Mengenal Sifat Material (1) oleh:

Mengenal

Sifat Material (1)

oleh:

Sudaryatno Sudirham

Open Course

Perkembangan Konsep Atom

Elektron Sebagai Partikel dan Gelombang

Persamaan Gelombang Schrödinger

Aplikasi Persamaan Schrödinger

Konfigurasi Elektron Dalam Atom

Ikatan Atom dan Susunan Atom

Cakupan Bahasan

Perkembangan pengetahuan tentang material dilandasi oleh konsep atom yang tumbuh semakin rumit dibandingkan dengan konsep

awalnya yang sangat sederhana.

Perkembangan Konsep Atom

∼ ^{± ± 460 SM 460 SM Democritus Democritus}

1897 Thomson Thomson Akhir

Akhir abad abad 19 19 Persoalan Persoalan radiasi radiasi benda benda hitam hitam 1880 Kirchhoff

1901 Max Planck Planck E

_osc

= h × ××× f h = 6,626 × ××× 10−−−−34 joule-sec 1905 Albert Einstein

efek photolistrik

φ₁0 φ₂ φ₃

E

_maks

f

metal 1 metal 2 metal 3

Dijelaskan:

gelombang cahaya seperti partikel; disebut

photon

1803 Dalton berat atom

atom bukan partikel terkecil

atom bukan partikel terkecil elektron elektron

1906- 1906 - 1908 1908 Rutherford Rutherford Inti Inti atom (+) dikelilingi oleh elektron atom (+) dikelilingi oleh elektron (- ( -) )

Perkembangan Konsep Atom

1913 Niels Bohr

LYMAN

BALMER

PASCHEN

tingkatenergi

1 2 3 4 5

1923 Compton photon dari sinar-X mengalami perubahan momentum saat berbenturan dengan elektron valensi.

1924 Louis de Broglie partikel sub-atom dapat dipandang sebagai gelombang 1926 Erwin Schrödinger mekanika kuantum

1927 Davisson dan Germer berkas elektron didefraksi oleh sebuah kristal 1927 Heisenberg uncertainty Principle

∆^px∆^x ≥ ^h ∆E∆t ≥ h

1930 Born intensitas gelombang

I _=Ψ^*_Ψ

Perkembangan Konsep Atom

Model Atom Bohr

Model atom Bohr berbasis pada model yang diberikan oleh Rutherford:

Partikel bermuatan positif terkonsentrasi di inti atom, dan elektron berada di sekeliling inti atom.

Perbedaan penting antara kedua model atom:

Model atom Rutherford: elektron berada di sekeliling inti atom dengan cara yang tidak menentu

Model atom Bohr: elektron-elektron berada pada lingkaran-lingkaran orbit yang diskrit; energi elektron adalah diskrit.

Model atom Bohr dikemukakan dengan menggunakan pendekatan

mekanika klasik ^.

Perkembangan Konsep Atom, Model Atom Bohr

C 10

60 ,

1 ×

⁻¹⁹

−

= e

2 2

r F

_c

= Ze

Ze r

F

_c

r F

_c

mv

2

= r

mv Ze

2 2

=

r Ze E

_k

mv

2 2

2 2

=

=

k

p

E

r

E Ze 2

2

−

=

−

=

k k

p

total

E

r E Ze

E

E = + = − = −

2

2

Gagasan Bohr :

orbit elektron adalah diskrit; ada hubungan linier antara energi dan frekuensi seperti halnya apa

yang dikemukakan oleh Planck dan Einstein

nhf

∆ E =

)

2

2 ( r m

n h

f = π

∆

Perkembangan Konsep Atom, Model Atom Bohr

Dalam model atom Bohr :

energi dan momentum sudut elektron dalam orbit terkuantisasi

Setiap orbit ditandai dengan dua macam bilangan kuantum:

bilangan kuantum prinsipal, n bilangan kuantum sekunder, l

Perkembangan Konsep Atom, Model Atom Bohr

Jari Jari

Jari Jari- -- -Jari Atom Bohr Jari Atom Bohr Jari Atom Bohr Jari Atom Bohr

2 2

2 2

4 mZe h r n

= π

Z k n r

2

=

1

^k

¹

^{= 0 , 528 × 10}

⁻⁸

^cm

Untuk atom hidrogen pada ground state, di mana n = 1 dan Z = 1, maka r = 0,528 Å

Perkembangan Konsep Atom, Model Atom Bohr

Tingkat-Tingkat Energi Atom Hidrogen

eV 6 , 13 2

2 2

2

4 2 2

n h

n

e

E

_n

π mZ = −

−

=

-16 0

0 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5

n :

