matematika PEMINATAN Kelas X FUNGSI LOGARITMA K-13 A. Definisi Fungsi Logaritma

FUNGSI LOGARITMA

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami defi nisi fungsi logaritma.

2. Dapat menggunakan konsep fungsi logaritma dalam menyelesaikan masalah.

3. Dapat menggambar grafi k fungsi logaritma berdasarkan fungsi atau grafi k yang diketahui.

4. Memahami sifat-sifat grafi k fungsi logaritma.

5. Dapat menentukan fungsi logaritma dari grafi k yang diketahui. 6. Dapat menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi logaritma.

A. Defi nisi Fungsi Logaritma

Masih ingatkah kamu dengan tangga nada? Salah satu contohnya adalah tangga nada mayor C D E F G A B C’. Pada tangga nada tersebut, nada C (frekuensi 261,6 Hz) dan C’ (frekuensi 523,2 Hz) dikatakan berjarak 1 oktaf. Dua nada lain yang masing-masing berfrekuensi 440 Hz dan 220 Hz juga dikatakan berjarak 1 oktaf. Ini berarti, 1 oktaf adalah jarak antara dua nada yang rasio frekuensinya dua atau setengah. Penentuan nilai oktaf adalah salah satu aplikasi fungsi logaritma dalam bidang musik. Bagaimana cara memperoleh 1 oktaf dari nada C dan C’ menggunakan fungsi logaritma? Mari simak penjelasan berikut.

matematika PEMINATAN

K

e

l

a

s X

2

Diketahui:

frekuensi nada C = f₁ = 261,6 Hz; dan frekuensi nada C’ = f₂ = 523,2 Hz.

Dengan menggunakan rumus nilai oktaf = N f

f = log2 2 1       , f₂ > f₁, diperoleh: N = log 523,2 261,6 = log2 = 1 oktaf 2  2   

Jadi, jarak antara nada C dan C’ adalah 1 oktaf.

Rumus nilai oktaf diperoleh dari modifikasi bentuk umum fungsi logaritma berikut.

y = a_{log x ⇔ x = a}y dengan y = N, a = 2, dan x = f f 2 1 .

Berdasarkan bentuk umumnya, fungsi logaritma merupakan invers (kebalikan) dari fungsi eksponen, dan sebaliknya.

Dengan demikian, definisi fungsi logaritma adalah sebagai berikut. Fungsi f : x → y = f(x) = a_{log x disebut fungsi logaritma, dengan:}

• x sebagai numerus atau domain fungsi y = f(x). Syaratnya x > 0 sehingga D_f = {x|x > 0; x ∈ R};

• a sebagai basis (bilangan pokok) logaritma. Syaratnya a > 0 dan a ≠ 1; dan

• y sebagai daerah hasil (range) fungsi, yaitu R_f = {y|y ∈ R}.

B. Nilai Fungsi Logaritma

Untuk menentukan nilai suatu fungsi logaritma, gunakan sifat-sifat logaritma berikut.

Sifat-Sifat Logaritma

Jika a, b, c, x, y > 0 dengan a ≠ 1, dan a, b, c ∈ R, berlaku: 1. = = log

2. log y = log + log 3. log y = log log 4 a b x b x x y x _{x y} x a a a a a a a ⇔ − .. log = . log 5. log =log log = log log = 1 log 6. log a m a a p p b a x m x b b a b a a b n _{mm a} a b a logb a a m n b b c c a b a a = log 7. log . log = log

8. =

9. log = 1 10. log1= 00

3

1. = = log 2. log y = log + log 3. log y = log log 4 a b x b x x y x _{x y} x a a a a a a a ⇔ − .. log = . log 5. log =log log = log log = 1 log 6. log a m a a p p b a x m x b b a b a a b n _{mm a} a b a logb a a m n b b c c a b a a = log 7. log . log = log

8. =

9. log = 1 10. log1= 00

Contoh Soal 1

Interval antara dua nilai frekuensi dapat dinyatakan sebagai nilai oktaf N f

f = log2 2 1       , dengan f₁ adalah frekuensi bawah dan f₂ adalah frekuensi atas. Tentukan interval spektrum audio dengan frekuensi 800 Hz –6,4 kHz!

Pembahasan:

Diketahui:

f₁ = 800 Hz; dan

f₂ = 6,4 kHz = 6.400 Hz.

