BAB IV INTEGRAL
Integral adalah sangat penting dalam mempelajari fungsi bernilai kompleks. Teori integral yang akan dikembangkan dalam bab ini adalah terkenal dalam matematika moderen. Teorema-teorema yang disajikan umumnya singkat dan padat serta buktinya sederhana.
30. FUNGSI BERNILAI KOMPLEKS w(t)
Sebelum membicarakan integral dari f(z) terlebih dahulu akan diperkenalkan turunan dan integral tentu dari fungsi bernilai kompleks w dari suatu variabel t. Kita tulis
(1) w(t) = u(t) + iv(t),
dimana u dan v adalah fungsi berniali real dari t. Turunan w’(t), atau
dt t w d
, dari fungsi (1) disuatu titik t adalah didefinisikan dengan
(2) w’(t) = u’(t) + iv’(t) asalkan turunan u’ dan v’ ada pada t.
Dari persamaan (2), untuk setiap bilangan kompleks tak nol z0= x0+ iy0,
x iy
u iv
dt d t w z dt d 0 0 0 =
xu yv
i yu x v
dt d 0 0 0 0 =
yu xv
dt d i v y u x dt d 0 0 0 0 = (x0u’ – y0v’) + i(y0u’ + x0v’) = (x0+ iy0)(u’ + iv’)
Jadi, (3) z w
t z w
t dt d ' 0 0 Berbagai sifat yang telah dipelajari dalam kalkulus, sifat diferensial untuk penjumlahan dan perkalian dari fungsi bernilai real t dapat digunakan. Melalui sifat pada persamaan (3), dapat diselidiki kaitan fungsi bernilai real, dan buktinya dijadikan latihan, yaitu
(4) ezt zezt
dt
d 0 0
0
Kita dapat menekankan, bahwa tidak semua sifat turunan dalam kalkulus dapat dibawah kedalam fungsi tipe (1). Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada contoh berikut. CONTOH 1. Misalkan bahwa w(t) adalah kontinu pada interval atb, jadi komponen fungsi u(t) dan v(t) adalah kontinu pada interval tersebut. Jika w’(t) ada dimana a < t < b, maka teorema nilai rata-rata untuk turunan tidak dapat digunakan. Jadi tidak selalu benar bahwa terdapat c dalam interval a < t < b sehingga,
a b a w b w c w ' .Untuk menunjukan ini, kita hanya membutuhkan fungsi w(t) = eit pada interval 0t2. Karena w'
t ieit 1, ini berarti bahwa w’(t) tidak pernah nol, dan w(2) – w(0) = 0.Definisi integral dari fungsi pada tipe (1) pada interval atb adalah didefinisikan dengan (5)
b a b a b a dt t v i dt t u dt t wdimana integral masing-masing pada bagian kanan ada. Jadi
(6)
b a b a b a b a dt t w dt t w I dt t w dt t w Re dan m Re . Re CCONTOH 2. Melalui suatu ilustrasi,
1
0 1 0 1 0 2 2 3 2 2 1 1 it dt t dt i tdt i.Tidak tepat integral dari w(t) pada interval tak terbatas didefinisikan dengan cara yang serupa.
Keberadaan integral-integral dari u dan v dalam definisi (5) adalah jelas (ensured) jika fungsi tersebut adalah kontinu titik demi titik pada interval atb. Sehingga suatu fungsi adalah kontinu dimana-mana dalam interval kecuali mungkin disejumlah hingga titik-titik fungsi itu tidak kontinu, yakni hanya memiliki limit satu arah. Jelas bahwa, hanya mempunyai limit kanan dititik a dan hanya mempunyai limit kiri dititik b. Dimana u dan v adalah kontinu titik demi titik, sehingga fungsi w dikatakan kontinu titik demi titik.
Untuk mengantisipasi cara-cara untuk mengintegralkan suatu konstantan kompleks dikali suatu fungsi w(t), untuk penjumlahan-penjumlahan integral seperti fungsi-fungsi di atas, dan untuk mempertukarkan limit-limit dari integral adalah benar. Aturan-aturan yang lain, dijelaskan pada sifat berikut.
tdt w
tdt w
tdt w b c c a b a
Teorema dasar kalkulus, dari anti turunan, dapat diperluas juga dalam integral dari tipe (5). Khususnya, misalkan bahwa fungsi
w(t) = u(t) + iv(t) dan W(t) = U(t) + iV(t)
adalah kontinu pada interval atb. Jika W’(t) = w(t) pada atb, maka U’(t) = u(t) dan V’(t) = v(t). Juga, dari definisi (5),
t dt U
t
iV
t
U
b iV
b
U
a iV
a
w b a b a b a
. Jadi, (7) w
t dt W
t
W(b) W(a) b a b a
CONTOH 3. Karena (eit)’ = ieit, maka
ie i ie eit it i
4 4 4 0 0 = 2 1 1 2 1 2 2 1 i i i i .
