LAPORANRBL FISIKAKOMPUTASI
Analisis Numerik Perilaku
Buckling
pada Kolom
Batang Akibat Kompresi Axial
Anggita Putri Sumarna, Ridho Muhammad Akbar, Qiva Chandra 10212006·10212067·10212065
Program Studi Fisika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung
2015
AbstrakPada tahun 1757, matematikawan asal Prancis, Leonhart Euler, menga-jukan suatu model yang menjelaskan respon suatu batang terhadap beban kom-presif axial. Batang yang diberikan beban secara axial disebut dengan kolom batang. Euler berhasil menemukan bahwa ada nilai beban maksimum yang mampu diterima oleh kolom sebelum akhirnya kolom mengalami buckling atau pem-bengkokan, disebut beban kritis. Pada karya ilmiah ini, nilai beban kritis akan dihitung secara numerik dengan metode penyelesaian persamaan diferensial it-erasi Euler dikombinasikan dengan shooting method yang telah dimodifikasi. Metode yang sama juga akan digunakan untuk menyelidiki efek penambahan fiber pada material komposit terhadap dya tahan material komposit terhadap buckling. Hasil perhitungan numerik menunjukkan tingkat ketelitian yang baik dengan nilai error hanya sebesar 0.109%dari hasil perhitungan analitik. Hasil pemodelan juga menunjukkan bahwa penambahan fiber Ni sebesar 20%ke dalam material alumunium mampu meningkatkan daya tahan Alumunium terhadap buckling sampai 57%.kata kunci:Bending, Elastisitas, Modulus Young
1 Pendahuluan
Pada tahun 1757, matematikawan asal Prancis, Leonhart Euler, mengajukan suatu model yang menjelaskan respon suatu batang terhadap beban kompresif axial. Batang yang diberikan beban secara axial disebut dengan kolom batang. Euler berhasil menemukan bahwa ada ni-lai beban maksimum yang mampu diterima oleh kolom sebelum akhirnya kolom mengalami buckling atau pembengkokan, disebut beban kritis. Pemberian beban di atas nilai beban maksimum ini akan mengakibatkan kegagalan pada kolom atau kolom rusak dan struktur yang disanggah oleh kolom akan mengalami keruntuhan.
Model yang diajukan oleh Euler ini dkemudian dikenal dengan namaEuler Buckling. Eu-ler Buckling sebenarnya tidak menjelaskan secara keseluruhan mengenai peristiwa pem-bengkokan kolom akibat beban kompresif axial. Namun model Euler ini berhasil memberikan gambaran yang sangat baik mengenai beban maksimum yang mampu ditahan oleh kolom sebelum akhirnya kolom mengalami kegagalan. Banyak model-model lain yang menjelaskan pembengkokan kolom dengan lebih baik dan tetap mendekati hasil perhitungan beban kritis Euler.
Dalam karya ilmiah ini, akan disajikan simulasi respon kolom terhadap beban kompresif axial. Dari simulasi ini, nilai beban kritis yang mampu ditahan oleh batang akan dapat dihi-tung seacara numerik yang kemudian akan diverifikasi dengan nilai perhidihi-tungan beban kritis persamaanEuler Buckling. Dalam simulasi ini, dapat dilakukan juga analisis terhadap sifat batang yang tidak homogen, melainkan batang yang merupakan material komposit. Dengan mensimulasikan prosesbucklingpada komposit, maka nilai modulus Young komposit dapat diestimasi.
2 Dasar Teori
Buckling - Dalam peristiwa buckling kolom akan terdeformasi sesuai dengan keadaan ujung-ujungnya seperti yang ditunjukkan oleh gambar 1. Pada karya ilmiah ini akan dit-injau kasus contoh (b) dimana kedua ujung kolom ditahan konstan namun bebas terdefor-masi. Keadaan (b) ini adalah keadaan yang paling umum dimana kasus-kasus yang lain dapat disederhanakan dengan modelpined-pined endini.
Tinjau diagram gaya seperti pada gambar 2. Batang mengalami kompresi 1D oleh gaya pada arah sumbu x sehingga mengalami buckling dengan simpangan sebesar ψ. Berdasarkan hukum Hook, hubungan antara tegangan (σ) dan regagangan (²) dinyatakan dengan per-samaan (1).
