Review RPP HOTS_Santosa_SMA Negeri 3 Surakarta.docx

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

(RPP) (RPP) Sekolah

Sekolah : : SMA SMA Negeri Negeri 3 3 SurakartaSurakarta Mata

Mata pelajaran pelajaran : : Matematika Matematika (Kelompok (Kelompok C)C) Kelas/Seme

Kelas/Semester ster : : XI/ XI/ 11 Alokasi

Alokasi Waktu Waktu :: ……….………. (@ (@ ….…. x 45 menit) x 45 menit)

 A.

 A. Kompetensi IntiKompetensi Inti

KI SPIRITUAL (KI 1) DAN KI SOSIAL (KI KI SPIRITUAL (KI 1) DAN KI SOSIAL (KI 2)2)

Kompetensi Sikap Spiritual yang ditumbuhkembangkan melalui keteladanan, Kompetensi Sikap Spiritual yang ditumbuhkembangkan melalui keteladanan, pembiasaan, dan budaya sekolah dengan memperhatikan karakteristik mata pembiasaan, dan budaya sekolah dengan memperhatikan karakteristik mata pelajaran, serta kebutuhan dan kondisi peserta didik, yaitu berkaitan dengan pelajaran, serta kebutuhan dan kondisi peserta didik, yaitu berkaitan dengan kemampuan menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. kemampuan menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. Sedangkan pada Kompetensi Sikap Sosial berkaitan dengan perilaku jujur, disiplin, Sedangkan pada Kompetensi Sikap Sosial berkaitan dengan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, kerjasama, respon

tanggung jawab, kerjasama, responsive (kritis), proaktif sive (kritis), proaktif (kreatif) dan percaya diri,(kreatif) dan percaya diri, serta dapat berkomunikasi dengan baik.

serta dapat berkomunikasi dengan baik. KI

KI PENGETAHUAN PENGETAHUAN (KI (KI 3) 3) KI KI KETERAMPILAN KETERAMPILAN (KI (KI 4)4) Kompetensi Pengetahuan, yaitu

Kompetensi Pengetahuan, yaitu memahami, menerapkan, menganalisis memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa prosedural berdasarkan rasa ingintahunya tentang ilmu ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah

memecahkan masalah

Kompetensi Keterampilan, yaitu Kompetensi Keterampilan, yaitu Mengolah, menalar, dan menyaji dalam Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan

sesuai kaidah keilmuan

B.

B. Kompetensi Dasar Kompetensi Dasar dan Indikator dan Indikator Pencapaian KompetensiPencapaian Kompetensi

Kompetensi

Kompetensi Dasar Dasar Indikator Indikator Pencapaian Pencapaian KompetensiKompetensi

3.1

3.1 Menjelaskan dan menentukanMenjelaskan dan menentukan penyelesaian persamaan penyelesaian persamaan trigonometri

trigonometri

3.1.1

3.1.1 Menjelaskan pengertianMenjelaskan pengertian persamaan trigonometri persamaan trigonometri 3.1.2

3.1.2 Membedakan karakteristikMembedakan karakteristik persamaan trigonometri persamaan trigonometri

berdasarkan periodisitas grafik berdasarkan periodisitas grafik fungsinya

fungsinya 3.1.3

3.1.3 Menemukan bentuk umumMenemukan bentuk umum penyelesaian persamaan penyelesaian persamaan trigonometri

trigonometri 3.1.4

3.1.4 Menentukan penyelesaianMenentukan penyelesaian persamaan trigonometri persamaan trigonometri

Kompetensi

Kompetensi Dasar Dasar Indikator Indikator Pencapaian Pencapaian KompetensiKompetensi

4.1

4.1 Memodelkan dan MenyelesaikanMemodelkan dan Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan masalah yang berkaitan dengan persamaan trigonometri

persamaan trigonometri

4.1.1

4.1.1 Mengidentifikasi fakta atauMengidentifikasi fakta atau informasi dalam masalah informasi dalam masalah kontekstual yang berkaitan kontekstual yang berkaitan dengan persamaan trigonometri. dengan persamaan trigonometri. 4.1.2

4.1.2 Membuat model matematikaMembuat model matematika berupa persamaan trigonometri berupa persamaan trigonometri dari masalah kontekstual.

dari masalah kontekstual. 4.1.3

4.1.3 Menyelesaikan masalahMenyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan kontekstual yang berkaitan dengan persamaan trigonometri. dengan persamaan trigonometri.