−13,6

−3,4

−1,51

energitotal[ eV]

ground state

≈ 10,2 eV

≈ 1,89 eV

bilangan kuantum prinsipal

2

6 , 13 E_n =− n

Perkembangan Konsep Atom, Model Atom Bohr

Spektrum Atom Hidrogen

IR 6,7,8,…

5 Pfund

IR 5,6,7,…

4 Brackett

IR 4,5,6,…

3 Paschen

tampak 3,4,5,…

2 Balmer

UV 2,3,4,…

1 Lyman

Radiasi n

₂

n

₁

Deret

1 2 3 4 5

deret Lyman

deret Balmer

deret Paschen

T in g k a t E n e rg i

Perkembangan Konsep Atom, Model Atom Bohr

Gelombang Tunggal

) cos( ω − θ

= A t

u u = Ae

^j(ωt−θ)

) ( t kx

Ae j

u = ^{ω −}

λ π

= 2 / k

bilangan gelombang Kecepatan rambat gelombang dicari dengan melihat perubahan posisi amplitudo

= 0

− ω t kx

k x ω t

= ω = λ

=

= f

k dt

v _f dx Kecepatan ini disebut kecepatan fasa

Elektron Elektron Elektron

Elektron Sebagai Sebagai Sebagai Gelombang Sebagai Gelombang Gelombang Gelombang

Paket gelombang adalah gelombang komposit yang merupakan jumlah dari n gelombang sinus Paket Gelombang

∑

^{ω −}

=

n

x k t j

n

e

^{n n}

A

u

^{( )}

) (

0 ] ) ( ) [(

0

) (

0 ] ) (

) [(

0 )

(

0 0

0 0 0

0

^{j t k x}

n

x k t n j

x k t j n

x k k t n j

n

x k t j n

e A A e

A

e A A e

e A A u

n n

n n

n n

− ω

∆

− ω

∆

− ω

−

− ω

− ω

− ω

 





 



= 

 





 



= 

=

∑

∑

∑

dengan k

₀

, ω

₀

, A

₀

, berturut-turut adalah nilai tengah dari bilangan gelombang, frekuensi dan amplitudo

Elektron Elektron Elektron

Elektron Sebagai Sebagai Sebagai Gelombang Sebagai Gelombang Gelombang Gelombang

Bilangan gelombang: k



 



 ∆

+

≤

≤



 



 ∆

− 2 ⁰ 2

0

k k k k

k

Perbedaan nilai k antara gelombang-gelombang yang membentuk paket gelombang tersebut sangat kecil → dianggap kontinyu demikian juga selang ∆k sempit sehingga A

_n

/ A

₀

≈ 1. Dengan demikian maka

) (

0 )

( 0 ] ) ( )

[( _{0 0 0 0}

) ,

( ^{j t k x}

x k t j n

x k t

j A e S x t A e

e

u ^{∆ωn − ∆ n ω −} = ^{ω −}











= 

∑

Pada suatu t tertentu, misalnya pada t = 0 persamaan bentuk amplitudo gelombang menjadi

0 ) (

) 0

0 , ( ) 0 ,

(x S x A e A

A

n

x k

j _n











= 

=

∑

^{− ∆}

Karena perubahan nilai k dianggap kontinyu maka

x k k x

d e

e x

S

k

k

x k j n

x k

j _n 2sin( /2)

) 0 , (

2 /

2 /

) ) (

( ∆

=

∆

=

=

∑

^+∆

∫

∆

−

∆

−

∆

−

variasi ∆k sempit

Elektron Elektron Elektron

Elektron Sebagai Sebagai Sebagai Gelombang Sebagai Gelombang Gelombang Gelombang

Persamaan gelombang komposit untuk t = 0 menjadi

x jk

t A e

x k

u x ₀ ⁰

0

/2) sin(

2 ₋

=

= ∆

Persamaan ini menunjukkan bahwa amplitudo gelombang komposit ini terselubung oleh fungsi

x k x x

S 2sin( /2) )

