RUANG-RUANG METRIK BERNILAI KOMPLEKS
Dahliatul Hasanah
FM IPA Universitas Negeri M alang – dahliatul.hasanah.fmipa@um.ac.id
Abstrak: Ruang metrik bernilai kompleks merupakan pengembangan dari ruang metrik dengan memperumum definisi metrik yang digunakan. Ruang metrik bernilai kompleks ini pertama kali diperkenalkan oleh Azzam, dkk. (2011) yang membahas mengenai keberadaan titik tetap perserikatan (common fixed point) pada ruang ini. Pada makalah ini beberapa contoh ruang metrik bernilai kompleks diberikan dengan dilengkapi pembuktiannya. Selain itu hubungan antara ruang metrik bernilai kompleks dengan ruang metrik klasik akan dijelaskan melalui contoh -contoh yang sudah diberikan sebelumnya.
Kata kunci: ruang metrik bernilai kompleks, ruang metrik.
Abstract: A complex-valued metric space is a generalization of the clasiccal metric space by modi-fying the definition of its metric. This concept of complex-valued metric spaces was introduced by Azzam, et.al (2011) who investigated the existence of a common fixed point on the spaces. In this article, some complex-valued metric spaces are given with proofs. The relationship between classi-cal metric spaces and complex-valued metric spaces is also investigated through the previous exam-ples.
Keywords: complex-valued metric spaces, metric spaces.
Dalam beberapa tahun terakhir terdapat gaga-san-gagasan baru mengenai ruang metrik yang merupakan pengembangan dari ruang metrik klasik. Pengembangan ini bertujuan di antaranya untuk memperumum gagasan ruang metrik atau bahkan untuk melemahkan syarat ruang metrik klasik. Be-berapa contoh di antaranya adalah ruang metrik pseudo, ruang metrik cone, quasi ruang metrik, ru-ang metrik probabilistik dan ruru-ang metrik bernilai kompleks.
Ruang metrik bernilai kompleks merupakan perumuman dari ruang metrik klasik dengan mem-perumum definisi metrik yang digunakan. Ruang
metrik bernilai kompleks ini pertama kali diperke-nalkan oleh Azzam, dkk (2011) yang meneliti ten-tang titik tetap untuk pemetaan yang memenuhi ketaksamaan rasionalitas pada ruang metrik bernilai kompleks.
Pengenalan gagasan ruang metrik bernilai kompleks ini diikuti oleh banyak peneliti lain (di an-taranya lihat Sitthikul dan Saejung (2012)) untuk menginvestigasi sifat-sifat lain dalam ruang terse-but. Dalam sumber-sumber tersebut disebutkan secara singkat beberapa contoh ruang metrik ber-nilai kompleks. Contoh-contoh tersebut akan diba-has lebih mendalam dalam makalah ini. Selanjutnya
melalui contoh akan dijelaskan hubungan antara ru-ang metrik bernilai kompleks dan ruru-ang metrik
klasik.
KAJIAN PUSTAKA
Sebelum mengenalkan metrik bernilai kom-pleks perlu dikenalkan urutan parsial pada him-punan bilangan kompleks. Misal ℂ adalah himhim-punan bilangan kompleks dan 𝑧1, 𝑧2∈ ℂ, didefinisikan urutan parsial ≼ pada ℂ sebagai berikut:
𝑧1≼ 𝑧2 jika dan hanya jika Re(𝑧1) ≤ Re(𝑧2) dan Im(𝑧1) ≤ Im(𝑧2).
