= 1. Ringkasan Matematika Eksponen dan Logaritma. A. EKSPONEN Sifat-sifat eksponen : atau a. = a = TIDAK TERDEFINISI.

(1)

w w w . a p l u s - m e . c o m Page 1 A. EKSPONEN Sifat-sifat eksponen : _________ buah n sebanyak ... a a a a a an =      n n n n a a a a− = 1 atau = 1₋ n m n m a a = 1 0 ₌

a , ingat _{0 = TIDAK TERDEFINISI}0 q p q p a a a  = + q p q p a a a : = −

( )

p q p q a a = 

(

)

n n n b a b a =  n n n b a b a ₌       1 1n = , n  

1. Persamaan Eksponen Berbentuk af(x) =1

Jika a0 ,a1 dan f(x)=1

a , maka f(x)=0 Contoh 1

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari persamaan 7x2+3x−10 ₌1 Jawab : 1 7x2+3x−10 =  x2 +3x−10=0 0 ) 2 )( 5 (x+ x− = 5 − = x atau x=2 Jadi, HP adalah {−5 ,2}

2. Persamaan Eksponen Berbentuk _af(x) =_ag(x)

Jika a0 ,a1 dan f(x) g(x) a

a = , maka f(x)=g(x) Contoh 2

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari persamaan 25x2+2 =1252x2−x+1 Jawab : 1 2 2 2 2 125 25x + = x −x+  (52)x2+2=(53)2x2−x+1 3 3 6 4 2 2 ₅ 2 5 x + = x − x+ 3 3 6 4 2x2+ = x2 − x+ 0 1 3 4x2 − x− = 0 ) 1 )( 1 4 ( x+ x− = 4 1 − = x atau x=1 Jadi, HP adalah {−₄1 ,1}

(2)

w w w . a p l u s - m e . c o m Page 2

3. Persamaan Eksponen Berbentuk _h₍_x₎f(x)=_h₍_x₎g(x)

Ada beberapa kemungkinan dalam menyelesaikan persamaan eksponen berbentuk _h₍_x₎f(x) ₌_h₍_x₎g(x)_, yaitu

a. Persamaan berlaku jika pangkatnya sama, f(x)=g(x).

b. Persamaan berlaku untuk bilangan pokok h(x)=1, karena 1f(x) =1g(x).

c. Persamaan berlaku untuk bilangan pokok h(x)=−1, dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya bernilai genap atau f(x) dan g(x) keduanya bernilai ganjil.

d. Persamaan berlaku untuk bilangan pokok h(x)=0, dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya bernilai positif.

Contoh 3

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari persamaan (x2 −5x+5)3x−2 =(x2 −5x+5)2x+3 Jawab : a. f(x)=g(x)  3x−2=2x+3 x = 5 b. h(x)=1  x2 −5x+5=1 0 4 5 2₋ ₊ ₌ x x 0 ) 1 )( 4 (x− x− = 4 = x atau x=1 c. h(x)=−1  x2−5x+5=−1 x2 −5x+6=0 (x−3)(x−2)=0 x=3 atau x=2 Periksa : untuk x = 2 4 2 ) 2 ( 3 ) 2 ( = − = f (genap) 7 3 ) 2 ( 2 ) 2 ( = + = g (ganjil)

Jadi x = 2 tidak memenuhi, karena ₍−₁₎4 ₍−₁₎7 untuk x = 3 7 2 ) 3 ( 3 ) 3 ( = − = f 9 3 ) 3 ( 2 ) 3 ( = + = g

Jadi x = 3 memenuhi, karena ₍₋₁₎7 ₌₍₋₁₎9 d. h(x)=0  _x2 ₋5_x₊5₌0

dengan menggunakan rumus ABC, didapat

2 5 5 2 , 1  = x Periksa : untuk 2 5 5+ = x positif f _− =      + =       + 2 2 5 5 3 2 5 5 positif g _+ =      + =       + 3 2 5 5 2 2 5 5 Jadi 2 5 5+ =

x memenuhi, karena positif positif ) 0 ( ) 0 ( =

(3)

w w w . a p l u s - m e . c o m Page 3 untuk 2 5 5− = x positif f _− =      − =       − 2 2 5 5 3 2 5 5 positif g _+ =      − =       − 3 2 5 5 2 2 5 5 Jadi 2 5 5− =

x memenuhi, karena positif positif ) 0 ( ) 0 ( = Jadi HP dari persamaan eksponen di atas adalah

      + − 2 5 5 , 2 5 5 3, 1, 4, , 5 4. Fungsi Eksponen

Fungsi eksponen f(x) dengan bilangan pokok a adalah fungsi yang didefinisikan f(x)=ax, dengan 1

, 0 

 a

a dan x.

