FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
A. Fungsi dan Jenis-jenisnya 1. Pengertian Fungsi
Relasi dari A ke B disebut fungsi apabila setiap elemen himpunan A dipasangkan hanya satu kali pada
elemen himpunan B.
y= f(x) ; artinya y merupakan fungsi x
A = daerah asal (Domain) B = daerah jelajah (Kodomain)
B.Î A dipasangkan dengan tepat satu y ÎFungsi atau pemetaan adalah suatu relasidari himpunan A ke Himpunan B dalam hal ini setiap x
B.®Suatu fungsi biasanya dinyatakan dengan huruf kecil, seperti f, g dan h. Suatu fungsi f dari A ke B ditulis dengan f:A
Mis. A B Ket.
a. domainnya adalah {a, b, c, d } b. kodomainnya adalah { 1,2,3, 4} c. range adalah { 2, 3 }
2. Sifat-Sifat Fungsi a. Fungsi Surjektif
Suatu fungsi dengan daerah hasil sama dengan daerah kodomainnya disebut fungsi surjektif atau fungsi onto
B disebut funsi surjektif jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf¬¬¬ = B®Fungsi f:A
A B
b. Fungsi Injektif
Sebuah fungsi dengan setiap anggota domain yang berbeda mempunyai peta yang berbeda disebut fungsi injektif.(Fungsi satu-satu).
A B
c. Fungsi Bijektif
B denga A = {3, 4, 5} dan B = { a, b, c} dinyatakan dengan pasnagan berurutan f = {(3, a), (4, b), (5, c)}. Disebut fungsi sutrjektif karena range fungsi f sama dengna kodomain fungsi f atau Rf ¬¬ = B.®Misalkan fungsi f : A
A B
B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus fungsi surjektif dan injektif.®Fungsi f : A
B. Operasi Aljabar pada Fungsi
Misalkan ditentukan fungsi f(x) dan g(x) maka dapat dituliskan operasi aljabar untuk fungsi-fungsi tersebut sebagai berikut,
1. ¬(f + g) (x) = f(x) + g(x) 2. (f – g ) (x) = f(x) – g(x) 3. (f x g) (x) = f(x) x g(x) 4. (x) =
Contoh.
Diketahui f(x) = x¬¬¬2 + 3x – 1 dan (f + g)(x) = x2 + 5. tentukan g(x) Jawab.
(f+g)(x) = f(x) + g(x)
x2 + 5 = (x2 + 3x – 1 ) + g(x) g(x) = (x2 + 5) – (x2 + 3x – 1) g(x) = x2 + 5 – x2 – 3x + 1 g(x) = -3x + 6
C. Fungsi Komposisi
Jika fungsi f: A B dilanjutkan fungsi g: B → C maka dapat dinyatakan dengan (g o f) : A → C
Rumus :
(i) (fog)(x) = f(g(x)) (ii) (gof)(x) = g(f(x))
1. Pengertian Fungsi Komposisi
Misalkan fungsi f dirumuskan dengan f(x) = x+ 1 dan g dirumuskan dengan g(x) = x2. Dengan menggunakan rumus f(x) = x + 1, untuk
f(1) = 1 + 1®x = 1 f(2) = 2 + 1®x = 2 f(t) = t + 1®x = t
jika x diganti dengan g(x), diperoleh f(g(x)) = g(x) + 1
= x2 + 1
Fungsi h(x) yang diperoleh dengan cara di atas, dinamakan fungsi komposisi g dan f. fungsi ini ditulis dengan f o g, dibaca “ f bundaran g”.
Dengan cara yang serupa, diperoleh g(f(x) = g( x + 1 )2
= (x + 1)2
Fungsi g(f(x)) selanjutnya ditulis sebagai (g o f)(x)
C dengan g(b) = c. komposisi fungsi f dan g, ditulis g o f (dibaca : g bundara f ) adalah suatu fungsi yang ditentukan dengan aturan® B, dengan f(a) = b dan fungsi g : B ®Misalkan fungsi f : A
(g o f)(a) = g(f(a))
Pengerjaannya dilakukan pada fungsi f terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan fungsi g. hal ini dapat dituliskan (g o f)(a) = g(f(a)).
