GETARAN HARMONIS
TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan sebagai berikut.
1. Memahami konsep getaran harmonis sederhana pada bandul dan pegas beserta besaran-besarannya.
2. Memahami persamaan-persamaan pada getaran harmonis sederhana beserta konsep energinya.
A. Getaran Harmonis Sederhana
Getaran harmonis sederhana (GHS) merupakan gerakan bolak-balik melalui titik kesetimbangan dengan amplitudo (simpangan maksimum) dan frekuensi yang tetap.
Getaran harmonis sederhana bersifat periodik. Artinya, setiap gerakan yang terjadi akan berulang secara teratur dalam selang waktu yang sama. Contoh kasus getaran harmonis sederhana adalah gerak pada bandul sederhana dan pegas. Syarat-syarat suatu benda dikatakan melakukan getaran harmonis sederhana adalah sebagai berikut.
1. Gerakannya bolak-balik 2. Berlangsung secara periodik 3. Adanya titik kesetimbangan
4. Gaya atau percepatan yang bekerja pada benda sebanding dengan besar posisi/
simpangan benda
5. Arah gaya atau percepatan yang bekerja pada benda selalu menuju titik kesetimbangan
FISIKA K
e l a s X
K-13
2
B. Periode dan Frekuensi
Periode T merupakan waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu kali getaran, sedangkan frekuensi f merupakan banyaknya getaran yang dilakukan oleh benda per sekon. Secara matematis, periode dan frekuensi dirumuskan sebagai berikut.
T t n f n t
=
=
f = T 1
Keterangan:
T = periode getaran (s);
f = frekuensi getaran (Hz);
n = banyaknya getaran; dan t = lamanya bergetar (s).
Contoh Soal 1
Sebuah benda bergetar sebanyak 20 kali selama 4 sekon. Tentukanlah periode dan frekuensi getaran tersebut.
Pembahasan:
Diketahui:
n =20 t = 4 s
Ditanya: T =…?
f = …?
Dijawab:
Periode dan frekuensi getaran dapat ditentukan dengan rumus berikut.
T t n f n t
= = 4 20 = 1
5 = 0,2s
= = 20 4 = 5Hz
Jadi, periode dan frekuensi getaran tersebut berturut-turut 0,2 s dan 5 Hz.
C. Sistem Bandul Sederhana
Sebuah bandul sederhana terdiri atas sebuah beban bermassa m yang digantung di ujung
tali ringan (massanya diabaikan) dengan panjang L. Jika beban ditarik ke satu sisi dan
dilepaskan, maka beban akan berayun melalui titik kesetimbangan menuju sisi yang lain.
3
Perhatikan gambar berikut.
mg cos θ θ
mg sin θ y
L
mg
Ketika beban berayun, akan selalu ada gaya yang arahnya menuju titik kesetimbangan.
Gaya inilah yang dinamakan dengan gaya pemulih F. Secara matematis, gaya pemulih pada bandul dapat dituliskan sebagai berikut.
F = –mg sin θ , dengan sin θ = y L
F mg y
= − L
Keterangan:
F = gaya pemulih (N);
m = massa beban (kg);
g = percepatan gravitasi (m/s
2);
y = simpangan tali (m); dan L = panjang tali (m).
Pada hakikatnya, getaran harmonis sederhana merupakan proyeksi dari gerak melingkar beraturan (GMB) pada salah satu sumbu utamanya. Oleh karena itu, periode T dan frekuensi f dapat dihitung dengan menyamakan gaya pemulih dengan gaya sentripetal pada GMB.
F F
mg y
L m y
mg y
L m f
Pemulih sentripetal 2
2
=
=
= 2
− −
− −
( )
ω
π yy
g y
L f y
= 4 π
2 24
f g
= 1 L 2 π
Keterangan:
f = frekuensi (Hz);
g = percepatan gravitasi (m/s
2); dan L = panjang tali (m).
Oleh karena frekuensi merupakan kebalikan dari periode, maka diperoleh:
T L
= 2 π g
Dari persamaan di atas, dapat diketahui bahwa periode dan frekuensi bandul tidak bergantung pada massa dan simpangan bandul, namun hanya bergantung pada panjang tali dan percepatan gravitasi setempat.
