Solusi Sistem Persamaan Linear Ax = b

Solusi Sistem Persamaan Linear Ax = b

Kie Van Ivanky Saputra

Review

1 _{Substitusi mundur pada sistem persamaan linear segitiga atas,}

2 Eliminasi Gauss biasa,

Faktorisasi LU

Apa itu faktorisasi?

Faktorisasi pada bilangan real : 8 = 2 × 4. Faktorisasi pada matriks n × n : A = LU.

L adalah matriks segitiga bawah dan U adalah matriks segitiga atas.

L =      1 0 · · · 0 l21 1 · · · 0 .. . ... . .. ... ln1 ln2 · · · 1      , U =      u11 u12 · · · u1n 0 u22 · · · u2n .. . ... . .. ... 0 0 · · · unn     

Faktorisasi LU

Apa itu faktorisasi?

Faktorisasi pada bilangan real : 8 = 2 × 4.

Faktorisasi pada matriks n × n : A = LU.

L adalah matriks segitiga bawah dan U adalah matriks segitiga atas.

L =      1 0 · · · 0 l21 1 · · · 0 .. . ... . .. ... ln1 ln2 · · · 1      , U =      u11 u12 · · · u1n 0 u22 · · · u2n .. . ... . .. ... 0 0 · · · unn     

Faktorisasi LU

Apa itu faktorisasi?

Faktorisasi pada bilangan real : 8 = 2 × 4. Faktorisasi pada matriks n × n : A = LU.

L adalah matriks segitiga bawah dan U adalah matriks segitiga atas.

L =      1 0 · · · 0 l21 1 · · · 0 .. . ... . .. ... ln1 ln2 · · · 1      , U =      u11 u12 · · · u1n 0 u22 · · · u2n .. . ... . .. ... 0 0 · · · unn     

Faktorisasi LU

Apa itu faktorisasi?

Faktorisasi pada bilangan real : 8 = 2 × 4. Faktorisasi pada matriks n × n : A = LU.

L adalah matriks segitiga bawah dan U adalah matriks segitiga atas.

L =      1 0 · · · 0 l21 1 · · · 0 .. . ... . .. ... ln1 ln2 · · · 1      , U =      u11 u12 · · · u1n 0 u22 · · · u2n .. . ... . .. ... 0 0 · · · unn     

Faktorisasi LU

Apa itu faktorisasi?

Faktorisasi pada bilangan real : 8 = 2 × 4. Faktorisasi pada matriks n × n : A = LU.

L adalah matriks segitiga bawah dan U adalah matriks segitiga atas.

L =      1 0 · · · 0 l21 1 · · · 0 .. . ... . .. ... ln1 ln2 · · · 1      , U =      u11 u12 · · · u1n 0 u22 · · · u2n .. . ... . .. ... 0 0 · · · unn     

Solusi dari system persamaan Ax = b

Algoritma mencari solusi Ax = b, menggunakan faktorisasi LU:

1 _{Cari L dan U sehingga A = LU, sehingga SPL yang akan diselesaikan menjadi}

LUx = b.

2 Cari y dimana y adalah solusi dari Ly = b,

     1 0 · · · 0 l21 1 · · · 0 .. . ... . .. ... ln1 ln2 · · · 1           y1 y2 .. . yn      =      b1 b2 .. . bn     

3 Kemudian cari x dimana x adalah solusi dari Ux = y .

     u11 u12 · · · u1n 0 u22 · · · u2n .. . ... . .. ... 0 0 · · · unn           x1 x2 .. . xn      =      y1 y2 .. . yn     

Solusi dari system persamaan Ax = b

Algoritma mencari solusi Ax = b, menggunakan faktorisasi LU:

1 _{Cari L dan U sehingga A = LU, sehingga SPL yang akan diselesaikan menjadi}

LUx = b.

2 Cari y dimana y adalah solusi dari Ly = b,

     1 0 · · · 0 l21 1 · · · 0 .. . ... . .. ... ln1 ln2 · · · 1           y1 y2 .. . yn      =      b1 b2 .. . bn     

3 Kemudian cari x dimana x adalah solusi dari Ux = y .

     u11 u12 · · · u1n 0 u22 · · · u2n .. . ... . .. ... 0 0 · · · unn           x1 x2 .. . xn      =      y1 y2 .. . yn     

Solusi dari system persamaan Ax = b

Algoritma mencari solusi Ax = b, menggunakan faktorisasi LU:

1 _{Cari L dan U sehingga A = LU, sehingga SPL yang akan diselesaikan menjadi}

LUx = b.

