Model Dinamis Tingkat Persediaan Dua Jenis Stock dengan
Laju Produksi Sigmoid dan Penjualan Bersama
Hennie Husniah
Jurusan Teknik Industri, Universitas Langlangbuana Jalan Karapitan 116, Bandung, 40261 INDONESIA Tel: 022-4218084, Fax: 022-4218084
Email: hennie.husniah@gmail.com
Nursanti Anggriani, Syifa Khairani, Islami Nur Fithriati, dan A.K. Supriatna Departemen Matematika, Universitas Padjadjaran
Jalan Raya Bandung-Sumedang Km 21, Jatinangor 45363 INDONESIA Tel: 022-7794696, Fax: 022-7794696
Abstrak. In this paper we present a comparison of dynamical system models regarding the inventory of two products which their demand are influenced by sales team's initiatives (such as promotional or advertising activities). The warehouse is assumed to be bounded, so its capacity to hold the product is also bounded by a certain maximum value. Hence, it is plausible to assume that the stocks at hand follow a sigmoid curve. Here we will compare the resulting steady state stock at hand from various sigmoid curves, such as Verhulst's and Gompertz's equations. We discuss the steady states and their stability and also present the numerical examples to illustrate behavior of the solution of the systems.
Kata kunci: Model tingkat persediaan, laju produksi dinamis sigmoid, laju permintaan tidak tetap, kapasitas produksi tetap/tidak tetap, sales team’s initiative (STI)
1. PENDAHULUAN
Pengendalian tingkat persedian stok suatu produk/barang/komoditas merupakan salah satu kegiatan yang penting dalam kelancaran penjualan, yang juga berakibat pada keuntungan yang akan diperoleh dari penjualan produk tersebut. Pengendalian tingkat persediaan sangat bergantung kepada tipe produksi dan parameter lain dari produk yang bersangkutan, seperti cara pemasaran. Di dalam makalah ini dibahas mengenai dinamika ketersediaan stok dua buah produk berbeda yang dipasarkan secara bersamaan. Penjelasan formulasi model mengikuti Sana (2013) sebagaimana yang akan dijelaskan sebagai berikut. Misalkan ada dua buah produk X dan Y, dengan X(t) dan Y(t) menunjukkan tingkat ketersedian produk X dan Y pada saat t. Diasumsikan bahwa produksi kedua barang tersebut sangat bergantung kepada kapasitas produksi masing-masing produk yang berbeda setiap saat bergantung kepada sumberdaya yang dimilikinya, dengan Cx(t) dan Cy(t) menunjukkan kapasitas produksi untuk X dan Y pada saat t. Untuk menggambarkan dinamika ketersediaan barang tersebut diasumsikan bahwa laju perubahannya bergantung kepada produksi dan pemasaran (suatu asumsi yang logis), sebagai berikut:
( ) ( , ), (1) d P D N dt Ω Ω Ω = Ω − Ω
dengan PΩ(Ω) dan DΩ(Ω) masing-masing merupakan laju produksi dan laju penjualan/pemasaran/permintaan, di mana
Ωϵ{X,Y}. Produksi bergantung kepada jumlah barang yang tersedia dan kapasitas produksi, yang diasumsikan tumbuh secara
yang secara bersama-sama memasarkan kedua barang tersebut, yang diasumsikan mempunyai tingkat saturasi. Hal seperti ini di dalam literatur (Sana, 2011a) dikenal sebagai Sales’s Team Initiative (STI). Selanjutnya kapasitas produksi meningkat dari waktu ke waktu secara sigmoid menuju kapasitas maksimum CΩmax yang kemudian dipengaruhi juga oleh berkurangya sumber daya manusia yang beralih menjadi tenaga pemasaran. Secara umum persamaan dinamiknya berbentuk:
( ) ( , ). ( )2 dC K C L C N dt Ω Ω Ω Ω = −
Pada bagian berikut akan dibahas dua jenis model pertumbuhan sigmoid yaitu model Verhulst dan model Gompertz untuk melihat perilaku solusi dari model pada persamaan (1) dan (2) di atas. Pada kedua model tersebut yang dibahas hanya kuantitas dari tingkat persediaan steady state tanpa memperhitungkan aspek ekonomi (harga jual, biaya penyimpanan, biaya produksi, biaya pengiklanan dsb). Pengaruh kompleksitas ekonomi tersebut masih sedang diteliti.
