Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 1
Eksponensial dan Logaritma
A. Eksponensial
I. Pengertian dan Sifat Eksponensial
Eksponensial merupakan oparasi bilangan dalam bentuk pemangkatan yang dinyatakan dalam bentuk = × × … .× . Eksponensial memilki sifat-sifat dalam pemangkatan, sifat-sifat tersebut adalah
1. � = − ; ≠
2. ∙ = +
3. : = − ; ≠
4. = ; ≠
5. = ∙
6. ∙ = ∙
II. Penerapan Fungsi Eksponensial
Fungsi eksponensial dapat diterapkan dalam kehiupan sehari-hari. Adapun contoh penerapannya sebgai berikut:
Seorang peneliti ingin mengembangkan sebuah virus untuk membuat racun hama padi. Pada awal penelitiannya, peneliti tersebut mengambil 1 virus untuk dikembangkan. Setelah dilakukan penelitian dan pengembangan, virus tersebut mampu membelah diri menjadi 3 virus tiap satu jam. Berapakah jumlah virus setelah 3 jam, 4 jam dan 5 jam? Penyelesaian: Pembelahan virus tersebut dapat diilustrasikan seperti berikut,
Ilustrasi di atas dapat pula disajikan dalam bentuk tabel pasangan jam(x) dan virus(y).
Jam (x) 0 1 2 3 4 5 …
Virus (y) 1 3 9 27 81 243 …
Bentuk … �
Jam(x) = 0 virus(y) =1
Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 2 Dari tabel dapat disimpulkan bahwa banyak virus dapat dicari menggunakan sebuah fungsi = �. Fungsi = ini disebut dengan fungsi pemangkatan atau fungsi eksponensial.
III. Fungsi Eksponensial dan Grafiknya
1. Definisi Fungsi Eksponensial
Fungsi eksponensial atau fungsi pemangkatan didefinisikan sebagai berikut, = ; > ; ≠
Contoh:
a) = �→ = ; > ; ≠ → � �� � ��
b) = − � → = − ; < ; ≠ → � �
c) = �→ = ; > ; = → � �
d) = �→ = ; > ; ≠ → � �� � ��
2. Melukis Grafik Fungsi Eksponensial
Melukis grafik fungsi eksponensial dapat dilakukan dengan menggunakan beberapa titik bantu. Titik bantu tersebut dapat diambil beberapa nilai dan kemudian dimasukkan dalam fungsi sehingga menghasilkan . Maka diperoleh pasangan , .
Contoh: Lukislah grafik dari = � dan = �
Solusi: Untuk pengerjaannya dapat diambil beberapa nilai , misalnya diambil dari -2, -1, 0, 1, 2. Maka diperoleh pasangan titik sebagai berikut:
-2 -1 0 1 2
= 0,111 0,333 1 3 9
Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 3 Dari pasangan titik di atas dapat dibuat grafik fungsi eksponensial sebagai berikut,
3. Sifat-Sifat Grafik Fungsi Eksponensial
Dari grafik yang telah dibuat, dapat diamati dan dianalisa sifat-sifat grafik fungsi eksponensial = � ; > ; ≠ adalah:
a) Kontinu.
b) Merupakan fungsi satu-satu. c) Domain: −∞, ∞ atau ∈ �. d) Range: , ∞ atau > , ∈ �. e) = � ; > maka grafiknya naik. f) = � ; < < maka grafiknya turun. g) Memotong sumbu di titik , .
h) Mempunyai asimtot datar sumbu .
Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 4
IV. Persamaan Eksponensial
Ilustrasi:
[image:4.612.126.354.86.470.2]Dari grafik di atas terdapat dua fungsi yakni = � dan = . Terdapat titik potong dari grafik kedua fungsi tersebut di titik , . Apakah ada titik potong lain dari kedua grafik tersebut?. Untuk menjawabnya dapat dilakukan langkah analisa sebagai berikut,
=
�=
�=
= → ℎ � ,
Dari ilustrasi di atas menunjukkan sebuah persamaan fungsi eksponensial. Persamaan fungsi eksponensial memiliki beberapa bentuk.
Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 5
V. Bentuk-Bentuk Persamaan Eksponensial
Persamaan fungsi eksponensial memiliki beberapa bentuk, bentuk-bentuk tersebut adalah:
1. Jika � = ; > ; ≠ , maka = . Contoh:
a. �− = Solusi: �− =
�− =
�− = − = = =
b. √ �+ = Solusi:
�+ =
�+ = + = = =
2. Jika � = � ; > ; ≠ , maka = . Contoh:
a) �− − −�+ = Solusi:
�− = −�+
Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 6 b) �+ = √ �−
Solusi:
�+ = √ �−
�+ = √ �−
− �− = �−
− �− = �−
− − = −
= −2
= −
3. Jika � = � ; > ; ≠ ; > ; ≠ , maka = . Contoh:
a) �− = �− Solusi:
�− = �−
�− = �−
− = = =
b) −�− √ − � = Solusi:
−� = √ − �
−� = − �
− � = − �
− =
Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 7 4. Jika ℎ � = ℎ � , maka kemungkinannya adalah:
a) =
b) ℎ =
c) ℎ = dengan syarat > dan >
d) ℎ = − dengan syarat dan sama-sama genap atau sama-sama ganjil.
Contoh:
a. + �+ = + �− , untuk mencari yang memenuhi ada empat kemungkinan.
Diketahui: = + ; = − ; ℎ = +
i. =
+ = −
− = − −
− = − =
ii. ℎ =
+ = = − = −
iii. ℎ = syarat > ; > + =
= − dimasukkan dalam ;
− = − + = >
− = − − = − − = − <
Jadi = − tidak memenuhi.
iv. ℎ = − syarat ; sama-sama genap atau sama-sama ganjil. + = −
= − −
= − dimasukkan dalam ;
Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 8
− = − − = − − = − ganjil
Jadi = − memenuhi
Dari empat kemungkinan yang telah dianalisa diperoleh �� = {− , − , }.
5. Jika ℎ � = ℎ � , maka kemungkinannya adalah:
a) =
b) ℎ = dengan syarat ≠ dan ≠ Contoh:
a. + �+ = − �+
Untuk mencari yang memenuhi, ada dua kemungkinan.
Diketahui: = + ; = − ; ℎ = +
i. =
+ = − − = − − = − = −
ii. ℎ = dengan syarat ≠ dan ≠ + =
= − dimasukkan dalam ; .
− = − + = − + = − ≠
− = − − = − ≠
Jadi = − memenuhi.
Dari dua kemungkinan yang dianalisa diperoleh �� = {− }
6. Jika � = , maka kemungkinannya adalah:
a) =
b) = dengan syarat ≠ c) = − dengan syarat genap Contoh:
Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 9 Untuk mencari yang memenuhi, ada dua kemungkinan.
Diketahui: = + ; = +
i. =
+ = = − = −
ii. = dengan syarat ≠ + =
= −
= − dimasukkan dalam
− = − + = − + = ≠
Jadi = − memenuhi.
iii. = − dengan syarat genap + = −
= −
= − dimasukkan dalam
− = − + = − − = − genap
Jadi = − memenuhi.
Dari tiga kemungkinan yang telah dianalisa diperoleh �� = {− , − , − }.
7. Jika persamaan eksponensial memiliki bentuk persamaan kuadrat seperti
( � ) + ( �) + = , maka dapat diselesaikan dengan memisalkan
� = , kemudian menyelesaikan persamaan kuadrat yang terbentuk untuk .
Contoh:
a) �+ − ∙ �+ + √ =
Untuk mengerjakan persamaan di atas kita ubah ke bentuk �.
�+ − ∙ �+ + √ =
�∙ − ∙ �∙ + =
∙ �− ∙ �+ =
Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 10 Kita misalkan �= , maka persamaannya menjadi,
∙ − ∙ + =
∙ − ∙ + = :
− ∙ + =
− − =
= ; =
Kita cari nilai yang memenuhi dari � = .
i. � =
� =
� =
=
ii. � =
� =
� =
=
Jadi nilai yang memenuhi untuk persamaan �+ − ∙ �+ + √ = adalah = { , }.
VI. Pertidaksamaan Eksponensial
Pada pembahasan sebelumnya telah dipelajari tentang grafik fungsi eksponensial. Dikatahui bahwa grafik fungsi dari = � naik jika nilai > , dan grafik fungsi
= � turun jika < < .
Untuk lebih memahami pertidaksamaan eksponensial perhatikan ilustrasi berikut.
