KONTROL OPTIMAL PADA PENGADAAN BAHAN MENTAH DENGAN KEBIJAKAN PENGADAAN TEPAT WAKTU, PERGUDANGAN, DAN PENUNDAAN

(1)

WINTER

Template

KONTROL OPTIMAL PADA PENGADAAN BAHAN MENTAH DENGAN KEBIJAKAN PENGADAAN TEPAT WAKTU, PERGUDANGAN, DAN PENUNDAAN

01

Oleh:

Darsih Idayani 1206 100 040

LAPORAN TUGAS AKHIR

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Surabaya

Pembimbing:

Subchan, Ph.D

(2)

I. PENDAHULUAN 02

Permasalahan pengadaan bahan mentah

Kelebihan persediaan

Biaya penyimpanan meningkat

Pemborosan: stok bahan mentah menganggur, dibuang

karena kedaluwarsa

Kekurangan persediaan

Proses produksi terhambat

1.1 LATAR BELAKANG

(3)

03 SOLUSI:

Model pengadaan bahan mentah dengan

kebijakan pengadaan JIT, pergudangan, dan

penundaan

Teori kontrol optimal

NPV minimum

Biaya pengadaan bahan mentah

optimal

Hemat biaya

produksi

(4)

04 1. Bagaimana menyelesaikan model pengadaan bahan mentah dengan menggunakan teori kendali optimal.

2. Bagaimana simulasi model pengadaan bahan mentah dengan menggunakan Matlab.

1.2 RUMUSAN MASALAH

(5)

05 1. Persediaan awal bahan mentah diasumsikan

tidak ada .

2. Persediaan akhir bahan mentah diasumsikan habis digunakan dalam proses produksi

3. Biaya pemesanan bahan mentah diasumsikan tidak ada.

4. Waktu tunggu (lead time) pemesanan bahan mentah diasumsikan tidak ada.

5. Tingkat suku bunga diasumsikan konstan selama periode pembelian bahan mentah.

6. Kapasitas gudang diasumsikan konstan.

1.3 BATASAN MASALAH

(6)

WINTER

Template

1. Mendapatkan penyelesaian model pengadaan bahan mentah dengan menggunakan teori kendali optimal.

2. Mendapatkan hasil simulasi model pengadaan bahan mentah dengan menggunakan Matlab.

01 1.4 TUJUAN

Dapat menjadi salah satu metode alternatif bagi perusahaan dalam mencari solusi optimal pada permasalahan pengadaan bahan mentah.

1.5 MANFAAT

(7)

02 II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 MODEL PENGADAAN BAHAN MENTAH

Optimasi masalah pengadaan bahan mentah tersebut dapat dimodelkan sebagai berikut (Arnold, Minner, dan Eidam, 2007)

sistem dinamik:

kondisi batas:

biaya penyimpanannya adalah

(8)

WINTER

Template

01 digunakan untuk menganalisis Discounted Cash Flow (DCF) dan merupakan metode standar untuk menaksir kondisi finansial dari proyek jangka panjang [11]

2.2 NET PRESENT VALUE

Net Present Value

(NPV)

Discounting

proses menemukan nilai sekarang

bersih (NPV) dari sejumlah uang yang

diterima pada waktu yang akan datang

sehingga bentuk perhitungan dasarnya

adalah nilai waktu dari uang [11]

(9)

02 Untuk mendapatkan NPV dilakukan discounting dengan faktor pemotongan sebesar atau untuk sistem waktu secara kontinu digunakan faktor pemotongan sebesar [12].

R

_t

: arus kas bersih (net cash flow) pada waktu ke-t r : tingkat suku bunga

t : waktu arus kas

atau

(10)

03 Tujuan utama dari kontrol optimal adalah menentukan signal kendali yang akan diproses dalam sistem dan memenuhi kendala fisik. Kemudian, pada waktu yang sama dapat ditentukan nilai optimum (maksimum/minimum) yang sesuai dengan kriteria fungsi tujuan.

2.3 KONTROL OPTIMAL

Gambar Skema Kendali

(11)

04 Formulasi pada permasalahan kendali optimal (Naidu, 2002) adalah

1. Mendiskripsikan proses secara matematika artinya mendapatkan metode matematika dari proses terjadinya pengendalian (secara umum dalam bentuk variabel keadaan).

2. Spesifikasi dari fungsi tujuan.

3. Menentukan kondisi batas dan kendala fisik pada

keadaan (state) dan atau kendali.

(12)

05

,

dengan kendala

2.4 PONTRYAGIN’S MAXIMUM PRINCIPLE Perhatikan permasalahan berikut ini:

Dari permasalahan di atas diperoleh fungsi Hamiltonian dan

Hamiltonian-Lagrange sebagai berikut

(13)

WINTER

Template

01

.

