1
FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONEN, FUNGSI LOGARITMA Makalah Ini Disusun Guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kalkulus 1
Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd.
Disusun Oleh:
1. Mukhammad Rif’an Alwi (23070160022)
2. Duvan Guramzig (23070160027)
3. Arnindia Hani Safitri (23070160063) 4. Afifah Khoirun Nida (23070160078)
TADRIS MATEMATIKA
FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI SALATIGA
2017
2 DAFTAR ISI
A. Fungsi Trigonometri ... 3
1. Definisi ... 3
2. Fungsi Trigonometri ... 3
3. Rumus Sinus dan Cosinus ... 4
4. Luas Segitiga ... 4
5. Rumus Dua Sudut ... 4
B. Fungsi Eksponen ... 6
1. Definisi ... 6
2. Grafik Fungsi Eksponen ... 6
C. Fungsi Logaritma ... 10
1. Definisi ... 10
Daftar Pustaka ... 13
3
PEMBAHASAN A. Fungsi Trigonometri
1. Definisi
Arti trigonometri adalah ilmu ukur segitiga atau pengukuran segitiga.
Trigonometri mempelajari sudut dan fungsinya. Aplikasi matematika dalam bidang keteknikan banyak menggunakan hubungan antara sudut-sudut dan sisi segitiga. Hubungan tersebut disebut fungsi trigonometri.
2. Fungsi Trigonometri
Sin ∝ = y r = de
mi Cot ∝ = x sa
y = de Cos ∝ = x
r = sa
mi Sec ∝ = r mi
x = sa Tan ∝ = y
x = de
sa Cosec ∝ = r mi
y = de Fungsi trigonomeri sudut-sudut istimewa.
∝ Sin ∝ Cos ∝ Tan ∝
0° 0 1 0
30° 1
2
1 3 2
1 3 2 45° 1
2 2
1 2
2 1
60° 1 2 3
1
2 3
90° 1 0 ∞
(Elyas H.,2016:1-2) r
x
y
∝
∝
∝
∝
4 3. Rumus Sinus dan Cosinus
Dalam segitiga lancip berlaku rumus sinus dan cosinus sebagai berikut
Rumus Sinus
sin sin sin
a b c
α = β = γ Rumus Cosinus
2 2 2
2 cos a =b + −c bc α
2 2 2 2 cos
b =a + −c ac β
2 2 2
2 cos c =a + −c ab γ 4. Luas Segitiga
Apabila diketahui dua sudut segitiga yang diapit, maka luassegitia dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut:
Luas segitiga = 1
2absinα, atau Luas segitiga = 1
2absinβ , atau Luas segitiga = 1
2absinγ.
Apabila yang diketahui hanya ketiga siinya, maka luas segitiga dihitung dengan rumus:
Luas segitiga = s s a s b s c( − )( − )( − ) , dengan 1
( )
s=2 a+ +b c . 5. Rumus Dua Sudut
Untuk dua sudut dalam pada segitiga berlaku persamaan atau umus dua sudut sebagai berikut:
Jumlah dua sudut
sin(α β+ )=sinαcosβ+cosαsinβ cos(α β+ )=cosαcosβ −sinαsinβ
α
γ β
b a
c
5 tan tan
tan( )
1 tan tan
α β
α β α β
+ = −
−
Selisih dua sudut
sin(α β− )=sinαcosβ−cosαsinβ cos(α β− )=cosαcosβ+sinαsinβ
tan tan
tan( )
1 tan tan
α β
α β α β
− = −
+
Apabila α β= , maka α β+ =2α, sehingga:
sin 2α=2sinαcosα
2 2 2 2
cos 2α=cos α−sin α= −1 sin α =2 cos α−1
2
2 tan tan 2
1 tan α α
= α
− (Sunar Rochmadi,3-4)
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASANNYA 1. Buktikan 12 12
( 1) 1
tan x cos x− = Jawab:
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
( 1)
tan cos
cos ( 1 1)
cos
cos 1 cos
( )
sin cos
cos sin
sin cos
1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
−
= −
= −
= ×
=
6 ( ) 3
y= f x =x y= f x( )=3x B. Fungsi Eksponen
Perhatikan dua buah fungsi elementer dalam bentuk seperti berikut ini:
dan
Dalam fungsi y=x3dengan pangkat variabel adalah konstanta, sehingga fungsi ini termasuk ke dalam salah satu contoh fungsi aljabar. Sedangkan pada contoh yang kedua, yaitu y =3x merupakan contoh sebuah fungsi yang bukan fungsi aljabar melainkan contoh fungsi eksponen.
