9/22/2009. Materi 2. Outline. Graphical Techniques. Penyajian Data. Numerical Techniques

Materi 2

Outline

Penyajian Data

Numerical Techniques

Graphical Techniques

• Teknik Grafik (Graphical Techniques)

Secara visual, grafis merupakan gambar-gambar yang

menunjukkan data berupa angka yang biasanya dibuat

berdasarkan tabel yang telah ada sebelumnya

Pie Chart

digambarkan dengan suatu lingkaran yang

sektor-sektornya menggambarkan proporsi variabel yang berbeda

Pie Chart Suara Partai

A, 38.90, 39% C, 8.07, 8% B, 53.03, 53%

Data Hasil Pemilihan Umum

Partai Jumlah Suara % jumlah suara

A 501 38.90

B 683 53.03

C 104 8.07

Bar Chart (Grafik Batang)

digambarkan menggunakan sumbu x dan y dimana sumbu x menunjukkan variabel yang digunakan sedangkan sumbu y menunjukkan jumlah kejadian

Bar Chart Pe ne rim aan Mahas is w a Baru

160 120 60 80 100 120 140 160 180

Jumlah Penerimaan Mahasiswa Baru

Jurusan Jumlah

Arsitektur 160

Sipil 120

Histogram dan Poligon Frekuensi

grafik yang mencerminkan distribusi frekuensi. Diperlukan sumbu x untuk menyatakan interval kelas dan sumbu y untuk menyatakan frekuensi kelas

Histogram 9,5 - 14, 5 14, 5 - 19, 5 19, 5 - 24, 5 24, 5 - 29, 5 39, 5 - 44,5 29, 5 - 34, 5 34, 5 - 39, 5 0 2 4 6 8 10 12

Kelas Interval Frekuensi Frekuensi Relatif

9,5 - 14,5 3 0,1 14,5 - 19,5 10 0,33 19,5 - 24,5 7 0,23 24,5 - 29,5 5 0,17 29,5 - 34,5 2 0,07 34,5 - 39,5 2 0,07 39,5 - 44,5 1 0,03

Ogive (Poligon Frekuensi Kumulatif)

merupakan grafik dari distribusi frekuensi kumulatif lebih dari atau kurang dari.

Ogive Kurang Dari

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 22.5 27.5 32.5 37.5 42.5 47.5 52.5 57.5 62.5 67.5 72.5

Ogive Lebih Dari

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 22.5 27.5 32.5 37.5 42.5 47.5 52.5 57.5 62.5 67.5 72.5

Steam and Leaf Plot

Metode ini diperkenalkan pada tahun 1977 oleh John Tuckey data dirangkum dalam bentuk batang dan daun (steam and leaf) Jika datanya banyak, steam dapat dibuat menjadi 2 baris Contoh : 18 17 30 15 22 26 17 31 20 14 29 21 20 26 17 20 37 10 14 25 17 18 20 17 19 27 22 36 14 42

Dibuat dalam bentuk :

1 8 7 5 7 4 7 0 4 7 8 7 9 4 2 2 6 0 9 1 0 6 0 5 0 7 2

3 0 1 7 6

Box Plot

digunakan untuk melihat apakah pada data tersebut terdapat outlier (data yang mempunyai nilai ekstrim) atau tidak

Untuk membuat Box Plot, ada beberapa data yang harus diketahui yaitu :

• Nilai data minimum • Nilai data maksimum • Median (Q₂= kuartil ke 2) • Lower Quartile (Q₁= kuartil ke 1) • Upper Quartile (Q3= kuartil ke 3)

• IQR (Inter Quartile Range) = selisih Q3 - Q1

• LIF (Lower Inner Fence) = Q1– 1,5 IQR

• UIF (Upper Inner Fence) = Q₃+ 1,5 IQR • LOF (Lower Outer Fence) = Q1– 3 IQR

Contoh :

Data sebagai berikut :

5,3 4,0 12,5 3,0 3,9 6,4 5,2 2,6 15,8 6,2 4,0 7,1 3,7 4,4 3,5 3,4 3,2 5,6 3,2 3,4 8,6 3,1

n = 22 ; nilai minimum = 2,6 ; nilai maksimum = 15,8

Data diurut : 2,6 3,0 3,1 3,2 3,2 3,4 3,4 3,5 3,7 3,9 4,0 4,0 4,4 5,2 5,3 5,6 6,2 6,4 7,1 8,6 12,5 15,8 Lokasi Median = Md = Mean = 5,36 ≈ 5,4 Lokasi Q1= (data ke

