Rumus Matematika Praktis 6 SD

(1)

Rumus Matematika Praktis -2

A. Mengenal Bilangan Bulat

Bilangan Bulat

Bilangan bulat positif Bilangan nol

Bilangan bulat negatif

0 -1 -2 -3

-4 1 2 3 4 5 6 7

-5 -6 -7

nol

bilangan bulat negatif bilangan bulat positif

B = { ... 7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}

Ciri bilangan positif → ke kanan, maju, naik, ditambah, laba, diberi

Ciri bilangan negatif → ke kiri, mundur, turun, dikurang, rugi, diminta, pinjam,

hutang

B. Operasi Bilangan Bulat

1. Penjumlahan

contoh :

2 + 3 = 5

0 1 2 3 4 5 6 -1

-2 -3 -4 -5 -6

Rumus

a + b = c Syarat

+ + + = +

- + - = -

(2)

Rumus Matematika Praktis -3 2. Pengurangan

2 – 3 = 2 + (-3) = -1

0 1 2 3 4 5 6 -1

-2 -3 -4 -5 -6 Rumu

a – b = c Syarat

+ – + = - bila a < b, + bila a > b, 0 bila a = b - – - = + bila a < b, + bila a > b, 0 bila a = b

+ – - = +

- – + = -

C. Sifat Komutatif pada Penjumlahan dan Perkalian

Rumus penjumlahan komutatif = a + b = b + a Rumus perkalian komutatif = a x b = b x a Contoh soal :

Penjumlahan komutatif = 13 + 15 = 15 + 13 = 28

Perkalian komutatif = 20 x 14 = 14 x 20 = 280

D. Sifat Asosiatif pada Penjumlahan dan Perkalian

Rumus penjumlahan komutatif = a +( b + c ) = ( b + c ) + a

Rumus perkalian komutatif = (a x b) x c = c x ( b x a )

Contoh soal :

Penjumlahan komutatif = (19 + 12) + 8 = 19 + (12 + 8) = 39

Perkalian komutatif = (10 x 15) x 30 = 10 (15 x 30) = 4500

E. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan dan Pengurangan

Rumus Perkalian terhadap Penjumlahan Distributif

= a x (b+ c) = (a x b) + (a x c)

Contoh soal :

13 x (17 + 14) = (13 x 17) + (13 x 14)

(3)

Rumus Matematika Praktis -4 = 221 + 182

= 403

F. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan dan Pengurangan

Rumus Perkalian terhadap Pengurangan Distributif

= a x (b- c) = (a x b) - (a x c)

Contoh soal :

25 x (22 – 15) = (25 x 22) – (25 x 15) = 550 – 375

= 175

G. Operasi Hitung Campuran Bilangan Bulat

Contoh soal :

3.000 – 450 x 30 : 25 + 850 = . . .

Langkah-langkah untuk mengerjakan adalah sebagai berikut.

1. Kerjakan operasi perkalian terlebih dahulu

2. Lanjutkan dengan operasi pembagian

3. Lakukan operasi pengurangan

4. Terakhir selesaikan operasi penjumlahan

Jawab

3.000 – 450 x 30 : 25 + 850

= 3.000 – 13.500 : 25 + 850

= 3.000 – 540 + 850

= 2.460 + 850

= 3.310

(4)

H. Operasi Bilangan Bulat Dalam Garis Bilangan

●.

Ada 3 jenis bilangan bulat

a. Bilangan bulat positif

b. Bilangan bulat nol (0) c. Bilangan bulat negatif.

Ada juga yang meneglompokkan bilangan bulat ganjil dan genap

Intinya kalau ditaruh pada garis bilangan batasannya adalah angka nol Kalau ditarik ke kanan positif semakin besar, sebaliknya kalau ditarik ke kiri dari nol adalah negatif dan semakin kecil.

Lihat garis bilangan

0 1 2 3 4 5 6 7 -1

-2 -3 -4 -5 -6 -7

Negatip Positip

I. PEMFAKTORAN FPB dan KPK

1. PEMFAKTORAN

a) Faktor Prima Contoh :

1) Faktor prima dari 180 = ....

