1 1 ,0 yang akan menghasilkan
m i i in m i i i m i i i x a x a x a x 1 1 2 1 1 , ,..., min max .Hal ini menunjukkan bahwa strategi campuran optimum pemain P1 memenuhi
. ,..., , min max 1 1 2 1 1
m i i in m i i i m i i i x a x a x a x Berdasar pembatas 1 1
m i i x dan xi ≥ 0, i = 1, 2, …, m.Persoalan ini dapat disajikan ke bentuk program linear sebagai berikut. Jika
m i i in m i i i m i i i x a x a x a v 1 1 2 1 1 , ,..., minMemaksimumkan z1 = v
terhadap kendala kendala
m i i ijx v a 1 , j = 1, 2, …, n
m i i x 1 1 , xi ≥ 0 untuk semua i = 1,2, …, mdengan v = nilai permainan. Langkah 2:
Perumusan program linear di atas dapat disederhanakan dengan membagi (n+1) kendala dengan v.
Pembagian ini berlaku untuk v > 0. Sebaliknya, jika v = 0 atau v < 0 maka pembagian ini juga tidak berlaku namun dapat diubah menjadi v > 0 dengan menambahkan suatu konstanta positif k pada semua elemen dalam matriks pembayaran yang akan menjamin nilai permainan untuk matriks yang dimodifikasi ini lebih besar dari nol. Sebagai pedoman, diambil
k ≥ harga mutlak dari elemen terkecil.
Sehingga sebelum merumuskan ke bentuk program linear perlu diperiksa nilai maximin barisnya karena jika nilai maximin tersebut negatif maka ada kemungkinan nilai permainannya negatif atau nol. Ingat kembali:
min(max) permainan
nilai
max(min) .
Dengan demikian matriks pembayarannya perlu dimodifikasi dahulu dan sebagai konsekuensi-nya adalah jika solusi optimum telah diperoleh, maka nilai permainan yang sebenarkonsekuensi-nya ditentukan dengan mengurangi sebesar k tadi dari nilai permainan yang dimodifikasi itu. Pada umumnya jika nilai maximinnya positif maka nilai permainannya lebih besar daripada nol (terutama permainan yang mempunyai titik pelana). Oleh karena itu di dalam pembentukan rumusan program linear diasumsikan bahwa v > 0.
Pembatas-pembatas (constraints) dalam rumusan program linear di atas menjadi:
m i i ij v x a 1 1, j = 1, 2, 3, ..., n dan
m i i v v x 1 1 , xi ≥0 untuk semua i.Atau ditulis secara lengkap :
1 ... 1 3 31 2 21 1 11 v x a v x a v x a v x a m m 1 ... 2 3 32 2 22 1 12 v x a v x a v x a v x a m m … 1 ... 3 3 2 2 1 1 v x a v x a v x a v x an n n mn m dan v v x v x v x v x m 1 ... 3 2 1 .
Langkah 3: Jika dinotasikan v x X i i dengan i = 1, 2, ..., m maka v X X X X1 2 3... m 1. Karena v v min1
max =min [X1+X2+X3+...+Xm] maka persoalan di atas menjadi:
Meminimumkan z = X1X2X3...Xm 1/v terhadap kendala a11X1a21X2a31X3...am1Xm 1 1 ... 2 3 32 2 22 1 12X a X a X am Xm a 1 ... 3 3 33 2 23 1 13X a X a X am Xm a … 1 ... 3 3 2 2 1 1nX a nX anX amnXm a 0 ..., , , 2 3 1 X X Xm X .
Dari sini kemudian diselesaikan dengan metode simpleks. Penyelesaian bagi pemain P2
merupakan dual dari penyelesaian pemain P1. Jadi penyelesaian optimum bagi salah satu
pemain dapat memberikan penyelesaian optimum bagi pemain lainnya meskipun penyelesaian bagi pemain P2 merupakan dual dari penyelesaian pemain P1. Perhitungan penyelesaian
optimum pemain P2 dapat dilakukan dengan menggunakan metode simpleks dan penyelesaian
pemain P1 merupakan dualnya. Pada kenyataannya bahwa lebih mudah untuk menghitung
penyelesaian pemain P2 dengan metode simpleks terlebih dahulu.