Terakhir, suatu sifat yang paling penting adalah nilai mutlak dari suatu integral, sebutlah (8)
b a b a dt t w dt t w( ) ( ) (ab).Ketaksamaan ini jelas benar jika nilai dari integral pada bagian kiri adalah nol, khususnya jika a = b. Selanjutnya, akan diselidiki dengan memisalkan bahwa nilainya adalah bilangan kompleks tak nol. Jika r0 adalah modulus dan 0 adalah suatu argumen
tertentu, maka
b a i e r wdt 0 0 . Penyelesaian untuk r0, ditulis(9) r0= e wdt b a i
0 .Sekarang bagian kiri dari persamaan (9) adalah bilangan real, demikian juga bahagian kanan. Selanjutnya, dengan menggunakan kenyataan bahwa bagian real dari bilangan real adalah bilangan real itu sendiri dan dengan menggunakan (6), maka persamaan (9) dapat ditulis menjadi
wdt e b a i
0 = Re e wdt b a i
0 =
e w
dt b a i
0 Re Persamaan (9) diperoleh dengan bentuk(10) r0=
e w
dt b a i
Re 0 . Tetapi,
; Reei0w ei0w ei0 w wr0
b a dt t w .Karena r0merupakan nilai integral bagian kiri (8) dimana nilai integralnya tak nol, maka
pembuktian telah selesai.
Dengan sedikit modifikasi, sifat di atas dapat digunakan untuk ketaksamaan berikut, (11)
a a dt t w dt t wasalkan nilai integral pada persamaan (11) ada. 31. LINTASAN-LINTASAN (CONTOURS)
Itegral dari fungsi bernilai kompleks dari suatu variabel kompleks adalah didefinisikan pada kurva dalam bidang kompleks, lebih dari pada interval pada garis real. Kelas-kelas dari kurva adalah cukup untuk dipelajari sebagai pendahuluan dari integral pada bagian ini.
Suatu himpunan dari titik-titik z = (x,y) dalam bidang kompleks dikatakan busur berarah (arc) jika
(1) x = x(t), y = y(t) (atb),
dimana x(t) dan y(t) adalah fungsi kontinu dengan parameter real t. Definisi ini merupakan suatu pemetaan kontinu dari interval atb kedalam bidang xy, atau bidang z, dan titik-titik bayangannya naik menurut urutan dari nilai t. Selanjutnya kita, baik sekali menggambarkan titik-titik dari C sebagai arti dari persamaan
(2) z = z(t) (atb),
dimana
(3) z(t) = x(t) + iy(t).
Sifat dasar geometri dari suatu arc selalu memberikan notasi yang berbeda untuk parameter t dalam persamaan (2). Kenyataan ini, dapat dilihat pada contoh di bawah ini. CONTOH 1. Garis poligonal,
(4) 2, x 1 jika , 1, x 0 jika , i x ix x z
terdiri dari garis patah dari 0 ke 1+i dan dari 1 + i ke 2 + i (gambar 26), adalah kurva sederhana.
CONTOH 2. Lingkaran satuan
(5) z = ei (02)
yang berpusat dititik asal adalah kurva tertutup sederhana, berputar dengan arah berlawanan arah jarum jam.
Juga lingkaran
(6) z = z0+ Rei (02),
dengan pusat z0dengan jari-jari R (lihat bagian 5) adalah kurva tertutup sederhana.
CONTOH 3. Busur
(7) z = e-i (02)
adalah tidak sama dengan busur pada persamaan (5). Himpunan dari titik-titiknya adalah sama tetapi lingkaran sekarang adalah berputar searah jarum jam.
CONTOH 4. Titik-titik pada busur berarah
(8) z = ei2 (02) 1+i 2+i 1 2 1 x y Gambar 26.
adalah mempunyai bentuk yang sama dengan busur berarah pada (5) dan (7), namun busur berarah tersebut berbeda karena lingkaran ini berputar sebanyak dua kali dengan arah berlawanan dengan jarum jam.
Misalkan turunan x’(t) dan y’(t) dari komponen-komponen fungsi (3), digunakan untuk menjelaskan suatu busur berarah C, ada dan kontinu sepanjang interval atb. Sifat C seperti ini disebut busur bearah yang terdiferensiabel. Dari sini, jika turunan dari z(t) (lihat bagian 30) adalah
(9) z’(t) = x’(t) + iy’(t), fungsi bernilai real
2
2' '
' t x t y t
z
adalah terintegralkan pada interval atb, panjang dari kurva diberikan dengan
(10) L = z
t dtb
a
' .Persamaan (10) adalah definisi panjang busur dalam kalkulus.
Parameter yang digunakan untuk menjelaskan C adalah jelas tidak tunggal, dan nilai dari L yang diberikan pada (10) adalah tidak berubah dengan mengganti parameter. Khususnya, misalkan bahwa
(11) t =
,dimana adalah fungsi bernilai real yang memetakan interval pada interval atb. Asumsikan bahwa adalah kontinu dan mempunyai turunan kontinu. Juga
' >0 untuk setiap , jelas bahwa t naik mengikuti . Dengan perubahan variabel pada persamaan (11), persamaan (10) untuk panjang dari busur diperoleh
L =
d z' '
.Juga, jika C dinyatakan sebagai
(12) z = Z
z
, maka (lihat latihan 11)(13) Z'
z'
'
, dan akibatnya, persamaan (10) menjadiL =
d Z
' .Jadi panjang dari C adalah sama jika persamaan (12) digunakan.
Jika persamaan z = z(t) (atb) menyatakan arc yang terdiferensiabelkan dan z’(t)0 dimana-mana dalam interval a < t<b, maka vektor arah satuan
T =
t z t z ' 'Adalah terdefinisi dengan baik untuk semua t dalam interval buka, dengan sudut dari inklinasi arg z’(t). Juga, jika T kontinu melalui parameter t pada interval a<t<b. Rumus untuk T ini adalah telah dipelajari dalam kalkulus dengan z(t) menyatakan suatu jari-jari vektor. Sehingga suatu busur dikatakan mulus. Dari kemulusan busur z = z(t) (atb), maka kita mendapatkan turunan z’(t) kontinu pada interval tutup atb dan tak nol pada interval buka a<t<b.