C.

C. Tujuan PembelajaranTujuan Pembelajaran

Melalui kegiatan pembelajaran dengan menggunakan Model

Melalui kegiatan pembelajaran dengan menggunakan Model Discovery Learning Discovery Learning dan Model dan Model Problem Based Learning

Problem Based Learning, peserta didik dapat menjelaskan dan menentukan penyelesaian, peserta didik dapat menjelaskan dan menentukan penyelesaian persamaan trigonometri , memodelkan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan trigonometri , memodelkan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan trigonometri dengan penuh rasa tanggung jawab, displin selama proses persamaan trigonometri dengan penuh rasa tanggung jawab, displin selama proses pembelajaran dan bersikap jujur, percaya diri serta pantang menyerah.

pembelajaran dan bersikap jujur, percaya diri serta pantang menyerah.

D.

D. MateriMateri 1.

1. Persamaan trigonometriPersamaan trigonometri 2.

2. Bentuk umum Penyelesaian Persamaan TrigonometriBentuk umum Penyelesaian Persamaan Trigonometri 3.

3. Aplikasi penerapan persamaan trigonometri untuk Aplikasi penerapan persamaan trigonometri untuk menyelesaikan masalah kontekstualmenyelesaikan masalah kontekstual E.

E. Pendekatan, Metode dan Model PembelajaranPendekatan, Metode dan Model Pembelajaran Pendekatan

Pendekatan : : SaintifikSaintifik Metode

Metode : : diskusi diskusi kelompok, kelompok, tanya tanya jawab, jawab, penugasanpenugasan

Model :

Model : Discovery Learning (pertemuan 1)Discovery Learning (pertemuan 1) dandan Problem Based Learning (pertemuanProblem Based Learning (pertemuan  2)

 2) F.

F. Media/Alat dan Bahan PembelajaranMedia/Alat dan Bahan Pembelajaran 1.

1. Media/Alat Media/Alat : : Penggaris, Penggaris, Papan Papan Tulis/White Tulis/White BoardBoard 2.

2. Bahan PembBahan Pembelaajaran elaajaran : Lembar : Lembar Kerja SiswKerja Siswaa G.

G. Sumber Belajar :Sumber Belajar : 1.

1. Buku Matematika (Peminatan) Kelas XI, Kementerian dan Kebudayaan Tahun Buku Matematika (Peminatan) Kelas XI, Kementerian dan Kebudayaan Tahun 2016.2016. 2.

2. InternetInternet 3.

3. Buku/sumber lain yang relevanBuku/sumber lain yang relevan H.

H. Langkah-langkah PembelajaranLangkah-langkah Pembelajaran Pertemuan 1 (2 ×45 menit) Pertemuan 1 (2 ×45 menit) 1.

1. Pendahuluan (10 menit)Pendahuluan (10 menit) a.

a. Memberi salam dan berdoaMemberi salam dan berdoa b.

b. Mengkondisikan suasana belajar yang Mengkondisikan suasana belajar yang menyenangkan;menyenangkan; c.

c. Tanya jawab untuk mengingatkan kembali tentang perbandingan trigonometri sudutTanya jawab untuk mengingatkan kembali tentang perbandingan trigonometri sudut di berbagai kuadran dan grafik fungsi trigonometri

di berbagai kuadran dan grafik fungsi trigonometri d.

d. menyampaikan kompetensi yang akan dicapaimenyampaikan kompetensi yang akan dicapai e.

e. menyampaikan garis besar cakupan materi dan kegiatan yang akan menyampaikan garis besar cakupan materi dan kegiatan yang akan dilakukan; dandilakukan; dan

Nilai karakter : rasa tanggung Nilai karakter : rasa tanggung jawab, displin, jujur, percaya diri jawab, displin, jujur, percaya diri

dan pantang menyerah dan pantang menyerah

f. menyampaikan model pembelajaran dan teknik penilaian yang akan digunakan.