2 Cari y dimana y adalah solusi dari Ly = b,

     1 0 · · · 0 l21 1 · · · 0 .. . ... . .. ... ln1 ln2 · · · 1           y1 y2 .. . yn      =      b1 b2 .. . bn     

3 Kemudian cari x dimana x adalah solusi dari Ux = y .

     u11 u12 · · · u1n 0 u22 · · · u2n .. . ... . .. ... 0 0 · · · unn           x1 x2 .. . xn      =      y1 y2 .. . yn     

Solusi dari system persamaan Ax = b

Algoritma mencari solusi Ax = b, menggunakan faktorisasi LU:

1 _{Cari L dan U sehingga A = LU, sehingga SPL yang akan diselesaikan menjadi}

LUx = b.

2 Cari y dimana y adalah solusi dari Ly = b,

     1 0 · · · 0 l21 1 · · · 0 .. . ... . .. ... ln1 ln2 · · · 1           y1 y2 .. . yn      =      b1 b2 .. . bn     

3 _{Kemudian cari x dimana x adalah solusi dari Ux = y .}

     u11 u12 · · · u1n 0 u22 · · · u2n .. . ... . .. ... 0 0 · · · unn           x1 x2 .. . xn      =      y1 y2 .. . yn     

Contoh

Contoh

Selesaikan sistem persamaan linear berikut ini dengan menggunakan faktorisasi LU.

4x1+ 3x2− x3 = −2

−2x1− 4x2+ 5x3 = 20

x1+ 2x2+ 6x3 = 7

Diketahui bahwa matriks A dari SPL diatas dapat difaktorisasi menjadi:   4 3 −1 −2 −4 5 1 2 6  =   1 0 0 −0.5 1 0 0.25 −0.5 1     4 3 −1 0 −2.5 4.5 0 0 8.5  

Contoh

Contoh

Selesaikan sistem persamaan linear berikut ini dengan menggunakan faktorisasi LU.

4x1+ 3x2− x3 = −2

−2x1− 4x2+ 5x3 = 20

x1+ 2x2+ 6x3 = 7

Diketahui bahwa matriks A dari SPL diatas dapat difaktorisasi menjadi:   4 3 −1 −2 −4 5 1 2 6  =   1 0 0 −0.5 1 0 0.25 −0.5 1     4 3 −1 0 −2.5 4.5 0 0 8.5  

Contoh(2)

Maka, dengan substitusi maju, kita dapat mencari y   1 0 0 −0.5 1 0 0.25 −0.5 1     y1 y2 y3  =   −2 20 7   y1= −2, y2= 20 − (−0.5)(−2) = 19, y3= 7 − (0.25)(−2) − (−0.5)(19) = 17

Langkah berikutnya yaitu mencari x ,   4 3 −1 0 −2.5 4.5 0 0 8.5     x1 x2 x3  =   −2 19 17  

Dengan substitusi mundur, kita dapat mencari x ,

x3= 17/8.5 = 2, x2=

19 − 4.5(2)

−2.5 = −4, x1=

−2 + (2) − 3(−4)

Contoh(2)

Maka, dengan substitusi maju, kita dapat mencari y   1 0 0 −0.5 1 0 0.25 −0.5 1     y1 y2 y3  =   −2 20 7   y1= −2, y2= 20 − (−0.5)(−2) = 19, y3= 7 − (0.25)(−2) − (−0.5)(19) = 17

Langkah berikutnya yaitu mencari x ,   4 3 −1 0 −2.5 4.5 0 0 8.5     x1 x2 x3  =   −2 19 17  

Dengan substitusi mundur, kita dapat mencari x ,

x3= 17/8.5 = 2, x2=

19 − 4.5(2)

−2.5 = −4, x1=

−2 + (2) − 3(−4)

Contoh(2)

Maka, dengan substitusi maju, kita dapat mencari y   1 0 0 −0.5 1 0 0.25 −0.5 1     y1 y2 y3  =   −2 20 7   y1= −2, y2= 20 − (−0.5)(−2) = 19, y3= 7 − (0.25)(−2) − (−0.5)(19) = 17

Langkah berikutnya yaitu mencari x ,   4 3 −1 0 −2.5 4.5 0 0 8.5     x1 x2 x3  =   −2 19 17  

Dengan substitusi mundur, kita dapat mencari x ,

x3= 17/8.5 = 2, x2=

19 − 4.5(2)

−2.5 = −4, x1=

−2 + (2) − 3(−4)

Contoh(2)

Maka, dengan substitusi maju, kita dapat mencari y   1 0 0 −0.5 1 0 0.25 −0.5 1     y1 y2 y3  =   −2 20 7   y1= −2, y2= 20 − (−0.5)(−2) = 19, y3= 7 − (0.25)(−2) − (−0.5)(19) = 17

Langkah berikutnya yaitu mencari x ,   4 3 −1 0 −2.5 4.5 0 0 8.5     x1 x2 x3  =   −2 19 17  

Dengan substitusi mundur, kita dapat mencari x ,

x3= 17/8.5 = 2, x2=

19 − 4.5(2)

−2.5 = −4, x1=

−2 + (2) − 3(−4)