σxx=²xE (1)
²x= −ψ
ρ (2)
Gambar1:Beberapa kondisi ujungujung batang saat mengalami buckling. (a) Clamped -Free, (b) Pinned - Pinned, (c) Clamped - Pinned, dan (d) Clamped - Clamped
Gambar2:Diagram gaya dan deformasi pada batang yang mengalami buckling karena kom-presi axial persamaan; 1 ρ= dθ d s (3) d s= q d x2+dψ2 (4)
untuk sudut deformasi yang kecil berlaku;
tanθ=dψ
sehingga persamaan (3) dapat ditulis; 1 ρ= d2ψ d x2 d x d s (6)
dapat ditunjukkan bahwa untuk simpangan yang kecil dimanaψ<<xmakad xd s ≈1 dan per-samaan (1) kini dapat ditulis menjadi;
σxx= −Eψ d2ψ
d x2 (7)
Saat kolom terdefromasi atau terdefleksi, maka akan ada pergerseran titik berat dari posisi awalnya sehingga akan timbul momen gaya pada batang, atau lebih dikenal sebagaibending momentyang dinyatakan dengan persamaan
M=Fψ= Z Aσxxψ d A= −E Id 2ψ d x2 (8)
dari persamaan (8) ini persamaan untuk simpangan batang yang mengalamibucklingdapat kita tuliskan sebagai;
E Id
2ψ
d x2 +Fψ=0; (9)
persamaan (9) ini lah yang harus diselesaikan untuk memperoleh persamaan geometri kolom yang mengalamibuckling. Persamaan ini dapat diselesaikan secara analitik dan menghasilkan persamaan untuk beban kritis yang dapat ditahan oleh kolom sebagai;
Fc=π
2E I
L2 (10)
dimana apabila gayaF yang diberikan pada kolom kurang dariFc maka kolom tidak akan mengalamibuckling.
Komposit - Dalam desain material dikenal istilah material komposit, yaitu material yang dibuat dengan menggabungkan dua buah material lain dengan tujuan untuk memodifikasi sifat-sifat elastis material baik untuk menjadikannya semakin kuat. Pada proses pembuatan komposit, material dasar disebut dengan matriks, sedangkan material tambahan disebut dengan fiber. Pada persamaan (9) kita dapat lihat bahwa deformasi dari kolom bergantung pada modulus Young kolom. Dengan mensimulasikan peristiwabucklingini pada material komposit, kita juga dapat mensimulasikan berapa nilai modulus Young maeterial komposit yang terbentuk dari dua buah material berbeda.
Secara teoritik, tidak ada persamaan yang eksak mengenai nilai modulus Young material baru yang terbentuk. Pada pemodelan ini, nilai modulus Young yang terbentuk diasumsikan
sebagai gabungan antara modulus Young matriks dan modulus Young fiber dengan fraksinya masing-masing seperti ditunjukkan persamaan (11)
Eup per=f Ef+(1−f)Em (11) f =Vf i ber
Vt ot al (12)
3 Model dan Algoritma
Model - Untuk menyelesaikan kasusbuckling pada kolom ini, kita perlu menyelesaikan persamaan diferensial (9) dengan syarat batas;
x=0⇒ψ=0; (13)
x=L⇒ψ=0; (14)
yang jika kita kerjakan secara analitik, maka akan menghasilkan solusi;
ψ=Asin³πz L ´ (15) F=n 2π2E I L2 (16)
Kita dapat lihat bahwa solusi persamaan (15) memenuhi semua syarat batas pada persamaan (13) dan (14) dan kita mendapat informasi bahwa bentuk kolom yang terdeformasi adalah si-nusoidal setengah gelombang. Persamaan (15) juga memberikan syarat untuk nilaiFagar so-lusi persamaan (9) terpenuhi yang ternyata adalah nilai beban kritis seperti persamaan (10). Persamaan (15) dan (16) memberikan gambaran mengenai bentuk deformasi batang dan syarat agar terjadibuckling. Akan tetapi, kita tidak mendapat informasi mengenai amplitudo simpanganAyang secara logika seharusnya merupakan fungsi dari gayaFyang diberikan. Untuk mendapatkan informasi mengenai bagaimana bentuk kolom yang terdeformasi se-bagai fungsi dari gaya yang diberikan, maka kita perlu memodelkan kolom sedikit berbeda, yaitu dengan mengasumsikan bahwa ada ketidaksempurnaan pada kolom sebelum gayaF diaplikasikan pada kolom seperti ditunjukkan oleh gambar 4.