2. Kegiatan Inti (70 menit)

a. Stimulation (memberi stimulus);

Peserta didik mengamati sajian  permasalahan tentang persamaan trigonometri (Masalah 1)

Dapatkah Kalian menentukan besar sudut x sehingga berlaku sin x = 0,5? b. Problem Statement  (mengidentifikasi masalah)

Peserta  didik bersama kelompoknya mengidentifikasi permasalahan yang muncul, diantaranya adalah untuk persamaan sin  x  = 0,5 apakah x  = 300 _{adalah satu-satunya} penyelesaian, melalui beberapa pertanyaan dasar:

1) Berapa banyak penyelesaian dari persamaan sin x  = 0,5 pada interval 0 0   x 3600 ?

2) Berapa banyak penyelesaian dari persamaan sin x  = 0,5 pada interval 0 0   x 7200 ?

3) Berapa banyak penyelesaian dari persamaan sin  x  = 0,5 pada interval _{   } x

?

c. Data Collecting (mengumpulkan data);

Peserta didik mencari serta mengumpulkan data/informasi yang berkaitan dengan permasalahan yang diamati pada lembar kerja, baik dari buku paket Matematika Peminatan kelas XI, buku lain yang relevan atau internet.

d. Data Processing (mengolah data);

Peserta didik melakukan diskusi bersama kelompok untuk menyelesaikan masalah yang disajikan melalui LKS dengan menggunakan berbagai informasi yang telah

Mengembangkan kemampuan berfikir kritis

(Critical Thinking)

Literasi: membaca dan mengolah

inforamasi

Mengembangkan kemampuan bekerja secara kelompok, kratif dalam menggunakan ide dan

berfikir kritis (Collaboration, creative and Critical Thinking)

dikumpulkan, dan menggunakan ide-ide matematika untuk menyelesaikan berbagai permasalahan tersebut.

e. Verification (memverifikasi);

Peserta didik memverifikasi, menafsirkan dan mengevaluasi penyelesaian masalah hasil diskusi kelompoknya dengan mensubstitusikan nilai variabel-variabel yang telah diketahui ke dalam persamaan, dan membuat kesimpulan sementara. Kemudian perwakilan kelompok mempresentasikan hasil diskusi kelompoknya, dan membandingkan hasil diskusi antar kelompok. Proses pembelajaran diarahkan ke bentuk tanya jawab.

f. Generalization (menyimpulkan);

Peserta didik menggeneralisasi langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan sinus ke bentuk persamaan trogonometri lainnya, yaitu persamaan cosinus dan persamaan tangen dengan memperhatikan karakter masing-masing.

3. Penutup (10 menit)

a. Memfasilitasi dalam menemukan kesimpulan tentang persamaan trogonometri, yaitu:

Jika sin x = sin α, maka: (1)  x _  _k .3600

(2)  x _ 180 0 _  _k .3600 Jika cos x = cos α, maka: (1)  x   k .3600 (2)  x _{ }  _k .3600 Jika tan x = tan α, maka:

0

.180  x _  _k  b. Mengerjakan posttest.

c. Mengingatkan peserta didik untuk mempelajari materi yang akan dibahas di pertemuan berikutnya, yaitu bentuk-bentuk persamaan trigonometri lain dan aplikasi persamaan trigonometri.

d. Memberi salam.

Pertemuan 2 (@2 ×45 menit) 1. Pendahuluan (10 menit)

a. Memberi salam dan berdoa;

b. Mengkondisikan suasana belajar yang menyenangkan;

c. Review melalui tanya jawab tentang persamaan trigonometri, diantaranya:

-  Jika sin x = 0, berapa nilai x? Apakah hanya 00_?

-  Jika cos x = 1 3

2  , berapakah nilai x? Apakah hanya 30

0_?

- Bagaimana penyelesaian umum persamaan sin x = sinα  ?

- Bagaimana penyelesaian umum persamaan cos x = cosα  ?

- Bagaimana penyelesaian umum persamaan tan x = tanα  ?

Berfikir kritis dan mampu menyampaikan gagasan (critical thingking and communication)

- Sekarang, coba Kalian tentukan nilai x yang memenuhi persamaan sin 3x = 1 3 2 d. Menyampaikan kompetensi yang akan dicapai dan manfaatnya dalam kehidupan

sehari-hari berkaitan dengan persamaan trogonometri e. Menyampaikan garis besar cakupan yang akan dibahas;

f. Menyampaikan model pembelajaran dan teknik penilaian yang akan digunakan.