Seatu fungsi yang memuat variabel sebagai pangkat atau eksponen kita namakan fungsi eksponen. Secara lengkapnya, fungsi eksponen didefinisikan sebagai berikut:
1. Definisi
Fungsi eksponen adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum ( )f x =kax dengan k dan a adalah konstanta, a>0, dana≠1.
2. Grafik Fungsi Eksponen
Sebagaimana telah kita ketahui bahwa fungsi eksponen adalah fungsi dengan variabelnya (variabel bebasnya) merupakan pangkat dari suatu bilangan tertentu, sehingga secara singkat dapat kita tulis dalam bentuk:
( ) x
y= f x =a dengan a>0dan a≠1
Untuk mempermudah menggambarkan grafik fungsi eksponen ini, kita tinjau nilai konstanta atau bilangan tertentunya, yaitu kemungkinan- kemungkinan dari nilai a. Berdasarkan pengertian fungsi eksponen y=ax dengan a>0dan a≠1, maka kita dapat membagi grafik fungsi eksponen menjadi dua bagian besar, yaitu:
1. y=axdengana>1
Dari sini kita dapat melihat, bahwa untuk x semakin besar, maka harga y tentunya akan semakin besar pula. Sedangkan jika x semakin kecil, maka tentunya y akan semakin kecil pula.
xmenuju ~ → y akan menuju ~
7
xmenuju −~ → y akan menuju 0 2. y=axdengan 0< <a 1
Untuk a yang lebih kecil dari satu dan lebih besar dari nol, maka jika x semakin besar tentunya y semakin kecil, dan jika x semakin kecil tentunya y semakin besar.
xmenuju ~ → y akan menuju 0 xmenuju −~ → y akan menuju ~
Untuk lebih jelasnya lagi tentang grafik fungsi eksponen ini kita lihat beberapa contoh berikut ini.
Contoh 1.6
Gambarlah fungsi eksponen ( )f x =2x Penyelesaian:
1) Titik-titik pada grafik
Untuk mempermudah menggambarnya, terlebih dahulu kita pilih beberapa titik yang terletak pada grafik tersebut dengan tabel seperti berikut ini.
x − ←~ . . . -2 -1 0 1 2 . . . → −~ ( )
y= f x 0 ← . . . 1 4
1
2 1 2 4 . . . → ~ Titik potong dengan sumbu
: (0) 20 1
y f = = . Grafik memotong sumbu y di titik (0,1). Selanjutnya dengan mengambil beberapa harga x di sebelah kiri dan sebelah kanan
0
x= . Kita dapatkan beberapa titik yang terletak pada grafik. Ternyata untuk x →~maka y →~ , dan untuk x→ − ~ternyata y→0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
-4 -2 0 2 4
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-4 -2 0 2 4
Contoh 1.7
Gambarkan grafik fungsi 1 ( ) ( )
2 f x = x Penyelesaian:
x − ←~ . . . -3 -2 -1 0 2 . . . → −~ ( )
y= f x 0 ← . . . 8 4 2 1 1
4 . . . → ~
Dengan memperhatikan kedua contoh terakhir diatas, kita dapat melihat bahwa grafik fungsi eksponen ( )f x =ax dengan a>1 selalu naik untuk setiap bertambah, dengan kata lain f x( )=ax dengan a>1 merupakan fungsi naik.