2 180

90 2 45

3 15 3 5

maka faktor prima dari 180 adalah 2, 3, dan 5

2) Faktor prima dari 3150 adalah 2, 3, 5, 7, sebab faktorisasi prima dari :

2

3150 = x 32x 52x 7

, maka faktor primanya = 2, 3, 5, 7

b. Faktorisasi Prima

(5)

Rumus Matematika Praktis -6 Sebab

2 180

90 2 45

3 15 3 5

maka faktorisasi prima dari 180 =

5 3 x

22 2

2. FPB

- Untuk menentukan FPB, pilihlah faktor yang sama dan pangkat kecil

- Jika faktor sama, pangkat sama diambil salah satu

Contoh soal :

FPB dari 72 dan 84 adalah… .

Jawab :

Cara 1)

Faktor dari 72 dan 84 :

72 = 2 x 2 x 3 x 6

84 = 2 x 2 x 3 x 7

Jadi FPB = 2 x 2 x 3 = 12

Cara 2)

2

72 84

2 36 42

3 18 21

7 6 dibag

i

Jadi FPB = 2 x 2 x 3 = 12

3. KPK

- Untuk menentukan KPK diambil satu dari setiap faktor

- Kalau faktor sama pangkat berbeda diambil yang pangkatnya lebih tinggi

(6)

Contoh soal :

KPK dari 24, 36 dan 40 adalah… .

Jawab :

Cara 1)

24

2 12

2 6

2 3

36

2 18

2 9

3 3

40

2 20

2 10

2 5

KPK = 23 x 32 x 5 = 360

Cara 2)

dibagi 24 36 40

2 12 18 20

2 6 9 10

2 3 9 5

3 1 3 5

3 1 1 5

5 1 1 1

(7)

Rumus Matematika Praktis -8 Macam – macam pecahan

Biasa Sederhana Campuran Desimal Persen Permil

2

A. Menentukan Pecahan Senilai

Contoh soal :

B. Menyederhanakan Bilangan Pecahan

Contoh soal :

Tentukan pecahan paling sederhana dari

16 12

!

Jawab:

(8)

Jadi, pecahan paling sederhana dari

16

* Urutan pecahan di atas dari yang terkecil. * Urutan pecahan di atas dari yang terbesar.

Jawab :

Ada 2 cara untuk mengerjakan contoh soal di atas

1. Mengubah pecahan-pecahan di atas menjadi pecahan yang berpenyebut sama dengan mencari KPK nya.

2. Mengubah pecahan di atas menjadi angka desimal. 3. Mengurutkan sesuai permintaan soal

Cara 1 : dicari dengan pohon faktor KPK dari penyebut adalah 12

(9)

Jika penyebutnya telah sama, kemudian lakukan perbandingan pembilangnya, untuk mengurutkannya. Sehingga dapat ditentukan urutannya berikut ini.

a. Urutan pecahan dari yang terkecil adalah

.

Jadi, urutan pecahan dari yang terkecil adalah

.

b. Urutan pecahan dari yang terbesar adalah

.

Jadi, urutan pecahan dari yang terbesar adalah

.

Cara 2 : Dengan merubah pecahan biasa menjadi Desimal

(10)

Rumus Matematika Praktis -11 Setelah menjadi angka desimal tinggal diurutkan dengan cara mengurutkan bilangan dibelakang koma dari yang paling dekat dengan koma, dari yang terkecil atau yang terbesar. Apabila bilangan dibelakang koma sama besar, maka lihat bilangan berikutnya dan seterusnya.

Hasil dari urutan terkecil :

0,25 ; 0,333 ; 0,416 ; 0,50 dan 0,666

Hasil dari urutan terbesar :

0,666 ; 0,50 ; 0,416 ; 0,333 ; 0,25

Untuk lebih meningkatkan pemahaman urutkan soal berkut dari yang terbesar dan terkecil ?

D. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Desimal

Untuk merubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal, gunakan dengan cara berikut (Poro gapit = Jawa ). Pembilang dibagi penyebut.

(11)

Rumus Matematika Praktis -12 Jadi,

5 3

= 0,6

Cara 2)

2 2 x 5 3

=

10 6

= 0,6

E. Mengubah Bentuk Desimal ke Bentuk Pecahan Biasa

1. Carilah terlebih dahulu FPB pembilang dengan penyebut dengan menggunakan pohon faktor

2. Bagilah pembilang dan penyebut dengan FPB tersebut

Contoh soal :

Ubahlah menjadi pecahan biasa !