=
[image:10.612.128.533.463.701.2]> =< <
Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 11 Dari gambar 6.1 dapat disimpulkan bahwa < ↔ < . Dengan memanfaatkan sifat kemonotonan fungsi eksponensial diperoleh,
> ↔ > untuk >
Sedangkan dari gambar 6.2 dapat disimpulkan bahwa < ↔ > . Dengan memanfaatkan sifat kemonotonan fungsi eksponensial diperoleh,
> ↔ < untuk < < Contoh:
a) √ �− �+
Jawab:
√ �− �+
√ �− �+
�− �+
�− �+ → = ; >
− +
− +
− −
b) �+ > �+
Jawab:
( ) �+ > ( )�+
( ) �+
> ( )�+
( ) �+ > ( )�+
( ) �+ > ( ) �+
Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 12
+ < + → ( ℎ = ; < < )
− > − > − >
c) � + �
Jawab:
( )� + �
( )� + ( − ) �
( )� + ( − ) �
( )� + ( )− �
+ − → ( ℎ = ; < < )
+ +
+ + = → � ℎ "="
+ + =
= − ; = −
Kemudian diperiksa daerah sekitar = − dan = − .
a. Daerah < − , diambil = − kemudian dimasukkan kedalam = + + .
= + +
− = − + − + = − + = > � ℎ�
Jadi daerah < − tidak memenuhi + + .
b. Daerah − < < − , diambil = − kemudian dimasukkan kedalam
= + + .
Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 13
− = − + − + = − + = − < ℎ�
Jadi daerah − < < − memenuhi + + .
c. Daerah > − , diambil = kemudian dimasukkan kedalam = + + .
= + +
= + + = + + = > � ℎ�
Jadi daerah > − tidak memenuhi + + .
Jadi yang memenuhi � + � adalah �� = { │ − − , � �}.
B. Logaritma
I. Pengertian Logaritma
Logaritma adalah kebalikan dari pemangkatan (eksponensial). Pada eksponensial dinyatakan dalam bentuk = . Maka bila dinyatakan dalam logaritma menjadi
��� = .
Contoh:
a) = → l�� =
b) = → l�� =
c) = → l�� =
II. Fungsi Logaritma dan Grafiknya
Jika fungsi eksponensial dinyatakan dalam bentuk = � dengan > dan ≠ . Maka fungsi logaritma dinyatakan dengan bentuk = ��� dengan > ; ≠ dan > .
Contoh:
a) = l�� → >
b) = l�� → >
c) = l�� → >
Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 14 adalah pada pemilihan interval . Untuk fungsi logaritma interval hanya boleh >
. Sebagai contoh akan digambarkan grafik fungsi logaritma = l�� dan =
l�� , dengan interval yang diambil = { , , , , , , }. Untuk mengerjakan
kita buat tabel pasangan titik dan seperti berikut,
1 2 4 8
= ��� -3 -2 -1 0 1 2 3
= ��� 3 2 1 0 -1 -2 -3
Dari tabel pasangan titik di atas dapat dibuat tabel sebagai berikut,
Dari grafik fungsi logaritma di atas, dapat kita simpulkan mengenai sifat grafik tersebut. Grafik fungsi logaritma mempunyai sifat:
a. Kontinu
b. Merupakan fungsi satu-satu. c. Domain: > , ∈ �. d. Range: −∞, ∞ atau ∈ �. e. Grafik = l�� naik jika > . f. Grafik = l�� turun jika < < .
g. Memotong sumbu , .
h. Mempunyai asimtot tegak sumbu .
= ���
= ���
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1
2 3 4
-1
-2
Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 15
III. Persamaan Logaritma
Fungsi logaritma juga memiliki beberapa bentuk persamaan, sama halnya dengan persamaan pada fungsi eksponensial. Sebelum mambahas tentang bentuk persamaan pada fungsi logaritma berikut adalah sifat-sifat dari logaritma:
a. ��� = → > .
b. ��� = → >
c. ��� + ��� = ��� ∙ → > ; ≠ ; > ; >
d. ��� − ��� = ��� → > ; ≠ ; > ; >
e. ��� = ���
��� → > ; ≠ ; > ; >
f. ��� = ∙ ��� → > ; ≠ ; >
g. ��� = ∙ ��� → > ; ≠ ; > ; ≠
h. ��� = → > ; ≠ ; >
i. ��� ∙ ��� = ��� → > ; ≠ ; > ; >
j. ��� =
��� → > ; ≠ ; >
k. ��� = − ��� → > ; ≠ ; > ; >
IV. Bentuk-Bentuk Persamaan Logaritma
a) l�� = l�� ; > ; ≠ ; > ; > maka = .
Contoh:
1. l�� + = l��
Jawab:
a. Mencari daerah yang terdefinisi.
l�� + maka + >
> −
b. Mencari nilai yang memenuhi persamaan.
l�� + = l��
+ = → = + >
-2
Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 16 + =
= − = > −
Jadi yang terdefinisi dan memenuhi l�� + = l�� adalah = .
