Pengendalian mutu kabur pada proporsi - USD Repository

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Maria Ika Dewi Natalia NIM: 033114004

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

2008

THESIS

Presented As Partial Fulfillment of The Requirenets To Obtain The Sarjana Sains Degree

In Mathematics

By:

Maria Ika Dewi Natalia Student Number: 033114004

STUDY PROGRAM OF MATHEMATICS SCIENCE DEPARTEMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA 2008

kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah

Yogyakarta, Oktober 2008

Penulis

Kegagalan biasanya merupakan langkah awal menuju sukses, tapi sukses itu sendiri sesungguhnya baru merupakan jalan tak berketentuan menuju puncak sukses. - Lambert Jeffries

“ Segala perkara dapat kutanggung didalam Dia

yang memberi kekuatan kepadaku. ”

Filipi 4 : 13

Skripsi ini kupersembahkan kepada: 

Bapak, ibu, dan adik‐adikku tersayang, 

untuk seluruh keluarga besarku, sahabat, teman, dosenku tercinta, 

dan almamaterku. 

memuat istilah yang bersifat kabur semantik. Pada skripsi ini akan dibahas grafik pengendali-p kabur. Untuk mencari batas pengendali kaburnya digunakan dua pendekatan, yaitu:

1. Dari himpunan data tegas yang diperoleh dalam suatu proses produksi, akan dicari batas pengendali kabur (yang berbentuk interval konfidensi kabur) dengan menggunakan konsep pendugaan kabur.

2. Dari himpunan data tegas yang diperoleh dalam suatu proses produksi, akan dicari batas pengendalinya dengan menggunakan konsep bilangan kabur segitiga untuk menghasilkan batas pengendali yang berupa interval konfidensi tegas.

                       

proccessed is a multinominal data which contains semantical fuzzy terms. This thesis will discuss the fuzzy-p chart. In order to determine the fuzzy control limit, there are two approaches:

1. From the crisp data set which is found from a production proccess, it will be determined the fuzzy control limit (in the form of fuzzy confidence interval) by using fuzzy probability concept.

2. From the crisp data set which is found from a production proccess, it will be determined the fuzzy control limit by using triangle fuzzy number concept to produce control limit in the form of crisp confidence interval.

                       

bimbingannya yang telah dikaruniakan-Nya sehingga penulis dapat menyelesai-kan skripsi ini. Penulis berharap agar skripsi ini dapat lebih memperluas dan menambah pengetahuan segenap pembaca.

Penulis menyadari bahwa dalam menyelesaikan skripsi ini banyak ditemukan hambatan dan kesulitan. Namun, berkat bimbingan, dukungan, dan doa yang luar biasa dari banyak pihak, akhirnya skripsi ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

1. Romo Ir. Greg. Heliarko S. J., S. S., B. S. T., M. Sc., M. A., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

2. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M. Sc., selaku dosen pembimbing skripsi yang telah meluangkan waktu, pikiran, dan tenaga untuk membimbing penulis dalam menyusun skripsi ini dengan sangat sabar serta memberikan dorongan semangat kepada penulis selama proses penyusunan skripsi ini. 3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S. Si, M. Si., selaku Kepala Program Studi

Matematika Fakultas Sains dan Teknologi USD Yogyakarta, yang telah banyak membantu penulis dalam banyak hal selama menempuh kuliah di USD Yogyakarta.

4. Ibu Enny Murwaningtyas, S. Si, M. Si., selaku dosen pembimbing akademik, yang telah memdampingi penulis selama menempuh kuliah di USD Yogyakarta.

5. Para dosen penguji skripsi, yaitu: Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M. Sc., Ibu Enny Murwaningtyas, S. Si, M. Si, dan Bapak St. Eko Hari Parmadi, S. Si, M. Sc., yang telah meluangkan waktunya pada hari Selasa, 23 September 2008 jam 09.00 WIB guna menguji penulis dalam ujian terakhirnya serta meluluskannya dengan nilai yang memuaskan.

6. Bapak dan Ibu dosen Matematika, Ilmu Komputer, dan Fisika, yang telah memberikan ilmu yang sangat berguna bagi penulis.

memberikan bantuan kepada penulis.

9. Perpustakaan USD Yogyakarta beserta seluruh staf, yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan selama menempuh kuliah kepada penulis.

10. Bapak Y. Suhendra dan Ibu Niken Purwaningsih selaku orangtua penulis serta adik-adikku, Hayuning Dwi Wulansari dan Diani Tri Ambarwati, yang selalu memberikan doa, semangat, dan dukungan dalam segala hal kepada penulis. Terima kasih untuk semuanya yang telah kalian berikan.

11. Keluarga besarku, yaitu: Mbah kung, mbah uti, bulek, om, dan sepupu-sepupuku (terutama Novita Astuti Ningrum dan Farah Fauziah). Terima kasih untuk semua doa, dukungan, dan bantuannya.

12. Teman-teman Matematika angkatan 2003, yaitu: Anin yang telah banyak membantuku dan menjadi teman curhatku selama ini, Mekar dan Eko selaku sama-sama anak bimbingan Pak Aris yang telah berjuang bersamaku selama proses penyusunan skripsi, Merry, Valent, Septi, Ridwan alias Jembat, Koko, dan Anggie. Terima kasih atas kekompakan dan perjuangan yang telah kita lalui selama menempuh kuliah di Matematika USD Yogyakarta. Makasih banget ya buat semuanya.

13. Terima kasih kepada Fausta Widi Agung Harimada, yang telah banyak memberikan bantuan, semangat, dukungan, dan … (pokoknya semuanya). Makasih banget ya. Semoga Mas Agung diberikan kemudahan dan kelan-caran dalam segala hal. God Bless U.

14. Buat Cicil Mat’ 04, makasih atas semangat dan bantuannya selama ini. Dan buat seluruh kakak dan adik angkatanku serta seluruh teman-teman Ikom dan Fisika, terima kasih atas semuanya. Terus semangat dan jangan me-nyerah. Sukses buat kita semua.

15. Seluruh keluarga Anindita Kusumatuti. Terima kasih atas bantuan dan semangat yang telah kalian berikan dalam segala hal.

17. Teman-teman maenku, yaitu: Afton, Nanang, Sinta, Mitri, Ali, dan Nunu. Walaupun karakter kita berbeda-beda tapi kita tetap bisa bersatu. Tetap kompak dan terima kasih untuk semuanya.

Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini masih terdapat beberapa kekurangan. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun akan dite-rima dengan segala keterbukaan hati. Akhirnya, penulis berharap semoga skripsi ini dapat berguna bagi semua pihak yang membutuhkan dan dapat menjadi bahan kajian selanjutnya.

Yogyakarta, Oktober 2008

Penulis

HALAMAN JUDUL ………. i

HALAMAN JUDUL (INGGRIS) ……….. ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ……… iii

HALAMAN PENGESAHAN ……… iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ……… v

HALAMAN PERSEMBAHAN ……… vi

ABSTRAK ……… vii

ABSTRACT ………. viii

HALAMAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ……… ix

KATA PENGANTAR ……….. x

DAFTAR ISI ………. xiii

DAFTAR TABEL ………. xvi

DAFTAR GAMBAR ……… xvii

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang ……… 1

B. Rumusan Masalah ………...… 3

C. Pembatasan Masalah ………..…. 3

D. Tujuan Penulisan ………..…... 3

E. Metode Penulisan ………...….. 4

F. Manfaat Penulisan ……… 4

A. Teori Himpunan Kabur ……… 6

1. Himpunan Kabur ……….………… 6

2. Fungsi Keanggotaan ……… 10

3. Operasi Baku pada Himpunan Kabur ……….. 14

4. Bilangan Kabur ……… 19

5. Relasi Kabur ………... 23

6. Komposisi Relasi Kabur ………....…... 25

B. Logika Kabur ………...….… 27

1. Dari Logika Dwinilai ke Logika Multinilai …….…… 27

2. Variabel Linguistik ……….…………. 29

3. Pengubah Linguistik ……… 31

4. Proposisi Kabur ………... 31

5. Penalaran Kabur atau Penalaran Hampiran …………. 36

C. Sistem Kendali Kabur ……… 43

D. Pendugaan Parameter ……….……… 47

1. Distribusi Binomial ………... 53

2. Distribusi Normal ……….. 57

3. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen/FPM ………. 58

4. Pendekatan Normal untuk Binomial ………. 67

5. Pertidaksamaan Cramer-Rao ………. 69

E. Pengendalian Mutu Statistik ……….. 85

1. Grafik Pengendali p ………...…………... 91

2. Contoh Kasus ……… 93

F. Statistika Multivariat ………. 98

1. Matriks Data Multivariat ………. 98

2. Vektor dan Matriks Random ………... 98

3. Vektor Rata-rata dan Matriks Kovariansi …………... 99

4. Distribusi Normal Multivariat ……….… 100

BAB III PENGENDALIAN MUTU KABUR A. Latas Belakang Pengendalian Mutu Kabur ……….. 105