( ∆

=

-1 0 1

-0 .934 -0 .30 6 0 .322

selubung

∆x

x k x /2) sin(

2 ∆

) /2) cos(

sin(

2 A₀ k₀x x

k x∆

lebar paket gelombang

x k

∆

× π

=

∆ 2 ∆ kx∆ = 2π

Elektron Elektron Elektron

Elektron Sebagai Sebagai Sebagai Gelombang Sebagai Gelombang Gelombang Gelombang

Persamaan gelombang

Kecepatan Gelombang

) (

0 )

( 0 ] ) ( )

[( _{0 0 0 0}

) ,

( ^{j t k x}

x k t j n

x k t

j A e S x t A e

e

u ^{∆ωn − ∆ n ω −} = ^{ω −}











= 

∑

kecepatan fasa:

^{vf =ω0/ k0}

kecepatan group: Amplitudo gelombang akan mempunyai bentuk yang sama bila S(x,t) = konstan. Hal ini terjadi jika (∆ω)t = (∆k)x untuk setiap n

k k

t v_g x

∂ ω

= ∂

∆ ω

= ∆

∂

= ∂

Kecepatan group ini merupakan kecepatan rambat paket gelombang

Elektron Elektron Elektron

Elektron Sebagai Sebagai Sebagai Gelombang Sebagai Gelombang Gelombang Gelombang

Panjang gelombang de Broglie, Momentum, Kecepatan

Panjang gelombang

^{λ = h}_p

konstanta Planck momentum elektron

mvg

= h λ

ω π =

= ω

= h

h 2 hf E_ph

Einstein : energi photon

2 ω

2

=h

= ^g

k

E mv = λ

λ

= π

= h

k

mv_g 2

h h

k mv

p = _g = h

= λ λ

= π

=

= m

h m

m v k

v_{e g} h h 2

Momentum Kecepatan

Elektron Elektron Elektron

Elektron Sebagai Sebagai Sebagai Gelombang Sebagai Gelombang Gelombang Gelombang

de Broglie: energi elektron

Elektron Sebagai Partikel dan Elektron Sebagai Gelombang

Elektron dapat dipandang sebagai gelombang tidaklah berarti bahwa elektron adalah gelombang; akan tetapi kita dapat mempelajari gerakan elektron dengan menggunakan

persamaan diferensial yang sama bentuknya dengan persamaan diferensial untuk gelombang.

Elektron sebagai partikel:

massa tertentu, m.

Elektron sebagai partikel:

E_total = E_p+ E_k= E_p+ mv_e²/2.

Elektron sebagai partikel:

p = mv_e²

Dalam memandang elektron sebagai gelombang, kita tidak dapat menentukan momentum dan posisi elektron secara simultan dengan masing-masing mempunyai tingkat ketelitian yang kita inginkan secara bebas. Kita dibatasi oleh

prinsip ketidakpastian Heisenberg: ∆p∆x ≥ h. Demikian pula halnya dengan energi dan waktu: ∆E∆t ≥ h .

Elektron sebagai gelombang massa nol, tetapi λ = h/mv_e. Elektron sebagai gelombang:

E_total = hf = ħω.

Elektron sebagai gelombang:

p = ħk = h/λ.

Elektron Elektron Elektron

Elektron Sebagai Sebagai Sebagai Gelombang Sebagai Gelombang Gelombang Gelombang

H = Hamiltonian

Elektron sebagai partikel memiliki energi

= energi kinetik + energi potensial

) 2 (

) 2 (

2 2

x m V

x p mv V

E = + = +

) 2 (

) , (

2

x m V

x p p H

E ≡ = +

Turunan H(p,x) terhadap p memberikan turunan x terhadap t.

Turunan H(p,x) terhadap x memberikan turunan p terhadap t.

dt v_e = dx

=

dt dp dt

mdv x

F = =

= ( )

Persamaan Persamaan Persamaan

Persamaan Schr Schr Schrö Schr ö ö ödinger dinger dinger dinger

m p p

x p

H =

∂

∂ ( , )

x x V x

x p H

∂

−∂

∂ =

− ∂ ( , ) ( )

E merupakan

fungsi p dan x

Gelombang :

