Perbaikan Bagan Kendali
Pergerakan Data (Data Driven
)
3.1
Pendahuluan
Bagan kendali klasik untuk memonitoring rataan didasarkan pada asumsi kenor-malan. Ketika syarat kenormalan tidak dipenuhi, bagan kendali klasik ini tidak lagi valid untuk digunakan karena galat yang fatal mungkin akan sering muncul (Albers and Kallenberg, 2006). Nilai-nilai seperti false alarm rate (FAR) dan average run length (ARL) bisa jadi berbeda dengan nilai yang ditentukan. Untuk mengatasi permasalahan tersebut, Albers dan Kallenberg pada tahun 2006 memperkenalkan penggunaan perbaikan bagan kendali pergerakan data (data driven). Pada prinsip-nya, bagan kendali ini mengikuti bentuk umum batas kendali (persamaan (2.1.1)). Perbedaannya terletak pada taksiran nilai galat standarnya.
Dalam bagan kendali pergerakan data (data driven), proses seleksi bagan kendali yang akan digunakan diperoleh dari nilai standarisasi maksimum dan minimum dari data terurutnya. Nilai standarisasi inilah yang menjadi titik tolak untuk menentu-kan apakah data berdistribusi normal atau tidak. Jika dari aturan penyeleksian data tidak berdistribusi normal, maka harus diuji apakah data termasuk parametrik atau nonparametrik. Hal yang menarik jika data bukan normal dan parametrik, maka
otomatis prosedur ini memutuskan bahwa data nonparametrik.
Bagan kendali ini memperbaiki taksiran galat yang diakibatkan penaksiran pa-rameter yang terlibat atau untuk data nonparametrik, bagan kendali ini digunakan untuk menaksir kuantil dari distribusinya. Pada perbaikan bagan kendali pergerakan data (data driven) ini, penaksiran untuk kuantil ekstrim digantikan oleh penaksiran kuantil biasa, sehingga dapat digunakan untuk ukuran sampel yang tidak terlalu besar (Albers and Kallenberg, 2006).
Biasanya, parameter dari distribusi yang diajukan tidak diketahui. Oleh karena itu, observasi pada phase IX1, X2, ..., Xn digunakan untuk menaksir parameternya.
Harga yang harus dibayar untuk perluasan model parametrik adalah galat stokastik yang besar yang diakibatkan penaksiran dari dua parameter tambahan, satu untuk batas kendali atas dan satu untuk batas kendali bawah.
Bagan kendali satu arah yang mempunyai batas kendali atas denganFAR=p da-pat mudah diperoleh ketika fungsi distribusi kontinuF dari observasi yang terkendali diketahui. Untuk sederhananya, pilih UCL= ¯F−1(p), dimana ¯F(x) = 1−F(x) dan
karenanya ¯F−1(p) adalah kuantil ataspdariX yang mempunyai fungsi distribusiF.
Misalnya, ketikaX berdistribusi normal dengan rataanµdan variansiσ2 diketahui,
kita peroleh UCL=µ+upσ (lihat persamaan (2.1.1)) dengan up = ¯Φ−1(p) (setara L pada persamaan (2.1.1)) kuantil atas p dari distribusi normal standar. Biasanya dipilih up = 3 setara dengan F AR=p= 0.00135 dan ARL= 1p = 741.
Ketika parameter dari F (dalam bagan kendali normal atau parametrik) tidak diketahui, atauF sendiri (dalam bagan kendali nonparametrik) tidak diketahui, kita harus menaksir kuantil atas p dengan menggunakan observasi di phase I
X1, X2, ..., Xn, yang diasumsikan terkendali. Sebagai konsekuensinya, F AR dan ARL bukan lagi deterministik tetapi variabel acak karena mereka bergantung pada
X1, X2, ..., Xn. Gagasan dari kasus ini adalah stokastik F AR, tulis Pn harus men-dekati nilai p yang ditetapkan. Untuk mendapatkan bias yang kecil (E(Pn) ≈ p)
dibutuhkan sample berukuran besar untuk dilibatkan dalam penentuan batas ken-dali (wwwhome.cs.utwente.nl, [8]).