B. Contoh Kasus ……… 106

C. Batas-batas Pengendali Kabur ……….. 120

1. Dari Data Tegas Dihasilkan Interval Konfidensi dalam Bentuk Kabur ……….….. 120

2. Dari Data Tegas Dihasilkan Interval Konfidensi dalam Bentuk Tegas ………..…. 141

BAB IV KESIMPULAN ………..…… 151

DAFTAR PUSTAKA ……… 153

Tabel 2.5.1 ……… ….. 94

Tabel 3.2.1 ………... 112

Tabel 3.2.2 ……… 114

Tabel 3.2.3 ……… 117

Tabel 3.3.1 ……… 124

Tabel 3.3.2 ……… 130

Tabel 3.3.3 ……… 134

Tabel 3.3.4 ……… 137

Tabel 3.3.5 ……… 138

Tabel 3.3.6 ……… 142

Tabel 3.3.7 ……… 148

Gambar 2.1.1. ……….. 11

Gambar 2.1.2. ………. 12

Gambar 2.1.3. ………. 13

Gambar 2.1.4. ………. 14

Gambar 2.1.5. ………. 15

Gambar 2.1.6. ………. 15

Gambar 2.1.7. ………. 16

Gambar 2.1.8. ………. 20

Gambar 2.1.9. ………. 21

Gambar 2.1.10. ……… 22

Gambar 2.1.11. ……… 23

Gambar 2.2.1. ………. 32

Gambar 2.2.2. ………. 39

Gambar 2.2.3. ………. 43

Gambar 2.4.1. ………. 58

Gambar 2.5.1. ………. 87

Gambar 2.5.2. ………. 96

Gambar 2.5.3. ………. 97

Gambar 3.2.1. ………. 108

Gambar 3.2.2. ………. 109

Gambar 3.2.6. ……….. 118

Gambar 3.3.1. ………. 126

Gambar 3.3.2. ………. 127

Gambar 3.3.3. ………. 128

Gambar 3.3.4. ………. 131

Gambar 3.3.5. ………. 132

Gambar 3.3.6. ………. 132

Gambar 3.3.7. ………. 135

Gambar 3.3.8. ………. 136

Gambar 3.3.9. ………. 136

Gambar 3.3.10. ……… 140

Gambar 3.3.11. ……… 140

Gambar 3.3.12. ……… 146

Gambar 3.3.13. ……… 147

Gambar 3.3.14. ……… 150

A. Latar Belakang Masalah

Berdasarkan konsep teori himpunan tegas, setiap obyek selalu dapat diten-tukan secara tegas apakah obyek tersebut merupakan anggota himpunan atau ti-dak. Dengan kata lain, untuk setiap himpunan terdapat batasan yang tegas antara obyek-obyek yang bukan anggota dari himpunan tersebut. Sebagai contoh, him-punan orang bertopi dan tidak. Dalam hal ini batasan antara orang yang memakai topi dan tidak sangatlah jelas. Tapi tidak demikian dengan himpunan mahasiswa pandai dan tidak pandai. Himpunan mahasiswa pandai merupakan himpunan de-ngan obyek-obyek yang keanggotaannya tidak dapat dapat ditentukan secara tegas. Keanggotaan obyek-obyek tersebut bergantung pada penilaian seseorang. Misalnya, mahasiswa yang mempunyai IPK = 2.85, temannya yang mempunyai IPK lebih rendah dari dia akan mengatakan kalau dia merupakan mahasiswa pan-dai, tapi belum tentu bagi dosen yang menuntut mahasiswanya agar mempunyai IPK yang lebih tinggi dari itu. Jadi tidak jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana yang bukan anggota himpunan.

Untuk mengatasi adanya permasalahan itu, Lotfi A. Zadeh, seorang guru be-sar di Universitas California, Berkeley, Amerika serikat, memperkenalkan sebuah konsep baru, yang selanjutnya disebut himpunan kabur. Selanjutnya, berdasarkan konsep himpunan kabur itu, Zadeh juga mengembangkan konsep algoritma kabur, yang merupakan landasan dari logika kabur.

Dewasa ini perkembangan teori kabur di berbagai bidang sangat pesat, salah satunya di bidang pengendalian kualitas. Kualitas menjadi faktor dasar keputusan konsumen untuk memilih produk atau jasa yang akan dipakainya. Akibatnya, kualitas adalah faktor kunci yang membawa keberhasilan bisnis, pertumbuhan dan peningkatan posisi bersaing. Dalam banyak proses produksi, bagaimanapun ba-iknya dirancang atau hati-hatinya dipelihara, akan selalu ada sebanyak tertentu variabilitas/gangguan, seperti mesin yang dipasang tidak wajar, kesalahan operator, atau bahan baku yang cacat. Untuk menghasilkan produk yang bermutu, va-riabilitas ini harus disingkirkan dalam proses walaupun tidak dapat sepenuhnya. Grafik pengendali mutu adalah alat yang efektif mengetahui mutu dari suatu produk melalui variabilitasnya.

A. Perumusan Masalah

Permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut :

1. Apa pengertian dari pengendalian mutu kabur? 2. Bagaimana landasan teori pengendalian mutu kabur?

3. Bagaimana penerapan teori kabur dalam grafik pengendali p?

B. Pembatasan Masalah

Dalam skripsi ini, penulis membahas tentang pengendalian mutu kabur. Pe-nulisan skripsi ini dibatasi pada beberapa hal. Hal-hal yang tidak dibahas adalah sebagai berikut:

1. Pembahasan masalah dalam skripsi ini hanya menggunakan teori-teori mengenai himpunan dan logika kabur serta beberapa konsep statistika yang terkait langsung.

2. Teorema Ketunggalan tidak dibuktikan karena di luar jangkauan skripsi ini. Namun Teorema Ketunggalan langsung diaplikasikan untuk membuktikan beberapa teorema.

3. Pembahasan pengendalian mutu kabur dalam skripsi ini hanya me-ngenai grafik pengendali p-kabur.

C. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan skripsi ini adalah :

2. Memahami landasan teori pengendalian mutu kabur.

3. Memahami penerapan teori kabur dalam grafik pengendali p.

D. Metode Penulisan

Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku, jurnal-jurnal, dan makalah-makalah yang telah dipu-blikasikan, sehingga tidak ditemukan hal yang baru.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini adalah dapat menyelesaikan persoalan mengenai proses pengendalian mutu jika data yang akan diproses merupakan kasus multinomial, di mana data tersebut memuat istilah yang bersifat kabur semantik.

F. Sistematika Penulisan BAB I : PENDAHULUAN

BAB II : TEORI HIMPUNAN DAN LOGIKA KABUR DAN BEBERAPA KONSEP STATISTIKA

Bab ini berisi beberapa teori yang melandasi pembahasan bab se-lanjutnya, yaitu teori himpunan kabur, logika kabur, sistem kendali kabur, pendugaan parameter, pengendalian mutu statistik, dan sta-tistika multivariat.

BAB III: PENGENDALIAN MUTU KABUR

Bab ini membahas tentang latar belakang pengendalian mutu kabur, contoh kasus, dan batas-batas pengendali kabur.

BAB IV : PENUTUP

Pada Bab II ini akan ditulis teori-teori yang mendasari pembahasan tentang pengendalian mutu kabur. Pembahasan menyangkut teori himpunan dan logika kabur yang relevan dan beberapa konsep statistika yang terkait langsung.