Fungsi ini memetakan setiap bilangan real x dengan tunggal ke bilangan real positif x

a . Daerah asal (domain) dari f adalah D_f =



x −x+,x



dan daerah hasil (range) dari f adalah



 



= y y y

R_f 0, .

5. Grafik Fungsi Eksponen Contoh 4

Gambar grafik fungsi f(x)=2x dan fungsi g₍x₎=₂1x_.

Berdasarkan grafik di atas, kita dapat menarik beberapa kesimpulan tentang sifat-sifat fungsi eksponen, yaitu

a. Daerah asalnya (Df) seluruh bilangan real.

b. Daerah hasilnya (Rf) adalah himpunan seluruh bilangan real positif.

c. Grafik fungsi f(x)=ax simetri terhadap sumbu Y dengan grafik fungsi g₍x₎= _a1x_{. Ini berarti grafik} x

a x

g₍ ₎= 1 _{dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik}_f₍_x₎₌_ax_{terhadap sumbu Y atau sebalikanya.} a. Kedua grafik berpotongan di titik (0, 1).

d. Fungsi eksponen f(x)=ax, untuk a1merupakan fungsi monoton naik tetapi untuk 0a1 merupakan fungsi monoton turun.

e. Grafiknya selalu di atas sumbu X. f. Sumbu X merupakan asimtot datar.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

(4)

6. Pertidaksamaan Eksponen

Dari grafik fungsi eksponen x a x

f( )= , kita peroleh sifat yang dapat menyelesaikan pertidaksamaan eksponen sebagai berikut

a. Untuk a1, jika x2x1 maka 2 1 x x

a

a  atau sebalikanya jika _ax2 _ax1_maka

1 2 x x  . b. Untuk 0a1, jika x2x1 maka 2 1

x x

a

a  atau sebalikanya jika _ax2 _ax1_maka

1 2 x x  .

Contoh 5

Tentukan HP dari pertidaksamaan

( ) ( )

₂1 1 8 4 1 x − x−  _. Jawab :

( ) ( )

₂1 1 8 4 1 x − x− 

( ) ( )

( )

₂1 1 8 2 1 2 2 1x − x −  _{, dengan pemisalan} x =_a 2 1 _{maka diperoleh} 0 8 2 2₋ ₋ _ a a

Pertidaksamaan di atas dipenuhi oleh a−2 atau a4, ini berarti ₂1x −2_atau ₄ 2 1x  _. Untuk pertidaksamaan ₂1x −2_{tidak ada nilai}_x_{yang memenuhi, sedangkan untuk pertidaksamaan}

4 2 1x  _{dipenuhi oleh} 4 2 1x   2 2 2−x   −x2  x−2

Jadi HP dari pertidaksamaan eksponen

( ) ( )

₂1 1 8 4

1 x − x−  _{adalah {}_x−₂_} Jika a1, maka

( ) ( ) g x h x

a a jika dan hanya jika ( )g x h x( ) ( ) ( )

g x h x

a a jika dan hanya jika ( )g x h x( ) Jika 0 a 1, maka

( ) ( ) g x h x

a a jika dan hanya jika ( )g x h x( ) ( ) ( )

g x h x

(5)

B. LOGARITMA

DEFINISI

Perhatikan bentuk bilangan pangkat ab=c

Logaritma merupakan invers (balikan) dari bilangan pangkat. Secara umum dituliskan b c c ab₌ _ a_log ₌ dengan syarat :1. c  0 2. a  0; a ≠ 1

Ada 2 jenis logaritma yang umumnya dipakai yaitu : 1. Logaritma dengan bilangan 10

a a log log

10 ₌

2. Logaritma natural yaitu logaritma dengan bilangan pokok e a a e_log ₌_ln

SIFAT-SIFAT LOGARITMA

1. glog(ab)=gloga+glogb

2. a b

b

a g g

g_log _₌ _log ₋ _log      3. ; log 0 log log log = a a b b _g g g a 4. a b _b a log 1 log = 5. glogan =ng loga 6. gmloga₌_m1_gloga 7. ggloga =a

8. alogbblogc=alogc

d d

c

b b c a

a_log _ _log _ _log ₌ _log 9. aloga=1

Contoh :

Diketahui : log 2 = 0,3010, log 3 = 0,4771; hitunglah…

a. log12 c. log3 25 b. log 5 d. log81 Jawab : a. b. 0791 , 1 4771 , 0 3010 , 0 2 3 log 2 log 2 3 log 2 log ) 3 2 log( 12 log 2 2 = +  = +  = + =  = 699 , 0 3010 , 0 1 2 log 10 log log 5 log 10₂ = − = − = =

(6)

w w w . a p l u s - m e . c o m Page 6 y x (0,1) y = ax ; a > 1 y = a log x; a > 1 (1,0) y = x y x (0,1) y = ax ; 0 < a < 1 y = a log x; 0 < a < 1 (1,0) y = x c. d.

