8. Medan Magnet Tunak (Statis)

6.1 Hukum Biot-Savart

)

/

(

4

R

2

A

m

a

dl

I

dH

R







 Diferensial intensitas medan magnetik, dH, merupakan hasil dari

diferensi elemen arus I dl

 Medan magnetik berbanding terbalik terhadap kuadrat jarak,

tidak bergantung pada medium di sekelilingnya, serta memiliki

arah yang diberikan oleh perkalian silang antara I dl dan aR.

 di mana aR merupakan vektor satuan dalam arah R. Arah R

adalah dari

 elemen arus ke titik di mana dH hendak dihitung.

 Elemen-elemen arus tidak memiliki keberadaan yang saling

terpisah. Semua elemen yang membentuk sebuah filamen arus

lengkap akan berkontribusi terhadap H. Proses penjumlahan ini

akan menghasilkan bentuk integral dari hukum Biot-Savart

sebagai

Elemen arus yang menghasilkan diferensial intensitas medan magnetik dH

)

/

(

4

2

m

A

R

a

dl

I

H







R



Sebuah filamen lurus arus I dengan panjang tak berhingga yang terletak

di sepanjang sumbu z koordinat silindris ditunjukkan pada Gambar 3-2.

Carilah H!

Penyelesaian:

Pada titik z = 0,

R



ra

_r



za

_z 2 2

z

r

R





2 2

z

r

za

ra

a

_R r z







Contoh Soal 1

dalam bentuk diferensial, dengan menggunakan persamaan

2 / 3 2 2

)

(

4

)

(

z

r

za

ra

dza

I

dH

z r z











2 2 3/2

)

(

4

r

z

dza

r

I









 Variabel integrasi adalah z. Oleh karena a  tidak berubah terhadap z, maka dapat dikeluarkan dari integran sebelum proses integrasi dilakukan.  Hasil ini menunjukkan bahwa H berbanding terbalik terhadap jarak radial

 

_



r

a

I

a

z

r

dz

r

I

H

2

)

(

4

2 2 3/2

























  

Filamen arus I dengan panjang tak berhingga yang terletak di

sepanjang sumbu z.

Catatan!

Arah intensitas medan magnetik adalah memenuhi

aturan tangan kanan di mana jari-jari tangan kanan yang digenggamkan menunjukkan arah medan, sementara ibu jari menunjukkan arah arus.

 Integral garis komponen tangensial kuat medan magnetik di sekeliling lintasan tertutup adalah sama dengan arus yang dilingkupi oleh lintasan tersebut.

Persamaan di atas merupakan bentuk integral dari hukum Ampere.

dilingkupi yang

I

dI

H







6.2 Hukum Ampere

Dalam penggunaan hukum Ampere untuk menentukan H, maka dua kondisi berikut ini haruslah terpenuhi:

 Di setiap titik lintasan tertutup komponen H adalah bersifat tangensial atau normal terhadap lintasan.

 H memiliki nilai yang sama pada setiap titik lintasan di mana H adalah tangensial.

Gunakan hukum Ampere untuk memperoleh H yang diakibatkan oleh

filamen lurus arus I dengan panjang tak berhingga!

Penyelesaian!

Biot-Savart menunjukkan bahwa pada setiap titik dari lingkaran

Gambar 3-2 H adalah tangensial serta memiliki magnituda yang sama

besar. Maka,

1

)

2

(









H

dI

H



r

Contoh Soal 2

 Dengan menyelesaikan integral di atas

 Bentuk diferensial dari hukum Ampere dapat diturunkan yang

juga akan menghubungkan medan magnetik statik H dengan arus

elektrik konstan.

