Rumus Praktis Matematika SD 03 Perpangkatan atau Kuadrat

(1)

Rumus Matematika Praktis -18

A. PERPANGKATAN / KUADRAT

Perpangkatan atau kuadrat adalah perkalian berulang pada angka atau bilangan yang bersangkutan.

Perhatikan !

Tabel 1 12 = 1 x 1 = 1 22 = 2 x 2 = 4 32 = 3 x 3 = 9 42 = 4 x 4 = 16 52 = 5 x 5 = 25 62 = 6 x 6 = 36 72 = 7 x 7 = 49 82 = 8 x 8 = 64 92 = 9 x 9 = 81

Dari Tabel 1 di atas ada 2 bilangan bersifat istimewa yaitu :

a. Bilangan 1 ( dalam posisi sebagai satuan ) b. Bilangan 5 ( dalam posisi sebagai satuan )

(2)

A. MISTERI ANGKA 1

Tabel 2

12 = 1 x 1 = 1 112 = 11 x 11 = 121 212 = 21 x 21 = 441 312 = 31 x 31 = 961 412 = 11 x 11 = 1681 512 = 51 x 51 = 2601 612 = 61 x 61 = 3721

712 = 71 x 71 = 5041 812 = 81 x 81 = 6561 912 = 91 x 91 = 8281 Hasil pengamatan :

1._{Semua bilangan pada tabel di atas, apabila dikuadratkan hasil kuadratnya} pada bilangan satuan adalah 1.

2._{Angka 0 pada posisi puluhan lazimnya tidak ditulis, kecuali pada proses olah} data. Maksudnya begini, bilangan 1 pada tabel di atas sejatinya adalah 01. ( Paham ya maksudnya ? )

3._{Kakaknya bilangan 1 adalah bilangan 2. (betulkan...?)}

Kesimpulan dari hasil pengamatan dapat diciptakan rumus praktis sebagai berikut.

RUMUS PRAKTIS :

a. Hasil pengkuadratan bilangan yang satuannya 1, pasti hasil kuadratnya menghasilkan bilangan satuan 1, kemudian tulis pada posisi satuan b. Kalikan bilangan puluhan yang dikuadratkan dengan kakaknya bilangan

1 yaitu bilangan 2, hasilnya tulis pada posisi bilangan puluhan

c. Kuadratkan bilangan puluhan, hasilnya tulis pada posisi ratusan dan seterusnya.

(3)

Rumus Matematika Praktis -20 Perhatikan hasil pengkuadratannya :

Contoh soal 1 : 312 = 961

Bilangan 1 pada 961 adalah hasil kuadrat dari bilangan satuan pada 31 yang dikuadratkan

Bilangan 6 pada 961 adalah hasil kali bilangan puluhan (3) pada bilangan 31 yang dikuadratkan kemudian dikalikan dengan bilangan 2 ( kakaknya bilangan 1 )

Bilangan 9 pada 961 adalah hasil kuadrat dari bilangan puluhan (3) pada bilangan 31 yang dukuadratkan

Contoh soal 2 : 412 = 1681

Bilangan 8 pada 1681 adalah hasil kali bilangan puluhan (4) pada bilangan 41 yang dikuadratkan kemudian dikalikan dengan bilangan 2 ( kakaknya 1 )

Bilangan 16 pada 1681 adalah hasil kuadrat dari bilangan puluhan (4) pada bilangan 41 yang dikuadratkan.

Contoh soal 3 : 712 = 5041

Bilangan 4 pada 5041 adalah hasil kali bilangan puluhan (7) pada bilangan 71 yang dikuadratkan kemudian dikalikan dengan bilangan 2 ( kakaknya 1 ), ditulis 4, nyimpan puluhan \D«LQJDW

(4)

Rumus Matematika Praktis -21 Untuk lebih memahami cobalah Anda kerjakan latihan berikut :

1.₅₁2₌«««« 2.₆₁2₌«««« 3.₈₁2₌««««

4.₁₀₁2₌««««

5.₁₁₁2₌««««

6.₁₂₁2₌««««

7.₁₅₁2₌««««

8.₁₆₁2₌««««

9.₁₈₁2₌««««

10.₁₉₁2₌««««

B. MISTERI ANGKA 5

6HNDUDQJNLWDEDKDV0LVWHUL.HLVWLPHZDDQELODQJDQ6LDS\D«"2. 1._{Bilangan 5 dalam posisi sebagai satuan apabila dikuadratkan hasil}

kuadratnya pasti menunjukkan bilangan 25.