Hal ini mengakibatkan 𝑧1 ≼ 𝑧2 jika dan hanya jika satu dari kondisi berikut terpenuhi:
(i) Re(𝑧1) = Re(𝑧2) dan Im(𝑧1) < Im(𝑧2), (ii) Re(𝑧1) < Re(𝑧2) dan Im(𝑧1) = Im(𝑧2), (iii) Re(𝑧1) < Re(𝑧2) dan Im(𝑧1) < Im(𝑧2), (iv) Re(𝑧1) = Re(𝑧2) dan Im(𝑧1) = Im(𝑧2). Jika 𝑧1≠ 𝑧2 dan salah satu dari (i), (ii), atau (iii) ter-penuhi maka bisa dituliskan 𝑧1 ⋨ 𝑧2. Secara khusus dapat dituliskan 𝑧1 ≺ 𝑧2 jika kondisi (iii) yang ter-penuhi
Urutan parsial pada bidang kompleks mempu-nyai sifat:
(i) 0 ≼ 𝑧1 ⋨ 𝑧2 maka |𝑧1| < |𝑧2|; (ii) 𝑧1 ≼ 𝑧2 dan 𝑧2≺ 𝑧3 maka 𝑧1≺ 𝑧3;
(iii) Jika 𝑧 ∈ ℂ, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ dan 𝑎 ≤ 𝑏, maka 𝑎𝑧 ≼ 𝑏𝑧.
Definisi 1.1 Misal X adalah himpunan tak kosong. Pemetaan 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℂ disebut metrik bernilai kompleks pada X jika kondisi berikut terpenuhi: (M1) 0 ≼ 𝑑(𝑥, 𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dan 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 ⟺
𝑥 = 𝑦;
(M2) 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋;
(M3) 𝑑(𝑥, 𝑦) ≼ 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦), ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋.
Selanjutnya (𝑋, 𝑑) disebut ruang metrik bernilai kompleks.
Berdasarkan definisi di atas dapat dilihat bahwa ruang metrik bernilai kompleks merupakan perumuman dari ruang metrik klasik. Perhatikan bahwa jika 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℝ memenuhi sifat (M1), (M2), dan (M3) maka d merupakan metrik (dalam ruang metrik klasik), yaitu memenuhi sifat-sifat berikut: (K1) 0 ≤ 𝑑(𝑥, 𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dan 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑦; (K2) 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋; (K3) 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦), ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋. PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan diberikan beberapa con-toh ruang metrik bernilai kompleks dengan pembuk-tiannya. Selanjutnya melalui contoh akan dibahas mengenai hubungan ruang metrik klasik dan ruang metrik bernilai kompleks.
Contoh 2.1 Misal didefinisikan 𝑑: ℂ × ℂ → ℂ se-bagai berikut:
𝑑(𝑧1, 𝑧2) = |𝑧1− 𝑧2| + 𝑖|𝑧1− 𝑧2|. Maka (ℂ, 𝑑) adalah ruang metrik bernilai kompleks. Bukti:
Ambil 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 ∈ ℂ,
a. 𝑑(𝑧1, 𝑧2) = 0 jika dan hanya 𝑅𝑒(𝑑(𝑧1, 𝑧2)) = 0 dan 𝐼𝑚(𝑑(𝑧1, 𝑧2)) = 0, yaitu |𝑧1− 𝑧2| = 0. Hal ini mengakibatkan 𝑑(𝑧1, 𝑧2) = 0 jika dan hanya jika 𝑧1 = 𝑧2.
Di lain pihak, 0 ≼ 𝑑(𝑧1, 𝑧2) karena 0 ≤ |𝑧1− 𝑧2|.
b. Perhatikan bahwa
𝑑(𝑧1, 𝑧2) = |𝑧1− 𝑧2| + 𝑖|𝑧1− 𝑧2| = |𝑧2− 𝑧1| + 𝑖|𝑧2− 𝑧1|
= 𝑑(𝑧2, 𝑧1).