Dengan model ini, maka persamaan diferensial (9) berubah bentuknya menjadi; d2ψ
d x2 +
F
E I(ψ+ψ0)=0 (17) dan jika kita ambil deformasi awal sebagai bentuk sinusoidal maka persamaan diferensialnay dapat kita tulis menjadi;
d2ψ d x2 + F E I · ψ+A0sin µπx L ¶¸ =0 (18)
Gambar3:Model kolom yang tidak lurus melainkan sedikit bengkok dengan defleksi awal ditunjukkan oleh garis abu-abu sebesarψ0=A0sin(πx/L)
Persamaan (8) ini lah yang harus diselesaikan untuk dapat mengetahui bagaimana respon deformasi kolom sebagai fungsi dari gaya yang diberikan. Tentu saja dalam proses produksi material, material yang lurus lebih diinginkan dibandingkan material yang sudah bengkok. Mudah saja, untuk mengetahui bagaimana respon material yang lurus sempurna kita dapat mengambil nilai limit dariψ0menuju nol atau kita dapat mengambil;
ψ0= lim A0→0 A0sin ³πx L ´ (19)
Algoritma - Persamaan diferensial (18) dapat dikerjakan dengan menggunakan metode Euler dengan syarat batas seperti pada persamaan (13) dan (14). Akan tetapi, metode Euler membutuhkan syarat awal sementara persoalan ini adalah persoalan syarat batas (bound-ary value problem(BVP)). Untuk itu, kita perlu mengubah persoalan ini menjadi persoalan syarat awal (initial value problem(IVP)) yang dapat dilakukan dengan menggunakan metode sederhana,shooting method. Idenya adalah, kita menebak-nebak nilaiψ0(x=0) sedemikian sehingga semua-syarat batas terpenuhi. Nilaiψ0(0) kemudian dijadikan syarat awal untuk menghitung solusi persamaan diferensial dengan metode Euler.
Secara lebih jelas, metode penyelesaian persamaan diferensial ini digambarkan oleh diagram flowchartsebagai berikut;
Gambar4:Flowchart standar penyelesaian persamaan diferensial dengan metode Euler dan shooting method
Akan tetapi, menentukan nilaiψ(0) sampai ditemukan nilai yang tepat akan memakan waktu yang panjang dan ketelitian yang rendah. Oleh karena itu, metode ini dapat dikombinasikan dengan metode lain untuk mempercepat waktu penyelesaian persamaan diferensial. Dalam karya ilmiah ini, metode shooting method dikombinasikan dengan interpolasi untuk mempercepat proses penyelesaian dan meningkatkan ketelitian solusi persamaan diferen-sial. Algoritma yang telah termodifikasi dengan kombinasi proses interpolasi secara lebih jelas diperlihatkan pleh diagramflowchartpada gambar 6.
Gambar5:Flowchart penyelesaian persamaan diferensial dengan metode Euler dan shooting method yang telah termodifikasi
Secara matematis, misalkan vektorGberisin-buah elemengyang merepresentasikan tebakan nilaiψ0(0) dan vektorHberisin-buah elemenh yang merepresentasikanψ(L) hasil iterasi Euler untuk setiap nilaig. Kita dapat membuat persamaan interpolasi berderajat (n−1);
1 h11 h12 · · · hn−1 1 1 h21 h22 · · · hn−1 2 .. . ... ... . .. ... 1 h1n h2n · · · hn−n 1 a0 a1 .. . an−1 = g1 g2 .. . gn (20)
Selesaikan persamaan (20) kita akan mendapatkan persamaan polinomial untukg(h) seba-gai; g=a0+ n−1 X k=1 akhk (21)
karena kita menginginkan nilaip si0(0) sedemikian sehinggaψ(L)=0 maka kita cukup memilih nilaih=0 sehingga didapatg=a0=ψ0(0). Dari sini kita telah mengubah BVP menjadi IVP
yang dapat dengan mudah diselesaikan dengan metode iterasi Euler.
ψ(0)=0
ψ(L)=0 ⇒
ψ(0)=0
ψ0(0)=a
0 (22)
4 Hasil dan Pembahasan
Hasil Simulasi - Algoritma simulasi di atas diaplikasikan pada kolom yang terbuat dari materialcarbon nanotube yang memiliki modulus Young sebesar 940 GPa. Kolom memi-liki panjang 50cm dan diameter 1cm. Kolom diberi beban yang terus meningkat sampai titik batas ketahanan kolom terhadap kompresi tercapai, atau sampai terjadibucklingpada kolom. Hasilnya adalah kurva antara defleksi maksimum batang terhadap besar gaya yang diberikan seperti pada gambar 7.
Pada gambar 7 terlihat bahwa kurva selalu asimpotik pada beban sekitar 18kN berapapun nilai simpangan awalnya (A0). Pada nilai beban dibawah 18kN, deformasi maksimum kolom
kecil dibawah 10mm, dalam hal ini, kita dapat katakan bahwa kolom belum mengalami failure buckling. Pada beban mendekati nilai 18kN, nilai deformasi menaik secara drastis menuju tak hingga. Artinya, pada titik ini, kolom telah mengalamifailure buckling. Dapat di-tarik kesimulan bahwa titik inilah titik kritis beban kompresional yang mampu ditahan oleh kolom.
