SOAL DAN PEMBAHASAN OSN 2018 KABUPATEN SUMBA TIMUR NUSA TENGGARA TIMUR

(1)

SOAL DAN PEMBAHASAN OSN 2018

KABUPATEN SUMBA TIMUR – NUSA TENGGARA TIMUR

Oleh : SUKAMTO, S.Pd.,Gr

Guru Matematika SMPN 1 Kambata Mapambuhang

1. Suku keempat, suku ketujuh, suku kesepuluh, dan suku ke-1010 suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 𝑡, 𝑡2, 𝑡 + 𝑡2_{, dan 2018. Suku ke-100 dikurangi suku ke-10 barisan tersebut adalah ….} A. 102 B. 150 C. 175 D. 180 JAWAB 𝑈4 = 𝑡 𝑈7 = 𝑡2 𝑈10= 𝑡 + 𝑡2

Dari bentuk di atas dapat dilihat bahwa 𝑈4+ 𝑈7= 𝑈10 (𝑎 + 3𝑏) + (𝑎 + 6𝑏) = 𝑎 + 9𝑏 𝑎 = 0 𝑈1010= 2018 𝑎 + 1009𝑏 = 2018 0 + 1009𝑏 = 2018 1009𝑏 = 2018 𝑏 =2018₁₀₀₉= 2 𝑈100− 𝑈10= (𝑎 + 99𝑏) − (𝑎 + 9𝑏) 𝑈100− 𝑈10= 𝑎 + 99𝑏 − 𝑎 − 9𝑏 𝑈100− 𝑈10= 90𝑏 𝑈100− 𝑈10= 90 × 2 =𝟏𝟖𝟎 Jawaban : D

(2)

2. Jika _𝑛1− 1 3𝑛+ 𝑛 3− 1 2𝑛= 3

2𝑛, maka jumlah nilai 𝑛 yang mungkin adalah …. A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 JAWAB 1 𝑛− 1 3𝑛+ 𝑛 3− 1 2𝑛= 3 2𝑛 6 6𝑛− 2 6𝑛+ 2𝑛2 6𝑛 − 3 6𝑛= 9 6𝑛 2𝑛2_{+ 1} 6𝑛 = 9 6𝑛 2𝑛2+ 1 = 9 2𝑛2_{− 8 = 0} 𝑛2_{− 4 = 0} (𝑛 + 2)(𝑛 − 2) = 0 𝑛 = −2 atau 𝑛 = 2

Jumlah nilai 𝒏 = −𝟐 + 𝟐 = 𝟎 Jawaban : C

3. Dari gambar berikut ini diketahui 𝐴𝑃 = 11 cm, 𝑂𝐴 = 2 cm

Pernyataan yang salah adalah …. A. Keliling 𝐷𝐸𝐹𝑃𝐷 adalah 22 cm B. 𝑂𝑃 = 5√5 cm

C. 𝐸𝑃 = 5√5 − 2 cm D. 𝐴𝐷 = 𝐷𝐸

JAWAB

𝐴𝑃 merupakan garis singgung lingkaran, sehingga 𝐴𝑃 ⊥ 𝐴𝑂. Oleh karena itu, 𝑂𝑃 = √𝐴𝑃2_{+ 𝐴𝑂}2 𝑂𝑃 = √112_{+ 2}2 𝑂𝑃 = √121 + 4 𝑂𝑃 = √125 𝑂𝑃 = 5√5 cm (jawaban B benar) Diketahui 𝐴𝑃 = 𝐵𝑃 = 11 𝑐𝑚

𝐴𝑂 dan 𝑂𝐸 merupakan jari-jari lingkaran. 𝐴𝐷 dan 𝐷𝐸 merupakan garis singgung lingkaran. Oleh karena itu, 𝑂𝐴𝐷𝐸 merupakan layang-layang. Akibatnya, 𝐴𝐷 = 𝐷𝐸. (jawaban D benar)

A B O D E F P

(3)

Keliling 𝐷𝐸𝐹𝑃𝐷 = 𝐷𝐸 + 𝐸𝐹 + 𝐹𝑃 + 𝐷𝑃 ~ karena 𝐷𝐸 = 𝐴𝐷 dan 𝐸𝐹 = 𝐵𝐹 Keliling 𝐷𝐸𝐹𝑃𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐹 + 𝐹𝑃 + 𝐷𝑃

Keliling 𝐷𝐸𝐹𝑃𝐷 = (𝐴𝐷 + 𝐷𝑃) + (𝐵𝐹 + 𝐹𝑃) Keliling 𝐷𝐸𝐹𝑃𝐷 = 𝐴𝑃 + 𝐵𝑃

Keliling 𝐷𝐸𝐹𝑃𝐷 = 11 + 11 = 22 𝑐𝑚 (jawaban A benar)

Jawaban : C

4. Bilangan prima 𝑝 dan 𝑞 masing-masing dua digit. Hasil penjumlahan 𝑝 dan 𝑞 merupakan bilangan dua digit yag digitnya sama. Jika bilangan tiga digit 𝑟 merupakan perkalian 𝑝 dan 𝑞, maka dua nilai 𝑟 yang mungkin adalah ….