c. Berdasarkan definisi fungsi pada contoh, 𝑅𝑒(𝑑(𝑧1, 𝑧2)) = 𝐼𝑚(𝑑(𝑧1, 𝑧2)) = |𝑧1− 𝑧2|. Sedangkan 𝑅𝑒(𝑑(𝑧1, 𝑧3) + 𝑑(𝑧2, 𝑧3)) = |𝑧1− 𝑧3| + |𝑧2− 𝑧3| = 𝐼𝑚(𝑑(𝑧1, 𝑧3) + 𝑑(𝑧2, 𝑧3)). Perhatikan bahwa dengan menggunakan sifat ketaksamaan segitiga pada modulus pada bilangan kompleks berlaku |𝑧1− 𝑧2| ≤ |𝑧1− 𝑧3| + |𝑧2− 𝑧3| yang mengakibatkan
𝑅𝑒(𝑑(𝑧1, 𝑧2)) ≤ 𝑅𝑒(𝑑(𝑧1, 𝑧3) + 𝑑(𝑧2, 𝑧3)). Dengan cara yang sama didapatkan 𝐼𝑚(𝑑(𝑧1, 𝑧2)) ≤ 𝐼𝑚(𝑑(𝑧1, 𝑧3) + 𝑑(𝑧2, 𝑧3)). Dengan demikian berlaku
𝑑(𝑧1, 𝑧2) ≼ 𝑑(𝑧1, 𝑧3) + 𝑑(𝑧2, 𝑧3).
Berdasarkan (a),(b), dan (c), 𝑑(𝑧1, 𝑧2) = |𝑧1− 𝑧2| + 𝑖|𝑧1− 𝑧2| adalah metrik bernilai kompleks dan (ℂ, 𝑑) adalah ruang metrik bernilai kompleks.
Contoh 2.2 Misal didefinisikan pemetaan 𝑑: ℂ × ℂ → ℂ sebagai berikut:
𝑑(𝑧1, 𝑧2) = 𝑒𝑖𝑝|𝑧1− 𝑧2| dengan 𝑝 ∈ ℝ dan 𝑧1, 𝑧2∈ ℂ.
Sharma (2013) menyatakan bahwa pemetaan yang didefinisikan di atas adalah metrik bernilai kom-pleks yang artinya memenuhi sifat-sifat metrik ber-nilai kompleks. Jika diambil 𝑝 = 𝜋 maka pemeetaan di atas menjadi 𝑑(𝑧1, 𝑧2) = 𝑒𝑖𝜋|𝑧1− 𝑧2|. Karena 𝑒𝑖𝜋= cos 𝜋 + 𝑖 sin 𝜋 = −1. Sehingga
𝑑(𝑧1, 𝑧2) = −|𝑧1− 𝑧2|.
Pehatikan bahwa dengan pemetaan tersebut berlaku sifat
𝑑(𝑧1, 𝑧2) ≼ 0.
Hal ini bertentangan dengan sifat metrik bernilai kompleks. Dengan demikian
𝑑(𝑧1, 𝑧2) = 𝑒𝑖𝜋|𝑧1− 𝑧2| bukan merupakan metrik bernilai kompleks.
Di lain pihak, jika 𝑝 =𝜋 4 maka 𝑑(𝑧1, 𝑧2) =
1
2√2(|𝑧1− 𝑧2| + 𝑖|𝑧1− 𝑧2|). Pemetaan ini merupakan metrik bernilai kompleks sesuai dengan contoh 2.1.
Dengan demikian contoh pemetaan yang diberikan Sharma, yaitu dengan 𝑝 ∈ ℝ pada artikelnya belum tentu merupakan metrik bernilai kompleks bergantung pada 𝑝 yang dipilih.
