tugas kapita selekta sma

DIFFERENSIAL

Disusun oleh:

kelompok 11

1. Rika Farhani (09320011)

2. Noor Syahrida (09320019)

3. Yessi Priska Marina (09320033)

TURUNAN

A. Definisi Turunan

Turunan fungsi f adalah fingsi lain f’ (dibaca f aksen) yang nilainya pada sebarang nilai c adalah :

h c f h c f c f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0    

Jika limit ini memang ada, maka dikatakan bahwa f terdiferensialkan di c. Pencarian turunan disebut pendiferensialkan.

Contoh1:Untuk y = 2x maka

2 2 lim 2 lim 2 2 2 lim 2 ) ( 2 lim lim, 0 0 0                         

x x x x x x

x x x x x x x x x x y dx dy

Contoh 2 : Andaikan f(x) x2 2x



 , carilah f’(2)

Jawab : 6 6 8 8 6 ) 2 ( ) 2 ( 8 6 ) 2 ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 8 2 . 2 2 ) 2 ( 2 ) ( 2 2 2 2 2 2                        h h h h h h h h f h f h h h h h f f x x x f

Maka : '(2) lim (2 ) (2) lim 6 6

0

0   

  



 h h

f h f f h h

B. Sifat-sifat Turunan

Dengan menggunakan definisi turunan dapat diturunkan sejumlah sifat tentang turunan, yaitu :

1. jika _{y cx}n_{dengan c dan n konstanta real, maka cnx}n1

dx dy contoh : 3 1 4

4 _{2.4 8.}

2 x x

dx dy x

2. jika y cdengan c



R maka 0

dx dy

contoh :

0

2 



dx dy y

3. jika y x_maka ₁

dx dy

4. jika yf(x)g(x)_maka f'(x) g'(x)

dx dy   contoh : x x dx dy x x

y_ 3_2 2 _{ }3 2_4

5. jika y f(x).g(x)_maka f'(x).g(x) g'(x).f(x)

dx dy   contoh : x x x x x x y x x g x x g x x f x x f x x y 4 4 ) ( 2 ) 2 ( 2 ' 2 ) ( ' 2 ) ( 2 ) ( ' ) ( ) 2 ( 3 2 2 2 2 2 2               

6. jika y _gf₍(_xx₎)_maka





2

) ( ) ( ). ( ' ) ( ). ( ' x g x f x g x g x f dx dy   contoh : 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) .( 2 ) 1 .( 1 2 ) ( ' 1 ) ( 1 ) ( ' ) ( 1                 x x x x x x dx dy x x g x x g x f x x f x x y

7. jika





n x f

y ( ) maka n



f(x)



1.f'(x)

dx

dy n











1 1 ) 2 ( 1 2 1 ) 1 ( 1 2 ) ( ' 1 ) ( 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2                   x x x x x x dx dy x x y x x f x x f x y

8. jika y sin f(x)maka



cos f(x)



.f'(x)

dx dy



contoh :



cos( 1)



.2 2 cos( 1) 2 ) ( ' 1 ) ( ) 1 sin( ) ( 2 2 2 2           x x x x dx dy x x f x x f x x f

9. jika ycos f(x)_maka



sin f(x)



f'(x)

dx dy   contoh : ) 1 2 sin( 2 2 ). 1 2 sin( 2 ) ( ' 1 2 ) ( ) 1 2 cos(             x x dx dy x f x x f x y Catatan : dx dy

untuk

x



a

dapat diperoleh dengan mengganti x menjadi a pada dx dy

Turunan ke-n suatu fungsi diperoleh dengan menurunkan fungsi sebanyak n kali. Notasi-notasi untuk turunan pertama, turunan kedua, turunan ketiga, sampai

turunan ke-n dari fungsi disajikan dalam daftar Tabel berikut.

Notasi yang digunakan Turunan pertama

atau atau atau

Turunan kedua

atau ) atau atau

... ... ... ... ... ... ... ... Turunan ke-n

atau ) atau atau

Contoh:

4

2

3_{  }

x x x

y

1 2 3 2 _{ }  x x dx

dy

2 6

2 2

  x dx

y d

6

3 3

 dx

y d

D. Turunan fungsi Trigonometri

Misalkan diketahui fungsi sinus: . Turunan fungsi sinus:

ditentukan sebagai berikut.