2. Kegiatan Inti (70 menit)

Model Problem Based Learning

a. Mengorientasikan Siswa pada masalah;

Peserta didik (berkelompok) mengamati permasalahan kontekstual yang ada.

Permasalahan yang disajikan dalam LKS, berkaitan dengan aplikasi persamaan trogonometri.

Permasalahan:

Persamaan  _y 4cos3_t mewakili gerak beban yang tergantung pada pegas setelah ditarik 4 cm di bawah titik kesetimbangannya dan dilepaskan. (Ketahanan udara dan gesekan diabaikan.) Nilai y menggambarkan berapa inci  posisi beban di atas (nilai y positif) atau di bawah (nilai negatif y) titik

kesetimbangan setelah t detik. Tentukan empat waktu pertama sedemikian hingga beban tersebut berada tepat 2 cm di atas titik kesetimbangan.

b. Mengorganisasikan kegiatan pembelajaran;

Peserta didik bersama kelompoknya difasilitasi untuk membuat beberapa pertanyaan mengenai informasi yang didapatkan dari hasil pengamatan berdasarkan permasalahan kontekstual yang dikaitkan dengan bentuk-bentuk persamaan trigonometri

c. Membimbing penyelidikan mandiri dan kelompok;

Peserta didik di setiap kelompok berbagi tugas untuk mencari berbagai informasi yang mendukung penyelesaian dari permasalahan kontekstual yang disajikan dari LKS, buku referensi, internet, atau sumber lain yang relevan. Mereka menggunakan ide-ide matematika untuk menyelesaikan berbagai permasalahan yang disajikan yang akan digunakan untuk memperkuat jawaban yang diperoleh bersama kelompoknya. d. Mengembangkan dan menyajikan hasil karya;

Peserta didik merumuskan langkah-langkah dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bentuk umum persamaan tirgonometri, kemudian menerapkannya untuk menyelesaikan permasalahan di atas. Perwakilan kelompok mempresentasikan hasil diskusinya di depan kelas.

Mengembangkan kemampuan bekerja secara berkelompok dan kreatif dalam

menggali ide (Collaboration and Creativity)

Mengembangkan kemampuan menganalisis dan mengevalusai hasil

yang diperoleh (Critical Thinking)

Mengembangkan kemampuan berfikir kritis (Critical Thinking) Literasi

e. Menganalisis dan evaluasi proses pemecahan masalah;

Peserta didik diminta menganalisis beberapa permasalahan yang melibatkan persamaan trigonometri, mengevaluasi penyelesaian masalah hasil diskusi kelompoknya dengan mensubstitusikan nilai variabel-variabel yang telah diketahui ke dalam sistem persamaan.

3. Penutup (10 menit)

a. Guru memfasilitasi dalam menemukan kesimpulan tentang bentuk-bentuk persamaan trigonometri

b. Guru melakukan penilaian untuk mengetahui tingkat ketercapaian indikator c. Peserta didik melakukan refleksi atas pembelajaran yang dilalui hari itu.

d. Guru memberikan tugas kepada peserta didik, dan mengingatkan peserta didik untuk mempelajari materi yang akan dibahas dipertemuan berikutnya maupun persiapan menghadapi tes/evaluasi akhir.

e. Memberi salam.

I. Penilaian Proses dan Hasil Belajar 1. Teknik Penilaian:

a. Penilaian Sikap : Observasi/pengamatan b. Penilaian Pengetahuan : Tes Tertulis

c. Penilaian Keterampilan : Unjuk Kerja/ Praktik 2. Bentuk Penilaian :

a. Observasi : lembar pengamatan aktivitas peserta didik b. Tes tertulis : uraian dan lembar kerja

c. Unjuk kerja : lembar penilaian presentasi 3. Instrumen Penilaian (terlampir)

4. Remedial

- Pembelajaran remedial dilakukan bagi siswa yang capaian KD nya belum tuntas - Tahapan pembelajaran remedial dilaksanakan melalui remidial teaching (klasikal),

atau tutor sebaya, atau tugas dan diakhiri dengan tes.