0,4 = ...

0,4 =

10 4

(FPB pembilang dan penyebut adalah 2, maka masing-masing

dibagi dengan bilangan 2).

0,4 =

10 4

=

5 2

Jadi, 0,4 =

5 2

F. Mengubah Persentase menjadi Pecahan

Untuk merubah prosentase menjadi pecahan tidaklah sulit.

(12)

Rumus Matematika Praktis -13 2. Langkah kedua pembilang dan penyebut dibagi dengan angka yang sama

atau dibagi dengan FPB nya.

Contoh soal :

1. 20% = …..

2. 75% = …..

Jawab

1) 20% = 100 20

 FPB dari 20 dan 100 adalah 20

20 20 100

20

:



5 1 

2) 75% = 100 75

 FPB dari 75 dan 100 adalah 25

25 25 100

75

:



4 3 

G. Mengalikan Pecahan dengan Bilangan Asli

1. Mengalikan Pecahan dengan Bilangan Bulat pada dasarnya mengalikan pembilang dengan bilangan bulat, kemudian dibagi dengan penyebut.

2. Apabila antara pembilang dengan penyebut ternyata dapat disederhanakan, akan lebih baik disederhanakan agar bilangan pebilangnya tidak terlalu besar.

Contoh soal :

7 4

x 28 = . . .

Jawab Cara 1 :

7 4

(13)

1. Jadikan soal yang dibagi dan pembagi menjadi pecahan semua.

2. Rubahlah bentuk pembagian menjadi perkalian, INGAT posisi bilangan pembagi karena dirubah menjadi perkalian harus dilakukan pembalikan fungsi yang semula penyebut harus diposisikan sebagai pembilang dan sebaliknya.

3. Lakukan langkah operasional pembilang dikalikan pembilang,kemudian dibagi penyebut dikalikan penyebut.

4. Kalau bilangannya bias disederhanakan antara pembilang dengan penyebut, sederhanakan dulu supaya lebih mudah (bilangannya tidak terlalu besar)

(14)

Atau bisa juga dikerjakan dengan cara berikut :

5

I. Penjumlahan Pecahan dengan Bilangan Campuran

Ada beberapa cara sederhana untuk menyelesaikan penjumlahan bilangan pecahan campuran. Perhatikan cara berikut ini :

Cara 1 :

(15)

Rumus Matematika Praktis -16 2. Tentukan KPK dari penyebutnya.

3. Kemudian lakukan operasi penjumlahan

Cara 2 :

1. Kelompokkan bilangan bulat dengan bilangan bulat, bilangan pecahan dengan bilangan pecahan

2. Bilangan bulat dikelompokkan menjadi satu, bilangan pecahan dikelompokkan kemudian dicari KPK dari penyebut bilangan pecahan

3. Setelah ketemu KPKnya dari penyebutnya baru dilakukan operasi

1. Jadikan menjadi pecahan semua

2. Cari KPK dari kedua penyebutnya ; dari 2 dan 4, KPK ketemu 4.

(16)

Rumus Matematika Praktis -17 KPK dari pecahan dari 2 dan 4, ketemu adalah 4

2

4 1

+ 3

2 1

= . . .

= ( 2 + 3 ) + (

4 1

+

2 1

)

= 5 + (

4 1

+

4 2

)

= 5

4 3

J. Menentukan Nilai Pecahan dari suatu Kuantitas Bilangan

Contoh soal :

8 5

x 16 ton = . . . kg

Jawab :

ton 16 x

8 5 

1

2

= 5 x 2 ton = 10 ton

= 10 x 1.000 kg = 10.000 kg

Jadi,

8 5

x 16 ton = 10.000 kg

(17)

A. PERPANGKATAN / KUADRAT

Perpangkatan atau kuadrat adalah perkalian berulang pada angka atau bilangan yang bersangkutan.

Perhatikan !