2. FORMULASI DAN ANALISIS MODEL
2.1 Model Verhulst
Pada makalah Anggriani et al. (2015) dibahas sebuah model pengendalian persediaan optimal untuk dua buah produk berbeda di mana permintaan sangat dipengaruhi oleh volume STI sebagaimana yang digambarkan oleh persamaan (1) dan (2). Model dasar pada makalah tersebut serupa dengan model dalam Sana (2011b, 2012, 2013) dengan beberapa pengembangan. Model pada Anggriani et al. (2015) berbentuk
1 1 1 , 1 (3) x x x dX X r X X dt C
t
N = − − − + 1 1 1 , 1 (4) y y y dY Y r Y Y dt Ct
N = − − − + , (5) 1 x x x x x x xmax dC C q C NC dt Cγ
= − − . 1 (6) y y y y y y ymax dC C q C NC dt Cγ
= − − dengan rx, τx, qx, γx, dan Cxmax berturut-turut merupakan parameter produk X untuk laju pertumbuhan potensial produksi, laju pertumbuhan potensial pemasaran yang diusahakan oleh N salesman, laju pertumbuhan potensial kapasitas produksi, laju pengurangan kapasitas produksi akibat beralihnya sejumlah N personil SDM menjadi salesman. Parameter produk Y didefinisikan secara serupa.
Pada model di atas diasumsikan bahwa laju tingkat produksi (pada persamaan (1) dan (2)) serta laju tingkat kapasitas produksi ketika tidak ada STI (N=0) berbentuk fungsi Verhulst (1838). Analisis standar untuk model tersebut di atas adalah dengan melakukan analisis pada solusi steady state (titik tetap) untuk memperlihatkan kondisi jangka panjang (long-term
behavior) dari sistem persamaan diferensial tersebut di atas (Wiggins, 1990). Dengan mengacu pada Tabel 1 pada Anggriani et al. (2015), diperoleh empat titik tetap untuk pasangan (𝑋, 𝑌, 𝐶𝑥, 𝐶𝑦), yakni (0,0, 𝐶𝑥∗, 𝐶𝑦∗), (0, 𝑌∗, 𝐶𝑥∗, 𝐶𝑦∗), (𝑋∗, 0, 𝐶𝑥∗, 𝐶𝑦∗),
dan (𝑋∗, 𝑌∗, 𝐶𝑥∗, 𝐶𝑦∗), dengan masing-masing komponen yang tidak nol diberikan oleh:
* max 1 1 , (1 ) (5) x x x x x N N X C q r N
γ
t
− − = + * max 1 1 , (6 (1 ) ) y y y y y C Y N N q r Nγ
t
= − − + * max 1 x , (7) x x x N C C qγ
= − * max 1 . (8) y y y y N C C q
γ
− =Penjelasan keempat titik tetap tersebut adalah sebagai berikut: titik tetap pertama, yakni yakni (0,0, 𝐶𝑥∗, 𝐶𝑦∗), memperlihatkan bahwa masing-masing produk tidak tersedia; titik tetap kedua, yakni (0, 𝑌∗, 𝐶𝑥∗, 𝐶𝑦∗), memperlihatkan bahwa hanya produk kedua yang tersedia; titik tetap ketiga, yakni (𝑋∗, 0, 𝐶𝑥∗, 𝐶𝑦∗), memperlihatkan bahwa hanya produk pertama yang tersedia; dan titik tetap keempat, yakni (𝑋∗, 𝑌∗, 𝐶𝑥∗, 𝐶𝑦∗) memperlihatkan bahwa kedua produk tersedia.
Anggriani et al. (2015) mengklaim bahwa hanya titik tetap keempat saja, yakni (𝑋∗, 𝑌∗, 𝐶𝑥∗, 𝐶𝑦∗), yang bersifat stabil lokal dengan tidak memperlihatkan syarat kestabilan tersebut selain nilai eigen yang harus semuanya negatif. Dengan kata lain syarat yang membuat keempat nilai eigen untuk setiap titik tetap pada Tabel 1 (Anggriani et al. 2015) tidak diperlihatkan. Kestabilan titik tetap (𝑋∗, 𝑌∗, 𝐶𝑥∗, 𝐶𝑦∗) memberikan arti bahwa berapapun tingkat produksi awal dan tingkat kapasitas produksi masing-masing produk, maka dalam jangka panjang pada akhirnya tingkat persediaan untuk produk pertama dan kedua masing-masing akan diberikan oleh persamaan (5) dan (6). Jika kedua nilai pada persamaan (5) dan (6) tersebut positif artinya persediaan untuk kedua produk tersebut ada. Selanjutnya Anggriani et al. (2015) melakukan pengendalian jumlah salesman (N) yang optimal yang dapat memberikan laba bersih (yang didefinisikan pada Sana (2011)) mencapai tingkat maksimum. Dalam makalah ini kita hanya akan memperlihatkan syarat eksistensi dan kestabilan titik tetap keempat, yakni tersedianya stok untuk setiap produk dan kaitannya dengan parameter produksi serta parameter permintaan.