Contoh 2.3 (Ahmad, dkk. 2014) Misal 𝑋 = 𝑋1∪ 𝑋2 dengan
𝑋1 = {𝑧 ∈ ℂ: 𝑅𝑒(𝑧) ≥ 0 𝑑𝑎𝑛 𝐼𝑚(𝑧) = 0} dan
𝑋2= {𝑧 ∈ ℂ: 𝑅𝑒(𝑧) = 0 𝑑𝑎𝑛 𝐼𝑚(𝑧) ≥ 0}. Didefinisikan 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℂ sebagai berikut: 𝑑(𝑥, 𝑦) = { 2 3|𝑥1− 𝑥2| + 𝑖 2|𝑥1− 𝑥2|, 𝑧1, 𝑧2∈ 𝑋1; 1 2|𝑦1− 𝑦2| + 𝑖 3|𝑦1− 𝑦2|, 𝑧1, 𝑧2∈ 𝑋2; (
2
3
𝑥
1+
1
2
𝑦
2)+ 𝑖
(1
2
𝑥
1+
1
3
𝑦
2), 𝑧
1∈ 𝑋
1, 𝑧
2∈ 𝑋
2;
(1
2
𝑦
1+
2
3
𝑥2
)+ 𝑖
(1
3
𝑦
1+
1
2
𝑥2
), 𝑧1
∈ 𝑋2, 𝑧2
∈ 𝑋1;
di mana 𝑧1 = 𝑥1+ 𝑖𝑦1 dan 𝑧2= 𝑥2+ 𝑖𝑦2.Maka (ℂ, 𝑑) adalah ruang metrik bernilai kompleks. Bukti:
Untuk 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 ∈ 𝑋,
(a) Berdasarkan definisi fungsi, 𝑅𝑒(𝑑(𝑧1, 𝑧2) ≥ 0 dan 𝐼𝑚(𝑑(𝑧1, 𝑧2) ≥ 0 sehingga 0 ≼ 𝑑(𝑧1, 𝑧2). Untuk 𝑧1, 𝑧2∈ 𝑋1, 𝑑(𝑧1, 𝑧2) = 0 jika dan hanya jika |𝑥1− 𝑥2| = 0, yaitu 𝑥1= 𝑥2. Karena 𝑧1, 𝑧2∈ 𝑋1, maka 𝑧1= 𝑧2. Untuk 𝑧1, 𝑧2∈ 𝑋2, 𝑑(𝑧1, 𝑧2) = 0 jika dan hanya jika |𝑦1− 𝑦2| = 0, yaitu 𝑦1 = 𝑦2. Karena 𝑧1, 𝑧2∈ 𝑋2, maka 𝑧1= 𝑧2. Untuk kasus
𝑧
1∈ 𝑋
1, 𝑧
2∈ 𝑋
2atau
𝑧
1∈ 𝑋
2, 𝑧
2∈ 𝑋
1selalu tidak akan berlaku
𝑑(𝑧1, 𝑧2) = 0 maupun 𝑧1= 𝑧2. Sehingga ter-bukti bahwa 𝑑(𝑧1, 𝑧2) = 0 jika dan hanya jika 𝑧1 = 𝑧2.
(b) Untuk 𝑧1, 𝑧2∈ 𝑋1, 𝑑(𝑧1, 𝑧2) = 𝑑(𝑧2, 𝑧1) ka-rena |𝑥1− 𝑥2| = |𝑥2− 𝑥1|. Dengan cara yang sama didapatkan (𝑧1, 𝑧2) = 𝑑(𝑧2, 𝑧1) untuk 𝑧1, 𝑧2∈ 𝑋2. Untuk
𝑧
1∈ 𝑋
1, 𝑧
2∈ 𝑋
2,
𝑑(𝑧1, 𝑧2) = ( 2 3𝑥
1+
1 2𝑦
2)+ 𝑖
( 1 2𝑥
1+
1 3𝑦
2)= (
1 2𝑦
2+
2 3𝑥
1) + 𝑖 (
1 3𝑦
2+
1 2𝑥
1)
= 𝑑(𝑧2, 𝑧1).Dengan cara yang sama 𝑑(𝑧1, 𝑧2) = 𝑑(𝑧2, 𝑧1) juga berlaku jika
𝑧
1∈ 𝑋
2, 𝑧
2∈ 𝑋
1.