Tabel 1

12 = 1 x 1 = 1

22 = 2 x 2 = 4

32 = 3 x 3 = 9

42 = 4 x 4 = 16

52 = 5 x 5 = 25

62 = 6 x 6 = 36

72 = 7 x 7 = 49

82 = 8 x 8 = 64

92 = 9 x 9 = 81

Dari Tabel 1 di atas ada 2 bilangan bersifat istimewa yaitu :

a. Bilangan 1 ( dalam posisi sebagai satuan ) b. Bilangan 5 ( dalam posisi sebagai satuan )

(18)

A. MISTERI ANGKA 1

Tabel 2

12 = 1 x 1 = 1 112 = 11 x 11 = 121 212 = 21 x 21 = 441 312 = 31 x 31 = 961 412 = 11 x 11 = 1681 512 = 51 x 51 = 2601 612 = 61 x 61 = 3721 712 = 71 x 71 = 5041 812 = 81 x 81 = 6561 912 = 91 x 91 = 8281 Hasil pengamatan :

1. Semua bilangan pada tabel di atas, apabila dikuadratkan hasil kuadratnya pada bilangan satuan adalah 1.

2. Angka 0 pada posisi puluhan lazimnya tidak ditulis, kecuali pada proses olah data. Maksudnya begini, bilangan 1 pada tabel di atas sejatinya adalah 01. ( Paham ya maksudnya ? )

3. Kakaknya bilangan 1 adalah bilangan 2. (betulkan...?)

Kesimpulan dari hasil pengamatan dapat diciptakan rumus praktis

sebagai berikut.

RUMUS PRAKTIS :

a. Hasil pengkuadratan bilangan yang satuannya 1, pasti hasil kuadratnya menghasilkan bilangan satuan 1, kemudian tulis pada posisi satuan b. Kalikan bilangan puluhan yang dikuadratkan dengan kakaknya bilangan

1 yaitu bilangan 2, hasilnya tulis pada posisi bilangan puluhan

c. Kuadratkan bilangan puluhan, hasilnya tulis pada posisi ratusan dan seterusnya.

(19)

Rumus Matematika Praktis -20 Perhatikan hasil pengkuadratannya :

Contoh soal 1 :

312 = 961

Bilangan 1 pada 961 adalah hasil kuadrat dari bilangan satuan pada 31 yang dikuadratkan

Bilangan 6 pada 961 adalah hasil kali bilangan puluhan (3) pada bilangan 31 yang dikuadratkan kemudian dikalikan dengan bilangan 2 ( kakaknya bilangan 1 )

Bilangan 9 pada 961 adalah hasil kuadrat dari bilangan puluhan (3) pada bilangan 31 yang dukuadratkan

Contoh soal 2 :

412 = 1681

Bilangan 8 pada 1681 adalah hasil kali bilangan puluhan (4) pada bilangan 41 yang dikuadratkan kemudian dikalikan dengan bilangan 2 ( kakaknya 1 )

Bilangan 16 pada 1681 adalah hasil kuadrat dari bilangan puluhan (4) pada bilangan 41 yang dikuadratkan.

Contoh soal 3 :

712 = 5041

Bilangan 4 pada 5041 adalah hasil kali bilangan puluhan (7) pada bilangan 71 yang dikuadratkan kemudian dikalikan dengan bilangan 2 ( kakaknya 1 ), ditulis 4, nyimpan puluhan 1 ya…ingat.

(20)

Rumus Matematika Praktis -21 Untuk lebih memahami cobalah Anda kerjakan latihan berikut :

1. 512 = ………… 2. 612 = ………… 3. 812 = ………… 4. 1012 = ………… 5. 1112 = ………… 6. 1212 = ………… 7. 1512 = ………… 8. 1612 = ………… 9. 1812 = ………… 10. 1912 = …………

B. MISTERI ANGKA 5

Sekarang kita bahas Misteri Keistimewaan bilangan 5. Siap ya…? OK

1. Bilangan 5 dalam posisi sebagai satuan apabila dikuadratkan hasil kuadratnya pasti menunjukkan bilangan 25.

2. Bilangan 5 dalam posisi sebagai satuan apabila dikuadratkan hasil kuadratnya pada bilangan puluhan adalah 2 dan pada bilangan satuan adalah 5. ( Perhatikan tabel 3 )

Perhatikan tabel di bawah ini

Tabel 3

(21)

Rumus Matematika Praktis -22 Mari kita amati bersama :

1. Semua bilangan pada tabel di atas, apabila dikuadratkan hasilnya kuadratnya selalu menunjukkan bilangan puluhan 2 dan bilangan satuan 5 atau dengan kata lain ditulis 25.