=

=

= sinx - cos x

= cos x

Untuk fungsi-fungsi trigonometri yang lain juga dapat dicari dengan cara seperti diatas, sehingga diperoleh :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Contoh-sontoh soal dan pembahasan :

1.Apabila f(x) = 2 1 1

x

x

maka f’ adalah

Bahasan : jika f(x) =

k

.

x

nmaka

f

'

(

x

)



k

.

n

x

n1 = ( ) 2 1 1

x x

f

x

=

f

'

(

x

)



2

x

21



(



1

)

x

11



0



2

x



x

2

2. jika y=

x

2sin 3 x ,maka 

Bahasan :

x x

x x

x x

dx dy

x y

v v u y v u y

x

x

x

3 cos 3 3 sin 2 ) )( 3 cos 3 ( ) 3 )(sin 2 (

3 sin

'. '. ' ; .

2 2

2

 

 



E. Menentukan gradien garis singgung kurva

persamaan garis singgungya adalah y –b = m (x –a) dimana m = f’(x)

apabila terdapat dua persamaan garis y= m1 x + c1 dan y= m 2 x + c 2 dikatakan - sejajar apabila m1 = m 2

- tegak lurus apabila m1 . m 2 = -1

Misal garis g menyinggung kurva yf

 

x dititik (a,(f(a))_{maka gradien}

g_adalah:



g m

h a f h a f h

) ( ) ( lim

0

  

f'(a)

Contoh:

Tentukan gradien garis singgung kurva y_x2 _3x _{di titik (1,4).} Jawab:

3 2 ' 3

2_{   }

x x y x

y

Gradien garis singgung kurva di titik (1,4) _{adalah :}my'(1)2.135

G. Menentukan interval fungsi naik dan turun

Kurva y f(x) _{naik untuk} f'(x)0 _{dan turun untuk} f'(x)0._Interval

yang memenuhi f'(x)0 dan

f

"

(

x

)



0

dapat ditentukan dengan

menggambarkan garis bilangan dari f '(x).

Contoh:

24 3 )

( 3 2

   f x x x

y _3



_x2 _2_x 8



=_{3(x4)(x 2)}

x1 4:x2 2

Dapat diketahui bahwa f'(x)0 untuk x 4 atau x2 dan f'(x)0 untuk

. 2 4 

 x jadi fungsi naik untuk x 4 atau x2 dan fungsi turun untuk

2 4   x

H. Menentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi

Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi sering disebut dengan nilai ekstrim atau nilai stasioner fungsi tersebut. Nilai ekstrim dari fungsi yf(x)

diperoleh pada f'(x) 0. _{Misalkan 2 adalah nilai}

x

_{yang memenuhi} ,

0 ) ( ' x 

f _maka (a, f(a))_{adalah titik ekstrim dan} f (a) _{adalah nilai ekstrim.}

Nilai ekstrim ini akan merupakan nilai maksimum jika _f'(_a)0

dan

, 0 ) ( ' _a 

f dan merupakan nilai minimim jika _f'(_a )0 _{dan ( ) 0.} 



a f

Contoh:

Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi y_x3 _3x2 _ 24x Jawab:

) 2 )( 4 ( 3 24 6 3 ) ( '

24 3

) (

2

2 3

     

   

x x x

x x f

x x

x x f y

0 ) ( ' x 

f untuk x4 dan x2

) (x

f _{maksimum untuk} x 4; _nilai

maksimum_f(_4) _(_4)3 _3(_4)2 _ 24(_4)₌₈₀

) (x

f _{minimum untuk} x2;_{nilai minimumf(2)2}3 _3.22 _{ 24.2}

=-28 Menentukan titik stasioner

diketahui y = f (x).

Bila f’(a) = 0 maka (a, f(a) ) adalah titik stasioner - (a, f(a) ) titik minimum jika f ’’ (a) > 0

- (a, f(a) ) titik maksimum jika f ’’ (a) < 0

Titik kritis adalah titik interior dalam f dimana f ‘ 0 atau tidak ada.