^{[( ) ( ) ] 0 j( 0t k0x)}

n

x k t

j A e

e

u ^{∆ωn − ∆ n ω −}











= 

∑

) ω ( 0 ] ) ( ) ω [(

0 0

0 0

ω

ω ω ^{j t k x}

n

x k t n j

e A e

t j

u _{∆ n − ∆ n −}











= 

∂

∂

∑

1 /

, sempit selang

Dalam ∆k ω_n ω₀ ≈

jEu u

j

t u = ω =

∂

∂ (h ₀) h

t u j

Eu ∂

− ∂

= h

j t

E ∂

− ∂

≡ h

Operator momentum

) (

0 ] ) ( ) [(

0 0

0 0t k x j

n

x k t n j

e A k e

jk k x

u _{∆ωn − ∆ n ω −}











− 

∂ =

∂

∑

1 /

, sempit selang

Dalam ∆k k_n k₀ ≈

jpu u

k j

xu = − = −

∂

∂ (h ₀) h

xu j

pu ∂

= h ∂

j x

p ∂

≡ h ∂

Operator energi

u merupakan fungsi t dan x Turunan u terhadap t: Turunan u terhadap x:

Persamaan Persamaan Persamaan

Persamaan Schr Schr Schrö Schr ö ö ödinger dinger dinger dinger

) 2 (

) , (

2

x m V

x p p H

E ≡ = +

j t

E ∂

− ∂

≡ h

j x

p ∂

≡ h ∂

Hamiltonian:

x x =

j t x

x V

m ∂

Ψ

= ∂ Ψ

∂ − Ψ

∂ h

h ( )

2 ²

2 2

j t z

y x

m V ∂

Ψ

= ∂ Ψ

− Ψ

∇ h

h ( , , )

2

2 2

Ψ

= Ψ E x

p H ( , )

Jika H(p,x) dan E dioperasikan pada fungsi gelombang Ψ maka diperoleh

Operator:

j t x

x V

m ∂

Ψ

− ∂

= Ψ

∂ + Ψ

− h ∂ h

) 2 ² (

2 2

Inilah persamaan Schrödinger

tiga dimensi satu dimensi

Persamaan Persamaan Persamaan

Persamaan Schr Schr Schrö Schr ö ö ödinger dinger dinger dinger

Persamaan Schrödinger Bebas Waktu

) ( ) ( )

,

( x t = ψ x T t Ψ

(

^{( )}

)

^{( ) 0}

) (

2 ²

2 2

= ψ

−

∂ + ψ

∂ E V x x

x x m

h

Aplikasi persamaan Schrödinger dalam banyak hal hanya berkaitan dengan energi potensial, yaitu besaran yang

hanya merupakan fungsi posisi

t E t T t j T x

x x V

x m

x ( ) tetapan sembarang

) ( ) 1

( ) ) (

( 2

) ( 1

2 2 2

∂ =

= ∂

 



 

 − ψ

∂ ψ

∂

ψ h h

(

^{( , , )}

)

⁰

2

2 2

= Ψ

− + Ψ

∇ E V x y z m

h Ψ

−

= Ψ

∂ − Ψ

∂ V x E

m x ( )

2 ²

2

h2

Satu dimensi Tiga dimensi

Oleh karena itu jika persamaan tersebut diupayakan tidak merupakan fungsi yang bebas waktu agar penanganannya menjadi lebih sederhana

Jika kita nyatakan: maka dapat diperoleh

sehingga

Persamaan Persamaan Persamaan

Persamaan Schr Schr Schrö Schr ö ö ödinger dinger dinger dinger

Fungsi Gelombang

dz dy

*Ψdx Ψ

2 2

0

* sin( /2)



 



 ∆

= Ψ

Ψ x

k A x

Persamaan Schrödinger adalah persamaan diferensial parsial dengan ψ adalah fungsi gelombang dengan pengertian bahwa

adalah probabilitas keberadaan elektron pada waktu tertentu dalam volume dx dy dz di sekitar titik (x, y, z)

Jadi persamaan Schrödinger tidak menentukan posisi elektron melainkan

memberikan probabilitas bahwa ia akan ditemukan di sekitar posisi tertentu. Kita juga tidak dapat mengatakan secara pasti bagaimana elektron bergerak sebagai fungsi waktu karena posisi dan momentum elektron dibatasi oleh prinsip

ketidakpastian Heisenberg

Contoh kasus satu dimensi pada suatu t = 0

Persamaan Persamaan Persamaan

Persamaan Schr Schr Schrö Schr ö ö ödinger dinger dinger dinger

Elektron sebagai suatu yang nyata harus ada di suatu tempat.

Oleh karena itu fungsi gelombang (untuk satu dimensi) harus memenuhi:

Persyaratan Fungsi Gelombang

*Ψ =1

∫

−^∞∞Ψ dx

Fungsi gelombang , harus kontinyu sebab jika terjadi ketidak-kontinyuan hal itu dapat ditafsirkan sebagai rusaknya elektron, suatu hal yang tidak dapat diterima.