A. Teori Himpunan Kabur 1. Himpunan Kabur

Definisi 2.1.1 Kekaburan Semantik:

Suatu kata/istilah dikatakan kabur secara semantik apabila kata/istilah terse-but tidak dapat didefinisikan secara tegas, dalam arti tidak dapat ditentukan secara tegas (benar atau salah) apakah suatu obyek tertentu memiliki ciri/sifat yang di-ungkapkan oleh kata/istilah itu atau tidak.

Untuk mengatasi permasalahan himpunan dengan batas yang tidak tegas itu, Zadeh, seorang guru besar University of California, Berkeley, Amerika Serikat mengaitkan himpunan semacam itu dengan suatu fungsi yang menyatakan derajat kesesuaian unsur-unsur dalam semestanya dengan konsep yang merupakan syarat keanggotaan himpunan tersebut. Fungsi itu disebut fungsi keanggotaan dan nilai fungsi itu disebut derajat keanggotaan suatu unsur dalam himpunan itu, yang se-lanjutnya disebut himpunan kabur.

Derajat keanggotaan dinyatakan dengan suatu bilangan real dalam selang

tertutup

[ ]

0,1. Dengan kata lain, fungsi keanggotaan dari suatu himpunan kabur A~ dalam semesta X adalah pemetaan μ_A~ dari X ke selang

[ ]

0,1, yaitu ~:X →

[ ]

0,1

A

μ .

Nilai fungsi

( )

x

A~

μ menyatakan derajat keanggotaan unsur x∈X dalam

him-punan kabur A~. Nilai fungsi sama dengan 1 menyatakan keanggotaan penuh, dan nilai fungsi sama dengan 0 menyatakan samasekali bukan anggota himpunan ka-bur tersebut. Maka himpunan tegas dapat dipandang sebagai kejadian khusus dari himpunan kabur, yaitu himpunan kabur yang fungsi keanggotaannya hanya ber-nilai 0 atau 1 saja.

Himpunan orang tinggi itu, misalnya, dapat dinyatakan dengan fungsi keanggotaan μ_tinggi. Misalnya seseorang yang tingginya 120 cm mempunyai

dera-jat keanggotaan 0.16, yaitu μ_tinggi

( )

120 =0.16, dan seseorang yang tingginya 150

cm mempunyai derajat keanggotaan 0.55, yaitu μ_tinggi

( )

150 =0.55, dalam

him-punan kabur “tinggi” tersebut.

Definisi 2.1.2 Himpunan Kabur:

Secara matematis suatu himpunan kabur A~ dalam semesta wacana X dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut

( )

(

)

{

x x x X

}

A

A ∈

= , |

~

~

μ

di mana μ_A~ adalah fungsi keanggotaan dari himpunan kabur A~, yang merupakan

Jika semesta X adalah himpunan yang kontinu, maka himpunan kabur A~ dinyatakan dengan

( )

∫

∈

=

X x

A x x

A~ μ~ /

di mana lambang ∫ melambangkan keseluruhan unsur-unsur x∈X bersama

de-ngan derajat keanggotaannya dalam himpunan kabur A~.

Jika semesta X adalah himpunan yang diskret, maka himpunan kabur A~ dinyatakan dengan

( )

∑

∈

=

X x A

x x A~ μ~ /

di mana lambang ∑ melambangkan keseluruhan unsur-unsur x∈X bersama

dengan derajat keanggotaannya dalam himpunan kabur A~.

Contoh 2.1.3:

Dalam semesta himpunan semua bilangan real R, misalkan A~ adalah

him-punan “bilangan real yang dekat dengan nol”, maka himhim-punan A~ tersebut dapat dinyatakan sebagai

∫

∈ −

=

X x

x

x e

A~ 2 / .

Contoh 2.1.4:

( )

/ 0.1/ 4 0.3/ 3 0.5/ 2 0.7/ 1 1/0 0.7/1 ~

~ = − + − + − + − + +

=

∑

∈X x

A x x

A μ

4 / 1 . 0 3 / 3 . 0 2 / 5 .

0 + +

+ .

Bilangan 5 dan -5 mempunyai derajat keanggotaan 0, yang biasanya tidak ditulis dalam penyajian himpunan kabur diskret seperti di atas.

Definisi 2.1.3 Tinggi Himpunan Kabur:

Tinggi dari suatu himpunan kabur A~, yang dilambangkan dengan

Tinggi(A~), didefinisikan sebagai

Tinggi(A~) =

{

( )

x

}

A X x

~

sup μ

∈ .

Contoh 2.1.5:

Untuk himpunan kabur A~ dalam contoh 2.1.4, Tinggi

( )

A~ =1.

Definisi 2.1.4 Himpunan Kabur Normal dan Himpunan Kabur Subnormal: Himpunan Kabur A~ dikatakan normal jika tingginya sama dengan 1 atau

Tinggi(A~) = 1. Sedangkan himpunan kabur yang tingginya kurang dari 1 disebut himpunan kabur subnormal.

Definisi 2.1.5 Pendukung:

Pendukung dari suatu himpunan kabur A~, yang dilambangkan dengan

( )

A~ =

{

x∈X | ~

( )

x >0

}

Pend

A

μ .

Contoh 2.1.5:

Untuk himpunan kabur A~ dalam contoh 2.1.4,

( )

A~ =

{

−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4

}

Pend .

2. Fungsi Keanggotaan

Himpunan kabur dapat dinyatakan dengan fungsi keanggotaan. Ada 2 cara untuk menyatakannya, yaitu:

a. Untuk semesta diskret

Untuk semesta diskret digunakan cara daftar, yaitu daftar anggota-anggota semesta bersama dengan derajat keanggota-anggotaannya. Contohnya, dalam semesta X = {Adi, Dodo, Mini, Mumu, Lala} yang terdiri dari orang-orang berturut-turut dengan umur 50, 25, 35, 15, dan 20. Himpunan kabur

A~ = “himpunan umur” dapat dinyatakan dengan cara daftar sebagai berikut: A~=0.5/Adi+0.25/Dodo+0.35/Mini+0.15/Mumu+0.2/Lala. b. Untuk semesta kontinu

Untuk semesta kontinu digunakan cara analitik untuk mempresentasi-kan fungsi keanggotaan himpunan kabur yang bersangkutan dalam bentuk formula matematis yang dapat disajikan dalam bentuk grafik. Misalnya A~

∫

∈ −

=

X x

x

x e A~ 2 /

di mana ~

( )

x2

A x e

−

=

μ adalah fungsi keanggotaan A~ yang dapat digambarkan

dalam bentuk grafik sebagai berikut

Gambar 2.1.1. Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur “bilangan real yang dekat

dengan 0”

Bilangan 0 mempunyai derajat keanggotaan penuh sama dengan 1, yaitu ~

( )

0 =1

A

μ , sedangkan -1 dan 1 mempunyai derajat keanggotaan 0.37,

yaitu ~

( )

−1 = ~

( )

1 =0.37

A

A μ

μ .

Himpunan kabur A~ = “bilangan real yang dekat dengan 0” itu dapat pula dinyatakan dengan menggunakan fungsi keanggotaan sebagai berikut

( )

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

≤ ≤ −

≤ ≤ +

=

lainnya untuk

0

1 0

untuk 1

0 1

-untuk 1

~ x x

x x

x

A

μ

yang grafiknya sebagai berikut: 0 1

X

( )

x

A~

Gambar 2.1.2. Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur “bilangan real yang dekat

dengan 0”

Dengan fungsi keanggotaan ini, ~

( )

0 =1

A

μ , ~

(

−0.5

)

= ~

( )

1.5 =0.5

A

A μ

μ ,

( )

1 ~

( )

1 0

~ − = =

A

A μ

μ .