Suatu lintasan, atau busur mulus titik demi titik, adalah terdiri dari sejumlah hingga arc mulus yang dihubungkan secara bersambung. Juga, jika persamaan (2) menyatakan lintasan, z(t) adalah kontinu, dimana turunannya z’(t) adalah kontinu titik demi titik. Garis poligon (4) adalah sebuah contoh dari lintasan. Jika hanya nilai awal dan nilai akhir dari z(t) adalah sama, suatu lintasan C disebut lintasan tertutup sederhana. Sebagai contoh adalah lingkaran pada (5) dan (6), demikian juga segitiga dan empat persegi panjang dengan arah khusus. Panjang suatu lintasan atau lintasan tertutup sederhana adalah jumlah dari panjang busur mulus yang digunakan untuk lintasan tersebut.
Titik-titik pada setiap kurva tertutup sederhana atau lintasan C tertutup sederhana adalah titik-titik batas dari dua daerah yang berbeda, satu yang dimiliki adalah interior dari C adalah terbatas, dan yang lainya adalah eksterior dari C yang tidak terbatas.
Pembuktian pernyataan ini diketahui melalui teorema kurva Jordan, secara geometri buktinya tidak terlalu sulit.
LATIHAN
1. Hitung integral berikut : (a).
2 1 2 1 dt i t ; (b).
6 0 2 dt ei t ; (c).
0 dt e zt (Re z >0). 2. Tunjukkan bahwa jika m dan n adalah bilangan bulat,
n m jika 2 n m jika 0 2 0 in im e e3. Dari definisi (5) bagian 30, dari integral fungsi bernilai kompleks dari suatu variabel real,
0 0 0 1 sin cosxdx i e xdx e dx e ix x x .Hitung dua integral pada bagian kanan dengan menghitung integral pada bagian kiri dan identifikasi bagian real dan bagian imajiner dari nilai yang ditemukan. 4. Buktikan diferensial berikut dengan cara yang ditentukan.
a. Gunakan aturan yang berkaitan dalam kalkulus, untuk menunjukkan bahwa
wt w
t w t dt d ' 2 2 dimana w(t) = u(t) + iv(t) adalah fungsi bernilai kompleks dari variabel real t dan w’(t) ada.
b. Gunakan bentuk ezt extcosy0t extsiny0t
0 0
0 , dimana z
0 = x0 + iy0 adalah
bilangan kompleks tetap, untuk menunjukkan ezt z ezt dt
d 0 0
0
.
5. Gunakan ketaksamaan (8) bagian 30, untuk menunjukkan bahwa semua nilai dari x dalam interval -1x1, fungsi
d x i x x P n n
0 2 cos 1 1 (n = 0, 1, 2, …) memenuhi ketaksamaan Pn
x 1.6. Tunjukkan bahwa, jika w(t) = u(t) + iv(t) adalah kontinu pada interval atb, maka a. w
tdt w
d b a a b
b.
d w dt t w b a '
,dimana
adalah fungsi dalam persamaan (11) bagian 31.7. Misalkan w(t) = u(t) + iv(t) menyatakan fungsi bernilai kompleks kontinu pada interval -ata.
a. Misalkan bahwa w(t) adalah fungsi genap, yakni w(-t) = w(t) untuk setiap titik t dalam interval yang diberikan. Tunjukkan bahwa
a a a dt t w dt t w 0 2 .
b. Tunjukkan bahwa, jika w(t) adalah fungsi ganjil, yakni w(-t) = -w(t) untuk setiap titik t dalam interval yang diberikan, maka
0 dt t w a a .
8. Misalkan w(t) adalah fungsi bernilai kompleks dari variabel real t yang kontinu pada interval atb. Dengan memperhatikan kasus khusus dari w(t) = eit
pada interval 0t2, tunjukkan bahwa tidak selalu benar terdapat bilangan c dalam
interval a<t<b sehingga w
tdt w
c b a
b
a
. Selanjutnya, tunjukkan pula bahwa teorema nilai rata-rata untuk integral tentu dalam kalkulus tidak dapat digunakan dalam fungsi ini. (bandingkan contoh 1 dalam bagian 30).9. Misalkan C menyatakan setengah lingkaran z =2 dengan arah berlawanan dengan
jarum jam dan C dinyatakan dalam dua bentuk parameter, yakni
z=z() = 2ei 2 2
y y iy Zz 4 2 (-2y2).
Tunjukkan bahawa Z(y) = z
y
, dimana
2 arctan 2 4 arctan 2 t y y y .Juga, tunjukkan bahwa fungsi ini mempunyai turunan positif, melalui syarat yang diberikan pada persamaan (11) bagian 31.
10. Tunjukkan persamaan (13) bagian 31, untuk turunan dari Z
z
.Petunjuk: Tulis Z
x
iy
dan gunakan aturan rantai fungsi bernilai real dari variabel real.11. Misalkan bahwa fungsi f(z) adalah analitik dititik z0 = z(t0) pada busur berarah
mulus z = z(t) (atb). Tunjukkan bahwa, jika w(t) = f[z(t)], maka w’(t) = f’[z(t)] z’(t) dimana t = t0.
