EKSPONEN DAN LOGARITMA

1

EKSPONEN DAN LOGARITMA

A. Bentuk Eksponen dengan Pangkat Bulat

Pengertian

pangkat : an  a x a x a x a ... x a n kali

Sifat-sifat pemangkatan (1

) a^m x aⁿ  a^mn (2

) a^{m } aⁿ a^mn

(3)



^{a m}



ⁿ

a ⁿ

 a ^m.n aⁿ

(4)



a . b



ⁿ a^m. aⁿ

(5) 

b



 bⁿ

Bukti dengan contoh

01. 5⁴ x 5² = (5 x 5 x 5 x 5) x (5 x 5)

= 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5

= 5⁶

02. ⁴⁵ = 4 x 4 x 4 x 4 x 4

4³ 4 x 4 x 4

= 4 x 4

= 4²

03.



⁶³



² = (63) x (63)

= (6 x 6 x 6) x (6 x 6 x 6)

= 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6

= 6⁶

04 (5 x 4)³ = (5 x 4) x (5 x 4) x (5 x 4)

= (5 x 5 x 5) x (4 x 4 x 4)

= 5³ x 4³

 2  ⁴ 2 2 2 2

05 _

 5 

 = 5 x

5 x 5 x

5

= 2 x 2 x 2 x 2 5 x 5 x 5 x 5

= ²

4

5⁴

Untuk memahami uraian di atas, ikutilah contoh-contoh soal berikut ini 1. Sederhanakanlah setiap bentuk berikut ini:

3² x 3⁵

(a)

3⁴ Jawab

3² x 3⁵

(a ) 3

4

3^25

= 3⁴ 3⁷

=

3⁴ (b) ²

4 x 8³

4 (c) ⁶

4 x 3² 18³

(b) ^{24 x} 8³

4

6⁵ x 4 (c) 18²

= 3^74

= 3³

2⁴ x (2³ )³

= 2⁴ x 22²⁹

= 2² 2¹³

= 2²

= 2¹¹ (3 x 2)⁵ x 2²

=

(3² x 2) ² 3⁵ x 2⁵ x 2²

= 3⁴ x 2²

= 3^54 x 2^522

= 3¹ x 2⁵

= 96

2. Sederhanakanlah bentuk :

(a³ )⁴ x b⁸

p⁴ x q⁵ ₃ ^_(ab)⁵ _{x a} ^{3 } ₂

(a) ^{(b2 )3.a 6} (b) ^ (p.q)³ 

(c) ^ b(a ² .b)³  Jawab

(a ³ )⁴ x b⁸





a¹² x b⁸

 

(a) _(b² ₎³_.a ⁶

p⁴ x q⁵ ₃

= b⁶ .a ⁶

= a^126 x b^86

= a ⁶ x b²

p⁴ x q⁵ ₃ (b) ^ (p.q)³  = _

p³ .q³ 

   

=



^{p43 x q53}



³

3

=



^{p1x q 2}



³

= p³ x q⁶ (c) ^(ab)

5 x a ³  2

b(a ² .b)³ 

a ⁵ b⁵ a ³  ²

= _

b¹a ⁶ .b³ 





 

 a ⁸ b⁵  ²

= _

a ⁶ .b ⁴ 

 

=



^{a 2 . b1}



²

= a ⁴ b² 03. Sederhanakanlah bentuk :

a ²b  ab ²

a ⁵b³  a ³b⁵

(a) ab

Jawab

(b) a ²b²  b⁴

(a) a ²b  ab

2

ab

= a.a.b  a.b.b ab

= a.(ab)  (ab).b ab

= (ab) [a  b]

ab a ⁵b³  a ³b⁵

= a + b

a ²a ³b³  a ³b³b² (b) a ²b²  b⁴ =

b² (a ²  b² ) a ² (ab)³  (ab)³ b²

= b² (a ²  b² ) (ab)³ [a ²  b² ]

= b² (a ²  b² ) (ab)³

= b ²

= a ³ b

Jika a adalah bilangan real selain nol, maka nilai a ⁰ didapat dengan cara : a ⁰ = ann ⁿ = ^a

a ⁿ

= 1 Jadi a ⁰ = 1

Sedangkan pangkat bulat negatif didapat dari proses kebalikan bilangan, yakni:

Jika a adalah bilangan real selain nol, maka kebalikan dari a adalah

1 dan sebaliknya.