• f(x) = 4x – 3x2 _{+ 1 ; x [2,1] , tentukan nilai ekstrim fungsi f !}

a. titik –titik ujung adalah x = 2 dan x = 1

X = 2f(2) = 4(2) – 3(2)² +1 = 8 – 12 + 1= -3 x = 1f(1) = 4(1) – 3(1)² +1 = 4 – 3 + 1 = 2 b. Titik kritis

f(x) = 4x – 3x² - 1 f’(x) = 4 – 6x f’ (x) = 0 4 – 6x = 0 4 = 6x

4/6 = x, maka tidak mencapai titik kritis Nilai minimum = { -3, 2},

nilai maksimum = {-3, 2 } = 2 J. Titik Belok fungsi

1. Definisi titik belok fungsi

Jika pada titik (a, f(a)) terjadi perubahan kecekungan grafik fungsi y=f(x) (dari cekung ke bawah menjadi cekung ke atas atau sebaliknya) maka titik (a,f(a)) dinamakan titik belok fungsi y= f(x). Untuk memeriksa kondisi bagi titik belok fungsi, simaklah fungsi berikut ini.

fungsi y f(x)

x

3_{- 1. turunan pertama dan kedua dari fungsi}

 f(x)

y

x

3-1 berturut-turut adalah:

x

x

f

('

)



3

2 dan f ''(x)6x

Tanda-tanda f ''(x) di sekitar x=0 diperlihatkan pada gambar. Berdasarkan tanda-tanda f ''(x) _{itu, dapat dibaca sebagai berikut.}

a. f ''(x) _{< 0 untuk x < 0}



_fungsi f(x)

cekung ke bawah

b. f ''(x) = 0 untuk x = 0



fungsi

) (x

c. f ''(x) _{>0 untuk x > 0}



fungsi f(x)

cekung ke atas.

Jadi grafik fungsi y f(x)

x

3_{-1 mengalami perubahan}

kecekungan dari cekung ke bawah menjadi cekung ke atas dan perubahan kecekungan ini terjadi di titik (0,-1). Titik (0,-1) disebut titik belok bagi

fungsi y f(x)

x

3_-1.

Selain itu, berdasarkan pengamatan pada nilai turunan kedua syarat perlu atau kondisi perlu bagi sebuah titik belok fungsi dan diungkapkan melalui teorema beriku

2. Teorema :syarat perlu bagi titik belok

Jika f(x) diferensiabel dua kali pada x=a atau f’’(a) ada dan (a,f(a)) adalah titik belok grafik fungsi y= f(x) maka f’’(a) = 0

K. Titik Balik

L. Menggambar grafik fungsi

Langkah-langkah untuk memggambar grafik fungsi: Langkah I

1. tentukan koordinat-koordinat titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat, jika koordinat-koordinat itu mudah ditentukan.

 Titik potong dengan sumbu X diperoleh dari syarat y = 0

 Titik potong dengan sumbu Y diperoleh dari syarat x = 0

2. tentukan turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi f(x)_{, yaitu} )

( ' x

f dan f ''(x). Dari turunan pertama f'(x), dapat ditentukan:

 interval-interval dimana f(x)naik dan f(x) turun

 titik ekstrim fungsi f(x) serta jenis-jenisnya.

Dari turunan kedua f ''(x)_{dapat ditentukan:}

 Interval-interval dimana f(x) cekung ke atas dan f(x)cekung

ke bawah,

 Titik belok fungsi f(x).

3. jika fungsi f(x)_{didefinisikan dalam interval tertutup, tentukan nilai}

fungsi f(x) _{pada ujung-ujung interval.}

4. jika diperlukan, tentuakan beberapa titik tertentu. Langkah II

Titik-titik yang diperoleh pada langkah I digambarkan pada bidang cartesius. Langkah III

Selanjutnya titik-titik yang telah disajikan dalam bidang Cartesius pada langkah II dihubungkan dengan mempertimbangkan naik atau turunnya fungsi dan kecekunga fungsi pada interval-interval yang telah ditentukan.

Contoh

Gambarlah grafik dari persamaan 2 3 4

3 1 )

(  3 2 

f x x

Langkah I

1 koordianat-koordinat titik potong kurva dengan sumbu-sumbu koordinat

 titik potong dengan sumbu X diperoleh dengan syarat y = 0

0 4 3 2 3

1 3 2

   

x

x

x

Nilai-nilai

x

yang memenuhi persamaan tersebut adalah akar-akar dari persamaan sukubanyak tersebut. Akan tetapi akar-akar dari persamaan suku banyak itu sulit untuk ditentukan, sehingga koordinat titik potong dengan sumbu X tidak perlu ditetapkan.

 Titik potong dengan sumbu Y diperoleh dari syarat x0.