2._{Bilangan 5 dalam posisi sebagai satuan apabila dikuadratkan hasil} kuadratnya pada bilangan puluhan adalah 2 dan pada bilangan satuan adalah 5. ( Perhatikan tabel 3 )

Perhatikan tabel di bawah ini Tabel 3

(5)

Rumus Matematika Praktis -22 Mari kita amati bersama :

1._{Semua bilangan pada tabel di atas, apabila dikuadratkan hasilnya kuadratnya} selalu menunjukkan bilangan puluhan 2 dan bilangan satuan 5 atau dengan kata lain ditulis 25.

2. +DVLOSDGDELODQJDQUDWXVDQDWDXGHSDQQ\DELODQJDQ«PHUXSDNDQKDVLO kali bilangan puluhan yang dikuadratkan dengan kakaknya bilangan tersebut.

Kesimpulan kuadrat dari bilangan yang bersatuan 5 dapat dibuat rumus praktis sebagai berikut :

RUMUS PRAKTIS :

1. Semua bilangan yang bersatuan 5 apabila dikuadratkan, hasil kuadrat nya adalah bilangan puluhan 2 dan bilangan satuan 5. Atau gampangnya pasti PHQJKDVLONDQDQJND««GXDELODQJDQGDULEHODNDQJ

2. Posisi bilangan ratusan atau ribuan,merupakan hasil perkalian bilangan puluhan yang dikuadratkan dengan kakaknya bilangan tersebut.

Perhatikan contoh hasil kuadrat berikut : 252 = 625

Bilangan satuan 25 pada hasil 625, merupakan pengkuadratan ELODQJDQ VDWXDQ SDGD \DQJ GLNXDGUDWNDQ 7XOLV « GDUL belakang ya!!!)

Bilangan 6 pada hasil 625 merupakan hasil perkalian antara bilangan puluhan (2) dikalikan dengan kakaknya bilangan tersebut, yaitu (3). Tulis di-depan-nya 25 menjadi 625.

Perhatikan contoh lagi hasil kuadrat berikut : 552 = 3025

Bilangan satuan 25 pada hasil 3025, merupakan pengkuadratan bilangan satuan 5 pada 55 yang dikuadratkan. Tulis seperti contoh di atas.

(6)

Rumus Matematika Praktis -23 3HUKDWLNDQFRQWRKODJL«KDVLONXadrat berikut :

852 = 7225

Bilangan satuan 25 pada hasil 7225, merupakan pengkuadratan bilangan satuan 5 pada 85 yang dikuadratkan. Lihat contoh di atas. Bilangan 72 pada hasil 7225 merupakan hasil perkalian antara

bilangan puluhan (8) dikalikan dengan kakaknya bilangan tersebut, yaitu (9). Tulis di-depan-Q\D«PHQMDGL2.0XGDKNDQ"

Agar Anda lebih mendalam coba kerjakan latihan berikut ini !

952 = «««««

1052 = ««««« 1152 = ««««« 1252 = ««««« 1352 = ««««« 1452 = ««««« 2152 = ««««« 2252 = ««««« 3252 = ««««« 4252 = «««««

B. MENARIK AKAR KUADRAT

Akar kuadrat adalah invers atau kebalikan dari pengkuadratan. Untuk mencari akar kuadrat dari suatu bilangan.

1._{Mencoba dengan mengalikan angka tertentu.}

2._{Bilangan yang ditarik akar kuadrat dibayangkan dan dikelompokkan dua}± dua dari belakang.