Kebanyakan himpunan kabur berada dalam semesta himpunan semua bila-ngan real R dengan fungsi keanggotaan yang dinyatakan dalam bentuk suatu for-mula matematis. Berikut beberapa fungsi keanggotaan himpunan kabur macam itu yang sering digunakan:

a. Fungsi Keanggotaan Segitiga Definisi 2.1.6:

Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan segi-tiga jika mempunyai segi-tiga buah parameter, yaitu a,b,c∈R dengan a<b<c, dan

dinyatakan dengan Segitiga

(

x;a,b,c

)

dengan aturan:

(

)

⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎪⎪ ⎪

⎨ ⎧

≤ ≤ −

−

≤ ≤ −

−

=

lainnya untuk

0

untuk untuk ,

,

; b x c

b c

x c

b x a a

b a x

c b a x Segitiga

-1 0 1 X

( )

x

A~

Fungsi keanggotaan tersebut juga dapat dinyatakan dengan formula sebagai berikut:

(

)

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − −

=max min , ,0

, , ; b c x c a b a x c b a x Segitiga

Gambar berikut memperlihatkan fungsi keanggotaan Segitiga

(

x;2,4,12

)

.

Gambar 2.1.3. Fungsi keanggotaan Segitiga

(

x;2,4,12

)

b. Fungsi Keanggotaan Trapesium Definisi 2.1.7:

Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan trapesium jika mempunyai empat buah parameter, yaitu a,b,c,d∈R dengan

d c b

a< < < , dan dinyatakan dengan Trapesium

(

x;a,b,c,d

)

dengan aturan:

(

)

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ − − ≤ ≤ ≤ ≤ − − = lainnya untuk 0 untuk untuk 1 untuk , , , ; d x c b c x c c x b b x a a b a x d c b a x Trapesium

( )

x

A~

μ 1

Fungsi keanggotaan tersebut juga dapat dinyatakan dengan formula sebagai berikut:

(

)

_⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

− − −

−

=max min ,1, ,0

, , , ;

c d

x d a b

a x d

c b a x Trapesium

Gambar berikut memperlihatkan fungsi keanggotaan Trapesium

(

x;2,4,7,13

)

.

Gambar 2.1.4. Fungsi keanggotaan Trapesium

(

x;2,4,7,13

)

3. Operasi Baku pada Himpunan Kabur

Seperti halnya pada himpunan tegas, dapat didefinisikan operasi baku pada himpunan kabur sebagai berikut:

a. Komplemen Definisi 2.1.8:

Komplemen dari suatu himpunan kabur A~ adalah himpunan kabur 'A~ de-ngan fungsi keanggotaan

( )

x

( )

x

A A~' 1 μ~

μ = − , untuk setiap x∈X. Gambar berikut

mengilustrasikannya 1

R

( )

x

A~

μ

Gambar 2.1.5. Komplemen dari suatu himpunan kabur

b. Gabungan Definisi 2.1.9:

Gabungan dua buah himpunan kabur A~ dan B~ adalah himpunan kabur

B

A~∪~ dengan fungsi keanggotaan

( )

x

{

( ) ( )

x x

}

B A B

A ~ ~ ~

~ max μ ,μ

μ _∪ = , untuk setiap

X

x∈ . Gambar berikut mengilustrasikannya

Gambar 2.1.6. Gabungan dua buah himpunan kabur

A~ A~’

A~ B~

c. Irisan Definisi 2.1.10:

Irisan dua buah himpunan kabur A~ dan B~ adalah himpunan kabur A~∩B~ dengan fungsi keanggotaan

( )

x

{

( ) ( )

x _B x

}

A B

A~ ~ min μ~ ,μ~

μ _∩ = , untuk setiap x∈X.

Gambar berikut mengilustrasikannya

Gambar 2.1.7. Irisan dua buah himpunan kabur

Contoh 2.1.8:

Misalkan dalam semesta X=

{

−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6

}

diketahui

him-punan-himpunan kabur A~=0.3/−3+0.5/−2+0.7/−1+1/0+0.7/1+0.5/2

3 / 3 . 0

+ dan B~=0.1/−1+0.3/0+0.8/1+1/2+0.7/3+0.4/4+0.2/5, maka

5 / 1 4 / 1 3 / 7 . 0 2 / 5 . 0 1 / 3 . 0 1 / 3 . 0 2 / 5 . 0 3 / 7 . 0 4 / 1 ' ~ _{= − + − + − + − + + + + +}

A +1/6

4 / 4 . 0 3 / 7 . 0 2 / 1 1 / 8 . 0 0 / 1 1 / 7 . 0 2 / 5 . 0 3 / 3 . 0 ~ ~ + + + + + − + − + − = ∪B

A +0.2/5

3 / 3 . 0 2 / 5 . 0 1 / 7 . 0 0 / 3 . 0 1 / 1 . 0 ~ ~_{∩ = − + + + +} B A .

A~ B~

Definisi 2.1.11 Potongan-α:

Potongan-α dari suatu himpunan kabur A~, yang dilambangkan dengan

α

A , adalah himpunan tegas yang memuat semua elemen dari semesta dengan

derajat keanggotaan dalam A~ yang lebih besar atau sama dengan α , yaitu

( )

{

μ α

}

α = x∈X x ≥

A | _A~ .

Definisi 2.1.12 Potongan-α kuat:

Potongan-α kuat dari himpunan kabur A~ adalah himpunan tegas

( )

{

μ α

}

α= x∈X x >

A

A

~ '

| .

Teorema 2.1.1 Dekomposisi:

Jika A_α adalah potongan-α dari himpunan kabur A~ dalam semesta X dan

α

A~ adalah himpunan kabur dalam X dengan fungsi keanggotaan _A

( )

x _Aα

( )

x

α αχ

μ~ =

di mana χ_Aα adalah fungsi karakteristik dari himpunan A_α, maka

[ ]

U

1 , 0

~

∈

=

α α

A

A .

Bukti:

Ambil sembarang x∈X dan misalkan

( )

x a

A~ =

μ . Untuk setiap α∈

[ ]

0,a ,

( )

x a

A =

~

μ ≥α, yang berarti x∈A_α, sehingga μ

( )

α

α x = A

~ . Sedangkan untuk setiap

(

a,1

]

∈

α ,

( )

x a

A~ =

μ <α, yang berarti x∉A_α, sehingga ~

( )

x =0

Aα

[ ]

( )

[ ]

( )

x

x _A A α α α μ μ α ~ 1 , 0 ~ sup 1 , 0 ∈ = ∈U = [ ]

( )

[ ]

( )

_⎭⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ x x A a A

a α α

μ μ α α ~ 1 , ~ , 0 sup , sup max = [ ]α α 0,a

sup

∈

= a

= μ_A~

( )

x

untuk setiap x∈X. Jadi

[ ]

U

1 , 0 ~ ~ ∈ = α α A A .

Teorema 2.1.2 (Konveks):

Sebuah himpunan kabur A~ di R adalah konveks jika dan hanya jika

(

)

(

1 2

)

[

~

( ) ( )

1 ~ 2

]

~ x 1 x min x , x

A A

A λ λ μ μ

μ + − ≥ (1)

untuk semua x₁,x₂∈ _R dan semua λ∈

[ ]

0,1 , di mana min menunjukkan operator minimum.

Bukti:

(i) Asumsikan A~ konveks dan misalkan ~

( )

x₁ ~

( )

x₂

A

A μ

μ

α= < . Maka

α

A x

x₁, ₂ ∈ dan λx₁+

(

1−λ

)

x₂∈A_α untuk setiap λ∈

[ ]

0,1 dengan konveksitas

A~. Akibatnya,

(

)

(

1 2

)

~

( )

1

[

~

( ) ( )

1 ~ 2

]

~ x 1 x x min x , x

A A

A

A λ λ α μ μ μ

(ii) Asumsikan A~ memenuhi (1). Akan dibuktikan ada α∈

(

0,1

]

sedemikian sehingga A_α konveks. Ada x₁,x₂∈A_α (yaitu, μ~

( )

x₁ ≥α

A ,

( )

α μ~ x₂ ≥

A ), dan untuk beberapa λ∈

[ ]

0,1 , dengan (1)

(

)

(

λ λ

)

[

μ

( ) ( )

μ

]

(

α α

)

α μ~ x₁+ 1− x₂ ≥min ~ x₁ , ~ x₂ ≥min , =

A A

A ;

yaitu, λx₁ +

(

1−λ

)

x₂∈A_α. Jadi, A_α konveks untuk α∈

[ ]

0,1 . Jadi, A~ konveks.