Kondisi perlu (necessary condition) untuk mencapai kondisi optimal adalah

1.Kondisi stasioner

2. Persamaan state dan co-state

dengan dan

(14)

02 2.5 FORMULASI CURRENT VALUE

Dalam manajemen sains dan masalah ekonomi, fungsi tujuan biasanya diformulasikan dalam bentuk nilai waktu dari uang atau peralatan. Aliran uang atau peralatan yang akan datang biasanya discounted. Berikut ini adalah fungsi tujuan yang discounted

Kondisi perlu (necessary condition) untuk mencapai kondisi optimal adalah

1. Kondisi stasioner

2. Persamaan state dan co-state

dengan dan

(15)

04 2.6 KENDALI BANG-BANG DAN SINGULAR

Kendali bang-bang dan singular muncul ketika persamaan Hamiltonian bergantung secara linear dengan kendali ,

sehingga yang optimal tidak dapat ditentukan dari kondisi

Karena terbatas maka dapat ditetapkan Hamiltonian yang minimum seperti dibawah ini [10]

Kontrol akan menghasilkan busur singular yang optimal jika : 1. Persamaan Hamiltonian

2. Kondisi Kelley yang dinyatakan oleh persamaan sebagai berikut : Kondisi ini disebut juga kondisi umum Legendre-Clebs yang menjamin

persamaan Hamiltonian optimal di sepanjang busur singular.

(16)

05 2.6 PENDEKATAN PEMROGRAMAN NONLINIER

Misalkan terdapat masalah optimasi seperti berikut ini:

dengan kendala i = 1, … m Berikut ini merupakan fungsi Lagrange

dimana , i = 1, … m, merupakan pengali Lagrange.

Agar optimal secara lokal, harus memenuhi kondisi perlu orde pertama Karush-Kuhn-Tucker (KKT) [9]

dengan j = 1, … n dan i = 1, … m

(17)

02 III. METODE PENELITIAN

Studi literatur

Penyelesaian model pengadaan bahan mentah dengan toeri kontrol optimal

Mencari lintasan optimal pada setiap periode kebijakan

Simulasi dengan menggunakan Matlab Penarikan kesimpulan dan pemberian saran

(18)

03 IV. PEMBAHASAN

4.1 PENERAPAN TEORI KONTROL OPTIMAL PADA MODEL PENGADAAN BAHAN MENTAH

Dari model pengadaan bahan mentah diperoleh fungsi Hamiltonian dan Hamiltonian-Lagrange sebagai berikut

Kondisi perlu (necessary condition) untuk mencapai kondisi optimal adalah

1. Kondisi stasioner

2. Persamaan state dan co-state

(19)

05

Kendali muncul secara linier dalam Hamiltonian sehingga yang optimal tidak dapat ditentukan dari kondisi

(fungsi switching). Karena terbatas maka dapat ditetapkan Hamiltonian yang maksimum seperti dibawah ini

,

, ,

,

Kondisi perlu yang dibentuk dengan KKT yang harus dipenuhi untuk mencapai kondisi optimal adalah sebagai berikut

(20)

WINTER

Template

01 4.2 SOLUSI OPTIMAL MODEL PENGADAAN BAHAN MENTAH

4.2.1 SIFAT- SIFAT PADA PENYELESAIAN MODEL PENGADAAN BAHAN MENTAH

Sifat 1:

1. Kebijakan pergudangan dan JIT tidak dapat terjadi pada waktu yang sama.

2. Kondisi

,

mengidentifikasikan calon titik untuk memasuki interval persediaan positif (pergudangan).

,

(21)

02

Sifat 2:

1. Kebijakan penundaan dan JIT tidak dapat terjadi pada waktu yang sama.

2. Kondisi

,

mengidentifikasikan calon titik untuk mengakhiri penundaan atau keluar dari interval persediaan negatif (penundaan).

Sifat 3:

1. Kebijakan pergudangan dan JIT dapat terjadi pada waktu yang

sama jika .

2. Kendala kapasitas gudang berlaku sejak waktu pemesanan dimulai atau sejak interval persediaan positif.

(22)

03

4.2.2 PERIODE KEBIJAKAN OPTIMAL 1. Pengadaan tepat waktu (JIT)

Variabel Pengadaan JIT d(t)

0 p(t) 0

0

Tabel 4.1 Lintasan optimal periode pengadaan JIT.

(23)

04

2. Pergudangan (destocking)

Tabel 4.2 Lintasan optimal periode pergudangan.

Variabel Pengadaan JIT

0

0 jika jika

(24)

05

3. Penundaan (backlogging)

Tabel 4.1 Lintasan optimal periode penundaan.

Variabel Pengadaan JIT

0

0 0

(25)

WINTER

Template

01

4.2.3 LANGKAH-LANGKAH UNTUK MEMPEROLEH SOLUSI OPTIMAL 1. Menentukan titik dengan menyelesaikan persamaan

dengan syarat .

2. Menentukan titik dengan menyelesaikan persamaan , .

3. Menentukan titik dengan menyelesaikan persamaan

dengan syarat .