2. Hasil pada bilangan ratusan atau depannya bilangan …25, merupakan hasil

kali bilangan puluhan yang dikuadratkan dengan kakaknya bilangan tersebut.

Kesimpulan kuadrat dari bilangan yang bersatuan 5 dapat dibuat rumus

praktis sebagai berikut :

RUMUS PRAKTIS :

1. Semua bilangan yang bersatuan 5 apabila dikuadratkan, hasil kuadrat nya adalah bilangan puluhan 2 dan bilangan satuan 5. Atau gampangnya pasti menghasilkan angka ……25 (dua bilangan dari belakang)

2. Posisi bilangan ratusan atau ribuan,merupakan hasil perkalian bilangan puluhan yang dikuadratkan dengan kakaknya bilangan tersebut.

Perhatikan contoh hasil kuadrat berikut :

252 = 625

Bilangan satuan 25 pada hasil 625, merupakan pengkuadratan bilangan satuan 5 pada 25 yang dikuadratkan. Tulis ….25 (dari belakang ya!!!)

Bilangan 6 pada hasil 625 merupakan hasil perkalian antara bilangan puluhan (2) dikalikan dengan kakaknya bilangan tersebut, yaitu (3). Tulis di-depan-nya 25 menjadi 625.

Perhatikan contoh lagi hasil kuadrat berikut :

552 = 3025

Bilangan satuan 25 pada hasil 3025, merupakan pengkuadratan bilangan satuan 5 pada 55 yang dikuadratkan. Tulis seperti contoh di atas.

(22)

Perhatikan contoh lagi… hasil kuadrat berikut :

852 = 7225

Bilangan satuan 25 pada hasil 7225, merupakan pengkuadratan bilangan satuan 5 pada 85 yang dikuadratkan. Lihat contoh di atas. Bilangan 72 pada hasil 7225 merupakan hasil perkalian antara

bilangan puluhan (8) dikalikan dengan kakaknya bilangan tersebut, yaitu (9). Tulis di-depan-nya ….25, menjadi 7225. OK. Mudah kan?

Agar Anda lebih mendalam coba kerjakan latihan berikut ini !

952 = ………..

1052 = ……….. 1152 = ……….. 1252 = ……….. 1352 = ……….. 1452 = ……….. 2152 = ……….. 2252 = ……….. 3252 = ……….. 4252 = ………..

B. MENARIK AKAR KUADRAT

Akar kuadrat adalah invers atau kebalikan dari pengkuadratan. Untuk mencari akar kuadrat dari suatu bilangan.

1. Mencoba dengan mengalikan angka tertentu.

2. Bilangan yang ditarik akar kuadrat dibayangkan dan dikelompokkan dua – dua dari belakang.

(23)

Rumus Matematika Praktis -24 Contoh soal 1 :

Contoh soal 2 :

= ....

Jawab :

2 x 2 +

4

5 x 5

= 25 4

225

225 0 625 625

Ada cara yang sangat sederhana dan dijamin hasilnya pasti benar, yaitu dengan menggunakan ilmu “Niteni” atau “mencermati” terhadap hasil pengkuadratan suatu bilangan.

Perhatikan tabel berikut !

Tabel 4

12 = 1 x 1 = 1 22 = 2 x 2 = 4 32 = 3 x 3 = 9 42 = 4 x 4 = 16

92 = 9 x 9 = 81 82 = 8 x 8 = 64 72 = 7 x 7 = 49 62 = 6 x 6 = 36

Dari tabel di atas ditemukan hasil pengamatan sebagai berikut !

a. Bilangan 1 dan 9 pada posisi satuan apabila dikuadratkan akan menghasilkan bilangan satuan 1

= ....