12. Misalkan y(x) adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada interval 0x1 dengan persamaan
0 x jika 0 1, x 0 jika sin 3 x x x y a. Tunjukkan bahwa persamaan z = x+iy(x) (0x1) menyatakan suatu busur berarah C1beririsan dengan sumbu real dititik-titik z = 1/n (n = 1, 2, 3, …) dan
z = 0, seperti yang ditunjukkan pada gambar 27. y 3 1 2 1 0 1 x Gambar 27
b. Tunjukkan bahwa busur berarah C1dalam bagian (a) adalah mulus.
Petunjuk : Selidiki kekontinuan dari y(x) di x = 0, dan tunjukkan bahwa
3 2 3sin
0 x x jika x>0. Dengan cara serupa gunakan ini untuk menemukan y’(0) dan tunjukkan bahwa y’(x) continu di x = 0.
32. INTEGRAL LINTASAN
Sekarang, kita akan mempelajari integral dari fungsi bernilai kompleks dari variabel kompleks z. Suatu integral didefinisikan dalam bentuk nilai dari f(z) sepanjang lintasan C, dari titik z = z1sampai dengan titik z = z2 dalam bidang kompleks. Oleh karena itu,
suatu integral garis secara umum nilainya bergantung pada lintasan C sama dengan fungsi f. Dan ditulis,
C dz z f atau
2 1 C C dz z f ,notasi tersebut sering digunakan ketika nilai dari integral tidak bergantung pada pemilihan lintasan diantara dua titik. Integral dapat didefinisikan secara langsung melalui limit dari suatu jumlah, namun dalam bagian ini kita memilih definisi seperti diatas yang berkaitan dengan bagian pendahuluan (bagian 30).
Misalkan persamaan
(1) z = z(t) (atb)
menyatakan suatu lintasan dari titik z1= z(a) ketitik z2= z(b). Misalkan pula fungsi f(z)
kontinu titik demi titik pada interval atb. Kita definisikan integral garis atau integral lintasan dari f sepanjang C, yakni :
(2) f
zdz f
z
t z
tdtb
a
C
' .
Sebagai catatan, karena C adalah lintasan, maka z’(t) adalah kontinu titik demi titik pada interval atb, dan keberadaan dari integral pada persamaan (2) dijamin.
Nilai dari integral lintasan adalah invariant terhadap perubahan dalam menyatakan lintasan jika perubahan tersebut serupa dengan persamaan (12) bagian 31. Hal ini dapat ditunjukkan dengan cara yang serupa seperti pada bagian 31 dalam menunjukkan invariant dari panjang busur berarah.
Dari definisi (2) dan sifat dari integral fungsi bernilai kompleks w(t) yang telah dijelaskan dalam bagian (30) bahwa
(3)
C C
of zdz z f z dz
z 0 ,
untuk setiap konstanta kompleks z0, dan
(4)
C C C dz z g dz z f dz z g z f .Berhubungan dengan lintasan C yang digunakan pada integral (2), lintasan –C adalah terdiri dari himpunan titik-titik yang sama dengan C tetapi urutannya terbalik. Lintasan –C bergerak dari titik z2ketitik z1. Lintasan –C mempunyai bentuk parameter z
= z(-t) (-bt-a). Jadi
z dz f
z
t
z
t
dt f C a b
' ,dimana z’(-t) menyatakan turunan dari z(t) pada t yang dihitung di –t. Dengan perubahan dari variabel dalam integral sebelumnya (lihat latihan 6(a), bagian 31), kita peroleh
(5) f
zdz f
zdz C C
.Misalkan bahwa lintasan C terdiri dari lintasan C1 dan lintasan C2, dengan
lintasan C1 dari titik z1 ketitik z0 dan C2 dari titik z0 ketitik z2, titik awal dari C2
merupakan titik akhir dari C1. Maka terdapat bilangan real c, dimana z0= z(c), sehingga
C1adalah dinyatakan dengan z = z(t) (atc) dan C2 adalah dinyatakan dengan z = z(t)
(ctb). Maka
b c c a C dt t z t z f dt t z t z f dz z f ' ' ,(6)
2 1 C C C z f z f dz z f .Kadang-kadang lintasan C disebut jumlah dari C1dan C2dan dinotasikan dengan C1+C2.
Jumlah dari dua lintasan C1 dan –C2 adalah terdefinisi dengan baik jika C1 dan C2
mempunyai titik akhir yang sama, dan ditulis dengan C1-C2.
Terakhir, dari definisi (2) di atas dan sifat (8), bagian (30),
z dz f
z
t z t dt f b a C
' .Juga, untuk setiap konstanta non negatif M sehingga nilai dari f pada C memenuhi ketaksamaan f
z M,
b a C dt t z M dz z f ' .Karena integral pada bagian kanan menyatakan panjang L dari lintasan (lihat bagian 31), dari sini bahwa modulus dari integral f sepanjang C tidak melebihi ML,
(7) f
z dz ML.C
Hal ini jelas bahwa ketaksamaan terjadi jika nilai dari f pada C, f
z M.Sebagai catatan, semua garis atau garis edar atau jalur (path) dari integral adalah dipertimbangkan sebagai lintasan dan yang diintegralkan adalah fungsi yang kontinu titik demi titik yang didefinisikan pada lintasan-lintasan, suatu bilangan M yang ditampilkan pada persamaan (7) akan selalu ada. Ini disebabkan karena fungsi f
z
tadalah kontinu pada interval tertutup dan terbatas atb dimana f adalah kkontinu pada C; dan sehingga fungsi selalu mencapai maksimum yang bernilai M pada interval. Juga
zf mempunyai suatu nilai maksimum pada C dimana f kontinu pada C. Sekarang, dengan cara serupa juga benar untuk fungsi f yang kontinu titik demi titik pada C.