4. Menentukan titik dengan menyelesaikan persamaan , .

5. Memeriksa keberadaan titik .

Dikatakan tumpang tindih jika sehingga mengakibatkan titik dieliminasi. Sedangkan titik menjadi titik . Titik dapat

diperoleh dengan menyelesaikan persamaan , 6. Menghitung jumlah pembelian

(26)

02

7. Menentukan titik dengan memeriksa jumlah pembelian pada langkah 6 terhadap kapasitas gudang.

a. Jika , maka titik = titik . Sedangkan titik yang lainnya nilainya tetap.

b. Jika , maka titik = titik . Titik dan

nilainya tetap karena tidak ada pengaruhnya terhadap kapasitas gudang, tetapi titik dan atau berubah. Titik yang baru dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan jumlah kapasitas . Titik yang baru dapat diperoleh dengan cara yang sama pada langkah 2 dan titik yang baru dapat diperoleh dengan cara yang sama pada langkah 5 dengan memasukkan titik yang baru.

(27)

03

8. Menghitung NPV biaya pengadaan bahan mentah.

a. Periode JIT

Jika terdapat periode yang saling tumpang tindih maka NPV-nya adalah

b. Periode pergudangan

dengan

(28)

04

c. Periode penundaan

dengan

dan d. Pengisian ulang bahan mentah

e. Pemenuhan permintaan akibat penundaan

Jadi nilai NPV biaya pengadaan bahan mentah keseluruhan adalah

(29)

05

Dalam simulasi ini menggunakan data parameter sebagai berikut [2]:

p(t) :

Rentang waktu :

d(t) : 1 + 0.1t

r : 0.05

h_w(t) : 0.1

h_b(t) : 0.5

w : 2

NPV biaya pengadaan bahan mentah dengan kebijakan JIT adalah

4.3 SIMULASI

(30)

WINTER

Template

01

NPV biaya pengadaan bahan mentah dengan kebijakan JIT,

pergudangan, dan penundaan yang diselesaikan dengan menggunakan langkah-langkah pada sub bab 4.2.3. Hasilnya adalah

Dari titik kritis di atas diperoleh NPV dari setiap kondisi kemudian dijumlahkan sehingga menghasilkan NPV total

= 10.0770 – 0.1534 – 2.480 – 4.8019 + 23.9464

= 36.1917

Jadi, NPV biaya pengadaan bahan mentah dengan kebijakan JIT,

pergudangan, dan penundaan adalah 36.1917 yang hasilnya lebih kecil jika dibandingkan dengan NPV biaya pengadaan bahan mentah dengan kebijakan JIT saja yaitu 41.4246.

(31)

02

0 1 2 3 4 5 6 7

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

t

Solusi optimal model pengadaan bahan mentah.

Keterangan:

Biru : grafik u(t) Merah : grafik x(t) Hijau : grafik p(t) Merah muda: grafik

(32)

03

Kesimpulan

1. Permasalahan pengadaan bahan mentah dapat diselesaikan dengan menggunakan teori kendali optimal.

2. Biaya pengadaan bahan mentah dengan kebijakan pengadaan tepat waktu (JIT), pergudangan, dan penundaan lebih optimal daripada biaya pengadaan bahan mentah yang hanya

menerapkan kebijakan JIT.

Saran

1. Permasalahan pengadaan bahan mentah dapat dikembangkan dengan menambahkan biaya pemesanan dan waktu tunggu (lead time) pemesanan.

2. Pengadaan bahan mentah lebih dikhususkan pada jenis bahan mentah tertentu, misalkan logam, tepung, atau kayu.

V. KESIMPULAN DAN SARAN

(33)

04

[1] Anshori, Alfi. 2008. ”Penerapan Teori Kontrol Optimal pada

Pengadaan Bahan Mentah dengan Harga ayang Berfluktuasi dan Kapasitas Gudang yang Terbatas”. Tugas Akhir. Jurusan Sistem Informasi ITS Surabaya.

[2] Arnold, J., Minner, S., dan Eidam, B. 2007. ”Raw Material Procurement with Fluctuating Price”. International Journal of Production Economics 121 (2009) 353-364.

[3] Bunawan. 1994. “Pengantar Manajemen Operasi: Seri Diktat Kuliah”. Jakarta: Gunadarma.

[4] Bryson, A. E. dan Ho, Y. C. 1975. “Applied Optimal Control”. New York: Taylor & Francis Group.

[5] Fabozzi, F. J. dan Drake, P. P. 2009. “Finance: Capital Markets, Financial Management, and Investment Management”. New Jersey:

John Wiley Son, Inc.

[6] Kamien, M. I. dan Schwartz, N. L. 1981. ”Dynamic Optimization:

The Calculus of Variations and Optimal Control in Economics and Management”. 1^st edition. North Holland, Amsterdam: Elsevier Science Publishing Co, Inc.

(34)