D. Sistem Pegas
Pegas merupakan salah satu bahan elastis yang memiliki nilai tetapan gaya k. Jika beban pada pegas ditarik, maka beban akan bergerak naik turun melalui titik kesetimbangan.
x
Besar gaya pemulih pada pegas sebanding dengan jarak benda ke titik setimbang, sehingga persamaan gaya pemulih dirumuskan sebagai berikut.
F = –kx
Sama halnya seperti bandul, periode T dan frekuensi f pada pegas dapat dihitung
dengan menyamakan gaya pemulih dengan gaya sentripetal pada GMB
5
F F
k x x
k f
m m
f m
Pemulih sentripetal 2
2
= . = .
= . 2
= 1 2
k
− −
− −
ω π π
( )
Keterangan:
f = frekuensi (Hz);
k = tetapan gaya pegas (N/m); dan m = massa beban (kg).
Oleh karena frekuensi merupakan kebalikan dari periode, maka diperoleh:
T m
= 2 π k
Contoh Soal 2
Sebuah balok bermassa 0,25 kg digantung pada sebuah pegas dengan nilai tetapan 250 N/m. Tentukan frekuensi getaran pada sistem pegas tersebut. ( π = 10 )
Pembahasan:
Diketahui:
m = 0,25 kg k = 250 N/m Ditanya: f = …?
Dijawab:
Frekuensi pada pegas dapat ditentukan dengan persamaan berikut.
f k
= 1 m
2 = 1
2
250 0,25
= 1 2 1000
= 1 2 10
= 1 2 10
= 5 Hz
π π
π π π π
×
× 10
Jadi, frekuensi getaran pada sistem pegas tersebut adalah 5 Hz.
6
Contoh Soal 3
Perhatikan gambar berikut!
M
(A) (B)
M
Jika kelima pegas tersebut adalah identik (tetapan gaya pegas k), maka tentukanlah rasio periode antara susunan gambar (A) dan (B).
Pembahasan:
Diketahui:
massa benda = M
tetapan gaya pegas = identik = k Ditanya: T
A: T
B= …?
Dijawab:
Mula-mula, tentukan tetapan gaya total pada rangkaian pegas.
Pada gambar (A), pegas disusun secara seri sehingga besar tetapan gaya totalnya adalah sebagai berikut.
1 = 1 + 1
1 = 1 + 1
= 2
1 2
k k k
k k k
k k
A
A A
Pada gambar (B), pegas disusun secara seri dan paralel sehingga besar tetapan gaya totalnya adalah sebagai berikut.
Paralel:
k
Bk k k k k
1
= +
1 2= + = 2
7
Seri:
1 = 1 + 1
1 = 1 2 + 1
= 2 3
2 1
2
2
k k k
3k k k
k k
B B
B B
Dengan demikian, diperoleh:
T T
M k
M k
k k
k
A
k
B
A
B
B A
= 2
2
= =
2 3 2
= 4 3 = 2
3
2
2
π π
Jadi, rasio periode antara susunan gambar (A) dan (B) adalah 2 : 3 .
E. Persamaan Getaran Harmonis 1. Persamaan Simpangan
Simpangan getaran harmonik sederhana dapat dianggap sebagai proyeksi partikel yang bergerak melingkar beraturan pada diameter lingkaran. Secara umum, persamaan simpangan gerak harmonis sederhana untuk benda yang menempuh sudut θ dengan sudut fase awalnya θ
0rad adalah sebagai berikut.
y = A sin ( θ + θ
0)
Jika sudut fase awal θ
0= 0, maka:
y = A sin ( ω t) Oleh karena ω = 2 π
T = 2 π f, maka:
y = A sin (2 π ft ) y = A sin ( 2 π
T t)
Keterangan:
y = simpangan getaran (m);
ω = kecepatan sudut (rad/s);
T = periode (s);
f = frekuensi (Hz);
8
A = amplitudo = simpangan maksimum (m);
t = waktu tempuh (s);
θ
0= sudut fase awal.
Contoh Soal 4
Sebuah benda melakukan gerak harmonis dengan amplitudo A dan periode T. Jika benda telah bergerak selama 1
8 T, maka simpangan benda tersebut adalah ....
Pembahasan:
Diketahui:
t = 1 8
Ditanya: y = …?