Integral tentu dalam kalkulus dapat diinterprestasikan sebagai luas. Kecuali dalam kasus khusus, tidak berhubungan dengan interprestasi, goemetri atau fisika adalah disediakan untuk integral dalam bidang kompleks.
33. CONTOH-CONTOH Contoh 1. Carilah nilai integral
(1) I = zdz
C
dimana C adalah setengah bagian kanan dari lingkaran z =2, dari z = -2i ke z = 2i (gambar 28), yakni z = 2ei 2 2 . Dari definisi (2) bagian 32,
I =
d e ei 2 i ' 2 2 2
;karena ei ei dan (ei)’=iei,
maka ini berarti bahwa, I = e i iei d i d i
4 4 2 2 2 2 2 2
.Sebagai catatan bahwa jika suatu titik z pada lingkaran z =2, maka diperoleh
bahwa z = 4, atauz z
z . Jadi hasil I = 4i dapat juga ditulis4
(2)
C i z dz .CONTOH 2. Dalam contoh ini, misalkan bahwa C1 menyatakan lintasan OAB seperti
pada gambar 29 dan akan dihitung integral
(3)
1 C OA AB dz z f dz z f dz z fdimana f(z) = y-x-i3x2(z=x+iy)
Segmen OA dapat dinyatakan dalam bentuk parameter melalui z = 0+iy (0y1); jadi x=0 dititik-titik pada segemen. Nilai dari f(z) dapat dibawah kepersamaan parameter y dan diperoleh persamaan f(z) = y (0y1). Akibatnya,
1 0 1 0 2 i ydy i yidy dz z f OA . Pada segmen AB, z = x+i (0x1); dan juga
zdz
x i x
dx
x
dx i x dx i f AB
1 3 .1 1 3 12 1 0 1 0 1 0 2 2 . Sehingga, persamaan (3) kita peroleh(4)
2 1 1 i dz z f C
.Jika C2 menyatakan segmen OB dari garis y = x, dengan bentuk parameter z =
x+ix (0x1), 2i -2i C x y Gambar 28 y 0 x i 1+i 0 Gambar 29 C2 C1 A B
(5) f
zdz i x
i dx
i x dx i C
3 1 31 1 1 0 2 1 0 2 2 .Jelas bahwa integral dari f(z) sepanjang dua lintasan C1 dan C2 mempunyai nilai yang
berbeda walaupun mereka mempunyai titik awal dan titik akhir yang sama.
Selanjutnya nilai integral dari f(z) atas lintasan tertutup sederhana OABO, atau C1– C2, adalah
2 1 2 1 i dz z f dz z f C C
.CONTOH 3. Kita mulai dengan memisalkan C sebagai arc mulus sembarang z = z(t) (atb) dari titik tetap z1ketitik tetap z2. Secara terurut kita hitung integral
t z t dt z zdz I C b a '
,dari latihan 4(a) bagian 31,
t z t z t z dt d ' 2 2 . Jadi,
2 2 2 2 2 a z b z t z I b a .Tetapi z(b) = z2dan z(a) = z1; dan juga
2 2 1 2 2 z z
. Ini berarti, bahwa nilai dari integralnya hanya bergantung pada titik-titik akhir dari C, dan dengan kata lain tidak bergantung pada arc yang diberikan, kita dapat menulis
(6)
2 1 z z zdz 2 2 1 2 2 z z .(bandingkan dengan contoh 2, dimana nilai dari suatu integral dari satu titik tetap ke yang lain bergantung pada segmen yang diberikan).
Persamaan (6) adalah juga benar jika C menyatakan lintasan yang tidak perlu mulus diman lintasan tersebut terdiri dari sejumlah hingga busur berarah yang mulus Ck
(k = 1, 2, …,n) yang dihubungkan secara bersambung (end to end). Secara umum, misalkan bahwa Ckbergerak dari zkke zk+1. Maka
(7)
n k n k k n k C C z z z z zdz zdz k 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 ,diman z1merupakan titik awal dari C dan znmerupakan titik akhir dari C.
Dari persamaan (7) di atas bahwa integral dari f(z) mengelilingi setiap lintasan tertutup sederhana dalam bidang mempunyai nilai nol. (bandingkan dengan contoh 2, dimana nilai dari integral dari fungsi diberikan mengelilingi segmen tertutup adalah tidak nol). Hal ini akan dijelaskan pada bagian selanjutnya jika integral dari lintasan tertutup sederhana mempunyai nilai nol. Pertanyaan ini merupakan pusat dari teori fungsi bernilai kompleks.