- Tes remedial, dilakukan sebanyak 3 kali dan apabila setelah 3 kali tes remedial

belum mencapai ketuntasan, maka remedial dilakukan dalam bentuk tugas tanpa tes tertulis kembali.

5. Pengayaan

- Bagi siswa yang sudah mencapai nilai ketuntasan diberikan pembelajaran

pengayaan sebagai berikut:

 Siwa yang mencapai nilai n(ketuntasan )_n_n(maksimum) _{diberikan materi}

masih dalam cakupan KD dengan pendalaman sebagai pengetahuan tambahan

 Siwa yang mencapai nilai n_n(maksimum) _{diberikan materi melebihi} cakupan KD dengan pendalaman sebagai pengetahuan tambahan.

Berani menyampaikan kesimpulan yang diperoleh, baik dalam bentuk lesan maupun

Surakarta, Juli 2017 Mengetahui

Kepala SMA Negeri 3 Surakarta, Guru Mata Pelajaran,

Drs. Makmur Sugeng, M.Pd. Santosa, S.Pd., M.Pd.

INTRUMEN PENILAIAN SIKAP Nama Satuan pendidikan : SMA Negeri 3 Surakarta

Tahun pelajaran : 2017/2018 Kelas/Semester : XI / Semester I

Mata Pelajaran : Matematika Peminatan (Kelompok C)

NO WAKTU NAMA KEJADIAN/

PERILAKU BUTIR SIKAP POS/ NEG TINDAK LANJUT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

INSTRUMEN TES TERTULIS Satuan Pendidikan : SMA Negeri 3 Surakarta

Mata Pelajaran : Matematika Peminatan (Kelompok C)

Kelas : XI

Kompetensi dasar : 3.1 Menjelaskan dan menentukan penyelesaian persamaan trigonometri

Indikator : 3.3.1 Menjelaskan pengertian persamaan trigonometri 3.1.2. Membedakan karakteristik persamaan trigonometri

berdasarkan periodisitas grafik fungsinya

3.1.3. Menemukan bentuk umum penyelesaian persamaan trigonometri

3.1.4. Menentukan penyelesaian persamaan trigonometri

Materi : Persamaan Trigonometri

Instrumen Penilaian Pertemuan 1

1. Pada interval 00 _{< x  < 360}0_{, tentukan titik potong antara grafik fungsi y = tan x  dan y =} 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut:

a. 2cos x  + 1 = 0, untuk -1800 _{< x  < 360}0 b. 3 3tan   x 0,untuk -1800 < x  < 3600

Pedoman Penskoran:

No Alternatif Jawaban Skor

1 2cos x  + 1 = 0, untuk -1800 _{< x  < 360}0    1 cos 2  x   cos  _x cos 1200 1 (1)  x  120 0 k .3600 Untuk k = 0, x = 1200 ₂ (2)  x   120 0 k .3600 Untuk k = 0, x = -1200 Untuk k = 1, x = 2400 ₄ Jadi, HP = {-1200_{, 120}0_{, 240}0_{} 5} 2   3 3tan  _x  0_{, untuk -180}0 _{< x  < 360}0   1 tan 3 3  x   tan  _x tan 300 1  30 0  .1800  x k  Untuk k = -1, x = -1500 Untuk k = 0, x = 300 ₄ Untuk k = 1, x = 2100 Jadi, HP = {-1500_{, 30}0_{, 210}0_{} 5}

Instrumen Penilaian Pertemuan 2

1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 1 – 2sin 3x = 0, untuk 00 _{< x < 360}0

2. Persamaan y = -10 cos 3t mewakili gerak sebuah benda yang bergantung pada sebuah pegas. Setelah ditarik sejauh 10 cm di bawah titik kesetimbangan, kemudian pegas tersebut dilepaskan (hambatan gerak di udara diabaikan). Nilai y menentukan posisi benda dalam cm di atas titik kesetimbangan y positif) dan berada di bawah titik kesetimbangan (y negatif) setelah t detik dengan 0 ≤ t ≤ 2π. Pada detik keberapa sajakah benda akan mencapai puncak (titik tertinggi di atas titik kesetimbangan)