Jawab :

3 x 3 +

6

6 x 6

1296 1296

=

36

9 396

(24)

Rumus Matematika Praktis -25 b. Bilangan 2 dan 8 pada posisi satuan apabila dikuadratkan akan

menghasilkan bilangan satuan 4

c. Bilangan 3 dan 7 pada posisi satuan apabila dikuadratkan akan menghasilkan bilangan satuan 9

d. Bilangan 4 dan 6 pada posisi satuan apabila dikuadratkan akan menghasilkan bilangan satuan 6

INGAT ! PENARIKAN AKAR adalah KEBALIKAN dari PENGKUADRATAN !

Kesimpulan :

1. Apabila yang ditarik akar adalah bilangan yang bersatuan 1, maka hasil penarikan akarnya pada bilangan satuan harus bilangan 1 atau 9

5. Apabila yang ditarik akar adalah bilangan yang bersatuan 2 atau 3, maka hasil penarikan akarnya pasti bilangan campuran (bulat + pecahan)

(25)

Rumus Matematika Praktis -26 Dari hasil pengamatan di atas dapat dibuat Rumus Praktis.

Untuk membuat Rumus Praktis, dibutuhkan bantuan tabel 5 dan 6.

Anda disarankan untuk hafal terhadap angka pedoman pada tabel 5 dan 6

berikut ini.

Tabel 5.

102 = 100 202 = 400 302 = 900 402 = 1600 502 = 2500 602 = 3600 702 = 4900 802 = 6400 902 = 8100

Tabel 6.

52 = 25 152 = 225 252 = 625 352 = 1225 452 = 2025 552 = 3025 652 = 4225 752 = 5625 852 = 7225 952 = 9025

(26)

Rumus Matematika Praktis -27 Perhatikan Tabel 4

Contoh soal :

1. 961 = n (Bilangan yang satuannya 1 apabila ditarik akar, maka hasilnya jawaban pada bilangan satuan harus 1 atau 9)

Jawab no. 1.

- Bilangan satuan hasil penarikan akar harus bilangan 1 atau 9

- Angka = 961 pada tabel 5 adalah lebih besar dari 302 = 900, maka jawabnya harus > 30

- Angka = 961 pada tabel 6 adalah lebih kecil dari 352 = 1225, maka jawabnya harus < 35

- Jadi jawabnya adalah 30 < n < 35

Maka jawabnya dipastikan adalah= 31

2. 784 = n (Bilangan yang satuannya 4 apabila ditarik akar, maka hasilnya jawaban pada bilangan satuan harus 2 atau 8)

Jawab no. 2.

- Angka = 784 pada tabel 5 adalah lebih besar dari 252 = 625, maka jawabnya harus > 25

- Angka = 784 pada tabel 6 adalah lebih kecil dari 302 = 900, maka jawabnya harus < 30

Maka jawabnya dipastikan adalah = 28

3. 729 = n (Bilangan satuan yang diakar 9, bilangan satuan pada jawaban harus 3 atau 7)

Jawab no. 3.

- Angka = 729 pada tabel 5 adalah lebih besar dari 252 = 625, maka jawabnya > 25

- Angka = 729 pada tabel 6 adalah lebih kecil dari 302 = 900, maka jawabnya < 30

(27)

Rumus Matematika Praktis -28 4. 1936 = n (Bilangan satuan yang diakar 6, bilangan satuan pada jawaban harus 4

atau 6)

Jawab no. 4.

- Angka = 1936 pada tabel 5 adalah lebih besar dari 402 = 1600, maka jawabnya > 40

- Angka = 1936 pada tabel 6 adalah lebih kecil dari 452 = 2025, maka jawabnya < 45

Maka jawabnya dipastikan adalah = 44

5. 9025 = n (Bilangan satuan yang diakar 5, bilangan satuan pada jawaban hanya angka 5)

Jawab no. 5.

- Ingat, bilangan satuan hasil penarikan harus bilangan 5

- Angka = 9025 = jawab untuk satuannya adalah 5

- Ingat pengkuadratan bilangan yang bersatuan 5, setelah ditulis 25 dari

belakang, depannya hasil perkalian bilangan adik dan kakak !

- Angka = 90 = hasil perkalian bilangan 9 x 10 (adik x kakak ) Maka jawabnya dipastikan = 95

Untuk lebih mendalami coba Anda kerjakan latihan berikut :

1. 1521 = ………..

2. 2601 = ………..

3. 4761 = ………..

4. 6561 = ………..

5. 1024 = ………..