(c) Untuk menunjukkan 𝑑(𝑧1, 𝑧2) ≼ 𝑑(𝑧1, 𝑧3) + 𝑑(𝑧2, 𝑧3), ada beberapa kasus yang harus diper-hatikan, akan tetapi tanpa mengurangi keumu-man akan ditunjukkan bukti untuk dua kasus saja, yaitu untuk 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 ∈ 𝑋1 dan 𝑧1 ∈ 𝑋1, 𝑧2, 𝑧3∈ 𝑋2.
Berdasarkan sifat ketaksamaan segitiga pada nilai mutlak, untuk 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3∈ 𝑋1 atau 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3∈ 𝑋2, berlaku
𝑅𝑒(𝑑(𝑧1, 𝑧2)) ≤ 𝑅𝑒(𝑑(𝑧1, 𝑧3) + 𝑑(𝑧2, 𝑧3)) dan
𝐼𝑚(𝑑(𝑧1, 𝑧2)) ≤ 𝐼𝑚(𝑑(𝑧1, 𝑧3) + 𝑑(𝑧2, 𝑧3)). Untuk 𝑧1 ∈ 𝑋1, 𝑧2, 𝑧3∈ 𝑋2, perhatikan bahwa 𝑑(𝑧1, 𝑧2) = ( 2 3𝑥1+ 1 2𝑦2) + 𝑖 ( 1 2𝑥1+ 1 3𝑦2) dan 𝑑(𝑧2, 𝑧3) = 1 2|𝑦2− 𝑦3| + 𝑖 3|𝑦2− 𝑦3|, se-dangkan 𝑑(𝑧1, 𝑧3) = ( 2 3𝑥1+ 1 2𝑦3) + 𝑖 ( 1 2𝑥1+ 1 3𝑦3). Akan ditunjukkan bahwa
𝑅𝑒(𝑑(𝑧1, 𝑧2)) ≤ 𝑅𝑒(𝑑(𝑧1, 𝑧3) + 𝑑(𝑧2, 𝑧3)). 𝑅𝑒(𝑑(𝑧1, 𝑧3) + 𝑑(𝑧2, 𝑧3)) = ( 2 3𝑥1+ 1 2𝑦3) + 1 2|𝑦2− 𝑦3|. Jika 𝑦2 ≤ 𝑦3, maka 𝑅𝑒(𝑑(𝑧1, 𝑧3) + 𝑑(𝑧2, 𝑧3)) = ( 2 3𝑥1+ 1 2𝑦3) + 1 2|𝑦2− 𝑦3| = ( 2 3𝑥1+ 1 2𝑦3) + 1 2𝑦3− 1 2𝑦2≥ 2 3𝑥1+ 𝑦2− 1 2𝑦2= 2 3𝑥1+ 1 2𝑦2= 𝑅𝑒(𝑑(𝑧1, 𝑧2)). Jika 𝑦3 ≤ 𝑦2, maka 𝑅𝑒(𝑑(𝑧1, 𝑧3) + 𝑑(𝑧2, 𝑧3)) = ( 2 3𝑥1+ 1 2𝑦3) + 1 2|𝑦2− 𝑦3| = ( 2 3𝑥1+ 1 2𝑦3) + 1 2𝑦2− 1 2𝑦3= 2 3𝑥1+ 1 2𝑦2= 𝑅𝑒(𝑑(𝑧1, 𝑧2)). Dengan demikian didapatkan
𝑅𝑒(𝑑(𝑧1, 𝑧2)) ≤ 𝑅𝑒(𝑑(𝑧1, 𝑧3) + 𝑑(𝑧2, 𝑧3)). Dengan cara yang sama didapatkan
𝐼𝑚(𝑑(𝑧1, 𝑧2)) ≤ 𝐼𝑚(𝑑(𝑧1, 𝑧3) + 𝑑(𝑧2, 𝑧3)). Maka dapat disimpulkan bahwa
𝑑(𝑧1, 𝑧2) ≼ 𝑑(𝑧1, 𝑧3) + 𝑑(𝑧2, 𝑧3).