4. Bilangan Kabur

Konsep bilangan kabur muncul dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam aplikasi teori kabur dalam bentuk besaran yang dinyatakan dengan bilangan yang tidak tepat, misalnya “kurang lebih 10 orang”, “kira-kira 3 jam”, “sekitar 5 km”, dsb. Secara intuitif dapat diterima bahwa ungkapan “kurang lebih 10” dapat di-nyatakan dengan suatu himpunan kabur pada semesta R, di mana bilangan 10 mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 1, bilangan-bilangan di sekitar 10 mempunyai derajat keanggotaan kurang dari 1, dan semakin jauh bilangan itu dari 10 derajat keanggotaannya semakin mendekati 0.

Definisi 2.1.13 Bilangan Kabur:

Adalah himpunan kabur dalam semesta himpunan semua bilangan real yang memenuhi empat sifat berikut ini:

1. Normal

2. Mempunyai pendukung yang terbatas

4. Konveks

Contoh 2.1.9:

Bilangan kabur “kurang lebih enam”

( )

x

A~

μ

Gambar 2.1.8. Bilangan kabur “kurang lebih enam”

Macam Bilangan Kabur: a. Bilangan Kabur Segitiga Definisi 2.1.14:

Adalah bilangan kabur yang didefinisikan oleh tiga bilangan a<b<c, di mana alas segitiga adalah

[ ]

a,c dan puncaknya di x=b. Bilangan kabur segitiga ini ditulis sebagai

(

a b c

)

A= , , dengan fungsi keanggotaannya

1

( )

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎨ ⎧

> ≤ ≤ −

−

≤ ≤ −

−

<

=

3 3 2

2 3

3

2 1

1 2

1

1

~

, 0

, , , 0

a x

a x a a

a x a

a x a a

a a x

a x

x

A

μ

Jika disajikan dalam bentuk gambar sbb:

( )

x

A~

μ

Gambar 2.1.9. Bilangan kabur segitiga

b. Bilangan Kabur Trapesium Definisi 2.1.15:

Adalah bilangan kabur yang didefinisikan oleh empat bilangan d

c b

a< < < . Bilangan kabur trapesium ini ditulis sebagai

(

a b c d

)

A= , , , dengan fungsi keanggotaannya

1

( )

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ ≤ − ≤ ≤ ≤ ≤ − − < = 4 4 3 4 4 3 2 2 1 1 2 1 1 ~ , 0 , , 1 , , 0 a x a x a a x a a x a a x a a a a x a x x A μ

Jika disajikan dalam bentuk gambar sbb:

( )

x

A~

μ

Gambar 2.1.10. Bilangan kabur trapesium

c. Bilangan Kabur Bentuk Segitiga Definisi 2.1.16:

Adalah bilangan kabur yang didefinisikan oleh tiga bilangan a<b<c, di mana grafik pada

[ ]

a,b dan

[ ]

b,c bukan merupakan garis lurus. Untuk menjadi bilangan kabur bentuk segitiga, grafik harus kontinu dan memenuhi:

1) Monoton naik pada

[ ]

a,b dan

2) Monoton turun pada

[ ]

b,c .

1

Bilangan kabur bentuk segitiga ini dinotasikan sebagai

(

a b c

)

A≈ , , .

Alas dari bilangan kabur bentuk segitiga ini adalah

[ ]

a,c dan puncaknya di x=b.

Salah satu contoh bilangan kabur bentuk segitiga adalah P≈

(

1.2,2,2.4

)

, yang grafiknya ditunjukkan sebagai berikut:

Gambar 2.1.11. Bilangan kabur bentuk segitiga

5. Relasi Kabur Definisi 2.1.17:

Relasi kabur (biner) R~ antara elemen-elemen dalam himpunan X dengan elemen-elemen dalam himpunan Y didefinisikan sebagai himpunan bagian kabur dari darab Cartesius X×Y, yaitu himpunan kabur

( ) ( )( )

(

)

{

x y x y x y X Y

}

R

R ∈ ×

= , , , ,

~

~

μ .

Relasi kabur R~ juga disebut relasi kabur pada himpunan (semesta) X ×Y. Jika

Y

X = , maka R~ disebut relasi kabur pada himpunan X.

( )

x

P~

Karena relasi kabur itu pada dasarnya adalah himpunan kabur, maka o-perasi-operasi (komplemen, gabungan, irisan) dan konsep-konsep lainnya (pendu-kung, himpunan bagian, potongan-α ) pada himpunan kabur dapat diterapkan pada relasi kabur.

Bila himpunan X dan Y keduanya berhingga, misalnya X=

{

x₁,x₂,L,x_m

}

dan Y=

{

y₁,y₂,L,y_m

}

, maka relasi kabur R~ dalam himpunan Y dapat dinyatakan dalam bentuk suatu matriks berukuran m×n sebagai berikut

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

=

mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a

R

L M M M M

L L

2 1

2 22

21

1 12

11

~

di mana a_ij=μ_R~

(

x_i,y_j

)

untuk i=1,2,L,m dan j=1,2,L,n. Bila X = Y, maka relasi kabur R~ pada himpunan X itu dapat disajikan dengan suatu matriks bujur sangkar.

Definisi relasi kabur biner di atas dapat diperluas menjadi relasi kabur antara

elemen-elemen dalam n buah himpunan semesta. Relasi kabur R~ antara elemen-elemen dalam himpunan X1,X2,L,X_n adalah himpunan bagian kabur dari darab Cartesius X₁,X₂,L,X_n, yaitu himpunan kabur

(

) (

)

(

)

(

) (

)

{

x xn R x xn x xn X Xn

}

R~= ₁,L, ,μ~ ₁,L, ₁,L, ∈ ₁,L, .

Contoh 2.1.10:

Maka relasi R~ tersebut dapat disajikan sebagai R~=0.3/

( )

31,1 +0.1/

(

31,27

)

(

78,1

)

0.3/

(

78,27

)

0.9/

(

205,1

)

0.7/

(

205,27

)

0.4/

(

205,119

)

/ 5 .

0 + + + +

+ .

Jika disajikan dalam bentuk matriks bujur sangkar diperoleh

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 4 . 0 7 . 0 9 . 0 0 . 0 3 . 0 5 . 0 0 . 0 1 . 0 3 . 0 ~ R

dengan elemen baris ke-i kolom ke-j dalam matriks tersebut menyatakan derajat

keanggotaan

(

x_i,y_j

)

dalam relasi R~ itu, yaitu μ_R~

(

x_i,y_j

)

, di mana x_i∈X dan

Y y_i ∈ .

6. Komposisi Relasi Kabur Definisi 2.1.18:

Jika R~₁ adalah relasi kabur pada X×Y dan R~₂ adalah relasi kabur pada

Z

Y× , maka komposisi relasi kabur R~₁ dan R~₂, yang dinotasikan R~₁oR~₂, adalah relasi kabur pada X×Z dengan fungsi keanggotaan

( )

x z t

(

( )

x y

( )

y z

)

R R

Y y R

R1 2 , sup 1 , , 2 ,

~ ~ ~ ~ μ μ μ ∈ = o

di mana t adalah suatu norma-t.

Setiap norma-t menghasilkan komposisi tertentu. Misalnya, jika diambil o-perator “min” sebagai norma-t, maka diperoleh relasi komposit R~₁oR~₂ dengan fungsi keanggotaan

( )

x z

(

( )

x y

( )

y z

)

R R

Y y R

R1 2 , supmin 1 , , 2 ,

~ ~ ~ ~ μ μ μ ∈ = o .

Contoh 2.1.11:

Misalkan X dan Y didefinisikan seperti dalam contoh 2.1.10 dan

{

10,225,94

}

=

Z . Andaikan R~₁ adalah relasi R~ dalam contoh 2.1.10, maka

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 4 . 0 7 . 0 9 . 0 0 . 0 3 . 0 5 . 0 0 . 0 1 . 0 3 . 0 ~ 1 R

Misalkan R~₂ adalah relasi kabur “jauh lebih kecil” antara elemen-elemen dalam Y dengan elemen-elemen dalam Z yang disajikan dalam bentuk matriks se-bagai berikut ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 . 0 5 . 0 0 . 0 3 . 0 8 . 0 0 . 0 5 . 0 9 . 0 1 . 0 ~ 2 R

Jika dipakai komposisi sup-min, maka

(

31,10

)

supmin

(

(

31,

)

,

(

,10

)

)

2 1 2 1 ~ ~ ~

~ y y

R R

Y y R

R μ μ

μ ∈ = o

( )

( )

{

}

{

(

)

(

)

}

{

min 31,1, 1,10 ,min 31,27, 27,10 , max 2 1 2 1 ~ ~ ~ ~ R R R

R μ μ μ

μ

=

min

{

(

31,119

)

,

(

119,10

)

}}

2 1 ~ ~ R R μ μ

{

}

{

}

{

}

{

min 0.3,0.1,min 0.1,0.0,min 0.0,0.0

}

max

=

{

0.1,0.0,0.0

}

max

=

= 0.1.