A. 121 dan 143 B. 169 dan 689 C. 403 dan 989 D. 481 dan 121 JAWAB

Bilangan prima dua digit : 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, dan 97.

Bilangan prima yang jika dijumlahkan menghasilkan bilangan dengan digit sama adalah 13 dan 31, 23 dan 43.

Sehingga,

 13 + 31 = 44 → 13 × 31 =𝟒𝟎𝟑

 23 + 43 = 66 → 23 × 43 =𝟗𝟖𝟗 Jawaban : C

5. Sebuah wajah memuat 5 bola merah dan 3 bola putih. Seseorang mengambil bola-bola tersebut sebanyak 3 kali, masing-masing dua bola setiap pengambilan tanpa pengembalian. Peluang bahwa pada setiap pengambilan, bola yang terambil berbeda warna adalah ….

A. ₄₄₈1 B. ₂₈₀7 C. ₅₆1 D. 1 7 JAWAB

Peluang terambilnya bola berbeda warna: = 5𝐶1. 𝐶3 1 𝐶2 8 × 4𝐶1. 𝐶2 1 𝐶2 6 × 3𝐶1. 𝐶1 1 𝐶2 4 = 5 × 3_8.7 1.2 ×4 × 2 6.5 1.2 ×3 × 1_4.3 1.2 =5 × 3 × 4 × 2 × 3 × 1 4 × 7 × 3 × 5 × 2 × 3 =1 7 Jawaban : D

(4)

6. Diketahui 𝐹 = {5, 6, 7, 8, … . ,44, 45} dan 𝐺 adalah himpunan yang anggota-anggotanya dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan tiga atau lebih bilangan-bilangan asli berurutan.

Anggota 𝐹 ∩ 𝐺 sebanyak …. A. 14 B. 20 C. 25 D. 26 JAWAB 𝐹 = {5, 6, 7, 8, … . ,44, 45}

𝐹 ∩ 𝐺 adalah anggota 𝐹 yang merupakan anggota 𝐺  𝐹 ∩ 𝐺 hasil penjumlahan 3 bilangan berurutan

𝐹 ∩ 𝐺 = 𝑎 + (𝑎 + 1) + (𝑎 + 2) = 3𝑎 + 3 ~ untuk 𝑎 = 1, 2, 3, …. 𝐹 ∩ 𝐺 ={𝟔, 𝟗, 𝟏𝟐, 𝟏𝟓, 𝟏𝟖, 𝟐𝟏, 𝟐𝟒, 𝟐𝟕, 𝟑𝟎, 𝟑𝟑, 𝟑𝟔, 𝟑𝟗, 𝟒𝟐, 𝟒𝟓 }

 𝐹 ∩ 𝐺 hasil penjumlahan 4 bilangan berurutan

𝐹 ∩ 𝐺 = 𝑎 + (𝑎 + 1) + (𝑎 + 2) + (𝑎 + 3) = 4𝑎 + 6 ~ untuk 𝑎 = 1, 2, 3, …. 𝐹 ∩ 𝐺 ={𝟏𝟎,𝟏𝟒,18,𝟐𝟐,𝟐𝟔,30,𝟑𝟒,𝟑𝟖,42 }

𝐹 ∩ 𝐺 = 𝑎 + (𝑎 + 1) + (𝑎 + 2) + (𝑎 + 3) + (𝑎 + 4) = 5𝑎 + 10 ~ untuk 𝑎 = 1, 2, 3, …. 𝐹 ∩ 𝐺 ={15,𝟐𝟎,𝟐𝟓,30,𝟑𝟓,𝟒𝟎,45 }

𝐹 ∩ 𝐺 = 6𝑎 + 15 ~ untuk 𝑎 = 1, 2, 3, …. 𝐹 ∩ 𝐺 = {21, 27, 33, 39, 45 }

𝐹 ∩ 𝐺 = 7𝑎 + 21 ~ untuk 𝑎 = 1, 2, 3

𝐹 ∩ 𝐺 ={𝟐𝟖,35, 42 }

𝐹 ∩ 𝐺 = 8𝑎 + 28 ~ untuk 𝑎 = 1, 2

𝐹 ∩ 𝐺 ={36,𝟒𝟒 }

𝐹 ∩ 𝐺 = 9𝑎 + 36 ~ untuk 𝑎 = 1

𝐹 ∩ 𝐺 = {45} Jadi 𝐹 ∩ 𝐺 =

{𝟔, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟐, 𝟏𝟒, 𝟏𝟓, 𝟏𝟖, 𝟐𝟎, 𝟐𝟏, 𝟐𝟐, 𝟐𝟒, 𝟐𝟓, 𝟐𝟔, 𝟐𝟕, 𝟐𝟖, 𝟑𝟎, 𝟑𝟑, 𝟑𝟒, 𝟑𝟓, 𝟑𝟔, 𝟑𝟖, 𝟑𝟗, 𝟒𝟎, 𝟒𝟐, 𝟒𝟒, 𝟒𝟓}