Ada dua aspek yang menjadi perhatian dalam menentukan bagan kendali stan-dar; penaksiran parameter dan asumsi kenormalan. Untuk memonitor rataan, dasar dari bagan kendali ¯X Shewhart menunjukkan sinyal di luar kendali segera setelah nilai observasi baru yang muncul melebihi batas kendali 3σ. Misal, asumsikan obser-vasi yang baru muncul ¯Xberdistribusi normal dengan rataanµdan simpangan baku
σ , batas kendali atas didefinisikan sebagaiUCL=µ+ 3σ dan batas kendali bawah didefinisikan sebagai LCL=µ−3σ. Sinyal di luar kendali terjadi ketikaX > UCL
dan X < LCL. Peluang false alarm rate (FAR) pyang bersesuaian, yaitu peluang munculnya sinyal di luar terkendali ketika observasi dalam keadaan masih terken-dali, setara dengan 0.0027 (lihat 2.2). Kondisi ini setara dengan munculnya satu sinyal di luar terkendali setiap 370 observasi pada saat proses masih terkendali.
3.2
Perbaikan bagan kendali pergerakan data
Ada tiga tujuan dari penggunaan perbaikan bagan kendali pergerakan data ini, yaitu bias EPn = p, peluang melebihi (exceedance) P(Pn > p(1 +ε)) ≤ α, dan
P r( 1 Pn >
1
p(1−ε)) ≤ α. Dalam tugas akhir ini hanya akan dibahas untuk kasus
bias EPn = p. Karena keterbatasan informasi pada Albers and Kallenberg (2006), maka uraian di bawah ini hanya akan membahas pemilihan batas kendali tanpa pembuktian.
A. Bagan kendali normal
Perbaikan bagan kendali pergerakan data untuk data normal ini dibuat sebagai koreksi terhadap bagan kendali normal klasik. sehingga dapat digunakan untuk jumlah sampel yang kecil. Misalkan observasi X1, X2, ..., Xn, Xn+1 variabel acak yang identik dan saling bebas berdistribusi N ∼ (µ, σ2) selama observasi berada
pada kondisi terkendali. Variabel acak X1, X2, ..., Xn adalah observasi pada phase I, yaitu kondisi observasi yang diasumsikan terkendali, yang mendasari penaksiran parameterµdanσ. SementaraXn+1 berada pada phase II, yaitu tahap monitoring.
Dalam kondisi di luar kendali, Xn+1 berdistribusi N ∼ (µ1, σ2), dengan µ1 > µ,
dalam kasus melebihi batas kendali atas, dan µ1 < µ, dalam kasus data melebihi
batas kendali bawah.
Diasumsikan proses berada pada kondisi terkendali. Jikaµdan σ diketahui dan
F AR = p, maka UCL = µ+upσ, dengan up adalah galat bakunya. Sedangkan
untuk kondisi µdan σ tidak diketahui,µ ditaksir oleh rataan sampel
¯ X = 1 n n X i−1 X2
dan σ ditaksir oleh simpangan baku sampelS =√S2 dimana,
S2 = 1 n−1 n X i−1 (Xi−X¯)2
Untuk membedakan dengan batas kendali pada bagan kendali klasik, batas ken-dali bawah dan atas untuk perbaikan bagan kenken-dali pergerakan data (data driven) berturut-turut dilambangkan dengan LLcN dan ULcN, dengan N menyatakan
nor-mal. Untuk kasus batas bawah, tanda (−) digunakan untuk LLNc dan tanda (+) digunakan untuk ULcN. Sinyal di luar kendali diberikan saat observasi Xn+1 fase II
berada di luar interval (LLNc ,ULNc ). Bagan kendali satu arah dapat dengan mu-dah ditentukan dengan mengganti p2 pada batas kendali dengan p, dan mengambil hubungan dari salah satu interval yang ada. Dengan menggunakan up
2{1 +
up/2+3
4n }
sebagai koreksi untuk L pada persamaan (2.1.1), batas kendali atas dan bawah didefinisikan oleh: Target LLcN,ULcN EPn=p X¯ ±up 2S{1 + up/2+3 4n }
B. Bagan kendali parametrik
Untuk memperluas suatu distribusi normal dalam suatu kelompok distribusi yang lebih besar dengan ekor yang lebih tebal atau lebih tipis dari distribusi nor-mal, dipertimbangkan aturan dasar dari kuantil normal standar sebagai kuantil
yang baru. Jika kenormalan tidak lagi dipenuhi, model yang lebih umum harus segera dipilih. Untuk ekor yang lebih berat dari distribusi normal, nilai galat standar up akan meningkat, tetapi jika ekor lebih tipis, kondisi sebaliknya akan
muncul (wwwhome.cs.utwente.nl, [8]). Telah disarankan untuk mengganti up
de-ngan c(γ)u1+γ
p (wwwhome.cs.utwente.nl, [8]), untuk 0< p < 12 denganγ > −1 dan c(γ) merupakan suatu konstanta normal (untuk membuat variansi sama dengan 1) yang didefinisikan oleh c(γ) = {E|up|2(1+γ)}−1/2. c(γ) dapat kita tuliskan sebagai
berikut : c(γ) = π1/42−(1+γ)/2Γ µ γ+3 2 ¶−1/2 (3.2.1) dengan Γ merupakan fungsi Gamma. Jika kita perhatikan untukγ = 0 akan menuju standar normal kuantil up. Penaksiran nilai Γ dilakukan dengan metode statistik
terurut. Misal X(1) ≤ . . . ≤ X(n) adalah statistik terurut dari X1, . . . , Xn.