 Sebelum mendefinisikan bentuk diferensial, akan dikenalkan

terlebih dahulu curl dari sebuah vektor.

 curl A dalam arah an didefinisikan sebagai

S dI A a A a A curl S n n _       



 lim0 ) ( 



r

a

I

H

2



Pendefinisian curl A

 Dalam sebuah sistem koordinat, curl A secara lengkap dispesifikasi oleh komponen-komponennya di sepanjang vektor satuan koordinat.

z

y

dI

A

a

A

z y x

_

_













  

lim

0

 Sebagai contoh, komponen x dalam koordinat Cartesian

didefinisikan dengan mengambil kontur C sebagai sebuah bujur

sangkar pada bidang datar x konstan melalui titik P seperti

tampak pada Gambar.

 Jika A =Ax ax + Ayay +AZaZ pada sudut S yang paling dekat dengan titik pusat (titik 1), maka

z

A

y

A

a

A

_x z y



















    









2 1 3 2 4 3 1 4

z

y

z

A

y

A

z

A

y

z

A

A

z

y

y

A

A

y

A

y z z y y z z y































































































(

)

(

)

dan

 Komponen y dan z dapat ditentukan dengan cara yang sama

 Dengan menggabungkan ketiga komponen yang diperoleh, curl A

dalam koordinat Cartesian adalah

z x y y z x x y z a y A x A a x A z A a z A y A A _                                        

 

z r z r r z a A r rA r a r A z A a z A A r A                                                1 1





 

_{ }

             a A r rA r a r rA A r a A A r A _r r r _                                          1 sin 1 1 sin sin 1

 Untuk koordinat silindris

Dua sifat curl A yang seringkali digunakan ialah:

 Divergensi curl dari sebuah vektor adalah sama dengan nol

 Curl gradien dari sebuah fungsi skalar adalah sama dengan nol

Sebagai contoh, dalam kondisi statik, medan elektrik

EV

0







E











0





A

 





0





f

Sehingga

Ini merupakan bentuk uji lain terhadap sifat konservasi

medan vektor, yaitu jika curl sama dengan nol, maka medan

tersebut adalah medan konservatif

 Dalam sisi pandang hukum Ampere, persamaan yang mendefinisikan (curl H)x dapat ditulis sebagai

 di mana Jx =dIx/dS adalah kerapatan arus dalam arah x

 Jadi komponen x dari (curl H)x dan kerapatan arus Jx adalah sama di setiap titik.

 Untuk komponen y dan z, relasi yang diperoleh dalam serupa, sehingga relasi secara keseluruhan dapat dituliskan sebagai

 Persamaan di atas merupakan bentuk diferensial hukum Ampere untuk medan magnetik statis. Medan magnetik H tidak bersifat konservatif.

J

H







x x z y z y x

J

z

y

I

z

y

dI

H

a

H























     

lim

0



lim

0

Sebuah konduktor panjang dan lurus memiliki penampang melintang dengan jari-jari a. Kuat medan magnetik di dalam konduktor (r < a) adalah H = (Ir/2a2)a dan H = (I/2a2)a untuk (r < a). Carilah kerapatan arus J untuk kedua daerah tersebut!

Penyelesaian :

Untuk daerah di dalam konduktor, dengan menggunakan persamaan

z z r a a I a a Ir r r a a Ir z J 2 2 2 2 ₂ 1 2                           0 2 2                       _r I a_z r r I a r I z H J  

yang berkorespondensi dengan arus yang memiliki magnetuda I dalam arah +z yang terdistribusi secara merata pada penampang melintang dengan luas area a2.

Di luar konduktor

yang berarti bahwa arus hanya mengalir di

dalam konduktor

6.3 Kerapatan Fluksi Magnetik dan Hukum Gauss

 Kuat medan magnetik H adalah bergantung pada muatan (muatan yang bergerak) semata dan tidak bergantung pada mediumnya

 Medan gaya yang berasosiasi dengan H adalah kerapatan fluksi magnetik

B yang diberikan oleh persamaan

 di mana  = 0r adalah permeabilitas medium  Satuan untuk B adalah tesla di mana

 Permeabilitas ruang hampa, 0, memiliki nilai sebesar 4 x 10-7 dengan satuan henry per meter, H/m

B=H 1 T = 1 m A N 

 Material non-magnetik memiliki permeabilitas relatif,.r yang mendekati satu, sementara material magnetik (misalnya besi,ferromagnetik) dapat memiliki r yang jauh lebih besar daripada satu.