(7)

Ada cara yang sangat sederhana dan dijamin hasilnya pasti benar, yaitu GHQJDQ PHQJJXQDNDQ LOPX ³1LWHQL´ DWDX ³PHQFHUPDWL´ WHUKDGDS KDVLO pengkuadratan suatu bilangan.

Perhatikan tabel berikut !

Tabel 4

Dari tabel di atas ditemukan hasil pengamatan sebagai berikut !

a._{Bilangan 1 dan 9 pada posisi satuan apabila dikuadratkan akan} menghasilkan bilangan satuan 1

(8)

Rumus Matematika Praktis -25 b._{Bilangan 2 dan 8 pada posisi satuan apabila dikuadratkan akan}

menghasilkan bilangan satuan 4

c. _{Bilangan 3 dan 7 pada posisi satuan apabila dikuadratkan akan} menghasilkan bilangan satuan 9

d._{Bilangan 4 dan 6 pada posisi satuan apabila dikuadratkan akan} menghasilkan bilangan satuan 6

INGAT ! PENARIKAN AKAR adalah KEBALIKAN dari PENGKUADRATAN ! Kesimpulan :

1._{Apabila yang ditarik akar adalah bilangan yang bersatuan 1, maka hasil} penarikan akarnya pada bilangan satuan harus bilangan 1 atau 9

5._{Apabila yang ditarik akar adalah bilangan yang bersatuan 2 atau 3, maka} hasil penarikan akarnya pasti bilangan campuran (bulat + pecahan)

(9)

Rumus Matematika Praktis -26 Dari hasil pengamatan di atas dapat dibuat Rumus Praktis.

Untuk membuat Rumus Praktis, dibutuhkan bantuan tabel 5 dan 6.

Anda disarankan untuk hafal terhadap angka pedoman pada tabel 5 dan 6 berikut ini.

Tabel 5. 102 = 100 202 = 400 302 = 900 402 = 1600 502 = 2500

602 = 3600 702 = 4900 802 = 6400 902 = 8100

Tabel 6.

52 = 25 152 = 225 252 = 625 352 = 1225 452 = 2025 552 = 3025

652 = 4225 752 = 5625 852 = 7225 952 = 9025

(10)

Rumus Matematika Praktis -27 Perhatikan Tabel 4

Contoh soal :

1. 961 = n (Bilangan yang satuannya 1 apabila ditarik akar, maka hasilnya jawaban pada bilangan satuan harus 1 atau 9)

Jawab no. 1.

-_{Bilangan satuan hasil penarikan akar harus bilangan 1 atau 9}

-_{Angka = 961 pada tabel 5 adalah lebih besar dari 30}2_{= 900, maka} jawabnya harus > 30

-_{Angka = 961 pada tabel 6 adalah lebih kecil dari 35}2_{= 1225,} maka jawabnya harus < 35

-_{Jadi jawabnya adalah 30 < n < 35}

Maka jawabnya dipastikan adalah= 31

2. 784 = n (Bilangan yang satuannya 4 apabila ditarik akar, maka hasilnya jawaban pada bilangan satuan harus 2 atau 8)

Jawab no. 2.

-_{Angka = 784 pada tabel 5 adalah lebih besar dari 25}2_{= 625, maka} jawabnya harus > 25

-_{Angka = 784 pada tabel 6 adalah lebih kecil dari 30}2_{= 900, maka} jawabnya harus < 30

Maka jawabnya dipastikan adalah = 28

3. 729 = n (Bilangan satuan yang diakar 9, bilangan satuan pada jawaban harus 3 atau 7)

Jawab no. 3.

-_{Angka = 729 pada tabel 5 adalah lebih besar dari 25}2_{= 625, maka} jawabnya > 25

-_{Angka = 729 pada tabel 6 adalah lebih kecil dari 30}2_{= 900, maka} jawabnya < 30

(11)

Rumus Matematika Praktis -28 4. 1936 = n (Bilangan satuan yang diakar 6, bilangan satuan pada jawaban harus 4

atau 6) Jawab no. 4.

