MODUL 2 OPTIMISASI OPTIMISASI EKONOMI EKONOMI. SRI SULASMIYATI, S.Sos, M.AP. Ari Darmawan, Dr., S.AB, M.AB

MODUL 2 OPTIMISASI EKONOMI

Ari Darmawan, Dr. , S.AB, M.AB aridarmawan_fia@ub.ac.id

OPTIMISASI EKONOMI

SRI SULASMIYATI, S.Sos, M.AP

Pendahuluan

 Adanya kebutuhan manusia yang tidak terbatas dan terbatasnya sumber daya, telah menyebabkan individu dan

masyarakat terpaksa untuk memiliih

kebutuhan yang menjadi prioritas pertama

 Sebagai manusia ekonomi, individu dan masyarakat berusaha untuk memenuhi

kebutuhannya secara optimal berdasarkan sumber daya yang dimilikinya

Pendahuluan

 Ekonomi manajerial  pilihan yang optimal merupakan solusi yang efisien (berhasil

guna) dan efektif (berdaya guna)

 Efektif jika tingkat output produksi

mencapai tingkat yang maksimal berdasarkan pada tingkat penggunaan input yang telah

ditetapkan

 Efisien ketika tingkat output produksi telah mencapai tingkat yang maksimal dan dengan penggunaan input yang minimal

Pendahuluan

 Terminologi optimalisasi ekonomi adalah maksimalisasi output dan

minimalisasi input

 Pilihan yang optimal merupakan solusi yang efisien (berhasil guna) dan efektif

(berdaya guna) merupakan hasil akhir dari pengambilan keputusan.

Teknik dalam optimasi ekonomi

 Persamaan fungsi merupakan

persamaan matematis yang menyatakan hubungan antara dua hal

 Metode tabel merupakan salah satu

metode yang yang menyatakan hubungan antara dua hal dengan menggunakan tabel

 Metode grafik merupakan salah satu metode yang yang menyatakan hubungan antara dua hal dengan menggunakan grafik

Contoh

 Diketahui: Fungsi persamaan TR = 200Q

 Tabel:

Jumlah Unit Terjual

Total Revenue

25 5.000

30 6.000

35 7.000

40 8.000

Contoh

TR=200Q

D

25 30 5.000

Q P

35 40 6.000

7.000 8.000

D

OPTIMISASI EKONOMI TANPA KENDALA

 Optimisasi ekonomi tanpa kendala  manajer perusahaan diasumsikan tidak akan menghadapi berbagai kendala di dalam keputusan optimisasi

Hubungan antara nilai total, rata-rata dan marjinal

 Salah satu analisis yang dapat digunakan untuk perusahaan untuk dapat

memaksimalkan perusahaan adalah analisis hubungan biaya total, biaya rata-rata dan biaya marjinal

 Biaya total merupakan jumlah total biaya secara keseluruhan yang dikeluarkan oleh perusahaan untuk memproduksi suatu

produksi (TC = TFC + TVC)

Hubungan antara nilai total, rata-rata dan marjinal

 Biaya rata-rata merupakan jumlah biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan untuk memproduksi satu unit produk

(Q) produk

Jumlah

(TC) total

Biaya (AC)

Cost

Average 

Hubungan antara nilai total, rata-rata dan marjinal

 Biaya marjinal (MC) merupakan tambahan biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan yang dikarenakan adanya pertambahan produk yang diproduksi

(Q) produk

Jumlah

(TC)

total Biaya

(MC) Cost

Marginal



 

Contoh

Diketahui: TC = 180 + 50Q

Jumlah produk

(Q)

Biaya total (TC)

Biaya rata-rata

(AC)

Biaya marjinal

(MC)

0 180 - -

1 230 230 50

2 280 140 50

3 330 110 50

4 380 95 50

5 430 86 50

Fungsi dan Diferensiasi

 Fungsi merupakan bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan suatu variabel dengan variabel lain.