(5)

7. Kubus ABCD.PQRS memiliki sisi-sisi yang panjangnya 4 cm. Jika E titik tengah 𝑃𝑄 dan 𝐹 titik tengah 𝑄𝑅, maka luas daerah 𝐴𝐶𝐹𝐸 adalah …. cm2

A. 16 B. 18 C. 32 D. 64 JAWAB

 𝐴𝐶 diagonal sisi sehingga 𝐴𝐶 = 4√2 cm  𝐿𝐾 = 𝑄𝐵 = 4 cm

 𝑂𝐾 =1

4× 4√2 = √2 cm

 Segitiga 𝑂𝐿𝐾 siku-siku di 𝐾, sehingga 𝑂𝐿 = √𝐿𝐾2_{+ 𝑂𝐾}2

𝑂𝐿 = √42_{+ (√2)}2

𝑂𝐿 = √16 + 2 𝑂𝐿 = √18 = 3√2 cm

 Segitiga 𝐸𝑄𝐹 siku-siku di 𝑄, sehingga 𝐸𝐹 = √𝐸𝑄2_{+ 𝑄𝐹}2 𝐸𝐹 = √22_{+ 2}2 𝑂𝐿 = √4 + 4 𝑂𝐿 = √8 = 2√2 cm  Luas trapezium 𝐴𝐶𝐹𝐸 =1 2× (𝐴𝐶 + 𝐸𝐹) × 𝑂𝐿 =1 2× (4√2 + √2) × 3√2 =1 2× (4√2 + 2√2) × 3√2 = 3√2 × 3√2 = 18 cm2 Jawaban : B A B C D P _Q R S E F O T 4 4√2 4 K L 2 2 A C F E L O 4√2 √2 3√2

(6)

8. Grafik di bawah ini menggambarkan gerakan dua kendaraan bermotor. Pernyataan yang salah adalah ….

A. Kecepatan terendah kedua untuk kendaraan A yaitu pada detik ke-4 hingga detik ke-10 B. Kecepatan tertinggi kendaraan B dicapai pada

detik ke-18 hingga detik ke-23

C. Pada detik ke-10 hingga detik ke-15 kendaraan A dan B berhenti

D. Sampai dengan km 1 rata-rata kecepatan A lebih besar daripada kecepatan kendaraan B JAWAB

Perhatikan grafik.

 Pada detik ke-10 sampai ke-15 grafik kendaraan A horizontal, artinya tidak pertambahan jarak sehingga bisa dikatakan berhenti. Jawaban C benar.

 Pada detik ke-10 sampai ke-15 grafik kendaraan A berhenti sehingga kecepatannya 0, sedangkan pada detik ke-4 sampai ke-10, grafik tidak mengalami banyak kenaikan disbanding dengan yang lain, sehingga dapat dikatakan pada detik ke-4 sampai ke-10 merupakan kecepatan terendah kedua. Jawaban A benar.

 Untuk jarak 1 km, kendaan A memerlukan waktu 20 detik, sedangkan kendaraan B memerukan waktu 23 detik, sehingga bias dikatakan kecepatan rata-rata A lebih besar dari B. Jawaban D benar.

 Grafik kendaraan B pada detik ke-2 sampai ke-8 lebih tegak daripada pada detik ke-18 sampai ke-23. Sehingga dapat dikatakan kecepatan tertinggi terjadi pada detik ke-2 sampai ke-8. Jawaban B salah.

Jawaban : B

9. Perhatikan gambar berikut.

Persamaan garis hasil transformasi rotasi R[O,180] dilanjutkan dengan pencerminan 𝑦 = −𝑥 terhadap garis 𝐴𝐵 adalah ….