Contoh :
Diketahui f(x) = 3x + 5 dan g(x) = 2x – 7. Tentukan a. (f o g )(3)
b. (g o f )(-2) Jawab :
1) Ada dua cara untuk menentukan nilai dari suatu fungsi komposisi. a. Cara pertama
Dengan menentukan fungsi komposisinya terlebih dahulu (f o g )(x) = f(g(x))
= f(2x – 7) = 3(2x – 7) + 5 = 6x – 21 + 5 = 6x – 16
Untuk memperoleh nilai (f o g )(3), subtitusikan nilai x = 3 ke (f o g )(x), yaitu (f o g )(3) = 6(3) – 16 = 2
Jadi (f o g )(3) = 2 b. Cara kedua
Kita ketahui bahwa (f o g )(3) = 2
Untuk itu, terlebih dahulu kita cari g(3), yaitu g(3) = 2(3) – 7 = -1 Jadi, (f o g )(3) =f(g(3))
= f(-1) = 3(-1) + 5 = 2
2) Ada dua cara juga untuk menentukan nilainya a) Cara pertama
(g o f)(x) = g9f(x)) = g(3x + 5) = 2(3x + 5) – 7 = 6x + 10 – 7 = 6x + 3
Dengan demikian, (g o f)(-2) = 6(-2) + 3= -9 b) Cara kedua
(g o f)(x) = g9f(-2)) = g(3(-2) + 5) = g(-1)
= 2(-1) – 7 = - 9
Jadi, (g o f)(-2) = - 9
2. Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
a. Komposisi fungsi tidak bersifat komutatif, yaitu (f o g )(x) ≠ (g o f )(x)
Bukti :
f(x) = 5x – 4 g(x) = 2x + 8 h(x) = x2
Komposisi fungsi f o g dan g o f dapat ditentukan di bawah ini . a) (f o g )(x) = f(g(x))
= f(2x + 8) = 5(2x + 8) – 4 = 10x + 36
b) (g o f )(x) = g(f(x)) = g(5x – 4)
= 2(5x – 4) + 8 = 10x – 8 + 8 =10x
Sehingga terbukti (f o g )(x) ≠ (g o f )(x) b. Komposisi fungsi bersifat asosiatif, yaitu. ((g o h ) o f)(x) = (g o (h o f))(x)
Bukti : f(x) = 2x + 1 g(x) = x2 – 6x + 7 h(x) = x - 2
Komposisi fungsi ((g o h ) o f)(x) dan (g o (h o f))(x) dapat ditentukan di bawah ini . a) ((g o h ) o f)(x) = (( g (x – 2) o f)
= (((x-2)2 – 6(x-2) + 7) o f) = ((x2-4x+4-6x+12+7) o f) = (x2-10x+23) o f)
= (f(x))2-10 f(x)+23
= (2x+1)2 – 10(2x+1) + 23 = 4x2+4x+1-20x-10+23 = 4x2-16x+14
b) ((g o (h o f))(x) = (g o (h o f)(x) = (g o (h(2x+1))
= (g o ((2x+1)-2) = (g o (2x-1))
= (2x-1)2-6(2x-1)+7 = 4x2 -4x+1-12x+6+7 = 4x2-16x+14
Jadi ((g o h ) o f)(x) = (g o (h o f))(x)
c. Terdapat fungsi identitas I(x) = x sehingga (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x) Bukti :
Misalkan f(x) = x2 -3x +2 dan I(x) = x a) (f o I)(x) = f(I(x))
= f(x) = x2 -3x +2 b) (I o f)(x) = I(f(x) = I(x2 -3x +2) = x2 -3x +2 Soal :
R. jika g(x) = x2 – 9 dan (g o f))(x)= 4x2 + 12x. tentukan f(x).® R dan g : R ®1) Diketahui fungsi f: R
Jawab :
Diketahui (g o f)(x)= 4x2 + 12x (f(x))2 – 9 = 4x2 + 12x
Jadi f(x) = 2x + 3
R. jika g(x) = x + 2 dan (f o gf))(x)= 5x + 7, tentukan f(x).® R dan g : R ®2) Diketahui fungsi f: R
Jawab:
(f o gf))(x)= 5x + 7 f(g(x)) = 5x + 7 f(x + 2) = 5x + 7
Ada dua cara untuk menyelesaikan persamaan di atas a) Cara satu :
f(x + 2) = 5x + 7
Pada ruas kanan harus terbentuk factor (x + 2) sehingga f(x + 2) = 5x + 7
= 5(x + 2) – 10 + 7 = 5(x + 2) – 3
Karena f(x + 2) = 5(x +2) – 3 maka f(x) = 5x – 3. Jadi, f(x) 5x – 3
b) Cara dua :
Perhatikan f(x +2) = 5x + 7.