2. l�� + =
Jawab:
a. Mencari daerah yang terdefinisi. l�� + maka + > > −
> −
b. Mencari nilai yang memenuhi persamaan.
l�� + =
l�� + = ∙
l�� + = ∙ l��
l�� + = l��
l�� + = l��
+ =
+ = = − =
= > −
Jadi yang terdefinisi dan memenuhi l�� + = adalah = .
b) l�� = l�� ; > ; ≠ ; > ; > maka = .
Contoh:
1. l�� + = l�� −
Jawab:
-5
Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 17 a. Menentukan daerah yang terdefinisi.
l�� + maka + >
> −
> −
l�� − maka − >
<
Jadi daerah yang terdefinisi adalah − < < (diantara − dan − ) b. Mencari nilai yang memenuhi persamaan.
l�� + = l�� −
+ = − + = −
= −
= − = − → − < <
Jadi yang terdefinisi dan memenuhi adalah = − .
c) l�� = l�� ; > ; ≠ ; > ; > maka = .
Contoh:
1. l�� − = l�� −
Jawab:
a. Menentukan daerah yang tedefinisi.
l�� − ; l�� −
Maka − > > >
b. Mencari nilai yang memenuhi persamaan.
l�� − = l�� −
− = =
-3
Daerah
2
3
Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 18 = = >
Jadi yang terdefinisi dan memenuhi l�� − = l�� −
adalah = .
d) ℎ � l�� = ℎ � l�� ; ℎ > ; ℎ ≠ ; > ; >
maka = .
Contoh:
1. �− l�� − = �− l�� + Jawab:
a. Menentukan daerah yang terdefinisi.
ℎ = − ; = − ; = +
ℎ > ℎ ≠ > >
− > − ≠ − > + >
> ≠ > > −
Jadi daerah yang terdefinisi adalah > ; ≠ .
b. Mencari nilai yang memenuhi persamaan.
l�� −
�− = �− l�� +
− = +
− = +
=
= > ; = ≠
Jadi yang terdefinisi dan memenuhi adalah = .
e) ∙ l�� + ∙ l�� + = ; > ; ≠ ; > ; dan
, , ∈ � maka untuk mencari nilai yang memenuhi adalah dengan
Daerah
Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 19 memisalkan l�� = . Sehingga persamaan di atas menjadi persamaan
kuadrat, ∙ + . + = kemudian dicari akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut.
Contoh:
1. l�� − ∙ l�� + =
Jawab:
a. Mencari daerah yang terdefinisi.
l�� → =
> → >
b. Mencari nilai yang memenuhi.
l�� − ∙ l�� + =
( l�� ) − ∙ ( l�� ) + =
Dimisalkan l�� = , maka persamaan di atas menjadi:
− + =
− − =
= ; =
Dicari nilai melalui persamaan l�� = :
a. l�� =
l�� = l�� = l��
= > → ℎ�.
b. l�� =
l�� =
l�� = ∙ l�� l�� = l�� l�� = l��
= > → ℎ�.
Jadi yang memenuhi adalah = { , }.
Daerah
Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 20
V. Pertidaksamaan Logaritma
Sama halnya denga fungsi eksponensial, pada logaritma juga dibahas masalah pertidaksamaan. Dengan ilustrasi yang sama pada pertidaksamaan eksponensial diperoleh bentuk pertidaksamaan fungsi logaritma sebagai berikut:
A. Untuk >
��� > ��� , > >
��� < ��� , < <
B. Untuk < <
��� > ��� , < <
��� < ��� , > >
Contoh:
1. Tentukan yang memenuhi untuk l�� − < !
Jawab:
a. Menentukan daerah yang terdefinisi.
Dari pertidaksamaan di atas diketahui = − Syarat > → − >
>
Jadi daerah yang terdefinisi adalah > .
b. Mencari nilai yang memenuhi.
l�� − <
l�� − < ∙ l��
l�� − < l��
l�� − < l��
− < , Tanda tetap karena = ; > < +
<
Jadi yang terdefinisi dan memenuhi l�� − < adalah < < .
Daerah
1
1
Daerah
5 Daerah
Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 21 2. Tentukan yang memenuhi untuk l�� − !
Jawab:
a. Menentukan daerah yang terdefinisi.
Dari pertidaksamaan di atas diketahui = − Syarat > → − >
> >
Jadi daerah yang terdefinisi adalah > .
b. Mencari nilai yang memenuhi.
l�� −
l�� − < ∙ l�� ( )
l�� − < l�� ( )
l�� − < l�� ( )
− > , Tanda b��ubah �a��na = ; < <
< +
< +
<
<
<
Jadi yang terdefini dan memenuhi
l�� − adalah < < .
Daerah
4
Daerah
4
[image:21.612.142.538.91.702.2]Daerah