Dengan menggunakan rumus N f

f = log2 2 1       , diperoleh: N = log 6.400 800 = log8 = log2 = 3 2 2 2 3    

Jadi, intervalnya adalah 3 oktaf.

Contoh Soal 2

Hubungan antara harga (h) dalam ribuan rupiah dan permintaan x unit barang tertentu dinyatakan dengan h(x) = 11.500 – 1.000log (2x – 8). Jika banyaknya permintaan 504 unit, tentukan harga barang tersebut!

4

Pembahasan:

Diketahui:

h(x) = 11.500 – 1.000log (2x – 8) x = 504

Dengan mensubstitusikan nilai x = 504 pada persamaan tersebut, diperoleh: h 504 = 11.500 1.000log 2 504 8 = 11.500 1.000log1.000 = 11

( )

− 

( )

−  − ..500 1.000log10 = 11.500 1.000 3 = 8.500 3 − −

( )

Jadi, harga barang tersebut adalah 8.500.000 rupiah.

C. Grafik Fungsi Logaritma

1. Grafik Fungsi y =

a

_{log x dengan a > 1}

Untuk mengetahui sifat-sifat grafik fungsi y = a_{log x dengan a > 1, serta hubungannya} dengan grafik fungsi y = ax_{, mari simak uraian berikut.}

Agar lebih sederhana, digunakan grafik fungsi y = 2_{log x dan y = 2}x_{. Gambarkan} grafiknya dengan cara tabel (substitusi/plot titik). Pada cara tabel, semakin banyak titik yang digunakan, semakin baik hasil yang diperoleh.

Untuk y = 2_{log x:} x 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 y = 2_{log x} 2_{log 2}–3 _{= –3 –2 –1 0 1 2 3} (x, y) 1 8, 3−     1 4, 2−     1 2, 1−     (1, 0) (2, 1) (4, 2) (8, 3)

5

Untuk y = 2x_: x –3 –2 –1 0 1 2 3 y = 2x 2 = 1 8 3 − 1 4 1 2 1 2 4 8 (x, y) −3, ₈1    −2, 1 4     −1, 1 2     (0, 1) (1, 2) (2, 4) (3, 8)

Selanjutnya, plot koordinat titik dari fungsi y = 2_{log x dan y = 2}x _{dalam bentuk noktah} pada koordinat Cartesius. Kemudian, hubungkan noktah-noktah tersebut dengan garis mulus, sehingga diperoleh grafik berikut.

Grafik Fungsi y = 2_{log x Grafik Fungsi y = 2}x Y X 0 1 y = 2_{log x} y = 2x Y X 1 0

Grafik Fungsi y = 2_{log x dan y = 2}x _{dalam 1 Bidang Cartesius}

X 0 1 Y 1 y = 2_{log x} y = 2x y = x

6

Berdasarkan grafik y = 2_{log x, dapat disimpulkan beberapa sifat dari grafik fungsi}

y = a_{log x dengan a > 1 sebagai berikut.} a. Memotong sumbu-X di titik (1, 0).

b. Terdefinisi untuk x > 0 karena selalu berada di sebelah kanan sumbu-Y.

c. Asimtot tegaknya adalah garis x = 0 atau sumbu-Y. Asimtot merupakan garis lurus yang didekati tetapi tidak pernah dipotong oleh suatu kurva.

d. Untuk x₂ > x₁ > 0, diperoleh y₂ > y₁. Artinya, semakin besar nilai x, semakin besar pula nilai y (fungsi naik).

Selanjutnya, perhatikan grafik y = 2_{log x dan y = 2}x _{yang digambarkan dalam 1 bidang} Cartesius. Berdasarkan grafik tersebut, dapat diketahui bahwa grafik fungsi y = 2_{log x}

merupakan hasil pencerminan dari grafik fungsi y = 2x _{terhadap garis y = x. Ini berarti,} grafik fungsi y = a_{log x dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi y = a}x _terhadap garis y = x, dan sebaliknya.

2. Grafik Fungsi y =

a

_{log x dengan 0 < a < 1}

Agar lebih sederhana, digunakan grafik fungsi y= log12 x_{. Gambarkan grafiknya dengan}

cara tabel (substitusi/plot titik).

x 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 y= log12 x 2 –1 log 2–3 _{= 3 2 1 0 –1 –2 –3} (x, y) 1₈, 3    1 4, 2     1 2, 1     (1, 0) (2, –1) (4, –2) (8, –3) Selanjutnya, plot koordinat titik dari fungsi y= log12 x _{dalam bentuk noktah pada}

koordinat Cartesius. Kemudian, hubungkan noktah-noktah tersebut dengan garis mulus, sehingga diperoleh grafik berikut.