A. 𝑦 = 2𝑥 + 4 B. 𝑦 = 2𝑥 − 4 C. 𝑦 = −2𝑥 + 4 D. 𝑦 = −2𝑥 − 4 JAWAB 𝑨(𝒙, 𝒚)𝑹[𝑶,𝟏𝟖𝟎°]→ 𝑨′(−𝒙, −𝒚)𝑴→ 𝑨′′(𝒚, 𝒙) 𝒚=−𝒙 𝐴(0,2)𝑅[𝑂,180°]→ 𝐴′(0, −2)𝑀→ 𝐴′′(2,0) 𝑦=−𝑥 𝐵(4,4)𝑅[𝑂,180°]→ 𝐴′(−4, −4)𝑀→ 𝐴′′(4,4) 𝑦=−𝑥 A B (0,2) (4,4)

(7)

Persamaan gari yang melalui A” dan B” adalah 𝑦 − 𝑦1 𝑦2− 𝑦1 = 𝑥 − 𝑥1 𝑥2− 𝑥1 𝑦 − 0 4 − 0= 𝑥 − 2 4 − 2 𝑦 4= 𝑥 − 2 2 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟒 Jawaban : B

10. Jika 0 < 𝑎 < 1 dan grafik fungsi kuadrat 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 1)2+ 2𝑎 berada di bawah grafik fungsi 𝑦 = (𝑎2+ 2𝑎)(𝑥 + 1) − 2𝑎(2𝑎 + 1), maka nilai 𝑥 yang memenuhi adalah ….

A. 0 < 𝑥 < 3 B. 𝑎 < 𝑥 < 3 C. 𝑎 + 1 < 𝑥 < 3 D. 3 < 𝑥 < 3 + 𝑎 JAWAB 𝑎(𝑥 − 1)2+ 2𝑎 < (𝑎2_{+ 2𝑎)(𝑥 + 1) − 2𝑎(2𝑎 + 1)} 𝑎(𝑥2− 2𝑥 + 1) + 2𝑎 < (𝑎2+ 2𝑎)𝑥 + (𝑎2+ 2𝑎) − 4𝑎2− 2𝑎 𝑎𝑥2− 2𝑎𝑥 + 𝑎 + 2𝑎 < (𝑎2+ 2𝑎)𝑥 − 3𝑎2 𝑎𝑥2_{− 2𝑎𝑥 − (𝑎}2_{+ 2𝑎)𝑥 + 3𝑎}2_{+ 3𝑎 < 0} 𝑎𝑥2− (𝑎2_{+ 4𝑎)𝑥 + 3(𝑎}2_{+ 𝑎) < 0} _{dibagi 𝑎} 𝑥2− (𝑎 + 4)𝑥 + 3(𝑎 + 1) < 0 (𝑥 − (𝑎 + 1))(𝑥 − 3) < 0 Pembuat nol 𝑥 = 𝑎 + 1 atau 𝑥 = 3 Karena 0 < 𝑎 < 1 maka 𝑎 + 1 < 3

𝒂 + 𝟏 < 𝒙 < 𝟑 Jawaban : C

11. Nilai 𝑥 dan 𝑦 pada gambar berikut adalah …. A. 𝑥 = 74°; 𝑦 = 104° B. 𝑥 = 37°; 𝑦 = 104° C. 𝑥 = 74°; 𝑦 = 114° D. 𝑥 = 37°; 𝑦 = 106° JAWAB  ∠𝐴𝐶𝐷 = 180° − 61° = 119°  ∠𝐴𝐶𝐷 + ∠𝐴𝐶𝐹 + ∠𝐹𝐶𝐷 = 360° 119° + 135° + 𝑦 = 360° 254° + 𝑦 = 360° 𝑦 = 360° − 254° 𝑦 = 106°  ∠𝐸𝐶𝐹 = 180° − 135° = 45°  ∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐸𝐶𝐹 119° − 2𝑥 = 45° 2𝑥 = 119° − 45° 2𝑥 = 74° 𝑥 = 37° Jawaban : D 135° 𝑦 61° 2𝑥 135° 𝑦 61° 2𝑥 119° − 2𝑥 A B C D E F 𝑎 + 1 3

(8)

12. Grafik berikut menunjukkan persentase peserta berdasarkan jenis kelamin pada suatu ujian masuk sekolah tinggi dari tahun 2013 sampai 2017. Sedangkan tabel di bawahnya menunjukkan jumlah peserta ujian dan jumlah lulusan, serta komposisi lulusan berdasarkan jenis kelamin.

Tahun Jumlah Peserta

Ujian Jumlah lulusan

Persentase lulusan laki-laki Persentase lulusan perempuan 2013 1400 800 60 40 2014 800 660 50 50 2015 1000 500 45 55 2016 500 400 48 52 2017 1100 800 64 36

Total peserta perempuan yang tidak lulus ujian selama lima tahuan adalah …. orang. A. 454 B. 476 C. 494 D. 536 JAWAB Tahun Jumlah Peserta Ujian Jumlah peserta perempuan Jumlah

lulusan lulusan perempuan

Perempuan yang tidak lulus 2013 1400 40 100× 1400 = 560 800 40 100× 800 = 320 560 − 320 = 240 2014 800 50 100× 800 = 400 660 50 100× 660 = 330 400 − 330 = 70 2015 1000 36 100× 1000 = 360 500 55 100× 500 = 275 360 − 275 = 85 2016 500 45 100× 500 = 225 400 52 100× 400 = 208 225 − 208 = 17 2017 1100 30 100× 1100 = 330 800 36 100× 800 = 288 330 − 288 = 42 JUMLAH 𝟒𝟓𝟒 Jawaban : A

(9)

13. Menjelang tahun baru, harga sejenis pakaian olahraga dipotong (didiskon) dua kali seperti dinyatakan pada gambar di samping. Jika harga mula-mula suatu pakaian Rp 400.000,00, maka seseorang yang membeli pakaian tersebut harus membayar sebesar ….