 Fluksi magnetik yang menembus suatu bidang permukaan didefinisikan sebagai

 Fluksi magnetik, , dapat bernilai positif atau negatif bergantung pada pemilihan normal pada elemen permukaan dS.

 Satuan untuk fluksi magnetik adalah weber, Wb.









S

dS

B

1 T = 1 Wb/m2, 1 H = 1 Wb/A

Carilah fluksi yang memotong bagian bidang datar  = /4 dengan 0,01 < r < 0,05 m dan 0 < z < 2 m (lihat Gambar) di mana sebuah filamen arus 2,50 A diletakkan sepanjang sumbu z pada arah az!     a r I H B 2 0 0   Penyelesaian:

Kerapatan fluksi magnetik adalah

Dari gambar

Fluksi magnetik yang melewati bidang permukaan persegi panjang adalah dS = drdza     a d d a r I z r   

 

2 0 05 , 0 01 , 0 0 2 Wb Wb I    61 , 1 10 61 , 1 01 , 0 05 , 0 ln 2 2 _{0 6}     

Contoh Soal 4

 Garis-garis fluksi magnetik merupakan kurva tertutup, tanpa titik awal dan titik akhir. Kurva seperti ini disebut sebagai kurva solenoidal

 Jadi medan B tidak memiliki sumber (source) ataupun sink, yang secara matematis dinyatakan sebagai

  B = 0

Catatan!

Persamaan (9) dikenal sebagai

hukum Gauss untuk medan

magnetik.

Permukaan tertutup dengan kerapatan fluksi B.

6.4 Induktansi

 rasio atau perbandingan fluksi magnetik lingkup terhadap arus yang menghasilkan fluksi tersebut.

di mana :

 N adalah jumlah lilitan kumparan

 I adalah arus statis (atau arus dengan frekuensi rendah)   adalah fluksi yang melewati sebuah loop tunggal

I

N

L





 Satuan L adalah henry di mana 1 H = 1 Wb/A.

L akan selalu merupakan produk dari permeabilitas bahan  dan faktor geometri dengan satuan panjang.

 Induktansi dapat juga dirumuskan sebagai

di mana :

• , fluksi lingkup, N untuk kumparan dengan lilitan sejumlah N

I

L





Carilah induktansi per satuan panjang dari sebuah konduktor koaksial seperti Gambar dibawah ini!

a

b

I

drdz

r

I

b a

ln

2

2

0 1 0 0













 



= konstan   Penyelesaian:

• Untuk daerah di antara konduktor, medan magnetik dirumuskan sebagai

• arus di kedua konduktor dilingkupi oleh fluksi yang menembus permukaan  = konstan. Untuk panjang l =1 m.





r a I H 2 







a r I B 2 0 

Contoh Soal 5

 induktansi per satuan panjang dari konduktor koaksial



H

m



a

b

meter

per

L

ln

/

2

0







 Gambar nilai induktansi eksak dan atau pendekatan dari beberapa bentuk konduktor non-koaksial

 

H r r a N L 1 2 2 0 _ln 2  

Toroida dengan penampang melintang persegi.

r _S

 

H

r

S

N

L





2

2 0



Toroida dengan penampang S

(dengan mengasumsikan nilai kerapatan fluksi rata-rata pada jari-jari rata-rata sebesar r.)

d l







H m



a d L a d untuk m H a d L / ln 0 , / 2 cosh 1 0









     

Konduktor paralel dengan jari-jari a.

Solenoida panjang dengan area penampang melintang S yang kecil.

 

H

S

N

L



2 0





Konduktor silindris yang paralel dengan bidang datar pertanahan







H

m



a

d

m

H

a

d

L

/

ln

2

/

2

cosh

2

0 1 0

















Hal-hal Penting untuk Diingat

 Medan magnetik H dan B akan mengelilingi sebuah kawat penghantar beraliran

 arus I sesuai aturan tangan kanan.  Dalam medium isotropik, B = H.