Turunan fungsi gelombang terhadap posisi,juga harus kontinyu, karena turunan fungsi gelombang terhadap posisi terkait dengan momentum elektron Oleh karena itu persyaratan ini dapat diartikan sebagai persayaratan kekontinyuan momentum.

Fungsi gelombang harus bernilai tunggal dan terbatas sebab jika tidak akan berarti ada lebih dari satu kemungkinan keberadaan elektron.

Fungsi gelombang tidak boleh sama dengan nol di semua posisi sebab kemungkinan keberadaan elektron haruslah nyata, betapapun kecilnya.

Persamaan Persamaan Persamaan

Persamaan Schr Schr Schrö Schr ö ö ödinger dinger dinger dinger

Elektron Bebas

0 ) ) (

(

2 ²

2 2

= ψ

∂ + ψ

∂ E x

x x m

h

Aesx

ψ )(x =

0 ) 2 (

2

2 2 2

2

=

ψ











 +

=

+ s E x

EAe m e

m As

sx

sx h

h

harus berlaku untuk semua x

Aplikasi Persamaan Schrödinger

=0 ) (x V

2 0

2 2

= + E m s

h

2 2

dengan 2

2 ,

h h

j mE j mE

s = ± = ± α α =

x j x

j Ae

Ae

x = ^α + ^{− α}

ψ )(

2

2 h k = α = mE

m E k

2

2

h2

= m

E p 2

2

=

solusi

Energi elektron bebas mvg

= h λ

k mv

p= _g =h

Persamaan gelombang elektron bebas

x

Aej ^α

x

Ae⁻j ^α

Re Im

Elektron bebas adalah elektron yang tidak mendapat pengaruh medan listrik sehingga energi potensialnya nol,

V(x) = 0

Elektron di Sumur Potensial yang Dalam

0 L

I II III

ψ₁ V=0ψ₂ ψ₃

V=∞ V=∞

x

Daerah I dan daerah III adalah daerah- daerah dengan V = ∞,

daerah II, 0 < x < L, V = 0

sin L sin L

4 ) ( )

( _{2 2}^{2 2 2}

* 2

= π

= π ψ

ψ n

K n x

B x

x

2

2 h

= mE α

=

Probabilitas ditemukannya elektron

kx jB sin 2 ₂

=

L k nπ

=

Energi elektron

2 2 2

2 2 2

L 2

L 2 



 



=  π

= π n

m m

E n h h

n x j jB

e jB e

x

x jk x jk

sin L 2 2

2 )

( _{2 2}

2

2

2 π

=











− +

=

ψ ⁻

x j x

j B e

e B

x = ^α + ^{− α}

ψ₂( ) _{2 2}

Fungsi gelombang

Elektron yang berada di daerah II terjebak dalam “sumur potensial”

Sumur potensial ini dalam karena di daerah I dan II V = ∞

Aplikasi Persamaan Schrödinger

2 2

8mL E = h

2 2

8 4

mL E = h

2 2

8 9

mL E = h

0 4

0 3.16

ψ^*ψ

ψ

0 L b).n = 2

0 4

0 3.16

0 x L

ψ ψ^*ψ

a). n = 1

0 4

0 3.16

ψ^*ψ

ψ

0 L c). n = 3

2 2 2

2 2 2

L L 2

2 



 



= 

= π nπ

m m

E n h h

Energi elektron

Probabilitas ditemukan elektron

n x B sin L 4 ₂^{2 2}

* π

= ψ ψ

n x jB sin L

2 ₂ π

= ψ

Fungsi gelombang

Fungsi gelombang, probabilitas ditemukannya elektron, dan energi elektron, tergantung dari lebar sumur, L

Aplikasi Persamaan Schrödinger

Pengaruh lebar sumur pada tingkat-tingkat energi

2 2 2

2 2 2

L L 2

2 



 



= 

= π nπ

m m

E n h h

0 L 0 L’

n = 3

n = 2 n = 1 V

V’