A. Rp 124.000,00 B. Rp 136.000,00 C. Rp 276.000,00 D. Rp 300.000,00 JAWAB

Harga setelah diskon pertama =100 − 60

100 × 𝑅𝑝 400.000,00 = 40

100× 𝑅𝑝 400.000,00 = 𝑅𝑝 160.000,00

Harga setelah diskon kedua =100 − 15

100 × 𝑅𝑝 160.000,00 = 85

100× 𝑅𝑝 160.000,00

= 𝑹𝒑 𝟏𝟑𝟔. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 Jawaban : B

14. Pada suatu data terdapat 21 bilangan bulat positif. Bilangan terbesar pada data tersebut adalah 16. Median dari data adalah 10. Rata-rata terkecil yang mungkin dari data tersebut adalah ….

A. 5,0 B. 5,5 C. 6,0 D. 6,5 JAWAB Kemungkinan bilangan : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 16 Rata-rata =10×1+10×10+16₂₁ Rata-rata =10+100+16₂₁ Rata-rata =126₂₁ =𝟔 Jawaban : C

15. Diberikan bilangan asli dua digit. Peluang bahwa bilangan tersebut memiliki digit penyusun prima dan bersisa 5 jika dibagi 7 adalah ….

A. ₄₅1 B. ₃₀1 C. 1₈ D. 1₄ JAWAB

Bilangan dua digit dari 10 – 99 = 90 bilangan

Bilangan dua digit penyusun prima = 22, 23, 25, 27, 32, 33, 35, 37, 52, 53, 55, 57, 72, 73, 75, 77 Bilangan dua digit penyusun prima bersisa 5 jika dibagi 7 = 33 dan 75 (ada 2 bilangan)

Peluang = 2

90=

𝟏

(10)

16. Semua bilangan real 𝑥 yang memenuhi pertidaksamaan 2(𝑥+3)−5√𝑥+2_𝑥+2 ≥ 0 adalah …. A. 𝑥 ≤ −7₄ atau 𝑥 ≥ 2 B. −2 < 𝑥 ≤ −7₄ atau 𝑥 ≥ 2 C. 0 ≤ 𝑥 ≤ −7 4 atau 𝑥 ≥ 12 D. −7₄≤ 𝑥 ≤ 2 JAWAB

Agar 2(𝑥+3)−5√𝑥+2_𝑥+2 ≥ 0 maka ada dua kemungkinan  𝑥 + 2 positif dan 2(𝑥 + 3) − 5√𝑥 + 2 non negatif

 𝑥 + 2 > 0 maka 𝑥 > −2 pertidaksamaan (i)  Misal 𝑥 + 2 = 𝑦 maka 2(𝑥 + 3) − 5√𝑥 + 2 = 2(𝑦 + 1) − 5√𝑦

2(𝑦 + 1) − 5√𝑦 ≥ 0

2𝑦 + 2 ≥ 5√𝑦 kuadratkan kedua ruas (2𝑦 + 2)2_{≥ (5√𝑦)}2 4𝑦2+ 8𝑦 + 4 ≥ 25𝑦 4𝑦2_{+ 8𝑦 − 25𝑦 + 4 ≥ 0} 4𝑦2− 17𝑦 + 4 ≥ 0 (4𝑦 − 1)(𝑦 − 4) ≥ 0 4𝑦 − 1 = 0 atau 𝑦 = 4 𝑦 =1₄ atau 𝑦 = 4 𝑦 ≤1 4 atau 𝑦 ≥ 4 𝑥 + 2 ≤1₄ atau 𝑥 + 2 ≥ 4 𝑥 ≤1 4− 2 atau 𝑥 ≥ 4 − 2

𝑥 ≤ −7₄ atau 𝑥 ≥ 2 pertidaksamaan (ii) Gabungan (i) dan (ii)

−2 < 𝑥 ≤ −7

4 atau 𝑥 ≥ 2

 𝑥 + 2 negatif dan 2(𝑥 + 3) − 5√𝑥 + 2 non positif

 Karena 𝑥 + 2 < 0 maka √𝑥 + 2 merupakan bilangan imajiner (tidak memenuhi) Jawaban : B 1 4 ൗ 4 −7 4 2 −2

(11)

17. Diketahui 𝑥, 𝑦 dan 𝑧 adalah tiga bilangan bulat positif. Tiga terurut (𝑥, 𝑦, 𝑧) yang memenuhi (𝑥 + 2𝑦)𝑧 _{= 64 ada sebanyak ….} A. 4 B. 32 C. 35 D. 36 JAWAB (𝑥 + 2𝑦)𝑧 _{= 64 = 64}1_{= 8}2_{= 4}3_{= 2}6  Untuk 𝑧 = 1 maka 𝑥 + 2𝑦 = 64 𝑥 = 64 − 2𝑦 Untuk 𝑦 = 1 maka 𝑥 = 62 Untuk 𝑦 = 2 maka 𝑥 = 60 Untuk 𝑦 = 3 maka 𝑥 = 58 . . .