Kestabilan suatu titik tetap dalam sistem dinamis sangat penting. Dalam hal ini, kestabilan ini menunjukkan bahwa berapa pun tingkat persediaan awal dan tingkat kapasitas produksi awal, maka pada akhirnya sistem akan menuju kepada titik tetap stabil tersebut. Kondisi sebaliknya terjadi jika titik tetap tidak stabil, yakni pada akhirnya sistem akan menjauhi titik tetap tidak stabil tersebut. Kestabilan titik tetap diidentifikasi oleh nilai eigen dari matriks Jacobi di titik tetap tersebut. Dengan mengacu pada Tabel 1 dalam Anggriani et al. (2015), nilai eigen dari matriks Jacobi untuk titik tetap yang keempat adalah:
(
)
(
)
1 1 , 2 1 , 3 1 , 4 1 . 1 1 (9) y y x x x y x y x y x y N N N N r r q q r N r N q qt
γ
t
γ
λ
= − − + λ
= − − + λ
= − − λ
= − − Syarat kestabilan bagi titik tetap keempat, di mana persediaan untuk kedua produk selalu ada, adalah semua nilai eigen di atas harus bernilai negatif (Wiggins, 1990). Dengan demikian diperlukan kondisi:
(
1)
, y y(
1)
, , . (10) x x x x y y N N r r q N q N N N t t >γ γ + > + > >Syarat-syarat di atas mempunyai arti bahwa untuk masing-masing jenis produk:
1. laju pertumbuhan potensial produksi lebih besar dibandingkan dengan laju permintaan akibat usaha yang dilakukan oleh sejumlah N salesman
2. laju pertumbuhan kapasitas produksi lebih besar dibandingkan dengan laju perubahan pengalihan SDM penunjang kapasitas produksi yang menjadi salesman
Selain model sigmoid Verhulst, pada bagian berikut ini juga dibuat model lain, yakni Gompertz.
2.2 Model Gompertz
Model dinamis analog dengan persamaan (3) – (6) dengan bentuk sigmoid yang mengikuti persamaan Gompertz diberikan oleh:
1 ln 1 , 1 (11) x x x C dX r X X dt X
t
N = − − + 1 ln 1 , (12) 1 y y y C dY r Y Y dt Y t N = − − + , ( ) ln 13 x xmax x x x x x dC C q C NC dt Cγ
= − . ln (14) y ymax y y y y y dC C q C NC dt Cγ
= − dengan rx, τx, qx, γx, Cxmax, ry, τy, qy, γy, dan Cymax sebagaimana dijelaskan pada bagian sebelumnya. Pada model di atas diasumsikan bahwa laju tingkat produksi (pada persamaan (1) dan (2)) serta laju tingkat kapasitas produksi ketika tidak ada STI (N=0) berbentuk fungsi Gompertz. Sama dengan bagian sebelumnya, analisis standar untuk model tersebut di atas adalah dengan melakukan analisis pada solusi steady state (titik tetap) untuk memperlihatkan kondisi jangka panjang (long-term
behavior) dari sistem persamaan diferensial tersebut di atas. Dengan cara yang sama seperti pada Anggriani et al. (2015),
diperoleh empat titik tetap untuk pasangan (𝑋, 𝑌, 𝐶𝑥, 𝐶𝑦) , yakni (0,0, 𝐶𝑥∗, 𝐶𝑦∗) , (0, 𝑌∗, 𝐶𝑥∗, 𝐶𝑦∗) , (𝑋∗, 0, 𝐶𝑥∗, 𝐶𝑦∗) , dan (𝑋∗, 𝑌∗, 𝐶
𝑥∗, 𝐶𝑦∗), dengan masing-masing komponen yang tidak nol diberikan oleh:
( ) (1 ) * max , (15) x x x x x x x x N r r N q r q N x X C e γ + γ +t − + = ( ) (1 ) * max , (16) y y y y y y y y N r r N q r q N y C Y e γ + γ +t − + = * max , (17) x x N q x x C C e γ − = * max . (18) y y N q y y C C e γ − =
Penjelasan keempat titik tetap tersebut sama seperti pada bagian sebelumnya, di mana: titik tetap pertama, yakni yakni (0,0, 𝐶𝑥∗, 𝐶𝑦∗) , memperlihatkan bahwa masing-masing produk tidak tersedia; titik tetap kedua, yakni (0, 𝑌∗, 𝐶𝑥∗, 𝐶𝑦∗) ,
memperlihatkan bahwa hanya produk kedua yang tersedia; titik tetap ketiga, yakni (𝑋∗, 0, 𝐶𝑥∗, 𝐶𝑦∗), memperlihatkan bahwa hanya produk pertama yang tersedia; dan titik tetap keempat, yakni (𝑋∗, 𝑌∗, 𝐶𝑥∗, 𝐶𝑦∗) memperlihatkan bahwa kedua produk tersedia. Setelah dilakukan penyederhaanaan, nilai eigen pada model ini diberikan oleh:
2 3 4
1 rx, ry, qx, qy. (19)
λ
= −λ
= −λ
= −λ
= −Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa berbeda dengan model sebelumnya, pada model ini titik tetap keempat yang menyatakan persediaan barang untuk kedua jenis selalu ada, bersifat stabil tanpa persyaratan lain. Hal ini ditunjukkan oleh semua nilai eigen yang negatif pada persamaan (19).