Sedangkan grafik fungsi eksponen f x( )=ax dengan 0< <a 1 selalu turun untuk setiap bertambah, dengan kata lain fungsi f x( )=ax dengan 0< <a 1 merupakan fungsi turun. (Karso,2012:5-10)
9
10 C. Fungsi Logaritma Alami
1. Definisi
Fungsi logaritma alami dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai
1
lnx x1dt x, 0
=
∫
t >Daerah asalnya adalah himpunan bilangan real positif (Edwin J.
Purcell,1987:372-376)
Jika x > 1, ln (x) = luas dari R
Turunan fungsi logaritma alami adalah
1
1 1
ln , 0
x
x x
D dt D x x
t = = x >
∫
Selanjutnya
1du lnu C u, 0
u = + ≠
∫
Ini melengkapkan rumus pengintregalan (Edwin J. Purcell, 1987) Contoh 4
Tentukan
5 2 7dx
x+
∫
Penyelesaian Andaikan u = 2x + 7. Jadi du= 2dx. Sehingga
11
5 5 1 5 1
2 7 2 2 72 2
5 5
ln ln 2 7
2 2
dx dx du
x x u
u C x C
= =
+ +
= + = + +
∫ ∫ ∫
= 5 2
1)
Bukti
(i) In 1=
1
1
1
∫
t dt= 0
(ii) Oleh karena untuk x > 0,
1 1
ln .
DX ax a ax x
= =
dan
ln 1, Dx x
= x menurut ( Teorema 4.8B) kita peroleh
In ax = In x + c
Untuk menghitung C, ambil x=1, maka In a= C, sehingga In ax = In x + In a
Kemudian ambil x = b
(iii) Dalam (ii), ambilah a = 1/b, maka
1 1
( .b) In1 0 In Inb In
b+ = b = =
Jadi
In1 Inb b= −
Dengan menggunakan (ii), kita peroleh
1 1
lna ln( . ) ln ln ln ln
a a a b
b= b = + b= −
Teorema A
Apabila a dan b bilangan-bilangan positif dan r sebuah bilang rasional, maka
i. In 1= 0
ii. In ab= In a + In b;
iii. In a
b= In a – In b;
iv. In ar = r In a
12 (iv) Untuk x > 0 berlaku
lnxr =rlnx
Dan
( ln ) .1
x
D r x r r x x
= =
Ini bearti menurut theorema yang kita gunakan diatas dalam (ii) bahwa lnxr =rlnx+C
Misalkan x=1 maka, memberikan C = 0. Ini bearti bahwa lnxr =rlnx
Contoh soal:
Tentukan dy/dx untuk 1
ln ,
Dx x
= x y=ln (x−1) /x2,x>1
Penyelesaian untuk mencari turunan tersebut, kita tulis y sebagai berikut
[ ]
1/3
2 2
2
1 1 1
ln( ) ln( )
3
1 1
ln( 1) ln ln( 1) 2 ln
3 3
x x
y x x
x x x x
− −
= =
= − − = − −
Sehingga
2
1 1 2 2
3 1 3 3
dy x
dx x x x x
−
= − − = −
13
DAFTAR PUSTAKA
Handayani,Elyas. 2016. Kupas Tuntas UN. Sukoharjo:CV Sindunata
Karso. 2012. Modul 7: Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma Beserta Beberapa Aplikasinya. (online) 195509091980021-KARSO, ( http://www.file.upi.edu/
Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/195509091980021- KARSO/Modul_7_S1_PGSD.pdf, Diakses pada 27 Februari 2017).
Rocmadi, Sunar. Matematika trigonometri.
(staff.uny.ac.id/sites/default/files/pendidikan/dr-ir-sunar-
rochmadi-mes/matematika-trigonometri.pdf, Diakses pada Sabtu, 4 Maret 2017.
Purcell, Edwin J, et.al. 1987. Calculus With Analitic Geometry. Prentice-Hall.
Inc:New York.