Dengan memperhatikan komputasi tersebut di atas, relasi kabur komposit

2 1

~ ~

R

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 5 . 0 9 . 0 1 . 0 5 . 0 5 . 0 1 . 0 3 . 0 3 . 0 1 . 0 0 . 0 5 . 0 0 . 0 3 . 0 8 . 0 0 . 0 5 . 0 9 . 0 1 . 0 4 . 0 7 . 0 9 . 0 0 . 0 3 . 0 5 . 0 0 . 0 1 . 0 3 . 0 ~ ~ 2

1oR o

R

Perhatikan bahwa komputasi relasi R~₁oR~₂ dengan komposit sup-min terse-but dikerjakan seperti komputasi perkalian matriks, di mana operasi perkalian di-ganti operasi “min” dan operasi penjumlahan didi-ganti operasi “max”.

B. Logika Kabur

1. Dari Logika Dwinilai ke Logika Multinilai

Logika yang biasa dikenal adalah logika dwinilai, yaitu di mana setiap pro-porsi (pernyataan) mempunyai dua kemungkinan nilai, yaitu benar atau salah dan tidak kedua-duanya. Asumsi dasar dalam logika tradisional ini sejak zaman da-hulu telah dipermasalahkan. Misal, nilai kebenaran pernyataan yang menyangkut masa depan, contohnya, “Bulan depan hujan akan turun”. Pernyataan semacam itu tidak mempunyai nilai benar, tidak pula salah, karena peristiwa yang diungkapkan oleh pernyataan itu belum terjadi. Jadi nilai kebenaran pernyataan semacam itu tidak tertentu sampai apa yang diungkapnya terjadi atau tidak terjadi.

ber-laku dalam logika Lukasiewicz itu. Misalnya kaidah kontradiksi

(

p∧¬p

)

dan

kaidah ketiadaan jalan tengah

(

p∨¬p

)

tidak berlaku dalam sistem logika trinilai. Perampatan logika trinilai menghasilkan logika n-nilai. Nilai kebenaran dalam logika ini dinyatakan dengan suatu bilangan rasional dalam selang

[ ]

0,1 yang diperoleh dengan membagi sama besar selang tersebut menjadi n-1 bagian. Maka himpunan T_n dari nilai-nilai kebenaran dalam logika n-nilai adalah

him-punan n buah bilangan rasional sebagai berikut:

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨

⎧ ₌

− − − − −

− − =

= 1

1 1 , 1 2 , , 1 2 , 1 1 , 1 0 0

n n n n n

n n

T_n L .

Nilai kebenaran tersebut dapat juga dipandang sebagai derajat kebenaran suatu pernyataan. Dalam logika n-nilai, nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan majemuk dapat didefinisikan sebagai berikut:

( )

p τ

( )

p

τ ¬ =1−

(

p q

)

{

τ

( ) ( )

p τ q

}

τ ∧ =min ,

(

p q

)

{

τ

( ) ( )

p τ q

}

τ ∨ =max ,

(

p q

)

{

τ

( ) ( )

q τ p

}

τ ⇒ =min1,1+ −

(

p q

)

τ

( ) ( )

p τ q

τ ⇔ =1− −

di mana τ

( )

p adalah nilai kebenaran dari pernyataan p. Dengan definisi tersebut logika tradisional dwinilai merupakan kejadian khusus dari logika n-nilai, yaitu untuk n=2. Logika n-nilai ini biasanya dinyatakan dengan lambang L_n

(

n≥2

)

.

Logika L_n dapat digeneralisasikan lagi menjadi logika L_∞ yaitu logika

dalam selang

[ ]

0,1 . Nilai kebenaran pernyataan majemuk dalam logika ini dide-finisikan seperti di atas. Logika inilah yang menjadi dasar dari apa yang disebut logika kabur.

2. Variabel Linguistik

Suatu variabel adalah suatu lambang atau kata yang menunjukkan kepada sesuatu yang tidak tentu dalam semesta wacananya. Misalnya dalam kalimat: “Mahasiswa itu lulus dengan pujian”, kata ‘mahasiswa’ adalah suatu variabel karena menunjukkan kepada orang yang tidak tentu dalam semesta wacananya, yaitu himpunan manusia. Demikian pula dalam proposisi: “x habis dibagi 2”, lambang ‘x’ adalah suatu variabel dengan semesta wacana himpunan bilangan-bilangan. Suatu variabel dapat diganti oleh unsur-unsur dalam semesta wacananya, misalnya variabel ‘mahasiswa’ dapat diganti dengan ‘Anton’, dan variabel ‘x’ dapat diganti dengan bilangan 4. Kata ‘Anton’ dan lambang ‘4’ menunjuk pada unsur yang tertentu pada masing-masing semesta wacananya, dan disebut konstanta. Kalau semesta wacananya adalah himpunan bilangan-bilangan, maka variabelnya disebut variabel numeris, sedangkan kalau semesta wacananya adalah himpunan kata-kata atau istilah-istilah dari bahasa sehari-hari, seperti: tinggi, muda, dan cepat, maka variabelnya disebut variabel lingustik. Secara for-mal, variabel linguistik didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.2.1 Variabel Linguistik:

nya, T adalah himpunan nilai-nilai linguistik yang dapat menggantikan x, X adalah semesta wacana (numeris) dari nilai-nilai linguistik dalam T (jadi juga dari vari-abel x), G adalah himpunan aturan-aturan sintaksis yang mengatur pembentukan istilah-istilah anggota T, M adalah himpunan aturan-aturan semantik yang me-ngaitkan setiap istilah dalam T dengan suatu himpunan kabur dalam semesta X.

Contoh 2.2.1:

Bila variabel linguistiknya adalah “umur”, maka sebagai himpunan nilai-nilai linguistik dapat diambil himpunan istilah-istilah T = {muda, sangat muda, agak muda, tidak muda, tidak muda dan tidak tua, agak tua, tidak sangat tua, sa-ngat tua}, dengan semesta X = [0, 100], aturan sintaksis yang mengatur pemben-tukan istilah-istilah dalam T, dan aturan semantik yang mengaitkan setiap istilah dalam T dengan suatu himpunan kabur dalam semesta X.

Himpunan T dalam contoh di atas terdapat dua macam istilah, yaitu: 1. Istilah primer, misal: tua dan muda.

2. Istilah sekunder, yang dibentuk dari istilah primer dengan memakai aturan-aturan sintaksis dalam G, misal: tidak muda, tidak muda dan tua, tidak sa-ngat tua, sasa-ngat tua. Istilah-istilah sekunder itu dibentuk dengan memakai operator logika “tidak”, “atau”, “dan”, dan pengubah linguistik seperti ‘agak”, “sangat”.

“tidak A”, “A dan B”, “A atau B” dikaitkan berturut-turut dengan himpunan kabur '

~

A , A~∩B~, dan A~∪B~.

3. Pengubah Linguistik Definisi 2.2.2:

Adalah suatu kata yang dipergunakan untuk mengubah suatu kata/istilah menjadi kata/istilah yang baru dengan makna yang baru pula. Contohnya, kata ‘sangat’ dan ‘agak’.

4. Proposisi Kabur Definisi 2.2.3:

Adalah kalimat yang memuat predikat kabur, yaitu predikat yang direpresen-tasikan dengan suatu himpunan kabur.