3. CONTOH NUMERIK
Berikut ini adalah contoh numerik dengan data parameter yang digunakan sebagai berikut:
max max
8 =8, , 0,8, 0,8, 2 , =2, x =700, y =350, x 0, 001, 0, 001y , 185
x ry x y qx qy C C N
r =
t
=t
= =γ
=γ
= =dengan nilai awal yang digunakan X(0)=Y(0)=10 dan Cx(0)=Cy(0)= 20. Jadi perbedaan produk hanya pada batas atas kapasitas maksimum produksinya saja. Nilai parameter di atas digunakan baik untuk model Verhust maupun model Gompertz.
Gambar sebelah kiri pada Gambar 1 menunjukkan tingkat persediaan (titik) dan kapasitas produksi (garis) dari produk pertama (merah) serta produk kedua (biru) dengan nilai awal yang digunakan X(0)=Y(0)=10 dan Cx(0)=Cy(0)=20 yang dihasilkan dari model Verhulst. Tingkat persediaan menunjukkan kestabilan pada nilai 572 untuk produk X dan pada nilai 286 untuk produk Y. Sedangkan gambar sebelah kanan pada Gambar 1 menunjukkan tingkat persediaan (titik) dan kapasitas produksi (garis) dari produk pertama (merah) serta produk kedua (biru) dengan nilai awal yang digunakan X(0)=Y(0)=10 dan Cx(0)=Cy(0)=20 yang dihasilkan dari model Gompertz. Secara kualitatif menunjukkan sifat yang sama tetapi secara kuantitatif sedikit berbeda bahwa tingkat persediaan stabil pada nilai 578 untuk produk X dan pada nilai 289 untuk produk Y.
Gambar 1: Gambar kiri: Tingkat persediaan (titik) dan kapasitas produksi (garis) dari produk pertama (merah) serta produk kedua (biru) dengan nilai awal yang digunakan X(0)=Y(0)=10 dan
Cx(0)=Cy(0)=20 yang dihasilkan dari model Verhulst. Tingkat persediaan menunjukkan kestabilan pada nilai 572 untuk produk X dan pada nilai 286 untuk produk Y. Gambar Kanan: Grafik yang sama seperti pada gambar kiri namun dihasilkan dari model Gompertz.
Selanjutnya Gambar 2 memperlihatkan diagram fase dari tingkat persediaan produk berdasarkan model Verhust dan Gambar 3 memperlihatkan diagram fase dari tingkat persediaan produk berdasarkan model Gompertz. Secara kualitatif nampak sama dengan perbedaan detail dapat dilihat pada Tabel 1 yang memperlihatkan tingkat persediaan steady state untuk jumlah salesman yang berbeda.
Gambar 2: Diagram fase dari tingkat persediaan produk X (kiri) dan produk Y (kanan) terhadap masing-masing kapasitas produksi dengan berbagai nilai awal sebagai solusi model Verhulst. Untuk gambar sebelah kiri, berturut-turut nilai awal pada garis kuning dari kiri bawah searah jarum jam: (Cx(0)=20, X(0)=10), (Cx(0)=200, X(0)=1000), (Cx(0)=800, X(0)=1000), dan (Cx(0)=1000, X(0)=10 ). Untuk gambar kanan, juga digunakan nilai awal yang sama, yaitu berturut-turut nilai awal pada garis kuning dari kiri bawah searah jarum jam: (Cy(0)=20, Y(0)=10), (Cy(0)=200, Y(0)=1000), (Cy(0)=800, Y(0)=1000), dan (Cy(0)=1000, Y(0)=10 ).