Pada gambar 7 pun terlihat bahwa semakin kecil nilai deformasi awal kolom, maka kurva yang dihasilkan semakin tegak. Artinya, apabila kolom yang diuji tegak sempurna, maka kolom tidak akan mengalamibucklingsebelum beban mencapai titik kritisnya. Lebih teliti lagi, nilai beban kritis dari simulasi ini dapat dihitung secara numerik dan menghasilkan nilai 18.23kN setara dengan beban seberat 1823 kg. Perhitungan nilai titik kritis ini dapat
Gambar6:Grafik defleksi maksimum kolom terhadap beban yang diberikan. Nilai defleksi maksimum meningkat secara drastis pada titik kritis ( 18.23kN)
Gambar7:Grafik hubungan linier antara defleksi maksimum dengan rasio antara defleksi maksimum dan tension. Gradien kurva adalah nilai beban kritis
dilakukan dengan memplot rasio nilai defleksi maksimum - tension dan nilai defleksi mak-simum seperti pada gambar 8. Gradien dari kurva adalah nilai titik kritis kolom. Nilai be-ban kritis yang dihitung secara analitik sesuai dengan persamaan (10) menghasilkan nilai 18.21kN atau setara dengan beban 1821 kg. Dengan kata lain, model ini berhasil menghitung titik kritis beban dengan error sebesar 0.109%.
Untuk kasus material komposit, pada karya ilmiah ini digunakan contoh komposit yang ter-bentuk dari Alumunium dan Nikel. Komposit ini sering digunakan dalam bahan baku
pem-buatan mesin-mesin karena kuat dan memiliki titik didih yang tinggi. Alumunium memiliki modulus Young sebesar 70Gpa sedangkan Nikel memiliki modulus Young sebesar 290GPa. Dalam pemodelan ini, akan dibandingkan material komposit Al-Ni dengan berbagai ukuran perbandingan komposisi Al dan Ni yaitu 80/20, 90/10, dan 95/5. Hasil dari simulasi kompresi ditunjukkan pada gambar 8.
Gambar8:Grafik simulasi kompresi untuk komposit Al+Ni dengan berbagai perbandingan komposisi
Pada gambar 8 terlihat hanya dengan menambahkan Nikel sebesar 5% saja sudah mampu meningkatkan beban kritis material sampai sekitar 100N atau setara dengan 10kg. Pada pe-nambahan nikel sebesar 20% beban kritisnya mampu ditingkatkan sampai 1900 N, bertam-bah 58% dari beban kritis Alumunium murni. Gambar 9 menunjukkan bentuk kolom yang mengalami buckling pada beban 130kg untuk alumunium murni, nikel murni, dan komposit Al+Ni.
Gambar9:Bentuk buckling alumunium murni (biru), nikel murni (merah) dan komposit (hitam) untuk komposisi Ni 5%(kiri), 10%(tengah), dan 20%(kanan) pada beban 130kg
5 Simpulan
Dari pemodelan di atas, ternyata metode neumerik dapat dilakukan untuk menyelesaikan kasusBuckling dengan baik. Metode iterasi Euler dapat dikombinasikan dengan metode shooting untuk mengubah persamaan diferensial dengan kasus syarat batas menjadi ka-sus syarat awal. Modifikasishooting methoddengan interpolasi berjalan dengan baik untuk menghitung solusi dari persamaan diferensial secara numerik. Hal ini ditunjukkan dengan perhitungan nilai beban kritis yang hanya memiliki kesalahan sebesar0.109% dari nilai yang dihitung secara analitik.
Pencampuran suatu material dengan material lain terbukti mampu meningkatkan kekuatan material dengan baik. Hal ini terlihat pada grafik gambar 8 dimana pemberian Nikel pada material Alumunium dengan fraksi 20% mampu meningkatkan kekuatan Alumunium sebe-sar 58%.
Akan tetapi, pemodelan material komposit pada makalah ini masih perlu diperbaiki karena modulus Young material komposit diasumsikan berbanding lurus secara linier dengan fraksi dari fiber yang ditambahkan. Padahal mungkin modulus Young material komposit juga dipen-garuhi oleh cara penyusunan fiber di dalam matriks atau faktor-faktor lain yang menye-babkan hubungan antara modulus Young dengan fraksi fiber tidak linier.
References
[1] http://www.continuummechanics.org/cm/columnbuckling.html (Diakses pada 27 April 2015)
[2] Paul A. Lagace. "The Column and Buckling". Department of Aeronautics and Astronau-tics, Massachusetts Institute of Technology.
[3] Adreas Landa. 2014. "The Buckling Resistance Structures Subjected to Impulsive Types of Actions". Norwegian University of Science and Technology.
[4] Safa Bozkurt Coŧkun dan Baki à ˝UztÃijrk. 2012. "Elastic Stability Analysis of Euler Columns Using Analytical Approximate Technique". Intech Publisher.
