MATEMATIKA EKONOMI FUNGSI KUBIK

MATEMATIKA EKONOMI

FUNGSI KUBIK

OLEH:

KELOMPOK 4:

WINDA WULANSARI (1110532012)

CITRA HENDRIANTI TANJUNG (1110512114)

TRI REZEKI R. HARAHAP (1110532011)

VELLYANA PUTRI (1110532020)

ANGGY ARILMA PUTRA (1110533006)

FUNGSI

Fungsi ialah suatu bentuk hubungan matematis yang

menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional)

antara satu variabel dengan vaariabel lain. Sebuah fungsi

dibentuk oleh beberapa unsur. Unsur-unsur pembentuk fungsi

adalah variabel, koefisien dan konstanta. Variabel dan koefisien

senantiasa terdapat dalam setiap bentuk fungsi. Akan tetapi

tidak demikian halnya dengan konstanta. Sebuah fungsi, yang

secara kongkret dinyatakan dalam bentuk persamaan atau

pertidaksamaan, mungkin sekali mengandung sebuah konstanta

dan mungkin pula tidak. Walaupun sebuah persamaan atau

sebuah pertidaksamaan tidak mengandung konstanta, tidaklah

mengurangi artinya sebagai fungsi.

Fungsi dapat digolongkan menjadi beberapa kelompok. Secara garis besar fungsi

dikelompokkan atas kelompok fungsi aljabar dan kelompok fungsi non-aljabar.

FUNGSI KUBIK

Fungsi kubik atau berderajat tiga ialah fungsi

yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah

pangkat tiga.Bentuk umum persamaan fungsi kubik:

Setiap fungsi kubik setidak-tidaknya mempunyai

sebuah titik belok (

inflexion point ),

yaitu titik

peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi

cembung. Selain titik belok, sebuah fungsi kubik

mungkin pula mempunyai satu titik ekstrim

(maksimum atau minimum ) atau dua titik ekstrim

(maksimum atau minimum ). Ada tidaknya titik

ekstrim dalam suatu fungsi kubik tergantung pada

besarnya nilai-nilai

b,

c dan

d

di dalam

persamaannya. Dengan demikian terdapat beberapa

kemungkinan mengenai bentuk kurva suatu fungsi

kubik. Kemungkinan-kemungkinan tersebut di

perlihatkan oleh gambar-gambar berikut

.

Gambar-ganbar diatas memperlihatkan fungsi-fungsi kubik yang hanya

mempunyai titik belok, tanpa titi ekstrem.Gambar dibawah

memperlihatkan fungsi-fungsi kubik yang mempunyai titik ekstrim.

Sketsalah grafik dari persamaan di bawah ini:

Penyelesaian:

•

y=(-3)

3

_{-1 = -27}

•

y=(-2)

3

_{-1 = -8}

•

y=(-1)

3

_{-1 = -2}

•

y=(0)

3

_{-1 = -1}

•

y=(1)

3

_{-1 = 0}

•

y=(2)

3

_{-1 = 7}

•

y=(3)

3

_{-1 =26}

X

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-27 -8

-2

-1

0

7

26

Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik

Titik maksimum dan titik minimum suatu fungsi

kubik (jika ada), serta titik beloknya, dapat dicari

melalui penulusuran terhadap derivatif pertama dan

derivatif kedua dari fungsinya. Derivatif pertama

berguna untuk menentukan letak titik beloknya.

Perhatikan fungsi kubik berikut dan turunan-turunannya, serta hubungan mereka secara [fungsi kubik y = f(x)berada di titik ekstrim maksimum]

[fungsi kubik y = f(x)berada di titik ekstrim minimum]

[derivatif pertama berada di titik ekstrim, dalam hal ini titik minimum] Titik maksimum pada koordinat (2;3,67)

Titik belok pada koordinat (3;3)

Titik minimum pada koordinat (4;2,33) grafik.

y= x3_-3x2_{+8x-3 . . . ....fungsi kubik}

y’=x2_{-6x+8 . . . fungsi kuadrat parabolik}

y”=2x-6 . . . .fungsi linear jika y’=0, x2_{-6x+8=0, (x-2)(x-4)=0→x}

1 =2, x2=4

untuk x=x₁=2

→y=(2)3_-3(2)2_+8(2)-3=3,67

[fungsi kubik y = f(x)berada di titik ekstrim maksimum] →yn_{= 2(2) – 6 = -2<0 [derivatif kedua negatif]}

untuk x=x₂=4

→y=(4)3_-3(4)2_+8(4)-3=2,33

[fungsi kubik y = f(x)berada di titik ekstrim minimum] →yn_{= 2(4) – 6 = 2<0 [derivatif kedua positif]}

Jika yn_{=0, 2x – 6 = 0 → x = 3}

→y=(3)3_-3(3)2_+8(3)-3=3

[fungsi kubik y = f(x) berada di titik belok] y’ = 32 _{– 6(3) + 8 =-1}

[derivatif pertama berada di titik ekstrim, dalam hal ini titik minimum] Jadi, fungsi kubik y= x3_-3x2_{+8x-3 bearada di :}