No Alternatif Jawaban Skor

1 1 – 2sin 3x = 0, untuk 00 _{< x < 360}0   1 sin3 2  x   sin 3  _x sin 300 1 (1) 3  x  30 0 k .3600  10 0  .1200  x k  Untuk k = 0, x = 100 Untuk k = 1, x = 1300 Untuk k = 2, x = 2500 ₂ (2) 3  x  180 0  30 0 k .3600  0  0 3  _x 150 _k .360  50 0  .1200  x k  Untuk k = 0, x = 500 Untuk k = 1, x = 1700 Untuk k = 2, x = 2900 ₄ Jadi, HP = {100_{, 50}0_{, 130}0_{, 170}0_{, 250}0_{, 290}0_{,} 5} 2 y = -10 cos 3t

Nilai tertinggi (maksimum) adalah 10

-10 cos 3t = 10 1 cos 3t = -1 cos 3t = cos π (1) 3 t _  _k .2           2 . 3 3 t k  Untuk k = 0, t =    3 1,08 Untuk k = 1, t =    3,14 Untuk k = 2, t = 5   3 5,24 2 (2) 3 t _{ }  _k .2            2 . 3 3 t k  Untuk k = 1, t =    3 1,08 Untuk k = 2, t =    _3,14 Untuk k = 3, t = 5   3 5,24 4

3.1 Menjelaskan dan menentukan penyelesaian  persamaan trigonometri 4.1 Memodelkan dan Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan trigonometri

Di kelas X Kalian sudah mempelajari materi Trigonometri, yang diawali dengan pengertian rasio trigonometri, rasio trigonometri sudut di berbagai kuadran, identitas trigonometri sampai dengan grafik fungsi trigoometri. Identitas trigonometri merupakan salah satu bentuk  persamaan trigonometri, yang dipenuhi untuk sembarang nilai variabelnya. Sebagai contoh, Kalian pasti masih ingat bahwa sin2_{x + cos}2_{x = 1. Berapapun nilai x yang Kalian masukkan ke}

 persamaan tersebut pasti akan diperoleh hasil yang benar. Di bagian ini, kita akan berdiskusi bentuk persamaan trigonometri yang lebih khusus (sering dinamakan dengan persamaan kondisional), yang mungkin akan berlaku hanya untuk  beberapa nilai dari variabelnya. Seperti persamaan sin x = cos x. Persamaan ini akan bernilai  benar untuk x = 450_{, tetapi untuk x = 0 akan bernilai salah.} Kalian diharapkan dapat menyelesaikan Unit ini dalam waktu 4 pertemuan (4 x 90 menit),

termasuk mengerjakan tugas-tugas yang disediakan.

PERSAMAAN

TRIGONOMETRI

Persamaan sin x = sin α

Masalah 1

Dapatkah Kalian menentukan besar sudut x sehingga berlaku sin x = 0,5?

Gambar berikut mengilustrasikan grafik fungsi ruas kiri (y = sin x) dan ruas kanan (y = 0,5) dari  persamaan tersebut.

Gambar 1

Berapa banyak penyelesaian dari persamaan sin x = 0,5 pada interval 0 0   x 3600? Jawab : ………

Berapa banyak penyelesaian dari persamaan sin x = 0,5 pada interval 0 0   x 7200 ? Jawab : ………

Berapa banyak penyelesaian dari persamaan sin x = 0,5 pada interval _{   } x ?

Jawab : ………

Selanjutnya, perhatikan gambar berikut:

 

0

180 _ 

Gambar 2

Untuk persamaan sin x = 0.5, Kalian pasti dapat menebak bahwa salah satu penyelesainnya adalah  x = 300_{. Apakah x = 30}0 _{adalah satu-satunya penyelesaian? Tentu saja tidak, jika Kalian perhatikan}

gambar di atas, maka x yang lain adalah x = 1800 _–  300 _{= 150}0_.

Coba perhatikan kembali gambar 1. Tampak bahwa grafik fungsi sinus mempunyai periode 3600_, maka x = 300 _{+ 360}0_{, x = 30}0 _–  3600 _{juga memenuhi persamaan tersebut.}

Demikian juga x = 1500 _{+ 360}0_{, x = 150}0 _–  3600 _{memenuhi persamaan sin x = 0.5.} Dengan demikian, nilai-nilai x yang memenuhi persamaan sin x = 0.5 adalah :

0 0 0 0 30 ... 150 ... k   x k 



 



 

 



Silakan Kalian coba untuk persamaan sinus yang lain. Selanjutnya, akan dapat ditarik kesimpulan  berikut:

Jika sin  xsin , maka :

(1)  x   k .3600 (2)  x

...