Untuk pemain P2 (Pemain Kolom)
Langkah 1: Pemain P2 memilih yj,
1 , 0 1 n j j j yy yang akan menghasilkan
n j j mj n j j j n j j j yj a y 1a y 1a y 2 1 1 , ,..., max min .Hal ini menunjukkan bahwa strategi campuran optimum pemain P2 memenuhi
. ,..., , max min 1 1 2 1 1
n j j mj n j j j n j j j yj a y a y a y Berdasarkan pembatas 1 1
n j jy dan yj > 0 , j = 0,1,2,…,n. Persoalan ini dapat dirumuskan ke
dalam bentuk program linear sebagai berikut. Jika
n j j mj n j j j n j j jy a y a y a v 1 1 2 1 1 , ,..., maxMeminimumkan z1 = v terhadap kendala v y a n j j ij
1 , i = 1, 2,…, m 1 1
n j j y , yj > 0 untuk semua jdengan v = nilai permainan. Langkah 2:
Asumsikan bahwa v > 0 maka kendala-kendala dalam rumusan program linear menjadi
1 1
n j j ij v y a , i = 1, 2,…, m dan v v y n j j 1 1
, yj > 0 untuk semua jAtau ditulis secara lengkap
1 ... ... 1 ... 1 ... 3 3 2 2 1 1 2 3 23 2 22 1 21 1 3 13 2 12 1 11 v y a v y a v y a v y a v y a v y a v y a v y a v y a v y a v y a v y a n mn m m m n n n n dan v v y v y v y n 1 ... 2 1 . Langkah 3: Jika dinotasikan v y Yj j; j = 0,1,2,…,n maka v Y Y Y Y1 2 3... n 1. Karena min v = v 1
max = max
Y1Y2 Y3...Yn
, maka persoalan di atas menjadiMemaksimumkan v Y Y Y Y z 1 2 3 ... n 1 terhadap kendala ... 1 … 1 ... 1 ... 3 3 2 2 1 1 2 3 23 2 22 1 21 1 3 13 2 12 1 11 n mn m m m n n n n Y a Y a Y a Y a Y a Y a Y a Y a Y a Y a Y a Y a
Y1, Y2, Y3,…, Yn > 0.
Kemudian diselesaikan dengan metode simpleks dan penyelesaian pemain P1 merupakan dual
dari penyelesaian pemain P2 dan simpleksnya lebih sederhana.
B. Contoh 6.1 Diberikan matriks pembayaran (3 × 3) sebagai berikut.
Pemain P2 Pemain P1 y1 y2 y3 1 2 3 x1 1 2 -1 -3 x2 2 -2 0 1 x3 3 0 -3 2
dengan xi = probabilitas pemain P1 memilih stategi ke-i
yi = probabilitas pemain P2 memilih stategi ke-j.
Penyelesaian:
Strategi Optimum Pemain P1
Ternyata bahwa permainan ini tidak mempunyai titik pelana dan aturan dominasi tidak digunakan. Karena nilai maximin = -2, maka ada kemungkinan nilai permainannya negatif atau nol. Oleh karena itu, matriks pembayaran di atas perlu dimodifikasi dengan menambahkan konstanta positif k = 4 sedemikian rupa sehingga matriks pembayaran modifikasinya adalah
Pemain P2 Pemain P1 y1 y2 y3 1 2 3 x1 1 6 3 1 x2 2 2 4 5 x3 3 4 1 6
Penyelesaian dengan metode simpleks untuk pemain P2. Formulasi program linear berdasarkan
matriks pembayaran modifikasi untuk pemain P2 adalah :
Memaksimumkan z = Y1 + Y2 + Y3 (= v 1 ) terhadap kendala 6Y1 + 3Y2 + Y3 ≤ 1 2Y1 + 4Y2 + 5Y3 ≤ 1 4Y1 + Y2 + 6Y3 ≤ 1 Y1, Y2, Y3 ≥ 0
Dengan menambahkan variabel-variabel slack P, Q, R, sehingga diperoleh bentuk estándar
Memaksimumkan w = Y1 + Y2 + Y3 + 0P + 0Q + 0R (= v 1 ) terhadap kendala 6Y1 + 3Y2 + Y3 + P = 1 2Y1 + 4Y2 + 5Y3 + Q = 1 4Y1 + Y2 + 6Y3 + R = 1
Y1, Y2, Y3, P, Q, R ≥ 0
Dengan Metode Simpleks diperoleh Tabel simpleks untuk pemain P2 berikut.