6 dari data minimum) Q1= 3,4

Lokasi Q3= (data ke

6 dari data maksimum) Q₃= 6,2 5 , 11 2 23 2 1 = = + n 0 , 4 2 0 , 4 0 , 4 = + 6 2 1 11 2 1 kebawah dibulatkan median lokasi = + = + 6 2 1 11 2 1 kebawah dibulatkan median lokasi = + = +

IQR (Inter Quartile Range) IQR = Q₃– Q₁= 6,2 – 3,4 = 2,8 LIF = Q₁– 1,5 IQR = 3,4 – 1,5.(2,8) = - 0,8 UIF = Q₃+ 1,5 IQR = 6,2 + 1,5.(2,8) = 10,4 LOF = Q₁– 3 IQR = 3,4 – 3.(2,8) = - 5 UOF = Q₃+ 3 IQR = 6,2 + 3.(2,8) = 14,6

Data yang terletak antara LIF dan UIF bukan outlier. Data yang terletak diluar LIF dan UIF adalah outlier yang dibedakan menjadi 2 yaitu mild outlier dan extreem outlier

Apa Artinya ??

• Bila semua data terletak antara LIF dan UIF maka data tidak memiliki outlier

• Data terletak antara IF dan OF disebut mild outlier • Data yang terletak diluar OF disebut extreme outlier

Extreme outlier Extreme outlier

Mild outlier Mild outlier

bukan outlier

Outline

Penyajian Data

Numerical Techniques

Graphical Techniques

Distribusi Frekuensi

Jika n banyak Data dikelompokkan ke dlm kelas2 Frekuensi data tiap kelas DISTRIBUSI FREKUENSI

Istilah dalam Distribusi Frekuensi

Distribusi Frekuensi Batas Nyata Kelas

(Class Boundary) Batas Kelas (Class Limit) Interval Kelas (Class Interval)

Lebar Interval Kelas (Width of Interval Class)

Nilai Tengah Kelas (Class Midpoint)

Penyusunan Distribusi Frekuensi :

1. Interval kelas harus dipilih dgn ketentuan - seluruh data harus disertakan

- data harus dimasukan sekali, hanya di satu kelas

1.

2. Umumnya jumlah interval kelas antara 5 sampai 20

3. Lebar interval kelas dianjurkan sama (biasanya kelipatan angka 5) Sebagai perkiraan awal lebar interval kelas gunakan rumus :

k

R

c

=

Dimana :

c = lebar interval kelas

R = kisaran data (range)

n

k

=

1

+

3

,

3

.

log

Dimana :

k = jumlah interval kelas

n = jumlah data

terkecil

data

terbesar

data

R

=

4. Dihindari interval kelas terbuka karena untuk keperluan analisis statistik tidak bisa digunakan

5. Jika mungkin, interval kelas dipilih sedemikian rupa sehingga nilai tengah kelasnya bersesuaian dengan nilai dimana data aktual terkonsentrasi

Interval kelas dapat dihitung dengan rumus Sturge

Contoh Distribusi Frekuensi

• Diketahui data nilai ujian statistika untuk 80 orang mahasiswa sebagai berikut: 79 79 48 74 81 98 87 80 80 84 90 70 91 93 82 78 70 71 92 38 56 81 74 73 68 72 85 51 65 93 83 86 90 35 83 73 74 43 86 88 92 93 76 71 90 72 67 75 80 91 61 72 97 91 88 81 70 74 99 95 80 59 71 77 63 60 83 82 60 67 89 63

•

Data terbesar = 99 ; Data terkecil = 35

Rentang = 99 – 35 = 64

•

Banyak kelas = 1 + (3,3) log n

= 1 + (3,3) log 80

= 1 + (3,3) (1,9031)

= 7,2802 (7 atau 8)

•

P = rentang / banyak kelas = 64 /7 = 9,14

(gunakan 9 atau 10)

•

Pilih batas bawah kelas interval pertama. Bisa

diambil sama dengan data terkecil atau nilai data

yang lebih kecil dari data terkecil tetapi selisihnya

harus kurang dari panjang/lebar kelas yang telah

ditentukan.

•

Dengan p=9, dan mulai dengan data yang lebih

kecil dari data terkecil, dipilih 31, maka kelas

interval pertama 31-40, 41-50, dst.

•

Buatlah tabel untuk memasukkan kelas-kelas

interval yang sudah dibentuk.