Untuk 𝑦 = 31 maka 𝑥 = 2 (ada 31 triple)  Untuk 𝑧 = 2 maka 𝑥 + 2𝑦 = 8

𝑥 = 8 − 2𝑦

Untuk 𝑦 = 1 maka 𝑥 = 6 Untuk 𝑦 = 2 maka 𝑥 = 4

Untuk 𝑦 = 3 maka 𝑥 = 2 (ada 3 triple)  Untuk 𝑧 = 3 maka 𝑥 + 2𝑦 = 4

𝑥 = 4 − 2𝑦

Untuk 𝑦 = 1 maka 𝑥 = 2 (ada 1 triple)  Untuk 𝑧 = 6 maka 𝑥 + 2𝑦 = 2

𝑥 = 2 − 2𝑦 ( tidak ada triple)

Jadi ada 35 triple Jawaban : C

18. Rata-rata usia sepasang suami istri pada saat mereka menikah adalah 25 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak pertama mereka lahir adalah 18 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak kedua lahir adalah 15 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak ketiga lahir (kembar) adalah 12 tahun. Jika saat ini rata-rata usia enam orang ini adalah 16 tahun, maka usia anak pertama adalah …. tahun. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 JAWAB

 Misal usia suami saat menikah adalah 𝒔, dan usia istri saat menikah adalah 𝒊. 𝑠 + 𝑖

2 = 25 → 𝑠 + 𝑖 = 50

 Misal anak pertama lahir setelah usia pernikahan 𝑎 tahun, dan anak baru lahir dianggap berusia 0 tahun. (𝑠 + 𝑎) + (𝑖 + 𝑎) + 0 3 = 18 → 𝑠 + 𝑖 + 2𝑎 = 54 → 50 + 2𝑎 = 54 → 2𝑎 = 4 → 𝑎 = 2 Pada saat ini, jumlah usia suami dan istri = 50 + 2 × 2 = 54 tahun

(12)

 Misal anak kedua lahir setelah anak pertama berusia 𝑏 tahun, dan anak baru lahir dianggap berusia 0 tahun. (𝑠 + 𝑏) + (𝑖 + 𝑏) + 𝑏 + 0 4 = 15 → 𝑠 + 𝑖 + 3𝑏 = 60 → 54 + 3𝑏 = 60 → 3𝑏 = 6 → 𝑏 = 2

Pada saat ini, jumlah usia suami dan istri = 54 + 2 × 2 = 58 tahun dan anak pertama berusia 2 tahun

 Misal anak ketiga kembar lahir setelah anak kedua berusia 𝑐 tahun, dan anak baru lahir dianggap berusia 0 tahun.

(𝑠 + 𝑐) + (𝑖 + 𝑐) + (2 + 𝑐) + 𝑐 + 2.0

6 = 12 → 𝑠 + 𝑖 + 4𝑐 + 2 = 72 → 58 + 4𝑐 + 2 = 72 → 4𝑐 = 12 → 𝑐 = 3

Pada saat ini, jumlah usia suami dan istri = 58 + 2 × 3 = 64 tahun dan anak pertama berusia 5 tahun dan anak kedua berusia 3 tahun.

 Misal pada saat ini, anak ketiga berusia 𝑥 tahun, maka anak kedua berusia 3 + 𝑥, anak pertama berusia 5 + 𝑥, dan jumlah usia suami istri 64 + 2𝑥.

(64 + 2𝑥) + (5 + 𝑥) + (3 + 𝑥) + 2𝑥

6 = 16 → 72 + 6𝑥 = 96 → 6𝑥 = 24

→ 𝑥 = 4 Pada saat ini, anak pertama berusia = 5 + 4 = 9 tahun.

Jawaban : C 19. Perhatikan ∆𝐴𝐵𝐶 dan lingkaran dalam pada gambar di bawah.

Jika ∆𝐴𝐵𝐶 samasisi dengan 𝐶𝐷 = 6 𝑐𝑚, maka luas daerah lingkaran dalam adalah …. cm2_.