Komponen-komponen yang membentuk suatu fungsi adalah: a) Koefisien, b)

Konstanta, dan c) Variabel

Fungsi dan Diferensiasi

 Variabel merupakan komponen penting yang membentuk suatu fungsi. Terdapat dua jenis variabel, yaitu:

a. Variabel bebas (independent variable),

merupakan variabel yang tidak dipengaruhi oleh variabel lain.

b. Variabel terikat (dependent variable),

merupakan variabel yang dipengaruhi oleh variabel lain.

 Notasi untuk menyatakan suatu fungsi adalah:

Y = f(x)

Contoh

1) Fungsi linear

 Y = 86 - 0,67X, atau dapat dinyatakan,

 f(x) = 86 - 0,67X 2) Fungsi non linear

 Y = 10 + 5X + X², atau dapat dinyatakan,

 f(x) = 10 + 5X + X²

Turunan fungsi

 Turunan fungsi merupakan perubahan dari suatu fungsi yakni bagaimana variabel

terikat mengalami perubahan terkait dengan perubahan variabel bebas.

 Notasi untuk menyatakan suatu fungsi adalah:

atau Y’ atau f’(x) dx

dy

Turunan fungsi

 Syarat utama dari turunan fungsi, adalah sebagai berikut:

x limit y

dx dy

0

x 

 





Aturan diferensiasi

 Untuk menurunkan suatu fungsi, terdapat beberapa kaidah-kaidah untuk

menurunkan suatu fungsi, atau dikenal

sebagai Aturan Diferensiasi (Rules of Differentiation). Berikut ini merupakan beberapa kaidah-kaidah atau aturan

untuk menurunkan suatu fungsi, antara lain:

Aturan diferensiasi

1. Turunan dari fungsi y = C (konstanta)

Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi y = C adalah:

 0 dx  y'

dy

Aturan diferensiasi

2. Turunan dari fungsi pangkat

Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi pangkat adalah:

 Fungsi pangkat Y = aX^b

X a b.

dx y'

dy

_b-1





Aturan diferensiasi

3. Turunan dari penjumlahan atau pengurangan

Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi penjumlahan atau pengurangan adalah:

 Fungsi penjumlahan (pengurangan):

Jika Y = u (X) ± v (X)

dx dv dx

y' du dx

dy   

Aturan diferensiasi

4. Turunan dari perkalian

Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi perkalian adalah:

 Jika Y = u (X) × v (X)

dx . dv dx v

. du u

dx y'

dy   

Aturan diferensiasi

5. Turunan dari pembagian

Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi pembagian adalah:

 Jika Y = u (X) : v (X)

v2

dx u dv dx

v du

v

Y' u 





v2

) v' . (u -

) u' Y' (v.

Aturan diferensiasi

6. Turunan dari fungsi berantai

Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi berantai adalah:

Jika Y = f(u) dimana u = g(x), maka dx

v du du

dy dx

y'  dy  

Menentukan maksimasi dan minimasi dengan kalkulus

 Perusahaan berkepentingan terhadap perhitungan maksimasi dan minimasi

dikarenakan perusahaan ingin mengetahui jumlah pendapatan maksimal yang dapat diperoleh perusahaan dan seberapa besar biaya minimal yang harus dikeluarkan untuk memproduksi produk perusahaan  Laba maksimum

 Untuk memaksimalkan labanya, perusahaan berusaha untuk memaksimalkan

pendapatanya dan berusaha untuk meminimalkan biaya produksinya

Contoh

Diketahui: 1. TR = 120Q – 10Q² 2. TC = 200 + 25Q Hitung: Laba yang optimal (∏)

∏ = TR – TC

= (120Q – 10Q²) – (200 + 25Q)

= 120Q – 10Q² – 200 – 25Q

= – 10Q² + 95Q – 200

= – Q² + 9,5Q – 20

Contoh

∏ = – Q² + 9,5Q – 20 Y’= – 2Q + 9,5

2Q = 9,5 Q = 4,75

= 5 unit (pembulatan)

∏ = – 10Q² + 95Q – 200

= – 10 (5)² + 95 (5) – 200

= – 250 + 475 – 200

= 25

Contoh

Q TR TC Laba

0 0 200 -200

1 110 225 -115

2 200 250 -50

3 270 275 -5

4 320 300 20

5 350 325 25

6 360 350 10

7 350 375 -25

8 320 400 -80

9 270 425 -155

10 200 450 -250

Memaksimumkan fungsi dengan banyak variabel

 Hubungan lebih dari dua variabel dapat dirumuskan sebagai berikut: ∏ = f(X, Y).