• Dari hasil di atas, sdh dapat dibuat :

– Histogram Frekuensi

– Poligon Frekuensi

– Distribusi Frekuensi Kumulatif :

• Kurang dari
disusun dengan menjumlahkan seluruh frekuensi dari semua nilai yang lebih kecil daripada batas atas nyata interval kelas

• Lebih Dari
disusun dengan menjumlahkan seluruh frekuensi dari semua nilai yang lebih besar daripada atau sama dengan batas bawah nyata interval kelas

Ukuran Pemusatan

(Tendency Central)

Tendency Central Median Rata-Rata Modus Kuantil

Rata-Rata (Average)

adalah nilai khas yang mewakili sifat tengah atau posisi pusat dari suatu kumpulan nilai data

Beberapa ukuran yang termasuk rata-rata :

• Mean Aritmatik

Data Tidak Berkelompok untuk suatu sampel

untuk suatu populasi

n x x i1 i

∑

= = n N x N i i

∑

= = 1 x µ

Data Berkelompok untuk sampel untuk populasi n x f f x f k i i m i k i i k i i m i

∑

∑

∑

= = = ₌ = 1 , 1 1 , x N x f f x f K i i m i K i i K i i m i

∑

∑

∑

= = = ₌ = 1 , 1 1 , x . . µ Keterangan :

x_i : nilai dari data

k : jumlah interval kelas dlm suatu sampel K : Jumlah interval kelas dlm suatu populasi n : banyaknya data x dari suatu sampel N : banyaknya data x dari suatu populasi

f_i : frekuensi atau jumlah pengamatan dlm sati interval kelas x_m,i : nilai tengah dari interval kelas

• Mean Aritmatik Terbobot

merupakan mean aritmetik yang diperoleh dari nilai yang diberi pembobotan dimana : w_i : faktor pembobotan

∑

∑

= = = _n i i n i i i w w x w x 1 1 .

• Mean Geometrik

• Mean Harmonik

(

)

n n n n i i

x

x

x

x

x

G

₁

,

₂

,

₃

,...,

1 1

=













=

∏

=

∑

∑

= = = = _n i i n i i x n x n H 1 1 1 1 1 1

Median/Nilai Tengah

menyatakan posisi tengah dari nilai data terjajar

(data array)

dimana :

L_i : batas bawah nyata kelas dari kelas median

n : banyaknya data

(∑f_i)_l : jmlh frekuensi seluruh kelas yang lebih rendah dari kelas median

f_med : frekuensi kelas median c : lebar interval kelas median

(

)

c f f n L Median median l i 2 .           − + =

∑

Modus

nilai yang paling sering muncul atau yang

frekuensinya terbesar

dimana :

Li : batas bawah nyata kelas dari kelas modus ∆1 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas

sebelumnya

∆2 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

c

L

Modus

_i

.

2 1 1













∆

+

∆

∆

+

=

Kuantil : Kuartil, Desil, Persentil

nilai-nilai yang membagi suatu jajaran data (data array)

menjadi bagian-bagian yang sama.

dimana :

L_l,j : batas bawah nyata kelas dari kelas kuantil ke-i n : banyak data (semua frekuensi)

r : konstanta

untuk kuartil = 4, desil = 10, persentil = 100 (∑f)l,i : jmlh frekuensi seluruh kelas yang lebih rendah

daripada kelas kuantil ke-i f kuantil,i : frekuensi kelas kuantil ke-i

c : lebar interval kelas kuantil

( ) c f f n r i L K i kuantil i l i l i . . , , ,             −       + = ∑

Ukuran Penyebaran

Tendency Central Jangkauan/Range Koefisien Variasi Simpangan Kuartil Simpangan Mutlak Rata-Rata Varians Deviasi Standart

Deviasi Standart/Simpangan Baku

Data Tidak Berkelompok

sampel

populasi

(

)

(

1

)

. . 1 2 1 1 2 1 2 −       −       = − − =

∑

∑

∑

= = = n n x x n n x x s n i i n i i n i i x

(

)

2 1 2 1 2 . x N i i N i i i x N x N x x f µ σ −       = − =

∑

∑

= =

Data Berkelompok

sampel

populasi

(

)

(

1

)

. . . . 1 . 2 1 , 1 2 , 1 2 , −       −       = − − =

∑

∑

∑

= = = n n x f x f n n x x f s k i i m i k i i m i k i i m i x

(

)

2 1 2 , 1 2 , . . x K i i m i K i x i m i x N x f N x f µ µ σ −       = − =

∑

∑

= =

Varians

merupakan kuadrat dari standart deviasi/simpangan baku sehingga dinyatakan sebagai s_x2_{dan σ}