-_{Angka = 1936 pada tabel 5 adalah lebih besar dari 40}2_{= 1600, maka} jawabnya > 40

-_{Angka = 1936 pada tabel 6 adalah lebih kecil dari 45}2_{= 2025, maka} jawabnya < 45

Maka jawabnya dipastikan adalah = 44

5. 9025 = n (Bilangan satuan yang diakar 5, bilangan satuan pada jawaban hanya angka 5)

Jawab no. 5.

-_{Ingat, bilangan satuan hasil penarikan harus bilangan 5}

-_{Angka = 9025 = jawab untuk satuannya adalah 5}

-_{Ingat pengkuadratan bilangan yang bersatuan 5, setelah ditulis 25 dari}

belakang, depannya hasil perkalian bilangan adik dan kakak !

- _{Angka = 90 = hasil perkalian bilangan 9 x 10 (adik x kakak )}_Maka

jawabnya dipastikan = 95

Untuk lebih mendalami coba Anda kerjakan latihan berikut : 1. 1521 «««

2. 2601 «««

3. 4761 «««

4. 6561 «««

5. 1024 «««

6. 2304 «««

7. 2704 «««

8. 1089 «««

(12)

Rumus Matematika Praktis -29 10. 3969 «««

11. 1936 «««

12. 3136 «««

13. 5476 «««

14. 7396 «««

15. 9025 «««

C. MENARIK AKAR KUADRAT SUATU BILANGAN YANG

TERLETAK DI ANTARA DUA BILANGAN

Untuk bilangan yang satuannya 2 dan 3 dipastikan hasilnya penarikan akan pasti pecahan, bukan angka bulat seperti contoh-contoh di atas.

Contoh soal : 12_{= ...} Jawab :

Perhatikan garis bilangan berikut.

12_terletak 9_antara 16_dan.

Maka, terletak antara 3 dan 4 1.₁₂±_{9 = 3}

2.₁₆±_{9 = 7}

12₌₃

(13)

D. PANGKAT TIGA dan MENARIK AKAR PANGKAT TIGA

1. PANGKAT TIGA

Pada dasarnya pangkat tiga merupakan perkalian berulang pada bilangan yang sama sampai tiga kali.

Perhatikan tabel berikut !

Tabel 7 13 = 1 x 1 x 1 = 1

23 = 2 x 2 x 2 = 8 33 = 3 x 3 x 3 = 27 43 = 4 x 4 x 4 = 64 53 = 5 x 5 x 5 = 125 63 = 6 x 6 x 6 = 216 73 = 7 x 7 x 7 = 343 83 = 8 x 8 x 8 = 512 93 = 9 x 9 x 9 = 729

Dari pencermatan data di atas bahwa pada hasil pemangkatan atau pangkat 3 dari suatu bilangan yang yang bersatuan antara 1 sampai 9, dapat dikelompokkan sebagai berikut :

Kelompok 1 :

x Bilangan bersatuan 1 dipangkatkan 3, hasilnya pada bilangan satuan adalah 1 x Bilangan bersatuan 4 dipangkatkan 3, hasilnya pada bilangan satuan adalah 4 x Bilangan bersatuan 5 dipangkatkan 3, hasilnya pada bilangan satuan adalah 5 x Bilangan bersatuan 6 dipangkatkan 3, hasilnya pada bilangan satuan adalah 6 x Bilangan bersatuan 9 dipangkatkan 3, hasilnya pada bilangan satuan adalah 9

Kelompok 2 :

x Bilangan bersatuan 3 dipangkatkan 3, hasil bilangan satuannya adalah 7

x Bilangan bersatuan 7 dipangkatkan 3, hasil bilangan satuannya adalah 3

Bilangan 3 dan 7 adalah kelompok berkebalikan

Kelompok 3 :

(14)

Rumus Matematika Praktis -31 x Bilangan bersatuan 8 dipangkatkan 3, hasil bilangan satuannya adalah 3

Bilangan 2 dan 8 adalah kelompok berkebalikan

Contoh soal :