Proposisi kabur yang mempunyai nilai kebenaran tertentu disebut per-nyataan kabur. Nilai kebenaran dari suatu perper-nyataan kabur disajikan dengan suatu bilangan real dalam selang

[ ]

0,1. Nilai kebenaran itu disebut juga derajat kebenaran dari pernyataan kabur itu. Bentuk umum dari suatu proposisi kabur adalah

x adalah A

di mana x adalah suatu variabel linguistik dan predikat A adalah suatu nilai

kabur A~, maka x₀ mempunyai derajat keanggotaan ~

( )

x₀

A

μ dalam himpunan

ka-bur A~. Derajat kebenaran dari pernyataan kabur

0

x adalah A

didefinisikan sama dengan derajat keanggotaan x₀ dalam himpunan kabur A~,

yaitu ~

( )

x₀

A

μ .

Contoh 2.2.2:

Dalam proposisi kabur: “Kecepatan mobil itu adalah sedang”

predikat ‘sedang’ dapat dikaitkan dengan himpunan kabur S~ dengan fungsi keanggotaan μ_S~ seperti dilukiskan dalam gambar berikut

Gambar 2.2.1. Fungsi keanggotaan himpunan kabur “sedang”

Derajat kebenaran dari pernyataan kabur

sama dengan derajat keanggotaan 55 (km/jam) dalam himpunan kabur ‘sedang’, yaitu ~

( )

55 =0.7

S

μ .

Seperti halnya dengan proposisi yang tegas, dapat juga dibentuk proposisi kabur majemuk dari proposisi-proposisi kabur tunggal, dengan menggunakan o-perator-operator logika. Berikut contoh proposisi kabur majemuk:

Orang itu kaya dan rumahnya besar

Udara dingin bila dan hanya bila suhunya rendah.

Berikut empat macam bentuk proposisi kabur yang sering digunakan: a. Negasi Kabur

Misalkan x adalah variabel linguistik dengan semesta numeris X, dan A

adalah suatu predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan kabur A~ dalam X, maka negasi kabur

x adalah tidak A

adalah proposisi kabur dengan predikat kabur “tidak A” yang dapat dikaitkan

de-ngan himpunan kabur komplemen kabur dari A~, yaitu 'A~ , dengan fungsi keang-gotaan

( )

x k

(

( )

x

)

A A~' μ~

μ =

di mana k adalah suatu komplemen kabur.

b. Konjungsi Kabur

x adalah A dan y adalah B

di mana A dikaitkan dengan himpunan kabur A~ dalam X, dan B dikaitkan dengan

himpunan kabur B~ dalam Y, dapat dipandang sebagai suatu relasi kabur ∧ dalam Y

X × dengan fungsi keanggotaan

( )

x y t

(

( ) ( )

x y

)

B A~ , ~

, μ μ

μ_∧ =

dengan t adalah suatu norma-t (irisan kabur).

c. Disjungsi Kabur

Jika x adalah variabel linguistik dengan semesta numeris X dan y adalah variabel linguistik dengan semesta numeris Y, maka konjungsi kabur

x adalah A atau y adalah B

di mana A dikaitkan dengan himpunan kabur A~ dalam X, dan B dikaitkan dengan

himpunan kabur B~ dalam Y, dapat dipandang sebagai suatu relasi kabur ∨ dalam Y

X × dengan fungsi keanggotaan

( )

x,y s

(

μ_A~

( ) ( )

x ,μ_B~ y

)

μ_∨ =

dengan s adalah suatu norma-s (gabungan kabur).

d. Implikasi Kabur

Bentuk umum suatu implikasi kabur adalah

Bila x adalah A, maka y adalah B

di mana A dan B adalah predikat-predikat kabur yang dikaitkan dengan

konjungsi dan disjungsi kabur, implikasi kabur juga dapat dipandang sebagai suatu relasi kabur dalam X×Y , yang akan dilambangkan dengan →.

Salah satu implikasi kabur yang paling sering digunakan dalam aplikasi sis-tem kabur adalah implikasi Mamdani. Implikasi ini didasarkan pada asumsi bahwa implikasi kabur pada dasarnya bersifat lokal, dalam arti bahwa implikasi

Jika x adalah A, maka y adalah B

hanya bicara mengenai keadaan di mana x adalah A dan y adalah B saja, dan tidak mengenai keadaan lainnya di luar itu. Berdasarkan asumsi tersebut, implikasi ka-bur dapat dipandang sebagai suatu konjungsi kaka-bur, sehingga diperoleh

( )

x,y t

(

μ_A~

( ) ( )

x,μ_B~ y

)

μ_→ =

yang disebut implikasi Mamdani. Bila sebagai norma-t diambil operasi baku “min”, maka diperoleh

( )

x y

(

_A

( ) ( )

x _B y

)

mm , min μ~ ,μ~

μ_→ = .

Implikasi kabur dapat diperluas menjadi implikasi dengan bentuk umum: Jika PK₁ , maka PK₂

di mana PK₁ dan PK₂ berturut-turut adalah proposisi kabur dalam semesta

n

X X

X₁× ₂×L× dan Y₁×Y₂×L×Y_n.

Contoh 2.2.3:

Misalkan diketahui semesta X=

{

1,2,3,4,5

}

dan Y=

{

50,60,70

}

, dan implikasi kabur

di mana predikat “banyak” dan “cepat” berturut-turut dikaitkan dengan himpunan

kabur 5A~=0.2/1+0.4/2++0.6/3+0.8/4+1/ dan B~=0.4/50+0.7/60+1/70. Maka jika digunakan implikasi Mamdani diperoleh

(

1,50

)

0.2/

(

1,60

)

0.2/

(

1,70

)

0.4/

(

2,50

)

0.4/

(

2,60

)

/ 2 .

0 + + + +

=

→_mm

+0.4/

(

2,70

)

+0.4/

(

3,50

)

+0.6/

(

3,60

)

+0.6/

(

3,70

)

+0.4/

(

4,50

)

+0.7/

(

4,60

)

+0.8/

(

4,70

)

+0.4/

(

5,50

)

+0.7/

(

5,60

)

+1/

(

5,70

)

.

5. Penalaran Kabur atau Penalaran Hampiran Definisi 2.2.4:

Adalah suatu cara penarikan kesimpulan berdasarkan seperangkat implikasi kabur dan suatu fakta yang diketahui (premis).

Penalaran (penarikan kesimpulan) dalam logika klasik didasarkan pada tau-tologi-tautologi, yaitu proposisi-proposisi yang selalu benar, tanpa tergantung pada nilai kebenaran proposisi-proposisi penyusunnya. Salah satu aturan pena-laran yang paling sering digunakan ialah modus ponens, yang didasarkan pada tautologi

(

)

(

p⇒q ∧ p

)

⇒q.

Bentuk umum penalaran modus ponens adalah sebagai berikut:

1. Bila x adalah A, maka y adalah B (Premis 1 / kaidah) 2. x adalah A (Premis 2 / fakta)

Contoh 2.2.4:

1. Bila seorang mahasiswa lulus dengan indeks prestasi lebih besar dari 3.5, maka ia dinyatakan lulus dengan pujian (peraturan akademik perguruan tinggi yang bersangkutan)

2. Linda lulus dengan indeks prestasi lebih besar dari 3.5 (fakta) 3. Jadi, Linda dinyatakan lulus dengan pujian (kesimpulan)

Aturan penalaran tegas ini dapat dirampatkan menjadi atuan kabur dengan premis dan kesimpulannya adalah proposisi-proposisi kabur.

Contoh 2.2.5:

Premis 1 : Bila suatu produk mempunyai kualitas yang bagus, maka kon-sumen banyak

Premis 2 : Suatu produk mempunyai kualitas yang agak bagus Kesimpulan : Konsumen agak banyak

Penalaran tersebut dapat dirumuskan secara umum dengan skema sebagai berikut: Premis 1 (Kaidah) : Bila x adalah A, maka y adalah B

Premis 2 (Fakta) : x adalah A’

Kesimpulan : y adalah B’

Perhatikan bahwa jika himpunan kabur A~ dipandang sebagai relasi dengan

satu argumen, maka komposisi relasi A~ di X dengan relasi R~ di X ×Y mengha-silkan relasi mejemuk A~oR~ di Y dengan fungsi keanggotaan

( )

y t

(

( ) ( )

x x y

)

R A X x R

A~ ~ sup μ~ ,μ~ ,

μ

∈

=

o

di mana t adalah suatu norma-t. Maka B~=A~oR~, yaitu himpunan kabur B~ itu ti-dak lain daripada relasi komposit A~oR~. Karenanya prosedur untuk memperoleh himpunan kabur B~ di Y dari relasi R~ di X×Y dan himpunan A~ di X dengan

( )

y t

(

( ) ( )

x x y

)

R A X x

B~ sup μ~ ,μ~ ,

μ

∈

=

disebut kaidah inferensi komposisional.