Y

X 0 1

7

Berdasarkan grafik y= log12 x_{, dapat disimpulkan beberapa sifat dari grafik fungsi y =}

a_{log x dengan 0 < a < 1 sebagai berikut.} a. Memotong sumbu-X di titik (1, 0).

b. Terdefinisi untuk x > 0 karena selalu berada di sebelah kanan sumbu-Y. c. Asimtot tegaknya adalah garis x = 0 atau sumbu-Y.

d. Untuk x₂ > x₁ > 0, diperoleh y₂ < y₁. Artinya, semakin besar nilai x, semakin kecil nilai y (fungsi turun).

Jika grafik y= log12 x _{dan y =} 2_{log x digambarkan dalam 1 bidang Cartesius, akan}

diperoleh gambar berikut.

y= logx 1 2 0 ₁ Y X y = 2_{log x}

Berdasarkan gambar tersebut, dapat diketahui bahwa grafik fungsi y= log12 x _merupakan

hasil pencerminan grafik fungsi y = 2_{log x terhadap sumbu-X. Ini berarti, grafik fungsi y =} a_{log x} dengan 0 < a < 1 dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi y = a_{log x dengan a > 1} terhadap sumbu-X, dan sebaliknya.

Dengan demikian, sifat-sifat grafik fungsi y = a_{log x dengan a > 0 dan a ≠ 1 adalah} sebagai berikut.

a. Memotong sumbu-X di titik (1, 0).

b. Terdefinisi untuk x > 0 karena selalu berada di sebelah kanan sumbu-Y. c. Asimtot tegaknya adalah garis x = 0 atau sumbu-Y.

8

e. Pencerminan grafik y = a_{log x dengan 0 < a < 1 terhadap sumbu-X menghasilkan} grafik y = a_{log x dengan a > 1, dan sebaliknya.}

Sifat-sifat grafik fungsi y = a_{log x dengan a > 0 dan a ≠ 1 sangat berperan dalam} menentukan fungsi logaritma dari grafik yang diketahui.

Contoh Soal 3

Gambarlah grafik fungsi y = 3_{log (x + 2) dan identifikasi sifat-sifatnya!}

Pembahasan:

Gambarkan grafiknya dengan cara tabel (substitusi/ plot titik).

x −17 9 − 5 3 –1 1 7 y = 3_{log (x + 2) –2 –1 0 1 2} (x ,y) −17₉ , 2−    − − 5 3, 1     (–1, 0) (1, 1) (7, 2)

Dengan melukiskan titik-titik tersebut pada koordinat Cartesius, diperoleh grafik

y = 3_{log (x + 2) berikut.} x = –2 Y 2 1 –2 –1 0 1 7 X –1 –2 y = 3_{log (x + 2)}

9

Berdasarkan grafik tersebut, sifat-sifat grafik y = 3_{log (x + 2) adalah sebagai berikut.}

a. Memotong sumbu-X di titik (–1, 0). b. Terdefinisi untuk x > –2.

c. Asimtot tegaknya adalah garis x = –2.

d. Untuk x₂ > x₁ > –2, diperoleh y₂ > y₁ (fungsi naik).

D. Pergeseran Grafik Fungsi Logaritma

Grafik fungsi y = a_{log (x + b) + c dapat diperoleh dari grafik fungsi y =} a_{log x dengan aturan} pergeseran berikut.

1. Jika grafik digeser ke kanan sebesar b satuan (searah sumbu-X positif), nilai b < 0. 2. Jika grafik digeser ke kiri sebesar b satuan (searah sumbu-X negatif), nilai b > 0. 3. Jika grafik digeser ke atas sebesar c satuan (searah sumbu-Y positif), nilai c > 0. 4. Jika grafik digeser ke bawah sebesar c satuan (searah sumbu-Y negatif), nilai c < 0. Selain dengan cara tabel, fungsi logaritma dapat digambarkan dengan mencerminkan dan menggeser grafik fungsi lainnya.

Contoh Soal 4

Diketahui grafik berikut.

Y y = 3x

X 1

0

10

Pembahasan:

Mula-mula, cerminkan grafik y = 3x _{terhadap garis y = x.} Y y = x X 1 0 1 y = 3_{log x} y = 3x

Selanjutnya, geser grafik y = 3_{log x ke kanan sejauh 1 satuan.}

x = 1 y = 3_{log (x – 1)} Y 1 2 0 X

Setelah itu, geser grafik y = 3_{log (x – 1) sejauh 4 satuan ke atas, sehingga diperoleh grafik}

11

x = 1 y = 3_{log (x – 1) + 4} Y 1 2 0 4 X

E. Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafik yang Diketahui

Langkah-langkah menentukan fungsi logaritma dari grafik yang diketahui adalah sebagai berikut.

1. Misalkan fungsinya adalah y = a_{log (x + b) + c.}

2. Substitusikan titik yang dilalui grafik ke persamaan pada langkah 1 untuk memperoleh nilai a, b, dan c.

3. Substitusikan kembali nilai a, b, dan c yang diperoleh ke persamaan pada langkah 1.

Contoh Soal 5

Tentukan persamaan grafik fungsi berikut!

9 Y X 7 5 3 1 –1 –2 –3 8 6 4 2 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8

12

Super "Solusi Quipper"

Pembahasan:

Misalkan fungsinya adalah y = a_{log (x + b) + c ... (i)} Oleh karena asimtotnya x = –2, maka:

–2 + b = 0 ⇔ b = 2

Oleh karena grafik melalui titik (–1, 1), (1, 2), dan (7, 3), maka substitusikan titik-titik tersebut ke persamaan (i).

Untuk (–1, 1): 1 = a_{log (–1 + 2) + c} ⇔ a_{log 1 = 1 – c} ⇔ c = 1 Untuk (1, 2): 2 = a_{log (1 + 2) + 1} ⇔ a_{log (3) = 1} ⇔ a = 3

Jadi, fungsinya adalah y = 3_{log (x + 2) + 1.}

Langkah-langkah menentukan fungsi logaritma dari grafik yang diketahui adalah sebagai berikut.

1. Misalkan fungsinya adalah y = a_{log (x + b) + c.}

2. Tentukan nilai b dengan melihat asimtotnya. Jika asimtotnya garis x = x₁ maka

b = –x₁.

3. Tentukan nilai lainnya dengan substitusi nilai-nilai yang diperoleh dan titik yang dilalui kurva ke persamaan pada langkah 1.

13

F. Nilai Maksimum atau Minimum Fungsi Logaritma

Nilai maksimum atau minimum fungsi logaritma lebih mudah ditentukan jika fungsinya berasal dari y = f(x) = a_{log x dengan numerus berupa fungsi g(x), yaitu y = f(x) =} a_{log g(x).} Nilai maksimum atau minimum fungsi logaritma tersebut dapat ditentukan berdasarkan nilai basisnya (a), yaitu sebagai berikut.

1. Jika a > 1, maka:

a. nilai fungsi y minimum saat numerus (g(x)) minimum; atau b. nilai fungsi y maksimum saat numerus (g(x)) maksimum. 2. Jika 0 < a < 1, maka:

a. nilai fungsi y minimum saat numerus (g(x)) maksimum; atau b. nilai fungsi y maksimum saat numerus (g(x)) minimum.

Contoh Soal 6

Tentukan nilai minimum dari fungsi f(x) = 2_{log (x}2 _{– 6x + 25)!}

Pembahasan:

Diketahui fungsi f(x) = 2_{log (x}2 _{– 6x + 25)}

Oleh karena basis a = 2 > 1, maka f(x) minimum saat g(x) = x2 _{– 6x + 25 minimum.}

Dari g(x) = x2 _{– 6x + 25, diperoleh a₁ = 1, b = –6, dan c = 25.}

Catatan: penggunaan lambang a₁ untuk menghindari kesalahpahaman dengan lambang

basis logaritma (a).

Fungsi g(x) = x2 _{– 6x + 25 merupakan fungsi kuadrat dengan a₁ = 1 > 0 sehingga g(x) memiliki}

nilai minimum. Nilai x yang menyebabkan g(x) minimum adalah sebagai berikut. x a = b 2 = 6 2 1 = 3 1 − −

( )

−

( )

Ini berarti, fungsi g(x) minimum pada x = 3.

14

Dengan mensubstitusikan nilai x = 3 ke fungsi f(x), diperoleh: f 3 = log 3 6 3 + 25 = log 9 18 + 25 = log16 = log2 = 4 2 2 2 2 2 4

( )

(

( )

( )

)

(

)

− −