Gambar 3: Diagram fase dari tingkat persediaan produk X (kiri) dan produk Y (kanan) terhadap masing-masing kapasitas produksi dengan berbagai nilai awal sebagai solusi model Gompertz. Nilai awal yang digunakan sama persis seperti pada Gambar 2. Secara visual gambar ini hampir tidak berbeda dengan Gambar 2. Untuk melihat perbedaan detailnya lihat Tabel 1.
Table 1: Perbandingan tingkat persediaan antara model Verhust dengan Gompertz. N X Verhulst Y Verhulst X Gompertz Y Gompertz
0 700 350 700 350 185 572 286 578 289 500 473 236 493 247 1000 315 158 384 192 1500 158 79 299 150 1600 126 63 285 142 1700 95 47 271 135 1998 1 0 233 117
Gambar 4: Steady state tingkat persediaan (sumbu tegak) sebagai fungsi dari jumlah salesman yang melakukan pemasaran bersama (sumbu datar) dari model Verhulst (kiri) dan model Gompertz (kanan) sesuai Tabel 1.
4. KESIMPULAN
Di dalam makalah ini telah dibahas dua buah model sigmoid untuk tingkat persediaan dua buah produk yang dijual secara bersamaan oleh team pemasaran yang sama. Pembahasan model memperlihatkan bahwa kedua model secara kualtitatif memprediksi keadaan steady state yang sama dengan nilai kuantitatif yang sedikit berbeda. Dalam makalah ini kompleksitas ekonomi seperti harga jual, biaya produksi, biaya pemasaran dan lain-lain tidak dilibatkan. Penelitian lebih lanjut dapat dilakukan untuk melihat pengaruh aspek tersebut dalam penentuan tingkat persediaan yang optimal yang dapat meminimumkan biaya atau memaksimalkan pendapatan.
PENGAKUAN
Penelitian ini dibiayai oleh Kementerian Riset, Teknologi, dan Pendidikan Tinggi melalui skema Riset Insentif Sistem Inovasi Nasional tahun 2015.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 1000 2000 3000 X Y 0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 1000 2000 3000 X Y
REFERENSI
Angriani, N., Lesmana, L., Supriatna, A.K., Husniah, H. , dan Yudha, M. (2015). Analisis Dinamik pada Model Pengendalian Persediaan Dua Produk Berbeda dengan Kapasitas Produksi Terbatas Serta Inisiatif Tim Sales Bersama. Jurnal
Teknik Industri, Vol. 17(1), 17-26.
Sana, S.S. (2011a). An EOQ Model of Homogeneous Products while Demand is Salesmen’s Initiatives and Stock Sensitive. Computers and Mathematics with Applications, 62, 577-578.
Sana, S.S. (2011b). An EOQ Model for Salesmen's Initiatives, Stock and Price Sensitive Demand of Similar Products-A Dynamical System. Applied Mathematics and Computation, 218, 3277–3288.
Sana, S.S. (2012). The EOQ Model-A Dynamical System. Applied Mathematics and Computation, 2(18), 2012, 8736– 8749. Sana, S.S. (2013). Sales Team’s Initiatives and Stock Sensitive Demand–A Production Control Policy. Economic
Modelling, 31, 783-788.
Verhulst, P.F. (1838). Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement. Corr. Mat. et Phys., 10, 113–121. Wiggins, S. (1990), Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Springer-Verlag, New York.
RIWAYAT HIDUP PENULIS
Hennie Husniah adalah staf pengajar di Program Studi Teknik Industri, Fakultas Teknik, Universitas Langlangbuana, Bandung. Ia mendapatkan gelar Doktor dari Program Studi Teknik dan Manajemen Industri, Sekolah Pasca Sarjana, Institut Teknologi Bandung pada tahun 2010. Topik penelitian yang digelutinya adalah bidang reliability, maintenance, dan optimisasi. Alamat e-mail beliau adalah hennie.husniah@gmail.com.
Nursanti Anggriani, Syifa Khairani, Islami Nur Fithriati, dan A. K. Supriatna adalah staf pengajar / staf peneliti di Departemen Matematika, Universitas Padjadjaran Bandung. Bidang penelitian yang mereka gelutinya adalah pemodelan matematika di bidang industri dan lingkungan.