Perhi-tungan untuk γ pada ekor atas dilambangkan dengan ˆγU, dapat dituliskan sebagai berikut : ˆ γU = 1.1218log µ X(ent(0.95n+1))−X¯ X(ent(0.75n+1))−X¯ ¶ −1 (3.2.2)
Untuk memperbaiki taksiran galat modelnya, digunakan kuantil sampel 95% dan 75% (wwwhome.cs.utwente.nl, [8]). Penggunaan kuantil sampel 95% dan 75% di-dasarkan pada pendekatan data normal, dimana kuantil 75% merupakan kuantil atas (q3) dan kuantil 95% setara dengan batas 2σ yang merupakan batas kendali peringatan (Montgomery, 2001, hal 165).
Perhatikan bahwa (X(ent(0.95n+1)) − X¯)/(X(ent(0.75n+1)) − X¯) − 1 menaksir
(c(γ)u1+γ0.05)/(c(γ)u0.251+γ) = (u0.05/u0.25)1+γ dan 1/log(u0.05/u0.25) = 1.1218 dengan
ent(x) adalah bilangan bulat darix. Dengan cara yang sama, taksiranγ pada ekor bawah, ˆγL, dapat ditulis:
ˆ γL= 1.1218log µ ¯ X−X(n−ent(0.95n)) ¯ X−X(n−ent(0.75n)) ¶ −1 (3.2.3)
Sebelum masuk pada pembahasan batas kendali, terlebih dahulu diperkenalkan be-berapa notasi yang dibutuhkan untuk bentuk koreksinya:
C2(γ) = uan uan 1+γ −2.43781+γ dengan an= 1− ent(0.95n+ 1) n+ 1 , bn = 1− ent(0.75n+ 1) n+ 1 C3(γ, up) =−76.37−120.12γ−81.93γ2+ 35.53up+ 53.71γup+ 37.18γ2up
Batas kendali dua sisi untuk bagan kendali parametrik dinotasikan oleh LLcp dan
c
ULp. Dengan menggunakan{c(ˆγ)u1+ˆp γ
2 −C1(ˆγ, up)C2(ˆγ) +
C3(ˆγ,up/2)
n } sebagai koreksi
untuk L pada persamaan (2.1.1), batas kendali atas dan bawah didefinisikan oleh:
Target LLcP,ULcP
EPn=p X¯ ±S{c(ˆγ)u1+ˆp γ
2 −C1(ˆγ, up)C2(ˆγ) +
C3(ˆγ,up/2)
n }
Untuk batas kendali atas ˆγ yang digunakan adalah ˆγU, dan untuk batas kendali bawah ˆγ yang digunakan adalah ˆγL
C. Bagan kendali minimum
Pada kasus nonparametrik, tidak ada solusi memuaskan yang dapat diperoleh kecuali ukuran sampel dari observasi sangat besar (wwwhome.cs.utwente.nl, [8]). Bagan kendali minimum ini merupakan perbaikan dari bagan kendali nonparametrik sehingga bagan kendali dapat digunakan untuk ukuran sampel biasa (Albers and Kallenberg, 2006). Berbeda dengan bagan kendali normal dan parametrik, bagan kendali ini tidak mengikuti bentuk umum batas kendali (persamaan (2.1.1)), tetapi menggunakan metode statistik terurut dimana kuantil yang digunakan bergantung pada ukuran sampel pada fase I (dimana observasinya diasumsikan terkendali) dan fase II (proses monitoringnya). Berikut beberapa notasi yang dipergunakan dalam membangun bagan kendali minimum:
r=ent(n{m(p/2)}1/m) k ditentukan oleh r−k−1 +m m 6m(p/2) n+m m < r−k+m m ,
λ = m(p/2)n+m m −r−k−1 +m m r−k+m m − r−k−1 +m m dengan 0 < λ <1 Target LLcM IN,ULcM IN EPPn n =p c LLM IN : (1−λ)X(r−k)+λX(r+1−k) c ULM IN : (1−λ)X(n+k+1−r)+λX(n+k−r)