 Garis-garis fluksi megnetik adalah solenoid yang berarti bahwa garis-garis tersebut merupakan kurva tertutup tanpa awal atau pun akhir.

 Untuk suatu permukaan tertutup tertentu, fluksi magnetik total yang masuk ke permukaan tertutup adalah sama dengan fluksi magnetik total yang meninggalkan permukaan tersebut.  Induktansi dari sebuah konduktor adalah fluksi magnetik

Soal-soal dan Penyelesaiannya

Soal 1

Sebuah konduktor silindris tipis dengan jari-jari a dan panjang tak berhingga membawa arus I. Carilah H pada setiap titik dengan hukum Ampere!



H



d





2



rH

_



I

_{yangdilingkupi}



0

Sedangkan untuk lintasan 2,

I rH

d

H   



2 

Jadi, untuk titik di dalam cangkang silinder, H = 0 dan untuk titik-titik diluarnya H = (I/2r)a_ A/m. Untuk r > a, medannya adalah sama seperti medan dari filamen arus I sepanjang sumbu.

Cangkang silindris yang mengalirkan arus I. Penyelesaian :

Hukum Biot-Savart menunjukkan bahwa H hanya memiliki komponen . Lebih lanjut, H merupakan fungsi dari r semata. Lintasan yang tepat untuk hukum Ampere adalah lingkaran konsentris. Untuk lintasan 1 yang ditunjukkan pada Gambar,

Medan radial a A m r H 2,39 10 cos _r / 6   

terdapat pada suatu medium ruang hampa. Carilah fluksi magnetik, , yang memotong permukaan -/4    /4, 0  z  1 m. Lihat Gambar!

Soal 2

Fluksi Magnetik yang melewati bidang permukaan silinder. Penyelesaian :

Kerapatan fluksi dalam medium ruang hampa adalah

T a

r H

B  ₀  3,00 cos _r

dan fluksi yang melewati permukaan dimaksud adalah

rd dza  Wb a r cos r r 4,24 00 , 3 1 0 4 4          

 

    

Soal 3

Carilah induktansi per satuan panjang dari konduktor silindris paralel yang diperlihatkan pada Gambar, di mana d = 25 kaki dan a = 0,803 inci!

d

l

Konduktor paralel dengan jari-jari a.

Penyelesaian :

Dengan menggunakan rumus-rumus pada





_

 

_

H m a d L / 37 , 2 803 , 0 2 12 25 cos 10 4 2 cos 1 7 1 0           

Rumus pendekatan memberikan hasil

m H a d L / 37 , 2 ln 0      

untuk d/a  10, rumus pendekatan dapat digunakan dengan kesalahan kurang dari 0,5%.

Soal 4

Asumsikan bahwa toroida dengan inti udara yang ditunjukkan pada Gambar memiliki 700 lilitan, jari-jari dalam 1 cm, jari-jari luar 2 cm dan tinggi a = 1,5 cm. Carilah L dengan menggunakan

(a) rumus untuk toroida dengan penampang melintang bujur sangkar; (b) rumus pendekatan untuk toroida biasa, yang mengasumsikan H yang seragam pada jari-jari rata-rata!

Toroida dengan penampang S Penyelesaian :

(a) Untuk penampang melintang bujur sangkar,





  



mH r r a N L ln 2 1,02 2 015 , 0 700 10 4 ln 2 2 7 1 2 2 0 _  _      

(b) Dengan menggunakan rumus pendekatan dari Gambar





  









mH r S N L 0,98 015 , 0 2 015 , 0 01 , 0 700 10 4 2 2 7 2 0 _  _      

dengan jari-jari r yang lebih besar dibandingkan dengan luas penampang, maka kedua rumus di atas akan menghasilkan hasil perhitungan yang lebih mirip (lebih mendekati sama).