6. 2304 = ………..

7. 2704 = ………..

8. 1089 = ………..

(28)

Rumus Matematika Praktis -29 10. 3969 = ………..

11. 1936 = ………..

12. 3136 = ………..

13. 5476 = ………..

14. 7396 = ………..

15. 9025 = ………..

C. MENARIK AKAR KUADRAT SUATU BILANGAN YANG

TERLETAK DI ANTARA DUA BILANGAN

Untuk bilangan yang satuannya 2 dan 3 dipastikan hasilnya penarikan akan pasti pecahan, bukan angka bulat seperti contoh-contoh di atas.

Contoh soal : 12 = ... Jawab :

Perhatikan garis bilangan berikut.

12 terletak 9 antara 16 dan. Maka, terletak antara 3 dan 4

1. 12 – 9 = 3

2. 16 – 9 = 7 12 = 3

(29)

D. PANGKAT TIGA dan MENARIK AKAR PANGKAT TIGA

1. PANGKAT TIGA

Pada dasarnya pangkat tiga merupakan perkalian berulang pada bilangan yang sama sampai tiga kali.

Perhatikan tabel berikut !

Tabel 7

13 = 1 x 1 x 1 = 1

23 = 2 x 2 x 2 = 8

33 = 3 x 3 x 3 = 27

43 = 4 x 4 x 4 = 64

53 = 5 x 5 x 5 = 125

63 = 6 x 6 x 6 = 216

73 = 7 x 7 x 7 = 343

83 = 8 x 8 x 8 = 512

93 = 9 x 9 x 9 = 729

Dari pencermatan data di atas bahwa pada hasil pemangkatan atau pangkat 3 dari suatu bilangan yang yang bersatuan antara 1 sampai 9, dapat dikelompokkan sebagai berikut :

Kelompok 1 :

 Bilangan bersatuan 1 dipangkatkan 3, hasilnya pada bilangan satuan adalah 1  Bilangan bersatuan 4 dipangkatkan 3, hasilnya pada bilangan satuan adalah 4  Bilangan bersatuan 5 dipangkatkan 3, hasilnya pada bilangan satuan adalah 5  Bilangan bersatuan 6 dipangkatkan 3, hasilnya pada bilangan satuan adalah 6  Bilangan bersatuan 9 dipangkatkan 3, hasilnya pada bilangan satuan adalah 9

Kelompok 2 :

 Bilangan bersatuan 3 dipangkatkan 3, hasil bilangan satuannya adalah 7

 Bilangan bersatuan 7 dipangkatkan 3, hasil bilangan satuannya adalah 3 Bilangan 3 dan 7 adalah kelompok berkebalikan

Kelompok 3 :

(30)

Rumus Matematika Praktis -31  Bilangan bersatuan 8 dipangkatkan 3, hasil bilangan satuannya adalah 3

Bilangan 2 dan 8 adalah kelompok berkebalikan

Contoh soal :

1. 113 = n--- 11 x 11 x 11 = 1331

2. 143 = n--- 14 x 14 x 14 = 2744

3. 153 = n--- 15 x 15 x 15 = 3375

4. 163 = n--- 16 x 16 x 16 = 4096

5. 193 = n--- 19 x 19 x 19 = 6859

6. 233 = n--- 23 x 23 x 23 = 12167 7. 273 = n--- 27 x 27 x 27 = 19683 8. 223 = n--- 22 x 22 x 22 = 10648 9. 283 = n--- 28 x 28 x 28 = 21952

2. MENARIK AKAR PANGKAT

Menarik akar pangkat tiga, pada dasarnya sama dengan menarik akar pangkat dua atau kuadrat.

1. Kalau bilangan yang ditarik akar pangkat tiga masih sederhana gunakan faktorisasi prima

2. Tetapi kalau yang ditarik akar pangkat tiga bilangannya besar, maka akan lebih cepat dan benar dalam mengerjakan soal, pakailah tabel pedoman sebagaimana tercantum pada tabel di bawah ini.

Tabel 8

(31)

Rumus Matematika Praktis -32 Tabel 9

103 = 1.000 203 = 8.000 303 = 27.000 403 = 64.000 503 = 125.000 603 = 216.000 703 = 343.000 803 = 512.000 903 = 729.000

Contoh soal :

1. 3 ₈_{= . . .}

2. 3

27 = . . .