Dari (a), (b), dan (c) didapatkan bahwa 𝑑 adalah metrik bernilai kompleks. Selanjutnya (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik bernilai kompleks.
Pada contoh 2.1, metrik bernilai kompleks 𝑑(𝑧1, 𝑧2) mempunyai bagaian riil dan bagian khayal yang merupakan metrik biasa pada himpunan bilangan kompleks ℂ, yaitu |𝑧1− 𝑧2|. Hal ini meru-pakan salah satu contoh hubungan metrik biasa (klasik) dengan metrik bernilai kompleks. Berikut diberikan teorema yang menyatakan hubungan an-tara ruang metrik klasik dengan ruang metrik ber-nilai kompleks.
Teorema 2.4. Misal X adalah himpunan tak kosong dan 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℝ adalah metrik klasik pada X. Didefinisikan 𝑑𝑐:𝑋 × 𝑋 → ℂ dengan
Maka 𝑑𝑐 adalah metrik bernilai kompleks. Selanjut-nya (𝑋, 𝑑𝑐) adalah ruang metrik bernilai kompleks. Bukti:
(a) 𝑑 adalah metrik klasik sehingga berlaku 0 ≤ 𝑑(𝑥, 𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋. Hal ini mengakibatkan
0 ≼ 𝑑(𝑥, 𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋.
Di lain pihak, 𝑑𝑐(𝑥,𝑦) = 0 jika dan hanya jika 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0, sehingga 𝑥 = 𝑦.
(b) Perhatikan bahwa
𝑑𝑐(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥) + 𝑖𝑑(𝑦, 𝑥) = 𝑑𝑐(𝑦, 𝑥).
(c) Pada metrik klasik berlaku ketaksamaan se-gitiga, yaitu 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦). Akibatnya, 𝑅𝑒(𝑑𝑐(𝑥,𝑧) + 𝑑𝑐(𝑧, 𝑦)) = 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦) ≥ 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑅𝑒(𝑑𝑐(𝑥, 𝑦)). Dengan cara yang sama didapatkan
𝐼𝑚(𝑑𝑐(𝑥, 𝑦)) ≤ 𝐼𝑚(𝑑𝑐(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦)). Sehingga
𝑑𝑐(𝑥, 𝑦) ≼ 𝑑𝑐(𝑥, 𝑧) + 𝑑𝑐(𝑧, 𝑦), ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 Berdasarkan (a), (b), dan (c), 𝑑𝑐 adalah metrik ber-nilai kompleks. Selanjutnya (𝑋, 𝑑𝑐) adalah ruang metrik bernilai kompleks.
PENUTUP
Ruang metrik bernilai kompleks merupakan perumuman dari ruang metrik klasik. Jika daerah hasil dari metrik bernilai kompleks dibatasi hanya bernilai riil, maka metrik bernilai kompleks menjadi metrik klasik. Sebaliknya, ruang metrik bernilai kompleks dapat dikonstruksi dari ruang metrik klasik, yaitu bagian nyata dan bagian khayal pada metrik bernilai kompleks merupakan metrik klasik.
DAFTAR RUJUKAN
Ahmad, J., Azzam, A., Saejung, S. 2014. Common fixed point results for contractive mappings in complex valued metric spaces. Fixed Point
Theory and Applications. 2014:67.
Azzam, A., Fisher, B., Khan, M. 2011. Common fixed point theorems in complex valued met-ric spaces. Numer.Funct.Anal.Optim.
32(3):244-253
Sharma, Y.R. 2013. Common fixed point theorem in complex valued metric spaces.
Interna-tional Journal of Innovative Research in Sci-ence, Engineering and Technology. Vol. 2. Is-sue 12. December 2013.
Sitthikul, K. dan Saejung, S. 2012. Some fixed point theorems in complex valued metric spaces.
Fixed Point Theory and Applications.
2012:189