Titik maksimum pada koordinat (2;3,67) Titik belok pada koordinat (3;3)

tentukan d

2

y/dx untuk:

y=18x

3

-10x

2

+8x+28

•

x=-2→y=(-2+1)(-2–1)(-2–2 ) =-12

•

x=-1→y=(-1+1)(-1-1)(-1-2)= 0

•

x=0→y=(0+1)(0-1)(0-2)=2

•

x=1→y=(1+1)(1-1)(1-2)=0

•

x=2→y=(2+1)(2-1)(2-2)=0

•

x=3→y=(3+1)(3-1)(3-2)=8

Penerapan

Ekonomi

Elastisitas Produk

Elastisitas produksi ialah suatu koefisien yang menjelaskan

besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat

adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jadi,

merupakan rasio antara presentase perubahan jumlah keluaran

terhadap presentase perubahan jumlah masukan. Jika

P

melambangkan

jumlah produk yang dihasilkan sedangkan

X

melambangkan jumlah

faktor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi dinyatakan

dengan

P

=

f (X)

, maka elastisitas produksinya :

Fungsi produksi suatu barang

ditunjukkan oleh persamaan

P = 6X

2

– X

3

.

Hitunglah elastisitas produksinya

pada tingkat penggunaan faktor

produksi sebanyak 3 unit dan

7 unit!

Biaya Marginal

Biaya marjinal (marginal cost, MC) ialah biaya tambahan

yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan

produk. Secara matematik, fungsi biaya marjinal merupakan

derivative pertamadari fungsi biaya total. Jika fungsi biaya

total dinyatakan dengan

C

=

f

(Q) dimana

C

adalah biaya

total dan

Q

melambangkan jumlah produk, maka biaya

marjinalnya :

Utilitas Marginal

Utilitas marjinal (marginal utility, MU) ialah utilitas tambahan yang

diperoleh konsumen berkenaan satu unit tambahan barang yang dikonsumsinya.

Secara matematik, fungsi utilitas marjinal merupakan derivative pertama dari fungsi

utilitas total. Jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan di mana U

melambangkan utilitas total dan Q adalah jumlah barang yang dikonsumsi, maka

utilitas marjinalnya :

Karena fungsi utilitas total yang non – linear pada umumnya berbentuk fungsi

kuadrat, fungsi utilitas marjinalnya akan berbentuk fungsi linear. Kurva utilitas

marjinal selalu mencapai nol tepat pada saat kurva utilitas total (U) berada pada

posisi puncaknya.

Produk Marginal

Produk marjinal (MP) ialah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan faktor poduksi yang digunakan. Secara matematik, fungsi produk marjinal merupakan derivative pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total

dinyatakan dengan P = f(X) dimana P melambangkan jumlah produk total dan X adalah jumlah masukan, maka produk marjinalnya

:

Karena fungsi produk total yang non linear pada umumnya berbentuk fungsi kubik, fungsi produk marjinalnya akan berbentuk fungsi kuadrat (parabolic). Kurva produk marjinal (MP) selalu mencapai niilai ekstrimnya, dalam hal ini nilai maksimum, tepat pada saat kurva produk total (P) berada pada posisi titik beloknya ; kedudukan ini mencerminkan berlakunya hukum

tambahan hasil yang semakin berkuranf (the law of the diminishing return). Produk total mencapai pun caknya ketika produk marjinal nol. Sesudah kedudukan ini, produk total menurun bersamaan dengan produk marjinal menjadi negative. Area di mana produk marjinal negative menunjukan bahwa penambahan penggunaan masukan yang bersangkutan justru akan mengurangi jumlah produk total, mengisyaratkan terjadinya disefisiensi dalam kegiatan produksi. Dalam area ini, jika produk total hendak ditingkatkan, jumlah masukan yang digunakan harus dikurangi.

Efek perpajakan bagi penunggal

Pajak , di samping merupakan sumber penting pendapatan negara,

dapat pula berfungsi sebagai instrumen kendali atas keuntungan “berlebihan”

yang dapat di keduk oleh penungal (

monopolist

). Pengenaan pajak sebesar

t

per unit barang yang di produksi atau di jual oleh penunggal akan

mengakibatkan biaya rata-rata meningkat sebesar Q

t

, dan biaya totalnya

meningkat sebesar

.

Akibatnya bukan saja harga barang menjadi lebih mahal,

tetapi juga keuntungan yang diperoleh penunggal menjadi berkurang.

[jika di analisis, dari jumlah 12.150 ini sebesar (10 x 30 = ) 300

merupakan beban pajak total yang ditanggung oleh pihak konsumen ,

11.850 selebihnya ditanggung oleh pihak produsen alias sang penunggal.

Hal ini mencerminkan kebijakan pajak cukup efektif untuk mengendalikan

keuntungan produsen monopolis].

Dalam ekonomi mikro terdapat hubungan teoritis antara

biaya marjinal dan biaya rata-rata, yakni bahwa pada

saat biaya rata-rata mencapai nilai minimumnya maka

biaya marjinal sama dengan biaya rata-rata minimum

tersebut. Secara grafik hal ini ditunjukkan oleh

perpotongan kurva biaya marjinal dengan kurva biaya

rata pada posisi minimum kurva biaya

rata-rata.secara matematik hubungan tersebut dapat di

jelaskan sebagai berikut :

Hubungan produk marjinal dengan produk rata-rata

Analog dengan hubungan antara biaya

marjinal dan biaya rata-rata, begitu pula

hubungan antara produk marjinal dan produk

rata-rata. Produk marjinal sama dengan

produk rata-rata pada saat produk rata-rata

mencapai posisi ekstrimnya (dalam hal ini

posis maksimum).