ci cj 1 1 1 0 0 0 vi Ri Yj Y1 Y2 Y3 P Q R 0 P 6 3 1 1 0 0 1 1/6 0 Q 2 4 5 0 1 0 1 1/2 0 R 4 1 6 0 0 1 1 1/4 zj 0 0 0 0 0 0 zj-cj -1 -1 -1 0 0 0 1 Y1 1 1/2 1/6 1/6 0 0 1/6 1 0 Q 0 3 14/3 -1/3 1 0 2/3 1/7 0 R 0 -1 16/3 -2/3 0 1 1/3 1/16 zj 1 1/2 1/6 1/6 0 0 zj-cj 0 -1/2 -5/6 1/6 0 0 1 Y1 1 17/23 0 3/16 0 -1/32 5/32 5/17 0 Q 0 31/8 0 1/4 1 -7/8 3/8 3/31 1 Y3 0 -3/16 1 -1/8 0 3/16 1/16 -1/3 zj 1 11/32 1 1/16 0 5/32 zj-cj 0 -21/32 0 1/16 0 5/32 1 Y1 1 0 0 19/124 -11/124 11/124 13/124 1 Y2 0 1 0 2/31 8/31 -7/31 3/31 1 Y3 0 0 1 -7/62 3/62 9/62 5/62 zj 1 1 1 13/124 21/124 1/124 35/124 zj-cj 0 0 0 13/124 21/124 1/124
Karena semua zj-cj >0, maka telah tercapai optimum. Didapatkan bahwa
124 / 35 z Y = [Y1, Y2, Y3, P, Q, R] =
13/124,3/31,5/62,0,0,0
Karena v y Y i i dan z v 1 maka z Y y ii untuk i = 1, 2, 3. Diperoleh bahwa
35 13 35 124 124 13 1 * 1 1 z Y y y 35 12 35 124 31 3 2 * 2 2 z Y y y 35 10 35 124 62 5 3 * 3 3 z Y y y
dan nilai permainan sebenarnya adalah 35 16 4 35 124 1 * k z v .
Jadi strategi campuran optimum pemain P2 adalah
35 10 , 35 12 , 35 13 * y
dan nilai permainan
35 16 * v .
Strategi Optimum Pemain P2
Selanjutnya akan dicari solusi optimum untuk pemian P1 melalui dualitas (berdasarkan solusi
optimum matriks modifikasi). Bagi pemain P1
Y1 =13/124>0 Y2 =3/31> 0 Y3 =5/62> 0 X1> 0 6 3 1 =1 X2> 0 2 4 5 =1 X3> 0 4 1 6 =1 =1 =1 =1 Masalah dual: 6X1 + 2X2 + 4X3 = 1 3X1 + 4X2 + X3 = 1 X1 + 5X2 + 6X3 = 1
Merupakan sistem persamaan linear non homogen dengan 3 variabel, yaitu X1, X2, X3 dan 3
persamaan. Sistem ini diselesaikan dengan aturan Cramer. Karena
124 6 5 1 1 4 3 4 2 6 , sehingga diperoleh 124 13 6 5 1 1 4 1 4 2 1 1 X , 124 21 6 1 1 1 1 3 4 1 6 2 X 124 1 1 5 1 1 4 3 1 2 6 3 X Diperoleh bahwa 124 35 1 3 2 1 X X X v z . Karena v x X i i dan v z1 maka z X x i
i untuk i = 1, 2, 3. Diperoleh bahwa
35 13 35 124 124 13 1 * 1 1 z X x x 35 21 35 124 124 21 2 * 2 2 z X x x 35 1 35 124 124 1 3 * 3 3 z X x x
Jadi strategi campuran optimum pemain P1 adalah
35 1 , 35 21 , 35 13 * x
Kesimpulan
Jadi solusi optimum permainan ini adalah
Strategi campuran pemain P1 adalah .
35 1 , 35 21 , 35 13 * x
Strategi campuran pemain P2 adalah .
35 10 , 35 12 , 35 13 * y Nilai permainan . 35 16 * v