Makin lebar sumur potensial, makin kecil perbedaan antara

tingkat-tingkat energi

Aplikasi Persamaan Schrödinger

Elektron di Sumur Potensial yang Dangkal

Probabilitas keberadaan elektron tergantung dari kedalaman sumur

0 L

a

d) ψ^*ψ

0 L

c) ψ^*ψ E

0 L

b) ψ^*ψ E

0 L

a) ψ^*ψ V

E

Makin dangkal sumur, kemungkinan keberadaan elektron di luar sumur makin besar

Jika diding sumur tipis, elektron bisa

“menembus”

dinding potensial

Aplikasi Persamaan Schrödinger

x

z

y L_x L_y

L_z

Sumur tiga dimensi

2 ² 0

2 2

2 2

2 2

= ψ

+













∂ ψ + ∂

∂ ψ + ∂

∂ ψ

∂ E

z y

m x h

) ( ) ( ) ( ) , ,

(x y z = X x Y y Z z ψ

) 0 ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1

2 ²

2 2

2 2

2 2

=

+













∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂ E

z z Z z y Z

y Y y x Y

x X x X m h

mE z

z Z z y Z

y Y y x Y

x X x

X ^{2 2}

2 2

2 2

2 ( ) 2

) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1

− h

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

∂

Ex

m x

x X x

X ^{2 2}

2 ( ) 2

) ( 1

− h

∂ =

∂

Ey

m y

y Y y

Y ^{2 2}

2 ( ) 2

) ( 1

− h

∂ =

∂

Ez

m z

z Z z

Z ^{2 2}

2 ( ) 2

) ( 1

− h

∂ =

∂

0 ) 2 (

) (

2 2

2

=

∂ +

∂ m E X x

x x X

h x

Arah sumbu-x

Persamaan ini adalah persamaan satu dimensi yang memberikan energi elektron:

2 2

L

2 



 



=  πn E hm

2 x 2 2

L 8m

h E_x = n^x

2 y 2 2

L 8m

h

E_y = n^y ₂

z 2 2

L 8m

h E_z = n^z Untuk tiga dimensi diperoleh:

Tiga nilai energi sesuai arah sumbu

Aplikasi Persamaan Schrödinger

Persamaan Schrödinger

dalam Koordinat Bola

persamaan Schrödinger dalam

koordinat bola

r r e

V

0 2

) 4

( = − πε

4 0 sin

1 cot

1 2

2 ₀

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

=

ψ











 + πε

+













ϕ

∂ ψ

∂ + θ

θ

∂ Ψ

∂ + θ

θ

∂ ψ + ∂

Ψ + ∂

∂ ψ

∂

r E e

r r

dr r r r

m h θ r

ϕ

x

y z elektron

inti atom

inti atom berimpit dengan titik awal koordinat

Persamaan Schrödinger, Dalam Koordinat Bola

) ( ) ( ) ( R ) , ,

( θ ϕ = Θ θ Φ ϕ

ψ r r

0 sin

1 cot

1 2 4

R R 2 R R

2 ²

2 2 2

2 2

2 0 2 2

2 2 2

=

























ϕ

∂ Φ

∂ θ + Φ

θ

∂ Θ

∂ Θ + θ θ

∂ Θ

∂ + Θ























 + πε

+











 ∂

∂ +

∂

r m r E e

dr r r

r m

h h

mengandung r tidak mengandung r

salah satu kondisi yang akan memenuhi persamaan ini adalah jika keduanya = 0

Persamaan Schrödinger dalam Koordinat Bola

Jika kita nyatakan: kita peroleh persamaan yang berbentuk

Persamaan yang mengandung r saja

0 R 4

R

2 0

2

πε =

∂ +

∂

h me

r R 2 R 0

2 2

2

=

∂ +

∂

h mE r

4 0 R

R 2 R R

2

2 0 2 2

2 2 2

 =











 + πε

+











 ∂

∂ +

∂ r

r E e

dr r r

r m h

fungsi gelombang R hanya merupakan fungsi r → simetri bola

kalikan dengan R r/ ² R 0

4 R

2 R

2 ₀

2 2

2 2

 =











 + πε

+













∂ + ∂

∂

∂

r E e

r r r

m h

kalikan dengan dan kelompokkan suku-suku yang berkoefisien konstan

/ 2

2mr h

0 2 R

R R 4

2 R

2 2

2 2

0 2

=











 +

∂ + ∂













+ πε

∂

∂

h h

mE r

me r r

Ini harus berlaku untuk semua nilai r Salah satu kemungkinan:

Persamaan Schrödinger, Dalam Koordinat Bola

2 0 2 0

4 2

2 0 2 2 4

2 0

2 2

8 32

2 4 E

h me me

me

E m =

− ε ε =

− π

 =













− πε

−

= h h

h

Inilah nilai E yang harus dipenuhi agar R₁ merupakan solusi dari kedua persamaan Energi elektron pada status ini diperoleh

dengan masukkan nilai-nilai e, m, dan h J

10 18 ,

2 ¹⁸

0

× −

−

=

E E0 = −^{13,6 eV}

esr

A₁ R =1

salah satu solusi:

2 0

2

4πε h

−

= me

s 2 0

2

2 + =

h s mE 0

R 4

R

2 0

2

πε =

∂ +

∂

h me

r R 2 R 0

2 2

2

=

∂ +

∂

h mE r

Probabilitas keberadaan elektron dapat dicari dengan menghitung probabilitas keberadaan elektron dalam suatu “volume dinding” bola yang mempunyai jari-jari r dan tebal dinding ∆r.

Persamaan Schrödinger, Dalam Koordinat Bola

sr

e r r A r e

P₁ = 4π ²∆ R₁ ² = ₁^{* 2 2}

probabilitas maksimum ada di sekitar suatu nilai r₀ sedangkan di luar r₀ probabilitas

ditemukannya elektron dengan cepat menurun keberadaan elektron terkonsentrasi di sekitar jari-jari r₀ saja

Inilah struktur atom hidrogen yang memiliki hanya satu elektron di sekitar inti atomnya dan inilah yang disebut status dasar atau ground state

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

P_e1

r [Å]

r₀ P_e

Persamaan Schrödinger, Dalam Koordinat Bola

Adakah Solusi Yang Lain?

(

_{2 2}

)

^{/ 0}

R2 = A −B r e^{−r r}

solusi yang lain:

(

3 3 3 ²

)

^{/ 0}

R3 = A −B r+C r e^{−r r}

Solusi secara umum:

^R n = Ln ⁽r⁾ e ^{−r /r0}

2 2

8mL E = h

2 2

8 4

mL E = h

2 2

8 9

mL E = h

0 4

0 3.16

ψ^*ψ

ψ

0 L b).n = 2

0 4

0 3.16

0 x L

ψ ψ^*ψ

a). n = 1

0 4

0 3.16

ψ^*ψ

ψ

0 L c). n = 3

Kita ingat:

Energi Elektron terkait jumlah titik simpul fungsi gelombang

- 0 , 2 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

R₁

R₃ R₂

r[Å]

R

bertitik simpul dua

bertitik simpul tiga

polinom

Persamaan Schrödinger, Dalam Koordinat Bola

probabilitas keberadaan elektron

2 2

R

4

_n

en

r r

P = π ∆

- 0 , 2 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1 1 , 2

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

P_e1

P_e2

P_e3

r[Å]

P_e

-16 0

0 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 n

−13,6

−3,4

−1,51

energitotal[ eV]

ground state

≈ 10,2 eV

≈ 1,89 eV bilangan kuantum prinsipal Tingkat-Tingkat Energi

Atom Hidrogen

eV 6 , 13 2

2 2

2 4 2 2

n h

n e

E_n π mZ = −

−

=

6 , 13

n2

−

Persamaan Schrödinger, Dalam Koordinat Bola

Momentum Sudut

Momentum sudut juga terkuantisasi

( )

²

2

= l l + 1 h L

bilangan bulat positif

....

3, 2, , 1 ,

= 0 l

l : menentukan besar momentum sudut, dan

m

_l

: menentukan komponen z atau arah momentum sudut Nilai l dan m

_l

yang mungkin : l = 0 ⇒ m

_l

= 0

1 , 0

1 ⇒ = ±

= m

_l

l

2 , 1 , 0

2 ⇒ = ± ±

= m

_l

l dst.

Momentum sudut ditentukan oleh dua macam bilangan bulat:

Persamaan Schrödinger, Dalam Koordinat Bola

l disebut bilangan kuantum momentum sudut, atau bilangan kuantum azimuthal

m

_l

adalah bilangan kuantum magnetik

11 9

7 5

3 1

degenerasi

h g

f d p

s simbol

5 4

3 2

1 0

bilangan kuantum l

Persamaan Schrödinger, Dalam Koordinat Bola

Ada tiga bilangan kuantum.