CONTOH 4. Misalkan C menyatakan path setengah lingkaran z = 3ei(0)
dari titik z = 3 ketitik z = -3 (lihat gambar 30). Walaupun cabang dari bagian (36)
(8) f(z) = 2
i
e
r (r>0. 0<<2)
dari fungsi bernilai banyak 2 1
z adalah tidak terdefinisi pada titik awal z = 3 dari lintasan
C, integral (9) I z dz C
2 1 Gambar 30 x y 3 -3dari cabang tersebut ada. Untuk integral adalah kontinu titik demi titik pada C. Kita akan tunjukan dengan menghitung z() = 3ei
, limit-limit kanan dari bagian real dan bagian imajiner dari fungsi
2 sin 3 2 cos 3 3 2 e i z f i (0<)di = 0 adalah 3 dan 0 masing-masing. Juga f[z()] adalah kontinu pada interval tutup 0 dimana nilai = 0 adalah didefinisikan sebagai 3 . Akibatnya,
0 2 3 0 23 3 3 3e ie d i e d I i i i ; dan 0 2 3 0 2 3 3 2
i i e i d e =
i i 1 3 2 Terakhir, maka
i I 2 31 .CONTOH 5. Misalkan CR adalah path setengah lingkaran z = Rei (0), dan
2 1
z merupakan cabang (8) dari akar fungsi kuadrat yang digunakan dalam contoh 4.
Tanpa mencari nilai dari integral, dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa
(10)
R C R z dz z 0 1 lim 2 2 1 . Jika z =R>1, z Re R i 2 2 1 dan z21 z2 1 R2 1. Akibatnya, titik-titik pada CRdimana integral terdefinisi,R M z z 1 2 2 1 dimana 1 2 R R MR .
. 1 2 2 1 L M dz z z R CR
Tetapi
2 1 1 2 1 1 . 1 2 2 R R R R R L M R R R ,dan jelas bahwa bagian kanan bentuk di atas menuju nol asalkan R menuju takhingga. Ini berarti (10) telah dibuktikan.
LATIHAN
Untuk fungsi f dan lintasan C dalam latihan 1 sampai dengan 6, gunakan bentuk parameter yang diberikan untuk C, untuk menghitung f
zdzC
. 1.
z z z f 2 dan C adalaha. setengah lingkaran z = 2ei(0); b. setengah lingkaran z = 2ei(2) c. lingkaran z = 2ei(02)
2. f(z) = z-1 dan C adalah busur berarah dari z = 0 sampai z = 2 yang terdiri dari a. setengah lingkaran z = 1 + ei(2)
b. Segmen 0x2 dari sumbu real.
3. f(z) =exp( z ) dan C adalah batas dari bujur sangkar dengan titik-titik sudut 0, 1, 1+i, dan i, orientasi C berlawanan dengan arah jarum jam.
4. f(z) adalah dinyatakan dengan persamaan
0 y jika 4 0 y jika 1 y z f dan C adalahbusur berarah dari z = -1-i sampai dengan z = 1+i sepanjang kurva y = x3.
5. f(z) = 1 dan C sembarang lintasan dari setiap titk z1 kesetiap titik tetap z2 dalam
6. f(z) adalah cabang z-1+i =exp[(-1+i)log z]
z 0,0argz 2
dan C adalah lingkaran satuan z 1dengan arah positif.7. Dengan menggunakan hasil pada latihan nomor 2 bagian 31, hitunglah integral
dz z z n
C m
dimana m dan n adalah bilangan bulat dan C adalah lingkaran satuan 1
z dengan arah berlawanan dengan jarum jam.
8. Hitunglah integral I dalam contoh 1 bagian 33 dengan menggunakan bentuk C :
iy y
z 4 2 (-2y2) (lihat juga latihan 9 bagian 31)
9. Misalkan C adalah busur berarah dari lingkaran z 2 dari z = 2 ke z = 2i terletak dalam kuadran pertama. Dengan tanpa menghitung integral, tunjukkan bahwa
3 1 2
Cz dz10. Misalkan C menyatakan segmen garis dari z = i ke z =1. Dengan memperhatikan bahwa semua titik pada segmen garis, titik tengah adalah closest to origin, tunjukkan bahwa
4 4 2C z
dz
dengan tanpa menghitung integral.
11. Tunjukkan bahwa jika C adalah batas dari segitiga dengan titik-titik sudut 0, 3i, dan –4, serta orientasinya berlawanan dengan arah jarum jam, maka
60
C z dz z e12. Misalkan C dan C0 menyatakan lingkaran z = Rei (02) dan z = z0 + Rei
(02) masing-masing. Gunakan bentuk parameter tersebut untuk menunjukkan bahwa f
zdz f
z z
dzC
C
0
13. Misalkan C0 menyatakan lingkaran zz0 R berlawanan dengan jarum jam.
Gunakan bentuk parameter z = z0 + Rei (-) dari C0 untuk menurunkan
rumus integral berikut.
a. i z z dz C 2 0 0
; b.
0
1 0
n 1, 2,...
0
z z n dz C c.
a a R i dz z z a a C sin 2 1 0 0
, dimana a adalah bilangan real yang lebih besar dari nol dan dimana cabang utama dari integral dan nilai utama dari Ra adalah diambil.34. ANTI TURUNAN
Meskipun nilai dari integral lintasan dari suatu fungsi f(z) dari titik tetap z1ke titik tetap
z2 umumnya bergantung pada path yang diambil, namun terdapat juga fungsi yang
mempunyai integral dari z1ke z2tidak tergantung dari path. (ingat contoh 2 dan 3 bagian
33). Contoh-contoh juga masih mengilustrasikan kenyataan bahwa nilai dari integral path tertutup adalah kadang-kadang nol, tetapi tidak selalu nol. Teorema dibawah ini selalu mempertimbangkan kapan suatu integral adalah tidak tergantung pada path dan selain itu kapan suatu integral sekitar path tertutup mempunyai nilai nol.