Dari persamaan ini, variable ruas kanan adalah (x + 2), sedangkan variable ruas kanan adalah x. dengan demikian, (x + 2) bersesuaian dengan x.
x + 2 = x x = x – 2
Jadi, (x + 2) di ruas kiri diubah menjadi x, sedangkan variable x di ruas kanan diubah menjadi x – 2. dengan demikian diperoleh :
f(x) = 5(x – 2) + 7 = 5x – 10 + 7 = 5x – 3
Jadi, f(x) = 5x – 3.
D. Fungsi Invers ( Notasinya f -1 ) f
A B f f -1
f -1(y) = x f(x) = x
A yang dinyatakan dengan® B } maka invers dari fungsi f adalah f -1: B Î A, y Î B dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan f = { (x, y) | x ®Jika fungsi f : A
AÎ B, y Îf -1 = { (x, y) | x
A jika dan hanya jika f merupakan fungsi bijektif (korespondensi satu-satu).® B memiliki fungsi invers (balikan) f -1 : B ®suatu fungsi f: A
Contoh :
B dengan A = {1, 3, 5} dan B = {2, 6, 8} dan f dinyatakan dengan pasangan beruurtan R= {(1, 2 ), (3, 6), (5, 8)}. Tentukan invers fungsi f dan selidikilah apakah invers fungsi f
merupakan sebuah fungsi.®Diketahui fungsi invers f : A Jawab :
A, yaitu f -1 = { (2,1), (6, 3), (8, 5)}. Dan tampak bahwa f -1 merupakan sebuah relasi yang merupakan fungsi.®Invers fungsi f adalah f -1 : B
1. Menentukan Invers Suatu Fungsi Syaratnya fungsi tersebut bijektif Langkah-langkahnya :
a) mengubah bentuk y = f(x) menjadi bentuk x = f(x), karena x = f -1(y) maka kita akan memperoleh bentuk f -1 (y) = f(y)
b) setelah memperoleh bentuk f -1 (y) = f(y), ganti variable y dengan variable x sehingga akan memperoleh f -1 (x) yagn sudah dalam variable.
Contoh :
a) f(x) = 5x + 2 b) f(x) =
Jawab : a) y = f(x) y = 5x +2 5x = y – 2 x = f -1 =
Sehingga f -1 (x) = b) f(x) =
y = f(x) y =
xy + 3y = 3 – 4x 4x + xy = 3 – 3y (4 + y) x = 3 – 3y x =
f -1(y) = f -1(x) =
2. Hubungan Invers dengan Komposisi Fungsi
Untuk mengetahui hubungan invers dengan komposisi fungsi, kita perhatikan uraian berikut :
a. f(x) = x + 5
Dapat kita tentukan invers dari fungsi f, yaitu ; y = f(x)
y = x + 5 x = y – 5 f -1 (y) = y – 5 jadi, f -1 (x) = x – 5
1) (f o f -1 )(x) = f(f 1 (x)) = f(x-5) = (x-5) + 5 = x 2) (f -1 o f )(x) = f-1(f(x)) = f(x+5) = (x+5) – 5 = x Dengan demikian, diperoleh :
(f o f -1 )(x) = (f -1 o f )(x) =x b. f(x) = x2 + 6
y = f(x) y = x2 + 6 x2 = y – 6 ±x = ±f -1 =
6³ ; x ±f -1 (x) =
6³ , untuk x ± 6 maka f -1 (x) = ³Untuk domain f adalah x
Untuk domain f adalah x < 6. oleh karena itu ,³0 maka f -1 (x) = - , untuk x 1) (f o f -1 )(x) = f(f -1)(x)) = f( ) = ( )2 + 6 = (x – 6) + 6
2) (f -1 o f )(x) = f -1(f )(x)) = f -1(x2 +6) = ( ) = = x Dengan demikian diperoleh,
(f o f -1 )(x) = (f -1 o f )(x) = x
Dari uraianb di atas, dapat dilihat bahwa komposisi fungsi dengan inversnya akan menghasilkan fungsi identities sehingga secara umum dituliskan sebagai berikut : (f o f -1 )(x) = (f -1 o f )(x) = x = I(x)
3. Domain, Kodomain serta Grafik Fungsi dan Inversnya
Untuk menentukan domain, kodomain dan grafik fungsi inversnya, kita lihat contoh berikut. Diketahui fungsi f(x) = 2x + 6. tentukan
a. Carilah f -1
b. Tentukan domain dan kodomain fungsi f agar f(x) mempunyai fungsi invers Jawab.