A. 16𝜋 B. 12𝜋 C. 9𝜋 D. 4𝜋 JAWAB 𝐴𝐷 = √122_{− 6}2 𝐴𝐷 = √144 − 36 𝐴𝐷 = √108 = 6√3

Karena pusat O merupakan perpotongan garis tinggi maka Jari-jari 𝑂𝐷 =1₃× 6√3 = 2√3 cm

Luas lingkaran = 𝜋 × (2√3)2=𝟏𝟐𝝅 cm2 _{Jawaban : B}

A B C D E F A B C D E F 6 cm 12 cm O 2 1

(13)

20. Diberikan ∆𝐴𝐵𝐶. Jika 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 = 1 𝑐𝑚 dan 𝐵𝐶 = √3 cm, maka luas ∆𝐴𝐵𝐶 adalah …. cm2_. A. 1 2√2 B. 1₂√3 C. 1 4√3 D. 1₄ JAWAB 𝐴𝐷 = √12_{− (}1 2√3) 2 𝐴𝐷 = √1 −3 4 𝐴𝐷 = √1 4= 1 2 Luas ∆𝐴𝐵𝐶 =1 2× 𝐴𝐷 × 𝐵𝐶 Luas ∆𝐴𝐵𝐶 =1 2× 1 2× √3 = 𝟏 𝟒√𝟑 Jawaban : C

21. Dealer sepeda motor menjual empat jenis sepeda motor yaitu 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆. Persentase pajak dan ongkos kirim sepeda motor dihitung berdasarkan harga pokok. Persentase laba dihitung berdasarkan hasil penjumlahan dari harga pokok, pajak, dan ongkos kirim sebagaimana tabel berikut. Jenis motor 𝑷 𝑸 𝑹 𝑺 Harga pokok 11.000.000 10.400.0000 10.700.000 11.300.000 Pajak 5% 6% 7% 5% Ongkos kirim 7% 10% 9% 6% Laba 12% 12% 12% 10%

Jika harga beli adalah penjumlahan dari harga pokok beserta pajak dan ongkos kirim, maka harga jual sepeda motor paling mahal adalah jenis ….

A. 𝑃 B. 𝑄 C. 𝑅 D. 𝑆 JAWAB Jenis motor 𝑷 𝑸 𝑹 𝑺 Harga pokok 11.000.000 10.400.0000 10.700.000 11.300.000 Pajak 5 100× 11.000.000 = 550.000 6 100× 10.400.000 = 624.000 7 100× 10.700.000 = 749.000 5 100× 11.300.000 = 565.000 Ongkos kirim 7 100× 11.000.000 = 770.000 10 100× 10.400.000 = 1.040.000 9 100× 10.700.000 = 963.000 6 100× 11.300.000 = 678.000 Jumlah 12.320.000 12.064.000 12.412.000 12.543.000 Laba 12 100× 12.320.000 = 1.478.400 12 100× 12.064.000 = 1.447.680 12 100× 12.412.000 = 1.489.440 10 100× 12.543.000 = 1.254.300 Jumlah + laba 13.798.400 13.511.680 13.901.440 13.797.300 Jawaban : C A B C 1 √3 1 2√3 D

(14)

22. Diketahui 𝑥4𝑦5𝑧2< 0 dan 𝑥𝑧 < 0. Pernyataan berikut yang benar adalah …. A. 𝑥𝑦𝑧 < 0, jika 𝑦𝑧 > 0 B. 𝑦𝑧_𝑥 < 0, jika 𝑥𝑦 < 0 C. 𝑥𝑦 < 0, jika 𝑦𝑧 > 0 D. 𝑥𝑦 > 0, jika 𝑦𝑧 > 0 JAWAB

𝑥𝑧 < 0 berarti ada 2 kemungkinan.  𝑥 positif dan 𝑧 negatif

Karena 𝑥4𝑦5_𝑧2_{< 0 maka 𝑦 negative.}

Cek jawaban satu persatu. Didapat jawaban C benar: 𝑥𝑦 < 0 → 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 × 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 = 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓

𝑦𝑧 > 0 → 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 × 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓  𝑥 negatif dan 𝑧 positif

Karena 𝑥4𝑦5𝑧2< 0 maka 𝑦 negative.

Cek jawaban satu persatu. Tidak ada jawaban benar. Jawaban : C

23. Pada sebuah laci terdapat beberapa kaos kaki berwarna putih dan berwarna hitam. Jika dua kaos kaki diambil secara acak, maka peluang terpilihnya kedua kaos kaki berwarna putih adalah 1

2. Jika banyak kaos kaki berwarna hitam adalah genap, maka paling sedikit kaos kaki berwarna putih adalah …. A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 JAWAB