Dalam pembuktian teorema kita selalu menemukan suatu perluasan dari teorema dasar kalkulus untuk mempermudah perhitungan berbagai integral lintasan. Perluasan ini melibatkan konsep dari suatu antiturunan dari suatu fungsi kontinu f dalam suatu domain D, atau suatu fungsi F sedemikian sehingga F’(z) = f(z) untuk semua z dalam D. Sebagai catatan bahwa suatu antiturunan adalah dibutuhkan suatu fungsi analitik, anti turunan suatu fungsi f yang diberikan adalah tunggal kecuali untuk penjumlahan konstanta kompleks. Hal ini disebabkan karena dari pengurangan F(z) – G(z) = 0 dari dua anti turunan F(z) dan G(z) adalah nol. Dan berdasarkan teorema bagian 20, suatu fungsi analitik adalah konstan dalam domain D jika turunannya adalah nol seluruh D.
Teorema
Misalkan bahwa suatu fungsi f adalah kontinu pada domain D. Jika satu dari pernyataan berikut benar, maka pernytaan yang lain juga benar.
a. f mempunyai antiturunan F di D
b. integral dari f(z) sepanjang lintasan-lintasan yang terletak sepenuhnya dalam D dan memanjang dari titik tetap z1 ketitik tetap z2 semuanya mempunyai nilai
yang sama.
c. Integral dari f(z) sekitar lintasan tertutup yang terletak sepenuhnya dalam D semuanya mempunyai nilai nol.
Sebagai catatan bahwa teorema tersebut tidak mengklaim bahwa setiap pernyataan adalah benar untuk sembarang fungsi f dan domain D yang diberikan. Yang diketahui adalah dari teorema di atas adalah benar semua atau tidak benar semua. Untuk membuktikan teorema di atas cukup dibuktikan bahwa pernyataan (a) mengakibatkan pernyataan (b), pernyataan (b) mengakibatkan pernyataan (c), dan pernyataan (c) mengakibatkan pernyataan (a).
Sekarang, asumsikan bahwa pernyataan (a) benar. Jika suatu lintasan C dari z1ke
z2terletak dalam D dan benar-benar suatu arc yang mulus dengan bentuk parameter z =
z(t) (atb), kita ketahui dari latihan 11, bagian 31. bahwa
z t F
z
t z
t f
z
t z
t F dt d ' ' ' (atb).Karena teorema dasar kalkulus dapat diperluas kedalam fungsi bernilai kompleks dari variabel real (bagian 30), maka
zdz f
z
t z t dt F
z
t F
z
b F
z
a f ba b a C
' .Dimana z(b) = z2 dan z1 = z(a), maka nilai dari integral lintasan di atas adalah F(z2
)-F(z1); dan nilainya jelas tidak tergantung dari lintasan C sepanjang C menuju dari z1ke
(1)
2 1 2 1 2 1 z F z F z F dz z f zz z z
.Hasil ini adalah juga benar untuk C adalah sembarang lintasan, tidak perlu mulus dan terletak dalam D. Khususnya, jika C terdiri dari sejumlah hingga arc yang mulus Ck(k =
1, 2, …,n), setiap Ckbergerak sepanjang titik zkketitik zk+1, maka
1 1 1 1 1 z F z F z F z F dz z f dz z f n n k k k n k C C k
.(Bandingkan dengan contoh 3 bagian 33). Kenyataan ini bahwa pernyataan (b) telah ditunjukkan.
Untuk membuktikan pernyataan (b) mengakibatkan pernyataan (c), kita misalkan z1 dan z2 menyatakan dua titik pada lintasan tertutup C yang terletak dalam D dan
bentuk dua path, dengan setiap path titik awalnya z1 dan titik akhirnya z2sehingga C =
C1-C2(gambar 31). Asumsikan bahwa pernyataan (b) benar, dan tulis
(2)
1 2 C C dz z f dz z f , atau (3)
1 2 0 C C dz z f dz z f .Jadi, integral dari f(z) sekitar lintasan tertutup C = C1-C2mempunyai nilai nol.