Dengan k adalah bilangan bulat. Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2sin  x 3, untuk 00 < x < 3600 .

Jawab: 0 2sin 3 1 sin 3 2 sin sin 60  x  x  x      (1)  x _ 60 0 _k .3600 Pilih k = 0, diperoleh x = …………. (2)  x _ 180 0 _ 60 0 _k .3600 0 0 120 .360  x  k  Pilih k = 0, diperoleh x = …………. HP =



60 ,1200 0



DISKUSI

Pada interval _ 3600 _  x_4800, tentukan nilai  x  yang memenuhi

 persamaan berikut: 1. 2sin x = 2

2. sin 1

2

 x 

Kalian telah mempelajari materi tentang persamaan trigonometri fungsi sinus, yakni yang berbentuk sin x = sin α. Dengan cara yang sama, coba Kalian diskusikan bersama kelompok belajar Kalian untuk sehingga mendapatkan kesimpulan tentang persamaan cos x = cos α dan tan x = tan α dengan

Persamaan cos x = cos α

Gambar 3

Gambar 4

DISKUSI

Diskusikan bersama kelompok belajar Kalian, kemudian isilah titik -titik berikut sebagai kesimpulan.

Jika cos x = cos α, maka: (3)  x _  _k .3600 (4)  x

...

Dengan k adalah bilangan bulat.

Selanjutnya, kerjakan soal-soal berikut sebagai l atihan.

LATIHAN SOAL

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut: 1. cos 1 2, untuk 1800 7200

2

 x _{ } x_

2. 2cos x  3, untuk 90 0 x3600

Persamaan tan x = tan α

Gambar 5

Gambar 6

DISKUSI

Diskusikan bersama kelompok belajar Kalian, kemudian isilah titik -titik berikut sebagai kesimpulan.

Jika tan x = tan α, maka:

0

...  x    k 

Dengan k adalah bilangan bulat.

Selanjutnya, kerjakan soal-soal berikut sebagai l atihan.

LATIHAN SOAL

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut: 1. tan x  3, untuk 1800  x4800

2. 1 tan_  x _0, untuk 90_{ }0 x _3600

Bentuk-Bentuk Persamaan Trigonometri

Bentuk Persamaan

yang Dapat Difaktorkan

Persamaan sin ax = sin α, cos ax = cos α dan tan ax = tan α

Permasalahan berikutnya adalah persamaan trigonometri dimana ruas kiri persamaan merupakan  bentuk trigonometri yang tidak tunggal. Untuk menyelesaikan permasalahan seperti ini, perhatikan

contoh berikut: Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan sin 2 1 3, untuk 00 3600 2  x _{ } x_ Jawab: 0 1 sin 2 3 2 sin 2 sin 60  x  x    (1) 2  x  60 0 k .3600 0 0 30 .180  x k     k = 0 x = ……… k = 1 x = ……… (2) 2  x _ 180 60 _ 0 _k .3600 0 0 2  x 120 k .360    0 0 60 .180  x k     k = …. x = ……… k = …. x = ……… Jadi, HP = { ……….}

Tentukan penyelesaian dari persamaan

2

2sin  x _ sin x_0 pada 00 < x < 3600.

 J awab:





2 2sin sin 0 sin 2sin 1 0  x x  x x      0 0 sin 0 0 , 180  x  x x      atau 0 0 2sin 1 0 1 sin 2 210 , 330  x  x  x x       Jadi, HP =



0 ,180 ,210 ,3300 0 0 0



Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 0 0

1 2sin 3_  x _0, untuk 0 _x_360 Jawab: 0 1 2 sin 3 0 1 sin3 2 sin 3 sin 2 10  x  x  x        (1) 3  x  210 0 k .3600 0 0 70 .120  x k     k = ….. x = ….. k = ….. x = ….. k = ….. x = ….. (2) 3  x _ ... _k .3600 0 3  x ... k .360    0 ... .120  x k     k = ….. x = ….. k = ….. x = ….. k = ….. x = ….. Jadi, HP =



70 ,110 ,190 ,230 ,310 ,3500 0 0 0 0 0



Aplikasi Persamaan Trigonometri dalam Masalah Kontekstual

Contoh:

Persamaan  _y 4cos3_t mewakili gerak beban yang tergantung pada pegas setelah ditarik 4 cm di bawah titik kesetimbangannya dan dilepaskan. (Ketahanan udara dan gesekan diabaikan.)