Misalkan ℎ = banyak kaos kaki hitam 𝑝 = banyak kaos kaki putih

𝐶2 𝑝 𝐶2 ℎ+𝑝 =1 2 𝑝! (𝑝 − 2)! .2! (ℎ + 𝑝)! (ℎ + 𝑝 − 2)! .2! =1 2 2 × 𝑝! (𝑝 − 2)! .2!= (ℎ + 𝑝)! (ℎ + 𝑝 − 2)! .2! 2 ×𝑝. (𝑝 − 1). (𝑝 − 2)! (𝑝 − 2)! .2! = (ℎ + 𝑝). (ℎ + 𝑝 − 1)(ℎ + 𝑝 − 2)! (ℎ + 𝑝 − 2)! .2! 2. 𝑝. (𝑝 − 1) = (ℎ + 𝑝). (ℎ + 𝑝 − 1) 2𝑝2− 2𝑝 = ℎ2+ 2ℎ𝑝 + 𝑝2− ℎ − 𝑝 𝑝2− 𝑝 = ℎ2+ 2ℎ𝑝 − ℎ 𝑝2− 𝑝 = ℎ2+ (2𝑝 − 1)ℎ ℎ2+ (2𝑝 − 1)ℎ − (𝑝2− 𝑝) = 0

(15)

 Untuk 𝑝 = 12 maka ℎ2_{+ 23ℎ − 132 = 0}

Dengan menggunakan rumus ℎ =−𝑏±√𝑏_2𝑎2−4𝑎𝑐 didapat ℎ =4,7557… dan ℎ =-27,7558… (bukan

bilangan genap). Jawaban A salah.

 Untuk 𝑝 = 15 maka ℎ2_{+ 29ℎ − 210 = 0}

Dengan menggunakan rumus ℎ =−𝑏±√𝑏_2𝑎2−4𝑎𝑐 didapat ℎ = −35 dan 𝒉 = 𝟔 (bilangan genap). Jawaban B benar.

 Untuk 𝑝 = 18 maka ℎ2_{+ 35ℎ − 324 = 0}

Dengan menggunakan rumus ℎ =−𝑏±√𝑏_2𝑎2−4𝑎𝑐 didapat ℎ = 7,6047… dan ℎ = - 42,6048…(bukan

bilangan genap). Jawaban C salah.

 Untuk 𝑝 = 21 maka ℎ2_{+ 41ℎ − 420 = 0}

Dengan menggunakan rumus ℎ =−𝑏±√𝑏_2𝑎2−4𝑎𝑐 didapat ℎ = 8,4870… dan ℎ = -49.4871… (bukan

bilangan genap). Jawaban D salah.

Jawaban : B

24. Jika 𝑥 dan 𝑦 adalah bilangan bulat positif dengan 𝑦 > 1, sehingga 𝑥𝑦= 318530, maka nilai 𝑥 − 𝑦 yang mungkin adalah ….

A. 84375 B. 84369 C. 84363 D. 84357 JAWAB 𝑥𝑦_{= 3}18_{. 5}30 𝑥𝑦= (33)6_{. (5}5₎6 𝑥𝑦_{= 27}6_{. 3125}6 𝑥𝑦_{= 84375}6

Dari bentuk terakhir dapat dilihat bahwa 𝑥 = 84375 dan 𝑦 = 6, sehingga

𝑥 − 𝑦 = 84375 − 6 =𝟖𝟒𝟑𝟔𝟗 Jawaban : B

25. Salah satu contoh situasi untuk system persamaan 𝑥 + 2𝑦 = 6000 dan 3𝑥 + 𝑦 = 6000 adalah …. A. Dua orang siswa membeli pensil dan penghapus seharga Rp 6.000,00. Salah satu siswa tersebut

membeli pensil dan tiga penghapus seharga Rp 6.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pensil dan penghapus?

B. Dua orang siswa membeli pensil dan tiga buah penghapus seharga Rp 6.000,00. Selain itu, dia juga membeli dua buah pensil dan sebuah penghapus untuk adiknya seharga Rp 6.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pensil dan penghapus?

C. Seorang siswa akan membeli dua buah pensil dan tiga buah penghapus. Siswa tersebut memiliki uang Rp 12.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pensil dan penghapus?

D. Seorang siswa membeli sebuah pensil dan tiga penghapus seharga Rp 6.000,00. Selain itu, dia juga membeli dua buah pensil dan sebuah penghapus untuk adiknya seharga Rp 6.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pensil dan penghapus?

(16)

Jelas jawaban D benar

misalkan banyak penghapus = 𝑥 dan banyak pensil = 𝑦

Seorang siswa membeli sebuah pensil dan tiga penghapus seharga Rp 6.000,00. Bentuk matematika : 3𝑥 + 𝑦 = 6000

Dia juga membeli dua buah pensil dan sebuah penghapus untuk adiknya seharga Rp 6.000,00. Bentuk matematika : 𝑥 + 2𝑦 = 6000

SOAL DAN PEMBAHASAN OSN 2018 KABUPATEN SUMBA TIMUR NUSA TENGGARA TIMUR