1.₁₁3_{= n---}Æ_{11 x 11 x 11 = 133}₁ 2.₁₄3_{= n---}_Æ_{14 x 14 x 14 = 274}₄ 3.₁₅3_{= n---}_Æ_{15 x 15 x 15 = 337}₅ 4.₁₆3_{= n---}_Æ_{16 x 16 x 16 = 409}₆ 5.₁₉3_{= n---}Æ_{19 x 19 x 19 = 685}₉ 6.₂₃3_{= n---}Æ_{23 x 23 x 23 = 1216}₇ 7.₂₇3_{= n---}_Æ_{27 x 27 x 27 = 1968}₃ 8.₂₂3_{= n---}_Æ_{22 x 22 x 22 = 1064}₈ 9.₂₈3_{= n---}_Æ_{28 x 28 x 28 = 2195}₂

2. MENARIK AKAR PANGKAT

Menarik akar pangkat tiga, pada dasarnya sama dengan menarik akar pangkat dua atau kuadrat.

1._{Kalau bilangan yang ditarik akar pangkat tiga masih sederhana gunakan} faktorisasi prima

2._{Tetapi kalau yang ditarik akar pangkat tiga bilangannya besar, maka akan} lebih cepat dan benar dalam mengerjakan soal, pakailah tabel pedoman sebagaimana tercantum pada tabel di bawah ini.

Tabel 8

(15)

Rumus Matematika Praktis -32 Tabel 9

103 = 1.000 203 = 8.000 303 = 27.000 403 = 64.000 503 = 125.000 603 = 216.000 703 = 343.000 803 = 512.000 903 = 729.000

Contoh soal :

1. 3 ₈

= . . .

2. 3

27_{= . . .}

Jawab: Kalau angkanya masih sederhana seperti contoh di atas gunakan dengan cara faktorisasi prima.

Jawab :

1. Faktorisasi prima dari 8 yaitu 2 x 2 x 2 Maka:

3 ₈

= 3 ₂_x₂_x₂

= 3 23 _{= 2}

Jadi, 3 ₈ = 2

2. Faktoriasi prima dari 27 yaitu 3 x 3 x 3 Maka :

3

27₌3 ₃_x₃_x₃

= 3 3

3 _{= 3}

(16)

Rumus Matematika Praktis -33 Tetapi kalau angkanya yang ditarik akar pangkat tiga seperti di bawah ini !

Contoh soal :

1. 3₁₇₅₇₆ _{= n} Jawab 1.

Angka satuan yang ditarik akar adalah 6, maka jawab pada satuan harus 6 Angka 17576 > 15625 Æ(253), berarti jawabnya > 25 (lihat table 8)

Angka 17576 < 27000 Æ(303), berarti jawabnya < 30 (lihat table 9) Jadi jawabannya 25 < n < 30

<D«Q

2. 3 ₅₈₃₂

= n Jawab 2.

Angka satuan yang ditarik akar adalah 2, maka jawab pada satuan harus 8 Angka 5832 > 3.375 Æ(153), berarti jawabnya > 15 (lihat table 8)

<D«Q

3. 3₁₇₂₈ _{= n}

Jawab 3.

Angka 1728 < 3.375 Æ(153), berarti jawabnya < 15 (lihat table 8) Jadi jawabannya 10 < n < 15

<D«Q

4. 3 ₃₃₇₅₌«««« Jawab 4.

(17)

Rumus Matematika Praktis -34 5. 3 ₄₉₁₃ ₌««««

Jawab 5.

Angka satuan yang ditarik akar adalah 3, maka jawab pada satuan harus 7 Angka 4913 > 3.375 Æ(153), berarti jawabnya > 15 (lihat table 8)

<D«. n = 17

Nah untuk melatih agar Anda lebih terampil, kerjakan latihan berikut !

1. 3₁₃₃₁ «««

2. 3 ₂₇₄₄

«««

3. 3 ₃₃₇₅ «««

4. 3 ₆₈₅₉ «««

5. 3₁₂₁₆₇ «««

6. 3₁₉₆₈₃ «««

7. 3 ₃₂₇₆₈ «««

8. 3 ₅₄₈₇₂ «««

9. 3 ₅₄₈₇₂ «««