Pelajaran matematika: fungsi logaritma

FUNGSI

LOGARITMA

FUNGSI LOGARITMA

Fungsi Logaritma adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh y = f(x) = dengan a bilangan real, a > 0, a ≠ 1 serta x > 0.

Dengan :

a → bilangan pokok atau basis logaritma

x → hasil pemangkatan atau bilangan yang dilogaritma

Contoh :

  

a.  

²

log 32 = 5 maka 2

⁵

 = 32  b.  

⁴

log 64 = 3 maka 4

³

 = 64   c.  

²

log 1/4 = –2 maka 2

^–2

 =1/4 

FUNGSI LOGARITMA

FUNGSI LOGARITMA

Bentuk fungsi logaritma

Jika fungsi eksponen menyatakan fungsinya sebagai y = ax, maka fungsi logaritma

mempunyai bentuklog a = x. 

Fungsi Logaritma adalah fungsi yang peubah bebasnya berupa bentuk logaritma. Fungsi Logaritma adalah invers dari fungsi eksponen.

  

FUNGSI LOGARITMA

FUNGSI LOGARITMA

Misal :

Misalkan diketahui fungsi f(x) = 3^x dengan daerah asal D_f = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}. Hubungan antara x dan y = f(x) = 3^x dapat disajikan dalam tabel berikut.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) = 3^x 1/27 1/9 1/3 1 3 9 27

Terlihat adanya korespondensi satu-satu antara x dan f(x)

= 3^x . Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa fungsi eksponen f(x) = 3^x merupakan fungsi bijektif. Maka

terdapat fungsi invers f^-1 , seperti pada tabel :

x 1/27 1/9 1/3 1 3 9 27

f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3

FUNGSI LOGARITMA

FUNGSI LOGARITMA

Misalkan fungsi invers dari f(x) = 3^x disebut fungsi g(x), dengan demikian dapat ditentukan sebagai berikut.

y = f(x) = 3^x

↔ log y = x log 3

↔ x = log y/log 3

↔ x = ³log y

↔ f^-1 (y)= ³log y

↔ f^-1 (x)= ³log x

Jadi, invers dari f(x) = 3^x adalah g(x) = f^-1 (x)= ³log x yang merupakan logaritma dengan bilangan pokok 3.

Dari uraian di atas, pengertian fungsi logaritma adalah suatu fungsi yang memetakan setiap x bilangan real dengan aturan g(x) = ^alog x, x>0, a>0 dan a≠1 merupakan fungsi logaritma.

FUNGSI LOGARITMA

FUNGSI LOGARITMA

1. Diketahui f(x) = ⁴log (x² – 8x + 16). Tentukan titik potong kurva fungsi f dengan sumbu-sumbu berikut.

a. Sumbu X b. Sumbu Y

Penyelesaian :

a. Titik potong dengan sumbu X Syaratnya f(x) = 0.

f(x) = ⁴log (x² – 8x + 16)

↔ 0 = ⁴log (x² – 8x + 16)

↔ ⁴log (x² – 8x + 16) = ⁴log 1

↔ x² – 8x + 16 = 1

↔ x² – 8x + 15 = 0

↔ (x – 5)(x – 3) = 0

↔ x = 5 atau x = 3

Jadi, titik potongnya dengan sumbu X adalah (5,0) dan (3,0)

FUNGSI LOGARITMA FUNGSI LOGARITMA

Contoh :

b. Titik potong dengan sumbu Y, syaratnya, x = 0.

f(x) =

⁴

log (x

²

– 8x + 16)

=

⁴

log ((0)

²

– 8(0) + 16)

=

⁴

log 16

=

⁴

log 4

²

= 2

Jadi, titik potongnya dengan sumbu Y adalah (0,2)

FUNGSI LOGARITMA

FUNGSI LOGARITMA

1. Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis a > 1

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi logaritma : Langkah 1 :

Buatlah tabel yang menghubungkan x dengan y = f(x) =

alog x, yaitu dengan memilih beberapa nilai x sehingga y mudah ditentukan.

Langkah 2 :

Gambarlah titik-titik (x,y) yang diperoleh dalam langkah 1 pada bidang kartesius, kemudian hubungkan titik-titik

tersebut dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma y = f(x) = ^alog x

GRAFIK

GRAFIK

Contoh :

1. Gambarlah grafik fungsi y = f(x) = ³log x !

Penyelesaian :

Tabel fungsi y = f(x) = ³log x adalah sebagai berikut :

x …. 9 3 1 1/3 1/9 1/2

7 ….

y = f(x) =

3log x

…. 2 1 0 -1 -2 -3 ….

GRAFIK GRAFIK

Dengan mengetahui bentuk grafik fungsi logaritma, kita dapat menentukan sifat-sifat fungsi logaritma tersebut.

Dari penjelasan di atas, nampak bahwa fungsi logaritma y = f(x) = ^alog x, dengan a > 1, merupakan fungsi naik karena untuk x₁ ≤ x₂ maka ^alog x₁ ≤ ^alog x₂. dalam bentuk pertidaksamaan, dapat ditulis sebagai berikut.

√ Jika a > 1 dan

^a

log u(x) ≥

^a

log v(x) maka u(x) ≥ v(x)

√ Jika a > 1 dan

^a

log u(x) ≤

^a

log v(x) maka u(x) ≤ v(x)

GRAFIK GRAFIK

(9,2) (3,1)

(1,0) X

Y

y = ³log x

Grafiknya adalah :

2. Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis 0 < a < 1

Langkah 1 :

Buatlah tabel yang menghubungkan x dengan y = f(x) =

alog x , yaitu dengan memilih beberapa nilai x sehingga y mudah ditentukan.

Langkah 2 :

Gambarlah titik-titik (x,y) yang diperoleh dalam langkah 1 pada bidang kartesius, kemudian hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma y = f(x) = ^alog x

Dengan memerhatikan grafik fungsi logaritma f(x) = ^alog x, untuk 0 < x < 1 , kita dapat mengetahui sifat-sifat

GRAFIK

GRAFIK

Contoh :

1. Gambarlah grafik fungsi logaritma y = f(x) =

^1/2

log x !

Penyelesaian :

Terlebih dahulu dibuat tabel f(x) = ^1/2log x.

X …

. 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 ….

y = f(x) =

1/2log x

… .

3 2 1 0 -1 -2 -3 ….

Dengan melukis pasangan koordinat titik-titik yang diperoleh pada tabel di atas, kemudian menghubungkannya dengan sebuah kurva mulus, kita dapatkan grafik fungsi logaritma f(x) = ^1/2log x seperti pada gambar berikut.

GRAFIK

GRAFIK

X Y

8 4

2 1 -1 -2 -3

-1 -2 -3

1 2 4 8

y = ^1/2log x

(2,-1)

(4,-2)

(8,-3)

X Y

GRAFIK GRAFIK

Grafiknya adalah :

Fungsi logaritma f(x) =

^a

log x, dengan 0 < a < 1 adalah fungsi turun karena jika x

₁

≤ x2 maka

^a

log x1 ≥

^a

log x2. dalam bentuk pertidaksamaan, kita dapat menuliskannya sebagai berikut.

√ Jika 0 < a < 1 dan ^alog u(x) ≥ ^alog v(x) maka u(x) ≤ v(x)

√

Jika 0 < a < 1 dan ^alog u(x) ≤ ^alog v(x) maka u(x) ≥ v(x)

GRAFIK

GRAFIK

3. Grafik fungsi f(x) =

^a

log x dan g(x) =

^1/a

log ^x

Jika grafik fungsi logaritma y = f(x) = ^alog x dan grafik fungsi y = g(x) = ^1/alog x digambarkan dalam satu bidang koordinat, gambar grafiknya adalah sebagai berikut.

Dari gambar di samping, dapat kita katakan sebagai berikut :

a. Grafik fungsi logaritma f(x) = ^alog x dan g(x) = ^1/alog x simetri terhadap sumbu X. hal ini berarti bahwa fungsi g(x) = ^1/alog x dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik f(x) = ^alog x terhadap sumbu

Y

(2,-1)

(4,-2)

(8,-3) (2,1)

(4,2)

(8,3)

(1,0)

GRAFIK

GRAFIK

b. Grafik fungsi f(x) = ^alog x dan grafik fungsi g(x) = ^1/alog x melalui titik (1,0)

c. Grafik fungsi f(x) = ^alog x dan grafik fungsi g(x) = ^1/alog x selalu berada di sebelah kanan sumbu Y.

d. Daerah asal kedua fungsi adalah himpunan bilangan real positif atau D = (0, ∞) dan daerah hasilnya adalah R = (- ∞,∞)

e. Fungsi f(x) = ^alog x merupakan fungsi naik dan fungsi g(x) =

1/alog x merupakan fungsi turun.

f. Grafik fungsi f(x) = ^alog x dan grafik fungsi g(x) = ^1/alog x tidak pernah memotong sumbu Y, tetapi terus-menerus mendekatinya.

Oleh karena itu, sumbu Y merupakan asimtot tegak bagi kedua grafik fungsi tersebut.

GRAFIK

GRAFIK

4. Grafik Fungsi f(x) = a

^x

dan g(x) =

^a

log x

Jika grafik logaritma f(x) = 2

^x

dan g(x) =

²

log x, serta grafik f(x) = (1/2)

^x

dan grafik

^1/2

log x digambarkan dalam satu bidang kartesius, hasilnya adalah sebagai berikut.

o ^(1,0)

(0,1)

X Y

y = ²log x

y =

2^x y = x

o(1,0) (0,1)

X

y = (1/2)^x Y y = x

GRAFIK

GRAFIK

Beberapa hal menarik tentang grafik fungsi eksponen f(x)

= a^x dan grafik fungsi logaritma g(x) = ^alog x, sebagai berikut.

a. Grafik fungsi eksponen f(x) = a^x dan grafik fungsi logaritma g(x) = ^alog x simetris terhadap garis y = x.

Hal ini berarti bahwa grafik fungsi g(x) = ^alog x dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik f(x) = a^x terhadap garis y = x atau sebaliknya.

b. Fungsi eksponen f(x) = a^x merupakan fungsi invers dari fungsi logaritma g(x) = ^alog x atau sebaliknya.

GRAFIK

GRAFIK