INVERS FUNGSI EKSPONEN

x y=2 y=ax Invers : x =2y Invers : x a x= y x log2

log = logx=logay

2 log

logx=y logx=yloga 2 log logx y = a x y log log = x y=2log y=alogx 1 ; 0 ; log : =    =a invers y x a a y x a

Di bawah ini diberikan grafik fungsi eksponen dan inversnya. 9084 , 1 4771 , 0 4 3 log 4 3 log 81 log 4 =  =  = = 466 , 0 699 , 0 5 log 5 log 25 log 25 log 3 2 3 2 3 3 2 3 1 =  = = = =

(7)

w w w . a p l u s - m e . c o m Page 7 MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI LOGARITMA

Langkah – langkahnya:

1. Tentukan daerah asal fungsi

2. Tentukan titik potong kurva dengan sumbu – sumbu koordinat (kalau ada dan mudah dihitung) 3. Cari persamaan asimtotnya (jika ada)

4. Cari titik ekstrim and jenisnya (jika ada) 5. Cari titik lain jika diperlukan

6. Gambarkan sketsa grafiknya

Contoh 1 : Gambar grafik fungsi 2log

(

2 4 8

)

1 + − = x x y Jawab :

(

)

( )    x f x x y 2log 2 4 8 1 + − =

a. Mencari daerah asal fungsi:

0 8 4 2₋ ₊ _ x x ac b D= 2 −4

( )

−4 2 −4180 = R x 

b. Titik potong dengan sumbu X, y = 0

1 8 4 2₋ ₊ ₌ x x 0 7 4 2₋ _x₊ ₌ x ac b D= 2 −4 0 7 1 4 16−    =



Tidak ada titik potong dengan sumbu X.

Titik potong dengan sumbu Y , x = 0

(

0 0 8

)

log 2 1 + − = y 8 log 2 1 = 3 2 1 2 1 8 log −       =



Titik potong dengan sumbu Y (0,-3).

c. Mencari asimtot: 0 8 4 2₋ ₊ ₌ x x

D < 0 → tidak ada asimtot

d. Mencari titik ekstrim:

( )

x =x2 −4x+8 f fmin jika a b x 2 − = 1 . 2 4 − − = =2 8 2 . 4 22 min = − + f =4 min 2 1 max logf y = 2log4 1 = 2 2 1 2 1 log −       = =−2



Titik maksimum (2, −2)

(8)

Contoh 2 : Gambar grafik fungsi y=2log

(

x2 −4x+8

)

Jawab : y=2log

(

x2 −4x+8

)

a. Mencari daerah asal fungsi 0 8 4 2 ₋ _x₊ _ x R x D a        0 0

b. Titik potong dengan sumbuX, y = 0 1 8 4 2 ₋ ₊ ₌ x x 0 7 4 2 ₋ _x₊ ₌ x 0  D



Tidak ada titik potong dengan sunbu x

Titik potong dengan sumbu Y, x = 0

(

0 0 8

)

log 2 ₋ ₊ = y 3 =

Titik potong dengan sumbu y=

( )

0 ,3 c. Mencari asimtot : 0 8 4 2 ₋ _x₊ ₌ x 0 

D → tidak ada asimtot

d. Mencari titik ekstrim:

( )

x =x2 −4x+8 f fmin jika a x 2 6 − = 1 . 2 4 − − = 2 = 8 2 . 4 22 min= − + f min 2 min logf y = =2log4 =2 Titik minimum

( )

2 ,2 Catatan : y=alogf

( )

x

1. Jika f(x) bernilai minimum, maka : a. Untuk 0 < 1 → y bernilai maksimum b. Untuk a > 1 → y bernilai minimum 2. Jika f(x) bernilai maksimum, maka :

a. Untuk 0 < 1 → y bernilai minimum b. Untuk a > 1 → y bernilai maksimum

2 -2 -3 y x 3 2 x y

(9)

Contoh 3 : Gambar grafik 2log

(

2 4 4

)

1

+ −

= x x

y

a. Daerah asal fungsi : b. Persamaan assimtot : 0 4 4 2₋ _x₊ _ x x2−4x+4=0

(

x−2

)

2 0

(

x−2

)

2 =0 2 ;  R x x x=2

c. Titik potong dengan sumbu x:y=0 d. Titik ekstrim :

1 4 4 2 ₋ ₊ ₌ x x f

( )

x =x2 −4x+4

(

x−2

)

2 =1 fmin_jika 2 2 4 2 = − − = − = a b x 3 1 1 2 = =  = − x x

x Ingat : Daerah definisi fungsi y:x2 Titik potong dengan sumbu x=

( )

1 ,0 dan

( )

3 ,0 Tidak ada ekstrim

e. Titik potong dengan sumbu Y, x = 0

4 log 2 1 = y =−2

Titik potong dengan sumbu y=

(

0,−2

)

y

x -2

1 2 3