a Sehingga kita

dapatkan : a^1 = a ^01

=

a = 1 . Jadi

a¹ a a^1 adalah kebalikan dari a, dan ditulis

a^1 =

1 . Demikian pula kebalikan dari a ⁿ

a adala

h

1 . Sehingga kita a ⁿ

tulis _a n .= ¹ . a ⁿ

Sifat-sifat pemangkatan pada pangkat bulat positif berlaku pula pada pangkat negatif dan nol. Namun terdapat beberapa sifat tambahan, yakni :

(1 ) ^{a }

n

 b



bⁿ

a ⁿ (2

)

a ^n b^m

 b^m a ⁿ

Bukti dengan contoh : 01. ^{ 2 }

3

 5 = ²

3

5^3 = ^1/2_1/5³3=

1 . ⁵3 =

2³ 1 5³

2³=

 5  ³

 2 

02. ₃2

4^3 = _1/4^1/33² = 1 3². 4³

= ⁴

3

1 3²

Untuk memahami uraian di atas, ikutilah contoh-contoh soal berikut ini 1. Sederhanakanlah setiap bentuk berikut ini ;

5 . 2^4 _1  6².3  ₃

a 

 10³ 

b



12 ³.2 ^4  Jawab

5 . 2^4 _1  5 .x 2^4 _1

a  10³  = _

(5.x 2)³ 

   

5¹ .x 2^4 _1

= _

5³.x 2³ 

=



^{513 .x 243}



^1

=



^{52 .x 27}



^1

= 5² .x 2⁷

0









5

= 25 x 128

= 3200

 6².3  ₃  (3 x 2)² .3 ₃

b  ^{3 4}  = _

(3 x 2² )³ .2^4 

12 .2



 

 3² x 2².x 3¹ ₃

= _

3³ x 2⁶ x.2^4 

 

3³ x 2²3

= 

3³ x 2²

 

=



^{333 x 222}



³

=



^{30 x 20}



³

=



1 x 1



³

= 1

2. Sederhanakanlah setiap bentuk berikut ini ;

a ³ .b ^4 ^1

a ^{2 (ab)3}

(a

) ^b.a ^2  (b

) ^{ b}



(a ² b) ^4

Jawab_

a ³ .b ^4 ^1 1

(a

) ^ b.a ^2  =



^{a 3(2) .b41}



=



^{a 5 .b5}



^1

(b )

a ^2

 b 

=

=

=

(ab)^3 (a ² b)

4

a^5 .b⁵ b⁵ a ⁵

b ⁵

 a 

a 2

= b^2

a ^3b^3 a ^8b^4

a ^2 .a ^3b^3

=

b^2 .a ^8 b^4 a ^5 .b^3

=

b^6 .a ^8

= a^{5(8)} b^{3(6)}

= a ³.b³

= (ab)³ 3. Hitunglah setiap nilai berikut ini :

(a

) ^(0,03)

6 x (0,0027)^3 (b)









( 2 0 0 )

 3

( 0 , 8 )

4

(0,016)²

c 6⁰ + 0⁶ + (2 x 4)⁰ Jawab

(a

) ^(0,03)6 x (0,0027)^3 = (3 x 10^2 )⁶ x

= (3 x 10^2 )⁶ x

= 3⁶ x 10^12 x

(27 x 10^4 )^3 (3³ x 10^4 )^3 3^9 x 10¹²

= 3^69 x 10^1212

= 3^3 x 10⁰

= 1/27 (b

) ^(0,03)

6 x (0,0027)^3 = (3 x 10^2 )⁶ x

= (3 x 10^2 )⁶ x

= 3⁶ x 10^12 x

(27 x 10^4 )^3 (3³ x 10^4 )^3 3^9 x 10¹²

= 3^69 x 10^1212

= 3^3 x 10⁰

(c) 6⁰

+ 0⁶ + (2 x 4)⁰ = 1/27

= 1 + 0 + 1

= 2

4. Tentukanlah nilai x yang memenuhi ( 2^3x . 2^3x . 2^3x )( 4^x + 4^x Jawab

+ 4^x + 4^x ) = 16⁵⁰ ( 2^3x . 2^3x . 2^3x )( 4^x + 4^x + 4^x + 4^x ) = 16⁵⁰

2^3x3x3x .4. 4^x

9x 2x

= (4²)⁵⁰ 4¹⁰⁰ 2 . 2 = 4¹

2^11x = 2¹⁹⁸ Jadi 11x = 198 x = 18

5. Tentukanlah nilai x yang

memenuhi 4^x1 + 4^x2 + 4^x3 + 4^x4

= 170

6. Diketahui 2 ^x

+ 2^x= 4 maka tentukanlah nilai dari ₂^2x + ^22x