D C2 C1 z1 z2 y x Gambar 31
Terakhir, kita akan tunjukkan pernyataan (c) mengakibatkan pernyataan (a). Asumsikan bahwa pernyataan (c) benar, dengan menggunakan kebenaran pernyataan (b). Misalkan C1dan C2menyatakan sembarang dua lintasan yang terletak dalam D, dari titik z1ke z2
dan dari pernyataan (c), persamaan (3) benar (lihat gambar 31). Selanjutnya persamaan (2) benar. Oleh karena integral tidak bergantung pada path dalam D, maka kita dapat mendefinisikan fungsi
z f
sds F z z
0pada D. Untuk membuktikan teorema secara lengkap, tinggal ditunjukkan bahwa F’(z) = f(z) untuk setiap z dalam D. Kita bekerja disini dengan memisalkan z+ z sembarang titik, berbeda dengan z, terletak dalam suatu lingkungan dari z yaitu cukup kecil yang termuat dalam D. Maka
z z z z z z z z ds s f ds s f ds s f z F z z F 0 0 ,dimana path dari integral dari z ke z+ z dapat dipilih melalui segmen garis (gambar 32). Dimana z ds z z z
(lihat latihan 5 bagian 33), kita dapat menulis
f
z ds z z z f z z z
1 ; dan dari sini bahwa
z z z ds z f s f z z f z z F z z F 1 .Tetapi F kontinu dititik z. Juga untuk setiap bilangan positif , terdapat bilangan positif sehingga
s f z asalkan s-z Akibatnya, jika titik z+ z adalah cukup dekat ke z juga z , maka
z z z f z z F z z F 1 ; Jadi,
z f z z F z z F z lim0 atau F’(z) = f(z). 35. CONTOH-CONTOHContoh-contoh berikut mengilustrasikan teorema dalam bagian 34 dan khususnya penggunaan remus (1) di atas, yang mana merupakan perluasan teorema dasar kalkulus. Contoh 1. Fungsi kontinu f(z) = z2 mempunyai anti turunan F(z) = z3/3 sepanjang bidang. Jadi
i
i
z dz z i i
1 3 2 1 3 1 3 3 1 0 3 1 0 2untuk setiap lintasan dari z=0 ke z = 1+i. z0 s z s z+ z D y x Gambar 32
Contoh 2. Fungsi 12
z adalah kontinu disetiap titik kecuali dititik asal, mempunyai
turunan
z
1
dalam domain z 0. Akibatnya
2 1 2 1 1 1 2 1 2 1z z z z dz z z z z
(z1 0, z2 0)untuk setiap lintasan dari z1 ke z2 dan tidak melalui titik asal. Khususnya
2 0 C zdz
dimana C adalah lingkaran z = 2ei(-).
Sebagai catatan, integral dari fungsi f(z) = 1/z mengelilingi lingkaran yang sama tidak dapat dihitung dengan cara yang serupa. Untuk semua turunan dari setiap cabang F(z) dari logz adalah 1/z (bagian (26)), F(z) tidak terdiferensiabel, atau definisi yang sama sepanjang potongan cabang. Khususnya, jika sudut = dari titik asal digunakan untuk potongan cabang, F’(z) lemah untuk keberadaan titik dimana sudut irisan lingkaran C. Jadi C tidak terletak dalam suatu domain yang dimiliki seluruh F’(z) = 1/z, dan kita tidak dapat menggunakan secara langsung dari suatu anti turunan.
Contoh 3. Misalkan D domain z 0, Argz , terdiri dari seluruh bidang yang memuat titik asal dan sumbu real negatif. Cabang utama Log z dari fungsi logaritma bernilai banyak melalui suatu anti turunan dari fungsi kontinu seluruh D. Juga dapat ditulis
Log
i Log
i i i i Logz z dz i i i i
2 2 ln 2 2 ln 2 2 2 2 2 2dimana path pengintegralan dari –2i sampai 2i, untuk hal lain, arc 2 2 i re z
dari lingkaran dalam contoh 2 (bandingkan contoh 1 bagian 33, dimana dimana integral ini telah dihitung dengan menggunakan bentuk parameter untuk arc).
(1) z dz
C
12 1
dimana yang diintegralkan adalah cabang
(2)
2 0 0, r 2 2 1 rei zdari fungsi akar kuadrat dan dimana C1adalah suatu lintasan dari z = -3 ke z = 3, kecuali
untuk titik akhir, terletak di atas sumbu x (lihat gambar 33). Seluruh pengintegralan adalah kontinu titik demi titik pada C1, dan oleh karena itu integralnya ada, cabang (2)
dari 2 1
z adalah tidak terdefinisi pada sudut = 0, khususnya dititk z = 3. Tetapi cabang
yang lain,
2 3 2 -0, r 2 1 i e r z fadalah terdefinisi dan kontinu dimana-mana pada C1. Nilai dari f1(z) disemua titik pada
C1 kecuali z = 3 sama dengan mengitegralkan (2); juga pengitegralan dapat diganti
kembali dengan f1(z). Dimana suatu anti turunan dari f1(z) adalah fungsi
2 3 2 -0, r 3 2 3 2 23 2 3 1 i e r r z z F .Kita dapat menulis kembali
zdz F
z
e e
i f dz z i i C
2 3 2 2 31 3 1 2 1 0 3 3 1 3 3 1 . (bandingkan dengan contoh 4 bagian 33)Integral (1) atas lintasan C2 dari z = -3 ke z = 3 dibawah sumbu x mempunyai
nilai yang lain. Dalam kasus ini, kita mengintegralkan kembali dengan cabang
2 5 2 0, r 2 2 i e r z f ,yang mempunyai nilai terletak dalam cabang (2) dibawah half plane. Fungsi analitik
2 5 2 0, r 3 2 3 2 32 2 3 2 i e r r z z Fadalah suatu anti turunan dari f2(z). Jadi
zdz F
z e e
i
f dz z i i C
2 3 2 2 3 1 3 2 2 1 3 3 3 1 3 3 1 .Perlu dicatat bahwa integral dari fungsi (2) mengelilingi lintasan tertutup C2– C1
mempunyai nilai 2 3
1i
2 3
1i 4 3. 36. TEOREMA CAUCHY-GOUSTRATDalam bagian 24, kita telah mengetahui bahwa jika suatu fungsi kontinu f mempunyai suatu anti turunan dalam suatu domain D, integral dari f(z) mengelilingi sembarang
3 0 C1 C2 x -3 y Gambar 33
lintasan C yang seluruhnya terletak dalam D mempunyai nilai nol. Dalam bagian ini kita hadirkan suatu teorema yang memberikan sifat yang lain pada suatu fungsi f