3.3
Aturan penyeleksian
Ide dibalik aturan penyeleksian adalah bertahan selama mungkin di dalam bagan normal klasik. Penggunaan bagan kendali parametrik dilakukan jika ekor dari dis-tribusi sampel lebih tebal atau tipis dari pada disdis-tribusi normal, dan beralih ke bagan nonparametrik MIN saat perluasan kondisi ke kelompok parametrik diperki-rakan gagal juga. Dari data dapat diketahui bagan mana yang harus digunakan. Karena batas kendali ditentukan oleh perilaku pada ekor yang jauh (p kecil), uku-ran alami untuk menentukan bagan mana yang akan dipilih adalah standarisasi minimum pada observasi fase I (X(n) −X¯)/S untuk batas kendali atas dan
stan-darisasi minimum ( ¯X−X(1))/S untuk batas kendali bawah (Albers and Kallenberg,
2006).
Masalah selanjutnya adalah penentuan batas seleksi. Distribusi dengan ekor yang lebih tebal dari distribusi normal dapat menyebabkan masalah serius dengan perilaku observasi yang terkendali merujuk ke bagan kendali yang tidak valid. Dis-tribusi dengan ekor yang lebih tipis lazim digunakan pada kasus observasi yang terkendali dengan konsekuensi sinyal di luar kendali yang tidak terdeteksi. Hal ini dikarenakan galat pada observasi yang terkendali lebih serius dibandingkan pada observasi yang tidak terkendali. Selain itu, karena galat model positif yang sama besar dengan p atau lebih, dapat dengan mudah muncul, sebaliknya pada galat model negatif −p, kita ambil aturan penyeleksian yang tidak seimbang. Untuk
batas kendali atas akan dipilih bagan kendali normal ketika:
u(−0.7+0.5logn)/n ≤
X(n)−X¯
S ≤u5/(n√n) (3.3.1)
Untuk melihat apakah ini mengimplikasi, misalkanX1, . . . , Xnpeubah acak yang
sa-ling bebas dan identik dengan distribusi normal standar. Maka (Albers and Kallen-berg, 2006): P(Xn< u(−0.7+0.5logn)/n) = µ 1−−0.7 + 0.5log(n) n ¶n ≈exp(0.7−0.5logn) ≈ √2 n dan P(Xn> u5/(n√n)) = 1− µ 1− 5 n√n ¶n ≈1−exp µ −√5 n ¶ ≈ √5 n
karena itu, ketika standar minimun (X(n)−X¯)/S sangat besar, ini mengindikasikan
bahwa ekor mungkin lebih tebal dari pada distribusi normal dan kita beralih ke bagan parametrik atau nonparametrik. Demikian pula peralihan untuk nilai yang relatif kecil dari (X(n)−X¯)/S, mengindikasikan perilaku ekor yang lebih tipis.
Total dari perbaikan bagan kendali pergerakan data (data driven) dua sisi dibe-rikan oleh persamaan berikut. Misalkan
d1N =u(−0.7+0.5logn)/n, d2N =u5/(n√n) (3.3.2) d1P(ˆγ) = c(ˆγ)u1+ˆ(−0.2+0.5logn)/nγ , d2P(ˆγ) =c(ˆγ)u1+ˆ3/(nγ√n) (3.3.3)
Batas kendali bawah dan batas kendali atas ditunjukkan berturut-turut oleh LLCc
Untuk batas kendali atas diperoleh sebagai berikut:
