03 Melukis Grafik Fungsi Polinom

(1)

) ( )

( )

(

PENERAPAN TURUNAN FUNGSI

B

.

Melukis Grafik Fungsi Polinom

Langkah- Langkah melukis Grafik Fungsi polinom

1. Menentukan titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y (jika mudah ditentukan) 2. Menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun serta titik-titik stasionernya 3. Menentukan Interval cekung atas dan cekung bawah fungsi serta titik beloknya 4. Melukis sketsa grafik

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

01. Lukislah grafik fungsi polinom f(x) = x3– 9x2 + 24x – 10 Jawab

Langkah 1 : Menentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat. Titik potong dengan sumbu-x sulit ditentukan

Titik potong dengan sumbu-y Syarat : x = 0

Maka : y = (0)3– 9(0)2 + 24(0) – 10 y = –10

Titiknya (0, –10)

Langkah 2 : Interval fungsi naik dan turun f(x) = x3– 9x2 + 24x – 10 f’(x) = 3x2– 18x + 24 maka : f’(x) = 0

3x2– 18x + 24 = 0 x2– 16x + 8 = 0 (x – 4)(x – 2) = 0 x1 = 2 dan x2 = 4

2 4

Uji : x = 0 maka f’(0) = 3(0)2– 18(0) + 24 = 24 > 0 (fungsi naik) Uji : x = 3 maka f’(3) = 3(3)2– 18(3) + 24 = –3 < 0 (fungsi turun)

(2)

) ( )

(

10) , 2 (

) 42 , 4 (  8)

, 3 (

x

y

O

) 10 , 0 ( 

Sehingga interval fungsi naik pada x < 2 atau x > 4 interval fungsi turun pada 2 < x < 4

Titik stasionernya :

x = 2 maka f(2) = (2)3– 9(2)2 + 24(2) – 10 = 10 , Titik maksimum di (2, 10) x = 4 maka f(4) = (4)3– 9(4)2 + 24(4) – 10 = –5 , Titik minimum di (4, –42)

Langkah 3 : Menentukan interval cekung atas dan cekung bawah f(x) = x3– 9x2 + 24x – 10

f’(x) = 3x2– 18x + 24 f’’(x) = 6x – 18

maka f’’(x) = 0 6x – 18 = 0

6x = 18 maka x = 3

3

Uji : x = 0 maka f’’(0) = 6(0) – 18 = –18 < 0 (cekung bawah) Uji : x = 4 maka f’’(4) = 6(4) – 18 = 6 > 0 (cekung atas)

Koordinat titik beloknya :

x = 3 maka f(3) = (3)3– 9(3)2 + 24(3) –_{10 = 29 Jadi titiknya (3, 8)}

Gambar grafiknya :

02. Lukislah grafik fungsi polinom f(x) = x3 + 3x2– 9x – 20 Jawab

(3)

) ( )

( )

(

) ( )

(

Syarat : x = 0

Maka : y = (0)3 + 3(0)2– 9(0) – 20 y = –20

Titiknya (0, –20)

Langkah 2 : Interval fungsi naik dan turun f(x) = x3 + 3x2– 9x – 20 f’(x) = 3x2 + 6x – 9 maka : f’(x) = 0

3x2 + 6x – 9 = 0 x2 + 2x – 3 = 0 (x + 3)(x – 1) = 0 x1 = –3 dan x2 = 1

–3 1

Uji : x = –4 maka f’(–4) = 3(–4)2 + 6(–4) – 9 = 15 > 0 (fungsi naik) Uji : x = 0 maka f’(3) = 3(0)2 + 6(0) – 9 = –9 < 0 (fungsi turun) Uji : x = 2 maka f’(2) = 3(2)2 + 6(2) – 9 = 15 > 0 (fungsi naik) Sehingga interval fungsi naik pada x < –3 atau x > 1

interval fungsi turun pada –3 < x < 1

x = –3 maka f(–3) = (–3)3 + 3(–3)2– 9(–3) – 20 = 7 , Titik maksimum di (–3, 7) x = 1 maka f(1) = (1)3 + 3(1)2– 9(1) – 20 = –25 , Titik minimum di (1, –25)

Langkah 3 : Menentukan interval cekung atas dan cekung bawah f(x) = x3 + 3x2– 9x – 20

f’(x) = f’(x) = 3x2 + 6x – 9 f’’(x) = 6x + 6

maka f’’(x) = 0 6x + 6 = 0 6x = –6 x = –1

–1

Uji : x = –2 maka f’’(–2) = 6(–2) + 6 = –6 < 0 (cekung bawah) Uji : x = 0 maka f’’(0) = 6(0) + 6 = 6 > 0 (cekung atas)

(4)

7) , 3 (

) 25 , 1 (  )

9 , 1 ( 

) 20 , 1 ( 

x

y

O

Gambar grafiknya :

03. Lukislah grafik fungsi polinom f(x) = x4– 8x2 + 12 Jawab

Langkah 1 : Titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat Titik potong dengan sumbu-x (syarat y = 0)

x4– 8x2 + 12 = 0 (x2)2– 8(x2) + 12 = 0 (x2– 6)(x2– 2) = 0

(x – 6)(x + 6)(x – 2)(x + 2) = 0

x1 = 6 , x2 = – 6 , x3 = 2 , x4 = – 2

Jadi titiknya : ( 6, 0) , (– 6, 0) , ( 2, 0) , (– 2, 0) Titik potong dengan sumbu-y (syarat x = 0)

y = (0)4– 8(0)2 + 12 y = 12

Titiknya : (0, 12)

Langkah 2 : Interval fungsi naik dan turun f(x) = x4– 8x2 + 12

f’(x) = 4x3– 16x maka : f’(x) = 0

(5)

) ( )

( ()

) ( )

( )

(

4x(x – 2)(x + 2) = 0 x1 = 0 , x2 = 2 , x3 = –2

–2 0 2

Uji : x = –3 maka f’(–3) = 4(–3)3– 16(–3) = –60 < 0 (fungsi turun) Uji : x = –1 maka f’(–1) = 4(–1)3– 16(–1) = 12 > 0 (fungsi naik) Uji : x = 1 maka f’(1) = 4(1)3– 16(1) = –12 < 0 (fungsi turun) Uji : x = 3 maka f’(3) = 4(3)3– 12(3) = 60 > 0 (fungsi naik) Sehingga interval fungsi naik pada –2 < x < 0 atau x > 2

interval fungsi turun pada x < –2 atau 0 < x < 2

x = –2 maka f(–2) = (–2)4– 8(–2)2 + 12 = –4 , Titik minimum di (–2, –4) x = 0 maka f(0) = (0)4– 8(0)2 + 12 = 12 , Titik maksimum di (0, 12) x = 2 maka f(2) = (2)4– 8(2)2 + 12 = –4 , Titik minimum di (2, –4)

Langkah 3 : Menentukan interval cekung atas dan cekung bawah f(x) = x4– 8x2 + 12

f’(x) = 4x3– 16x f’’(x) = 12x2– 16 maka f’’(x) = 0

12x2– 16 = 0 3x2– 4 = 0 x2 = 4/3

x1 = – 3 3 2

dan x2 = 3 3 2

– 3 3 2

3

3 2

(6)

6