Dijawab:
Simpangan benda dapat ditentukan dengan rumus berikut.
y = A sin ( 2 π T t)
= A sin 2 . 1 π 8 T
T
= A sin 45
o= 1
2 2 A
Jadi, simpangan benda tersebut adalah 1 2 2 A .
2. Persamaan Kecepatan
Kecepatan benda yang bergerak harmonik sederhana dapat diperoleh dari turunan pertama persamaan simpangan. Perhatikan penjabaran berikut.
v dy dt
A t
dt A t
= = d( sin ) ω = ω cos ω atau v A y k
m A y
= ω
2−
2= (
2−
2)
9
Adapun untuk kecepatan maksimumnya adalah:
v
m= A ω
Keterangan:
y = simpangan (m);
ω = kecepatan sudut (rad/s);
v = kecepatan getaran (m/s);
f = frekuensi (Hz);
A = amplitudo = simpangan maksimum (m);
t = waktu tempuh (s);
k = tetapan gaya pegas (N/m); dan m = massa beban (kg).
Contoh Soal 5
Sebuah benda bergetar harmonis dengan amplitudo A. Tentukanlah simpangan benda saat kecepatannya sama dengan setengah kecepatan maksimumnya.
Pembahasan:
Diketahui:
Amplitudo = A v = 1 v
m2
Ditanya: y = …?
Dijawab:
Saat kecepatannya sama dengan setengah kecepatan maksimumnya, maka:
v = A ω cos ω t v = 1 v
m2 v
m= A ω cos ω t v = 1 v
m2 A ω = A ω cos ω t cos ω v t = = 1 v
m2
ω t = arc.cos ½ = 60
o10
Masukkan nilai ω t ke persamaan umum simpangan getaran sehingga diperoleh:
y = A . sin ( ω t)
= A . sin 60
o= 1 2 3 A
Jadi, simpangan benda saat kecepatan benda setengah kecepatan maksimum adalah 1
2 3 A .
3. Persamaan Percepatan
Percepatan benda yang bergerak harmonis sederhana dapat diperoleh dari turunan pertama persamaan kecepatan atau turunan kedua persamaan simpangan. Perhatikan penjabaran berikut.
a dv dt
d y dt
d A t
dt A t
= =
22=
2( sin )
2ω = − ω
2sin ω
Oleh karena nilai maksimum dari simpangan adalah sama dengan amplitudonya (y = A), maka percepatan maksimumnya adalah sebagai berikut.
a
m= -A ω
2Keterangan:
y = simpangan (m);
ω = kecepatan sudut (rad/s);
v = kecepatan getaran (m/s);
f = frekuensi (Hz);
A = amplitudo = simpangan maksimum (m);
t = waktu tempuh (s); dan a = percepatan getaran (m/s
2)
4. Persamaan Energi Getaran Harmonis Sederhana a. Energi Kinetik
Energi kinetik adalah energi yang dimiliki benda yang bergerak harmonis sederhana
karena kecepatannya. Secara matematis, energi kinetik dirumuskan sebagai berikut.
11
E m v
m A t
kA t
K
= 1 2 .
= 1
2 ( cos )
= 1 2 cos
2
2
2 2
ω ω
ω
b. Energi Potensial
Energi potensial adalah energi yang dimiliki benda yang bergerak harmonis sederhana karena simpangannya. Secara matematis, energi potensial dirumuskan sebagai berikut.
E ky
k A t
kA t
P
= 1 2
= 1
2 ( sin )
= 1 2 sin
2
2
2 2
ω ω
c. Energi Mekanik
Energi mekanik adalah jumlahenergi kinetik dan energi potensial. Energi mekanik suatu benda yang bergerak harmonik sederhana tidak bergantung waktu dan tempat karena nilainya selalu tetap. Secara matematis, energi mekanik dirumuskan sebagai berikut.
Keterangan:
k = tetapan gaya pegas (N/m);
ω = kecepatan sudut (rad/s);
E
M= energi mekanik (J);
E
k= energi kinetik (J);
E
p= energi potensial (J);
A = amplitudo = simpangan maksimum (m); dan t = waktu tempuh (s).