4 4 ) 0 ( 3 2

3

1

(

₀

)

3

(

₀

)

2

  

 

y

Titik potong dengan sumbu Y adalah (0,4)

2. Turunan pertama dan kedua dari fungsi 2 3 4 3

1 )

(x  3 2 x

f

x

x

berturut-turut adalah

f

('

x

)



x

2



4

x



3

dan f ''(x)2x 4.

a. Dari

f

('

x

)



x

2



4

x



3

dapat ditentukan:

 f(x) naik diperoleh dari f'(x)0

0

3

4

2







x

x

 (x 1)(x 3)0

 x1 atau x3

 f(x) turun diperoleh dari f'(x)0

0

3

4

2







x

x

 (x 1)(x 3)0

 x 1 atau x3

Fungsi 2 3 4

3 1 )

(  3 2 

f x x

y

x

x

naik dalam interval x1 atau x3 dan

turun dalam interval 1x3.

0

3

4

2







x

x

 (x 1)(x 3)0  x 1atau x 3

Untuk x1, diperoleh

3 1 5 4 ) 1 ( 3 2

3 1 ) 1

( 

(

1

)

3

(

1

)

2  

f .

3 1 5 ) 1 ( 

f _{merupakan nilai balik maksimum , sebab} f'(x)_berubah

tanda dari positif menjadi negatif ketika melewati x1,

Untuk x = 3, diperoleh f(3) =

3 1

(3)3 _{– 2(3)}2 _{+ 3(3) + 4.}

f(3) = 4 merupakan nilai balik minimum f(x), sebab f’(x) berubah tanda dari negatif menjadi positif ketika melewati x = 3 ,

fungsi 2 3 4

3 1 )

(  3 2 

f x x

y

x

x

mempunyai koordinat titik

balik maksimum (1, 5 ) dan koordinat titk balik minimum (3, 4). ⅓

b. dari f” (x) = 2x – 4 dapat ditentukan.

 f(x) cekung ke atas diperoleh dari f ” (x) > 0

2x – 4 > 0 ↔ x > 2

 f(x) cekung kebawa diperoleh dari f” (x) < 0

2x – 4 < 0 ↔ x< 2

Fungsi 2 3 4

3 1 )

(x  3 2 x

f

x

x

cekung keatas dalam interval x >

2 dan cekung kedalam dalam interval x< 2

 syarat perlu bagi titik belok diperoleh dari f” (x) = 0

2x – 4 < 0 ↔ x= 2

Untuk x = 2, diperoleh f(2) =

3 1

(2)3 _{– 2(2)}2 _{+ 3(2) + 4 = 4} 3 2

Titik (2, 4

3 2

) merupakan titoik belok fungsi f(x), sebab fungsi f(x)

mengalami perubahan kecekungan dari cekung kebawah (f”(x) < 0)menjadi cekung ke atas (f”(x) > 0) ketika melewati x=2.

Langkah II

Langkah III

Selanjutnya titik-titil yang telah digambarkan pada bidang cartesius tersebut dihubungkan sehingga diperoleh grafik fungsi

4 3 2 3 1 )

(  3 2 

f x x

y

x

x

.

M. SOAL

1. Carilah turunan dari

2. Carilah turunan kedua dari 3. Carilah turunan dari y =

4. Carilah nilai balik maksimum dan nilai balik minimum pada fungsi f(x)=x⁴ - 2x²

5. Tentukan koordinat-koordinat titik belok fungsi f(x)= x⁴ -8x³ +18x²+12x-25 dalam daerah asal Df = {x/XєR}

1 2

6  

x x y

x

y



4

x

2

cos

)

5

3

)(

)(

1

(

x

3

x

4

x

2

x

2

x

DAFTAR PUSTAKA

Wirodikromo, Sartono. 2002. MATEMATIKA untuk SMA Kelas XII , Penerbit Erlangga, Jakarta.

Edwin j.purcell, dale varberg. 1984. Kalkulus dan geometri analitis , Penerbit Erlangga, Jakarta

Stewart, James. 2001. KALKULUS edisi keempat ,Penerbit Erlangga, Jakarta.

Simangunsong, wilson. 1997. matematika dasar , Penerbit Erlangga, Jakarta.

Anonym .2009. Turunan (Differensial) ,(online), www.BELAJAR-MATEMATIKA.com .