Intepretasi dari ∏ = f(X, Y) adalah laba yang

optimal dipengaruhi atau tergantung oleh variabel X dan variabel Y.

 Untuk menentukan dampak marjinal pada variabel terikat (misalnya laba yang optimal) yang

disebabkan karena adanya perubahan variabel X dan variabel Y, maka analisis perubahan variabel X dan variabel Y akan di analisis secara terpisah.

 Untuk menghitung dampak marjinal dari perubahan variabel X dan variabel Y, dapat menggunakan metode turunan parsial.

Contoh

Diketahui: ∏ = f(X,Y) = 100X – 4X² – XY – 5Y² + 120Y

Hitung: Laba yang optimal (∏)

Turunan parsial variabel X  turunan dari ∏ = f(X,Y)

= 100X – 4X² – XY

Turunan parsial variabel Y  turunan dari ∏ = f(X,Y)

= XY – 5Y² + 120Y Y 8X

X 100

π   





120 Y

1 Y X

π    



 0

Contoh

Untuk memaksimumkan fungsi laba, kita

harus membuat setiap turunan parsial sama dengan nol.

0 Y

8X X 100

π    





0 120

Y 1

Y X

π     



 0

Contoh

Langkah selanjutnya adalah kalikan persamaan pertama dengan -10 dengan tujuan nilai Y menjadi nol, sehingga perhitungan akan sebagai berikut:

–1000 + 80X + 10Y = 0 120 – X – 10Y = 0 – 880 + 79X = 0

79X = 880 X = 11,14

= 11 (pembulatan) 100 – 8X – Y = 0

100 – 8 (11) – Y = 0 100 – 88 – Y = 0 12 – Y = 0

Y = 12

Contoh

Berdasarkan pada perhitungan di atas, maka dapat

diketahui perusahaan akan memperoleh laba yang optimal ketika perusahaan menjual produk X sebesar 11 unit dan menjual produk Y sebesar 12 unit. Laba optimal yang akan diperoleh perusahaan adalah sebagai berikut:

∏ = 100X – 4X² – XY – 5Y² + 120Y

= 100 (11) – 4 (11)² – (11) (12) – 5 (12)² + 120 (12)

= 1100 – 484 – 132 – 720 + 1440

= 1204

OPTIMISASI EKONOMI DENGAN KENDALA

 Optimisasi ekonomi dengan kendala perlu kita perhatikan dikarenakan pada umumnya manajer perusahaan akan menghadapi

berbagai kendala di dalam keputusan optimisasi.

 Beberapa kendala yang dihadapi oleh manajer perusahaan di dalam keputusan optimisasi,

antara lain: a) terbatasnya kapasitas produksi, b) terbatasnya bahan mentah, c) terbatasnya sumber daya manusia, d) kendala hukum, dan lain-lain

Metode yang dapat digunakan

1. Optimisasi terkendala dengan substitusi

Metode ini mengubah permasalahan optimisasi terkendala menjadi

permasalahan optimisasi tanpa kendala, dengan cara memecah persamaan

kendala untuk satu variabel keputusan dan kemudian mensubstitusikan nilai ini ke dalam persamaan optimisasi

terkendala.

Contoh

Diketahui: 1. ∏ = f(X,Y) = 100X – 4X² – XY – 5Y² + 120Y 2. X + Y = 20

Hitung: Laba yang optimal (∏)

Fungsi kendala X + Y = 20

X = 20 – Y

Persamaan optimisasi dengan kendala

∏ = 100X – 4X² – XY – 5Y² + 120Y

= 100(20 – Y) – 4(20 – Y)² – (20 – Y)Y – 5Y² + 120Y

= 2000 – 100Y – 4(400 – 40Y + Y²) – 20Y + Y² – 5Y² + 120Y

= 2000 – 100Y – 1600 + 160Y – 4 Y² – 20Y + Y² – 5Y² + 120Y

= – 4 Y² + Y² – 5Y² – 100Y + 160Y – 20Y + 120Y + 2000 – 1600

= – 8 Y² + 160 Y + 400

Contoh

Untuk memaksimumkan optimisasi tanpa kendala di atas, kita harus menurunkan persamaan

tersebut, yaitu:

- 16Y = - 160 Y = 10

16 Y 16Y

π    0  0





Contoh

Langkah selanjutnya adalah mensubsitusikan nilai Y=10 kedalam persamaan kendala, maka

perhitungan adalah sebagai berikut:

X + Y = 20 X + 10 = 20

X = 20 – 10 X = 10

Contoh

Berdasarkan pada perhitungan di atas, maka dapat

diketahui perusahaan akan memperoleh laba yang optimal ketika perusahaan menjual produk X sebesar 10 unit dan menjual produk Y sebesar 10 unit. Laba optimal yang akan diperoleh perusahaan adalah sebagai berikut:

∏ = 100X – 4X² – XY – 5Y² + 120Y

= 100 (10) – 4(10)² – (10) (10) – 5(10)² + 120 (10)

= 1000 – 400 – 100 – 500 + 1200

= 1200

Metode yang dapat digunakan

2. Optimisasi terkendala dengan metode pengali Lagrange

Contoh Diketahui:

1. ∏ = f(X,Y) = 100X – 4X² – XY – 5Y² + 120Y 2. X + Y = 20

Hitung: Laba yang optimal (∏)

Pembahasan

Fungsi kendali, X + Y = 20, maka:

X + Y – 20 = 0

Fungsi lagrange, adalah:

L_∏ = 100X – 4X² – XY – 5Y² + 120Y

= 100X – 4X² – XY – 5Y² + 120Y λ (X + Y – 20)

Pembahasan

Langkah berikutnya adalah mencari turunan parsial L_∏ terhadap X, Y dan λ dan ditetapkan sama dengan nol, sehingga dapat diperoleh:

λ Y

X 8X L_π

0 100    

 



λ

120 Y

1 Y X

L_π

0

0   





 



20 Y

λ X L_π

 0





 



Pembahasan

Langkah berikutnya adalah,

Dikurangi oleh

λ Y

X 8X L_π

0

100    

 



λ

120 Y

1 Y X

L_π

0

0   





 



Pembahasan

Maka,

100 – 8X – Y = 0 120 – X – 10 Y = 0 –

- 20 – 7X + 9 Y = 0

Pembahasan

Langkah berikutya adalah, mengalikan persamaan X + Y – 20 dengan angka 7, sehingga perhitungannya

sebagai berikut:

7X + 7 Y – 140 = 0 – 7X + 9 Y – 20 = 0 +

16 Y – 160 = 0 16 Y = 160

Y = 10 X + Y – 20 = 0

X + 10 – 20 = 0 X – 10 = 0

X = 10

Pembahasan

Berdasarkan pada perhitungan di atas, maka dapat diketahui nilai X sebesar 10 dan nilai Y sebesar 10, maka langkah berikutnya adalah mencari nilai

λ Y

X 8X L_π

0

100    

 



Pembahasan

100 – 8X – Y + λ = 0 100 – 8 (10) – 10 + λ = 0 100 – 80 – 10 + λ = 0 10 + λ = 0

λ = - 10 - X – 10 Y + 120 + λ = 0 - (10) – 10 (10) + 120 + λ = 0 - 10 – 100 + 120 + λ = 0 10 + λ = 0

λ = - 10

Pembahasan

Berdasarkan pada perhitungan di atas, maka dapat diketahui perusahaan akan memperoleh laba yang

optimal ketika perusahaan menjual produk X sebesar 10 unit dan menjual produk Y sebesar 10 unit. Laba optimal yang akan diperoleh perusahaan adalah

sebagai berikut:

∏ = 100X – 4X² – XY – 5Y² + 120Y

= 100 (10) – 4(10)² – (10) (10) – 5(10)² + 120 (10)

= 1000 – 400 – 100 – 500 + 1200

= 1200