(1) bilangan kuantum utama, n, yang menentukan tingkat energi;

(2) bilangan kuantum momentum sudut, atau bilangan kuantum azimuthal, l;

(3) bilangan kuantum magnetik, m

_l

. Bilangan Kuantum

0 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 n :

−13,6

−3,4

−1,51

energi total [ eV ]

Bohr

bilangan kuantum utama

2s, 2p

1s

3s, 3p, 3d

lebih cermat

(4) Spin Elektron: ± ½ dikemukakan oleh Uhlenbeck

Persamaan Schrödinger, Dalam Koordinat Bola

Konfigurasi Elektron Dalam Atom Netral

Kandungan elektron setiap tingkat energi

60 32

14 10

6 2

4

28 18

10 6

2 3

10 8

6 2

2

2 2

2 1

f d

p s

Jumlah s/d tingkat Jumlah

tiap tingkat status momentum sudut

n

Persamaan Schrödinger dalam Koordinat Bola

Orbital

inti atom

inti atom 1s

2s

y z

x

Persamaan Schrödinger dalam Koordinat Bola

H: 1s

¹

; He: 1s

²

Li: 1s

²

2s

¹

; Be: 1s

²

2s

²

; B: 1s

²

2s

²

2p

¹

; C: 1s

²

2s

²

2p

²

; N: 1s

²

2s

²

2p

³

; O: 1s

²

2s

²

2p

⁴

; F: 1s

²

2s

²

2p

⁵

;

Ne: 1s

²

2s

²

2p

⁶

...dst

Penulisan konfigurasi elektron unsur-unsur

Persamaan Schrödinger dalam Koordinat Bola

Diagram Tingkat Energi

e n e r g i

tingkat 4s sedikit lebih rendah dari 3d

Persamaan Schrödinger dalam Koordinat Bola

Pengisian Elektron Pada Orbital

H: pengisian 1s;

He: pemenuhan 1s;

Li: pengisian 2s;

Be: pemenuhan 2s;

B: pengisian 2p

_x

dengan 1 elektron;

C: pengisian 2p

_y

dengan 1 elektron;

N: pengisian 2p

_z

dengan 1 elektron;

O: pemenuhan 2p

_x

; F: pemenuhan 2p

_y

; Ne: pemenuhan 2p

_z

.

↑

↑

↑↑

↑↓↑↓

↑↓↑↓

↑↓

↑↓

↑↓

↑↓ ↑↑↑↑

↑↓

↑↓

↑↓

↑↓ ↑↓↑↓↑↓↑↓

↑↓↑↓

↑↓↑↓ ↑↓↑↓↑↓↑↓ ^↑↑↑↑

↑↓

↑↓

↑↓

↑↓ ↑↓↑↓↑↓↑↓ ^{↑↑↑↑ ↑↑↑↑}

↑↓

↑↓

↑↓

↑↓ ↑↓↑↓↑↓↑↓ ↑↑↑↑ ↑↑↑↑↑↑↑↑ ↑↑↑↑↑↑↑↑

↑↓

↑↓

↑↓

↑↓ ↑↓↑↓↑↓↑↓ ↑↓↑↓↑↓↑↓ ↑↑↑↑↑↑↑↑ ↑↑↑↑↑↑↑↑

↑↓↑↓

↑↓↑↓ ↑↓↑↓↑↓↑↓ ↑↓↑↓↑↓↑↓ ↑↓↑↓↑↓↑↓ ↑↑↑↑↑↑↑↑

↑↓

↑↓

↑↓

↑↓ ↑↓↑↓ ↑↓↑↓↑↓ ↑↓↑↓↑↓ ↑↓↑↓↑↓↑↓ ↑↓↑↓↑↓↑↓

Persamaan Schrödinger dalam Koordinat Bola

Tingkat energi 4s lebih rendah dari 3d. Hal ini terlihat pada perubahan konfigurasi dari Ar (argon) ke K (kalium).

Ar: 1s

²

2s

²

2p

⁶

3s

²

3p

⁶

K: 1s

²

2s

²

2p

⁶

3s

²

3p

⁶

4s

¹

(bukan 3d

¹

) Ca: 1s

²

2s

²

2p

⁶

3s

²

3p

⁶

4s

²

(bukan 3d

²

)

Sc: 1s

²

2s

²

2p

⁶

3s

²

3p

⁶

3d

¹

4s

²

(orbital 3d baru mulai

terisi setelah 4s penuh) Y: 1s

²

2s

²

2p

⁶

3s

²

3p

⁶

3d

²

4s

²

(dan unsur selanjutnya

pengisian 3d sampai penuh)

Konfigurasi Elektron Dalam Atom