misalkan y = f(x). dengan demikian, y = 2x +6
2x = y – 6 x = ½ y – 3
f -1 (y) = ½ y – 3, jadi f -1 (x) = ½ x – 3 y
R}. karena domain dari f -1 (x) merupakan kodomain fungsi f maka kodomain f agar mempunyai fungsi invers adalah himpunan bilangan real. Digambarkan dalam bidang Cartesius :Îb. Domain untuk f adalah semua himpunan bilangan real atau Df = {x | x y
6
f(x) = 2x + 6 y = x -3 0 6 x
-3 f -1(x) = ½ x – 3
E. Invers Fungsi Komposisi
Misalkan f dan g merupakan fungsi maka komposisi fungsi-fungsi itu adalah (f o g)(x) = f(g(x)) dan (g o f)(x) = g(f(x)).
Invers dari komposisi didefinisikan sebagai berikut.
Jika u dan v merupakan komposisi dari fungsi f dan g, yaitu u = f o g dan v = g o f, invers dari fungsi u dan v merupakan komposisi dari invers f dan g yang ditulis
u -1 = (f o g) -1 = g -1 o f -1 v -1 = (g o f) -1 = f -1 o g -1 Lihat diagram panah berikut, f o g
g f g -1 f -1 g -1 o f -1 f -1 o g -1
Dari diagram di atas tampak bahwa invers dari fungsi komposisi f o g, yaitu
(f o g) -1 diperoleh dengan memetakan c ke b oleh f -1 , kemudian dilanjutkan dengan memetakan b ke a oleh g -1 . dengan demikian, dapat dituliskan sebagai berikut. (f o g) -1 (x) = (g -1 o f -1)(x)
Dengan cara yang sama, dapat kita peroleh invers fungsi komposisi g o f, yaitu, (g o f) -1 (x) =( f -1 o g -1)(x)
Contoh :
Diberikan fungsi f dan g, yaitu f(x) = 5x +8 dan g(x) = x – 5. a. tentukan (f o g) -1(x)
b. tentukan (g o f) -1(x)
c. apakah (f o g) -1(0) = (g o f) -1(0) Jawab :
Ada dua cara untuk menentukan invers fungsi komposisi ini. a. Cara 1 :
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x – 5)
=5(x – 5) + 8 = 5x – 17
(f o g) -1(x) dapat ditentukan sebagai berikut. Misalkan (f o g)(x) = y
y = (f o g)(x) y = 5x – 17 x =
(f o g) -1(y) = (f o g) -1(x) =
Kita tentukan dulu f -1 (x) dan g -1 (x). Misalkan y = f(x)
y = f(x) y = 5x + 8 5x = y – 8 x = f -1 (y) = f -1 (x) =
misalkan y = g(x) y = g(x)
y = x – 5 x = y + 5 g -1 (y) = y + 5 g -1 (x) = x + 5
dengan demikian, kita dapat menentukan invers dari f o g sebagaiberikut. (f o g) -1(x) = (g -1 o f -1) (x)
= g -1 o( f -1(x)) = g -1 ( )
= + 5 =
Jadi, fungsi invers dari (f o g) -1(x) = b. Cara 1 :
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(5x + 8) – 5 = 5x + 3
(g o f) -1(x) dapat kita peroleh dengan memisalkan y = (g o f)(x) y = (g o f)(x)
y = 5x +3 x =
(g o f) -1(y) = (g o f) -1(x) =
jadi, fungsi invers dari (g o f)(x) adalah (g o f) -1(x) = Cara 2 :
Dari jawaban a, diperoleh f -1 (x) = dan g -1 (x) = x + 5. dengan demikian diperoleh : (g o f) -1 = (f -1 o g -1)(x)
= f -1( g -1 (x)) = f -1( x + 5) =
=
Jadi, fungsi invers dari (g o f)(x) adalah (g o f) -1 = c. Dari jawaban b, diperoleh
(g o f) -1(0) = =
(f o g) -1(0) = =