Jawab: Kalau angkanya masih sederhana seperti contoh di atas gunakan dengan cara faktorisasi prima.

Jawab :

1. Faktorisasi prima dari 8 yaitu 2 x 2 x 2 Maka:

3 ₈₌3 ₂_x₂_x₂

= 3 23 = 2 Jadi, 3 ₈_{= 2}

2. Faktoriasi prima dari 27 yaitu 3 x 3 x 3 Maka :

3

27 = 3 ₃_x₃_x₃

= 3 ₃3 _{= 3}

(32)

Rumus Matematika Praktis -33 Tetapi kalau angkanya yang ditarik akar pangkat tiga seperti di bawah ini !

Contoh soal :

1. 317576 = n

Jawab 1.

Angka satuan yang ditarik akar adalah 6, maka jawab pada satuan harus 6 Angka 17576 > 15625 (253), berarti jawabnya > 25 (lihat table 8)

Angka 17576 < 27000 (303), berarti jawabnya < 30 (lihat table 9)

Jadi jawabannya 25 < n < 30 Ya…. n = 26

2. 3 ₅₈₃₂

= n

Jawab 2.

Angka satuan yang ditarik akar adalah 2, maka jawab pada satuan harus 8 Angka 5832 > 3.375 (153), berarti jawabnya > 15 (lihat table 8)

3. 31728 = n

Jawab 3.

Angka 1728 < 3.375 (153), berarti jawabnya < 15 (lihat table 8)

4. 3 3375= …………

Jawab 4.

(33)

5. 3 ₄₉₁₃ ₌………… Jawab 5.

Angka satuan yang ditarik akar adalah 3, maka jawab pada satuan harus 7 Angka 4913 > 3.375 (153), berarti jawabnya > 15 (lihat table 8)

Nah untuk melatih agar Anda lebih terampil, kerjakan latihan berikut !

1. 3₁₃₃₁= ……….

2. 3 ₂₇₄₄= ……….

3. 3 ₃₃₇₅= ……….

4. 3 ₆₈₅₉ = ……….

5. 3₁₂₁₆₇ = ……….

6. 3₁₉₆₈₃ = ……….

7. 3 ₃₂₇₆₈ = ……….

8. 3 ₅₄₈₇₂ = ……….

9. 3 ₅₄₈₇₂ = ……….

(34)

A. Lambang Bilangan Romawi

I = untuk satu

V = untuk lima

X = untuk sepuluh

L = untuk lima puluh

C = untuk seratus

D = untuk lima ratus

M = untuk seribu

B. Penulisan Bilangan Romawi

1. Bilangan romaswi dibaca dari kiri ke kanan

2. Jika suatu angka diikuti dengan angka lain yang nilainya sama atau lebih kecil dari angka tersebut, maka nilai angka yang mengikuti harus ditambah dengan nilai angka yang diikuti

Contoh soal :

13 = XIII artinya = 10 + 1 + 1 + 1

27 = XXVII artinya = 10 + 10 + 5 + 1 + 1

3. Jika suatu angka diikuti dengan angka lain yang nilainya lebih besar dari pada angka yang diikuti, maka nilai angka yang mengikuti harus dikurangi dengan nilai angka yang diikuti.

Contoh Soal :

90 = XC, artinya = 100 – 10 900 = CM, artinya = 1000 – 100

(35)

Catatan Penting :

1. I hanya bisa mengurangi V dan X saja 2. X sebagai pengurang L

3. C sebagai pengurang D

4. V bukan sebagai lambang bilangan pengurang 5. L bukan sebagai lambang bilangan pengurang 6. D bukan sebagai lambang bilangan pengurang 7. L Tidak boleh diulang

8. D Tidak boleh diulang

4. Sistem pengurangan angka pada lambing bilangan Romawi dapat dilakukan maksimum 3 kali

Contoh soal :

1988 = MCMLXXXVIII, 1000 + ( 1000-100)+ 50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1

133 = CXXXIII, 100 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1

134 = CXXXIV, 100 + 10 + 10 + 10 + ( 5 - 1 )

138 = CXXXVIII, 100 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1