 Nilai y menggambarkan berapa inci posisi beban di atas (nilai y positif) atau di bawah (nilai negatif y) titik kesetimbangan setelah t detik. Tentukan empat waktu pertama sedemikian hingga beban tersebut  berada tepat 2 cm di atas titik kesetimbangan.

Jawab:

Beban berada di atas titik kesetimbangan jika nilai y = 2. Sehingga sama artinya kita menentukan  penyelesaian dari persamaan 4 cos 3 t 2

4 cos 3 2 1 cos3 2 cos 3 cos 3 t  t  t          (1) 3 .2 3 t    k     2 . 9 3 t    k       

k = 0t  = 9    k = 1t  = 7 9    k = 2t  = 13 9    (2) 3 .2 3 t _{ }   _k     2 . 9 3 t    k         k = 1t  = 5 9    k = 2t  = 11 9    k = 3t  = 17 9   

Karena yang ditanyakan hanya 4 waktu pertama, maka jawaban yang memenuhi adalah

5 7 11

, , dan

9 9 9 9

       

.

Jadi, beban akan berada tepat 2 cm di atas titik kesetimbangan setelah detik, 9    5  detik, 9    7  detik  9    11 dan detik  9   

 TUGAS

1. Untuk 0 0 _  x _3600_{, tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut:}

a. 2sin x + 1 = 0  b. 2 tan  x  2 c. 1 –  2 cos 3x = 0 d. 3 2cos 2   x0 e. 3 _ 3 tan 2  x_0 f.

2. Untuk 0 0 _  x _3600_{, tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut:}

a. 2 + 2tan (3x –  150_{) = 0}  b. 3 2sin 2 _



 x_ 10 0



_0

3. Untuk 0 0 _  x _3600_{, tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut:}

a. tan2 _{x –  1 = 0}

 b. 2cos 2 x  3cos x 1 0

c. sin 2 x  sin x 2 0

d. 2cos 2 x _ 5cos x_3

e. cos 2 x  cos x 2 0

(untuk nomor 4 dan 5, gunakan sifat sin 2  x _ cos 2 x_1) 4. 2cos 2 x  sin x 1 0

5. sin 2 2  x  cos 2 x 1 0

6. HOTS :

Di bawah ini adalah gambar Bianglala. Bianglala merupkan salah satu wahana bermain yang sering kita jumpai di di pasar malam dengan ketinggian yang beragam.

Sebuah bianglala dengan diameter 18 meter berputar berlawanan arah jarum jam. Pada saat sebuah kursi berada pada titik terendah, tinggi kursi tersebut 1 meter dari permukaan tanah. Bianglala berputar dengan kecepatan 1 putaran setiap 2 menit.

a. Tentukan sebuah fungsi cosinus berbentuk  y a b _{ } cos   c t (a, b dan c konstanta) yang

dapat mendeskripsikan ketinggian kursi tertentu dari permukaan tanah setelah t menit, dimana t = 0 dimulai saat kursi berada di titik terendah.

b. Dalam sekali putaran, pada menit keberapasajakah sebuah kursi yang semula berada di titik terendah mencapai ketinggian 14,5 meter?

RPP Mata Pelajaran Matematika Peminatan (Kelompok C) - Kelas XI

. 20

7. Persamaan y = -10 cos 3t  mewakili gerak sebuah benda yang bergantung pada sebuah pegas. Setelah ditarik sejauh 10 cm di bawah titik kesetimbangan, kemudian pegas tersebut dilepaskan (hambatan gerak di udara diabaikan). Nilai y menentukan posisi benda dalam cm di atas titik kesetimbangan y positif) dan berada di bawah titik kesetimbangan (y negatif) setelah t detik dengan 0 ≤ t ≤ 2π. Tentukan kapan benda akan mencapai puncak (titik tertinggi di atas titik kesetimbangan)