Mencari faktorisasi A = LU

A =   4 3 −1 −2 −4 5 1 2 6   =   1 0 0 0 1 0 0 0 1     4 3 −1 −2 −4 5 1 2 6   A =   1 0 0 −0.5 1 0 0.25 0 1     4 3 −1 0 −2.5 4.5 0 1.25 6.25   A =   1 0 0 −0.5 1 0 0.25 −0.5 1     4 3 −1 0 −2.5 4.5 0 0 8.5  

Mencari faktorisasi A = LU

A =   4 3 −1 −2 −4 5 1 2 6   =   1 0 0 0 1 0 0 0 1     4 3 −1 −2 −4 5 1 2 6   A =   1 0 0 −0.5 1 0 0.25 0 1     4 3 −1 0 −2.5 4.5 0 1.25 6.25   A =   1 0 0 −0.5 1 0 0.25 −0.5 1     4 3 −1 0 −2.5 4.5 0 0 8.5  

Mencari faktorisasi A = LU

A =   4 3 −1 −2 −4 5 1 2 6   =   1 0 0 0 1 0 0 0 1     4 3 −1 −2 −4 5 1 2 6   A =   1 0 0 −0.5 1 0 0.25 0 1     4 3 −1 0 −2.5 4.5 0 1.25 6.25   A =   1 0 0 −0.5 1 0 0.25 −0.5 1     4 3 −1 0 −2.5 4.5 0 0 8.5  

Mencari faktorisasi A = LU

A =   4 3 −1 −2 −4 5 1 2 6   =   1 0 0 0 1 0 0 0 1     4 3 −1 −2 −4 5 1 2 6   A =   1 0 0 −0.5 1 0 0.25 0 1     4 3 −1 0 −2.5 4.5 0 1.25 6.25   A =   1 0 0 −0.5 1 0 0.25 −0.5 1     4 3 −1 0 −2.5 4.5 0 0 8.5  

FYI: For your information

Proses mengubah matriks A menjadi matriks segitiga atas dan proses mencari faktorisasi matriks A = LU adalah proses yang sama, yaitu eliminasi Gauss atau operasi baris elementer (OBE).

Metoda faktorisasi berguna jika ada lebih dari satu SPL yang harus diselesaikan dimana matriks A tetap dan vektor b yang berubah-ubah, sehingga OBE/ eliminasi Gauss tidak perlu dilakukan terus.

Tetapi, jika hanya ada satu SPL yang harus diselesaikan, kedua metoda tersebut adalah sama, kecuali dimana faktorisasi LU akan terus menyimpan data-data eliminasi Gauss.

FYI: For your information

Proses mengubah matriks A menjadi matriks segitiga atas dan proses mencari faktorisasi matriks A = LU adalah proses yang sama, yaitu eliminasi Gauss atau operasi baris elementer (OBE).

Metoda faktorisasi berguna jika ada lebih dari satu SPL yang harus diselesaikan dimana matriks A tetap dan vektor b yang berubah-ubah, sehingga OBE/ eliminasi Gauss tidak perlu dilakukan terus.

Tetapi, jika hanya ada satu SPL yang harus diselesaikan, kedua metoda tersebut adalah sama, kecuali dimana faktorisasi LU akan terus menyimpan data-data eliminasi Gauss.

FYI: For your information

Proses mengubah matriks A menjadi matriks segitiga atas dan proses mencari faktorisasi matriks A = LU adalah proses yang sama, yaitu eliminasi Gauss atau operasi baris elementer (OBE).

Metoda faktorisasi berguna jika ada lebih dari satu SPL yang harus diselesaikan dimana matriks A tetap dan vektor b yang berubah-ubah, sehingga OBE/ eliminasi Gauss tidak perlu dilakukan terus.

Tetapi, jika hanya ada satu SPL yang harus diselesaikan, kedua metoda tersebut adalah sama, kecuali dimana faktorisasi LU akan terus menyimpan data-data eliminasi Gauss.

Tugas, dikumpulkan saat UAS

1 Carilah faktorisasi LU dari matriks-matriks berikut ini:

(a)   4 2 −1 2 5 −2 1 −2 7   (b)   −5 2 −1 1 0 3 3 1 6  

2 Carilah faktorisasi LU dari matriks A dibawah ini, dan gunakan faktorisasi

tersebut untuk menyelesaikan SPL Ax = b jika diketahui (a) b = (8, −4, 10, −4) dan (b) b = (28, 13, 23, 4). A =     4 8 4 0 1 5 4 −3 1 4 7 2 1 3 0 −2    

3 _{Tidak semua matriks dapat berhasil untuk difaktorisasi. Salah satu metoda}

agar suatu matriks dapat difaktorisasi adalah dengan mengalikan suatu matriks permutasi. Buatlah algoritma seperti yang telah diberikan di kuliah ini dengan melibatkan matriks permutasi.