E
M= E
k+ E
p= v = 1 v
m2 kA
2cos
2ω v t + = 1 v
m2 kA
2sin
2ω t
= v = 1 v
m2 kA
212
Contoh Soal 6
Sebuah benda bermassa 0,4 kg bergerak harmonis dengan amplitudo 6 cm dan frekuensi 50 Hz. Besarnya energi mekanik saat simpangannya 2 cm adalah .... (anggap π ² = 10) Pembahasan:
Diketahui:
m = 0,4 kg
A = 6 cm = 6 × 10
–2m f = 50 Hz
y = 2 cm π ² =10
Ditanya: E
M=…?
Dijawab:
Energi mekanik benda yang bergerak harmonis dapat ditentukan sebagai berikut.
E
Mv = = 1 v
m2 kA
2= v = 1 v
m2 . m ω
2A
2v = = 1 v
m2 . m. 4 π ² f² A²
= v = 1 v
m2 . 0,4 . 4 . (10) (50)² (6 × 10
–2)² = 72 joule
Jadi, besarnya energi mekanik saat simpangannya 2 cm adalah 72 joule.
Contoh Soal 7
Sebuah benda melakukan getaran harmonis sederhana. Pada saat nilai energi kinetiknya sama dengan nilai energi potensialnya, maka besarnya simpangan benda saat itu adalah ....
Pembahasan:
Diketahui:
E
K= E
PDitanya: y = ... ?
13
Dijawab:
Berdasarkan rumus energi mekanik, diperoleh:
E
M= E
K+ E
PE
M= 2 E
Pv = 1 v
m2 kA
2= 2. v = 1 v
m2 k.y
2y v
2= = 1 v
m2 A² y = ± A
2 = ± 1
2 A 2
Jadi, besarnya simpangan benda saat itu adalah y = ± 1 2 A 2 .
Contoh Soal 8
Benda bermassa 10 gram digetarkan menurut persamaan simpangan y = 5 sin (100t) dengan y dalam cm dan t dalam sekon. Energi total benda tersebut adalah ....
Pembahasan:
Diketahui:
m =10 g = 10
–2kg
y = 5 sin (100t) → A = 5 cm = 5 × 10
–2m ω = 100
Ditanya: E
M=…?
Dijawab:
Berdasarkan rumus energi mekanik, diperoleh:
E
Mv = = 1 v
m2 kA² = v = 1 v
m2 .m. ω ² A² = v = 1 v
m2 × 10
–2× (100)
2(5 × 10
–2)² = 0,125 joule
Jadi, energi total benda tersebut adalah 0,125 joule.
rad/s
14
d. Hubungan Energi Kinetik dengan Simpangan dan Kecepatan
Super "Solusi Quipper"
Hubungan energi kinetik dengan simpangan dan kecepatan dapat ditentukan dengan rumus SUPER berikut ini.
E
K= 1 k A y 2 (
2−
2) E
E
k P
= tan
2θ
v A E
E
K M
= ω
y = A E E
P M
Keterangan:
E
K= energi kinetik (J);
E
P= energi potensial (J);
E
M= energi mekanik (J);
ω = kecepatan sudut (rad/s);
v = kecepatan linear getaran (m/s);
y = simpangan (m);
k = tetapan gaya pegas (N/m);
A = amplitudo (m); dan θ = sudut fase.
Contoh Soal 9
Benda bermassa 3 kg digantung pada seutas tali yang panjangnya 2 meter. Benda bergetar selaras dengan amplitudo 50 cm dan frekuensi 20 Hz. Pada saat simpangan bandul 4 amplitudonya, berapakah perbandingan energi kinetik dan energi potensialnya? 5
Pembahasan:
Diketahui:
m = 3 kg L = 2 meter A = 50 cm = 0,5 m f = 20 Hz
y = 4 5 A Ditanya: E
E
k P
=…?
Dijawab:
Mula-mula, tentukan sudut fasenya.
15
y = A sin θ 4
5 A = A sin θ sin θ = 4
5 θ = arc sin 4
5 = 53
oSelanjutnya, gunakan cara SUPER untuk menentukan perbandingannya.
Super "Solusi Quipper"
E E
k P
= tan = tan 53 = 4 3 = 16
9
2 2 o
2