Dalam modus ponens rampat, kaidah tersebut diterapkan sebagai berikut: Premis 1 : Bila x adalah A, maka y adalah B

(yang merupakan relasi/implikasi kabur → di X×Y ) Premis 2 : x adalah A’

(yang dapat direpresentasikan dengan himpunan kabur 'A~ dalam X)

Kesimpulan : y adalah B’

diperoleh dengan menentukan himpunan kabur B~'=A~'o→ dalam Y dengan fungsi keanggotaan

( )

y t

(

( )

x

( )

x y

)

A X x

B~' sup ~ , → ,

∈

= μ μ

μ , di

mana t adalah suatu norma-t.

A~ ~A' ' ~ A

implikasi Mamdani →_mm, maka kesimpulan “y adalah B’” diperoleh dengan

me-nentukan himpunan kabur B~' dengan fungsi keanggotaan

( )

y

{

( )

x

(

( ) ( )

x _B y

)

}

A A

X x

B~' supmin μ~ ,min μ~' ,μ~

μ

∈

=

{

_A

( )

x _A

( ) ( )

x _B y

}

X x

~ ' ~

~ , ,

min

sup μ μ μ

∈

=

(

(

( )

( )

)

( )

)

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧ =

∈X A x A x B y

x

~ '

~

~ , ,

min sup

min μ μ μ

=min

{

w,μ_B~

( )

y

}

di mana w

{

( ) ( )

x x

}

(

A A

)

X x A A

X x

~ ' ~ sup ,

min

sup ~

'

~ = ∩

=

∈

∈ μ μ yang menyatakan derajat

kesera-sian antara predikat A’ dengan A. Jadi, untuk memperoleh himpunan kabur 'B~ tersebut, pertama harus ditentukan derajat keserasian w, yaitu supremum dari i-risan himpunan kabur A~' dan A~, dan kemudian B~' diperoleh sebagai irisan w

dengan himpunan kabur B~, seperti terlihat dalam gambar berikut

Gambar 2.2.2. Penarikan kesimpulan dalam modus ponens rampat

Modus ponens rampat dapat digeneralisasikan menjadi modus ponens ram-pat multikondisional, yang terdiri atas m buah premis kabur berupa kaidah, sebuah

' ~

premis kabur berupa fakta, dan sebuah kesimpulan. Skema umumnya adalah se-bagai berikut:

Premis 1 : Bila x₁ adalah A₁₁ dan ... dan x_n adalah A_1n, maka y adalah B₁

Premis 2 : Bila x1 adalah A21 dan ... dan xn adalah A2n, maka y adalah B2

M M

Premis m : Bila x₁ adalah A_m1 dan ... dan x_n adalah A_mn, maka y adalah B_m

Fakta : x₁ adalah A₁' dan ... dan x_n adalah A_n'

Kesimpulan : y adalah B’

di mana A_ij dan '

j

A adalah predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan kabur

ij

A~ dan A~'_j dalam semesta X_j, dan B_i adalah predikat kabur yang dikaitkan

de-ngan himpunan kabur B~_i dalam semesta Y

(

i=1,L,m;j=1,L,n

)

. Masing-masing

premis tersebut dapat dipandang sebagai suatu relasi kabur R~_i

(

i=1,L,m

)

dalam

Y X

X₁×L× _n× dan faktanya sebagai himpunan kabur ' ' 1

~ ~

' ~

n

A A

A = ×L× dalam

n

X

X₁×L× . Premis-premis R~_i tersebut biasanya diperlakukan secara disjungtif, sehingga semua premis itu dapat digabung menjadi satu premis R~, yaitu

U

m

i i

R R

1

~ ~

=

= . Maka kesimpulan “y adalah B’” dapat diperoleh dengan kaidah

( )

y _{A R}

( )

y

B~' μ~'o~

μ =

( )

{

A

(

x xn

) (

R x xn y

)

}

X

X x

x n n

, , , , , , min

sup ₁ ~ ₁

' ~ , , , , 1 1 L L L L μ μ ∈ =

(

)

_{{ }}

(

(

)

)

{

x x x x_n y

}

R m i n A X

xj j i

, , , max , , , min

sup ~ ₁

, , 1 1

'

~ L L

L μ

μ

∈ ∈

=

{ _m}

{

A

(

x xn

)

R

(

x xn y

)

}

i

X

xj j i

, , , , , , min max

sup ₁ ~ ₁

' ~ ,

,

1L μ L μ L

∈ ∈

=

{ }

{

A

(

x xn

)

R

(

x xn y

)

}

X x m i i j j , , , , , , min sup

max ₁ ~ ₁

' ~ ,

,

1L _∈ μ L μ L

∈

=

{ }

{ }

i m

i A R

~ ' ~ max , ,

1L o

∈

=

( )

( )

y

m i i R A U o 1 ~ ' ~ = =μ

untuk setiap y∈Y. Jadi o

U

U

(

o

)

U

m i i m i i m i

i A R B

R A B 1 ' 1 1 ~ ~ ' ~ ~ ' ~ ' ~ = = = = =

= , di mana B~_i'=A~'oR~_i.

Jika untuk implikasi kabur R~_i tersebut diambil implikasi Mamdani →_mm, se-hingga fungsi keanggotaannya adalah

(

x x y

)

{

(

x x

)

( )

y

}

i in

i

i n A A n B

R~ 1, , , min μ~₁ ~ 1, , ,μ~

μ L = _×L× L ,

maka fungsi keanggotaan 'B~ adalah

( )

y m

( )

y

i R A B U o 1 ~ ' ~ ' ~ = =μ μ

{ }

{

n

(

x x

)

(

i in

(

x x

)

i

( )

y

)

}

j j B n A A n A A X x m i ~ 1 ~ ~ 1 ~ ~ , ,

1 sup min , , ,min , , ,

max 1 ' ' 1 μ μ

μ _L L _L L

L _∈ × × × ×

∈

=

{ }

{

{ } j

( )

x { }

(

ij

( )

x i

( )

y

)

}

j j B j A n j j A n j X x m i ~ ~ , , 1 ~ , , 1 , ,

1 sup min min , min ,

max μ ' μ μ

L L

L _∈ ∈ ∈

∈ = { } { } { }

(

( ) ( )

( )

)

_⎭⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ∈ ∈ ∈

∈ j x ij x i y

j j B j A j A n j X x n j m i ~ ~ ~ , , 1 , , 1 , ,

1 min min sup min , ,

max μ ' μ μ

L L

{ _m}

{

wi Bi

( )

y

}

i

~ ,

,

1 min ,

max μ

L

∈

=

di mana

{ } ij n j i w w , , 1 min L ∈

= dan

{ }

(

( ) ( )

x x

)

i m

w _{j A j}

A n j X x ij _ij j j j , , 1 , , min

sup ~ ~

, ,

1L ' = L

=

∈

∈ μ μ .

Perhatikan bahwa

(

_{j ij}

)

X x

ij A A

w

j j

~ ~ sup ' ∩

=

∈ merupakan derajat keserasian antara

fakta A~_j yang diberikan dengan anteseden A~_ij dari premis kaidah R~_i, sedangkan

i

w yang merupakan minimum dari semua w_ij untuk j=1,L,nseringkali disebut daya sulut yang menyatakan sejauh mana anteseden dari kaidah R~_i dipenuhi oleh

fakta 'A~ yang diberikan dan menyulut konsekuen dari kaidah tersebut. Dengan demikian kesimpulan 'B~ ditentukan dengan empat langkah sebagai berikut:

Langkah 1 : Tentukan derajat keserasian w_ij, yaitu supremum dari A~_j' ∩A~_ij

untuk setiap i=1,L,m dan j=1,L,n.

Langkah 2 : Untuk setiap i, tentukan daya sulut w_i sebagai minimum dari

semua derajat keserasian w_ij ( j=1,L,n). Langkah 3 : Untuk setiap i, tentukan irisan w_i