MATEMATIKA PEMINATAN (C)
[MAKALAH]
UNTUK MEMENUHI SALAH SATU STRATEGI PEMBEAJARAN ATAU TUGAS YANG DI
[MAKALAH]
MATEMATIKA PEMINATAN (C)
KATA PENGANTAR :
Rasa syukur dalam yang kita sampaikan ke hadirat Tuhan Yang Maha Pemurah, karena berkat kemurahan-Nya makalah ini dapat saya selesaikan sesuai yang diharapkan. Dalam makalah ini kami
membahas “ Fungsi Eksponensial dan Logaritma “, suatu
pembelajaran yang di ajarkan untuk siswa SMA kelas X, terlbih lagi secara ribadi pemebelajarn ini sangat penting dan berguna bagi siswa dalam mendukung pembelajaran.
Makalah ini dibuat dalam angka mempedalam pemahaman masalah fungsi eksponensial dan fungsi logaritma yang sangat di perlukan dalam suatu harapan mendapat ilmu dan pembelajaran matematika lebih dalam, dan dapat menerapkan fungsi-fungsinya dalam keseharian sekaligus mempermudah dalam memecahkan masalah yang berkaitan tentang fungsi logaritma dan fungsi
eksponensial. Dalam peroses pendalaman materi fungsi eksponensial dan fungsi logaritma ini, alhamdulillah saya mendapatkan bimbingan, arahan, dan saran baik itu dari teman mau pun saudara saya yang telah lebih mengei tata cara penyususnan makalah-makalah, untuk itu rasa terima kasih yang sedalam-dalamnya kami sampaikan kepada berbagai pihak yang telah memberikan saran dan masukan atas makalh fungsi eksponensial dan fungsi logaritma saya.
Demikian makalah ini saya buat semoga bermanfaat.
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ………...
KATA PENGANTAR ………...
DAFTAR ISI ………...
BAB I PENDAHULUAN ………. ...
A. Latar Belakang ………...
B. Rumusan Masalah ………...
C. Tujuan Penulisan ………. ...
D. Manfaat Penulisan ………...
BAB II PEMBAHASAN ……….. ...
A. Grafik Fungsi Eksponensial dan Logaritma…………...
B. Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponensial……...
C. Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma ………...
BAB III PENUTUP ………...
A. Kesimpulan ……….. ...
DAFTAR PUSTAKA ………. ...
PENDAHULUAN MAKALAH
Dalam makalah ini
A. GRAFIK FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA
Grafik Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma dengan Bilangan Pokok 0 < a < 1
Untuk menggambar grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma dengan bilangan pokok 0 < a < 1, kalian dapat menggunakan prinsip yang sama seperti pada bilangan pokok a 01, yaitu terlebih dahulu gambarkan grafik fungsi eksponennya. Kemudian, cerminkan terhadap garisy xuntuk mendapatkan inversnya, yaitu fungsi logaritma. Sekarang, coba gambar grafik fungsi f(x)= (1/2)x dan inversnya, yaitu g(x) = ½ Log x dalam satu sumbu koordinat. Untuk memudahkan menggambar kedua grafik fungsi ini, terlebih dahulu buatlah tabel nilai-nilai x dan f(x) = (1/2)x seperti berikut.
Setelah itu, gambarkan titik-titik tersebut pada koordinat Cartesius. Lalu, hubungkan dengan kurva mulus, sehingga diperoleh grafik f(x) = (1/2)x. Grafik yang kalian dapatkan ini, cerminkan terhadap garis y xsehingga kalian mendapatkan grafik fungsi inversnya, yaitu g(x) = ½ Log x
Gambar Grafik fungsi f(x) = (1/2)x dan g(x)= ½ Log x
Dengan memperhatikan grafik fungsi f(x) = (1/2)x dan g(x) = ½ Log x yang masing-masing merupakan grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma dengan bilangan pokok 1/2, kalian dapat mengetahui bahwa:
No. Fungsi f(x) = (1/2)x Fungsi g(x) = ½ Log x
1 Daerah asalnya {x | x ∈ R} Daerah asalnya {x | x > 0, x ∈ R}
3 Sumbu-xasimtot datar Sumbu yasimtot tegak
4 Grafik di atas sumbu-x Grafik di sebelah kanan sumbu-y 5 Memotong sumbu-ydi titik (0, 1) Memotong sumbu-xdi titik (1, 0) 6 Merupakan fungsi naik untuk setiap x Merupakan fungsi naik untuk setiap x
Sifat-sifat ini berlaku juga untuk setiap fungsi eksponen f(x) = (1/2)x dan fungsi logaritma g(x)= ½ Log x dengan 0 < a < 1.
Grafik Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma dengan Bilangan Pokok a>1
Di Kelas X, kalian telah mengetahui bahwa fungsi eksponen dan fungsi logaritma adalah dua fungsi yang saling invers. Untuk memahami sifat-sifat kedua fungsi tersebut, pada bab ini kalian akan menggambar grafik kedua fungsi itu. Sekarang, coba gambar grafik fungsi f(x) = 2x dan inversnya, yaitu g(x) = 2 log x dalam satu sumbu koordinat. Untuk memudahkan menggambar kedua grafik fungsi ini, terlebih dahulu buatlah tabel nilai-nilai x dan f(x) = 2x seperti berikut.
Setelah itu, gambarkan titik-titik tersebut pada koordinat Cartesius. Lalu hubungkan dengan kurva mulus, sehingga diperoleh grafik f(x) = 2x. Grafik yang kalian dapatkan ini, cerminkan terhadap garis y = x sehingga kalian mendapatkan grafik fungsi inversnya, yaitu g(x) = 2 log x
Gambar Grafik fungsi f(x) = 2x dan g(x) = 2logx
Dengan memperhatikan grafik fungsi f(x) = 2x dan g(x) = 2 log x yang masing-masing merupakan grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma dengan bilangan pokok 2, kalian dapat mengetahui bahwa:
No. Fungsi f(x) = 2x Fungsi g(x) = 2 log x
1 Daerah asalnya {x | x ∈ R} Daerah asalnya {x | x > 0, x ∈ R} 2 Daerah asalnya {y | y > 0, y ∈ R} Daerah asalnya {y | y ∈ R}
4 Grafik di atas sumbu-x Grafik di sebelah kanan sumbu-y 5 Memotong sumbu-ydi titik (0, 1) Memotong sumbu-xdi titik (1, 0) 6 Merupakan fungsi naik untuk setiap x Merupakan fungsi naik untuk setiap x
Sifat-sifat ini berlaku juga untuk setiap fungsi eksponen f(x) = ax dan fungsi logaritma g(x) = alog xdengan a > 1.
GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
Pada pembahasan yang lalu, kita telah memahami bentuk umum dari fungsi eksponen yaitu
y = f (x) = kax dengan x ϵ Ɍ, k dan a suatu konstanta dan a > 0 serta a ≠ 0. Melalui topik kali ini, kita akan membahas tentang grafik fungsi eksponen. Ada dua cara yang digunakan untuk menggambarkan grafik fungsi eksponen yaitu substitusi titik dan menggunakan grafik fungsi lain.
CARA 1. SUBSTITUSI
Untuk mempermudah dalam menggambarkan grafik dan memahami sifat-sifatnya, maka fungsi eksponen y = f (x) = kax dengan k = 1 dapat dibagi menjadi dua, yaitu:
• y = f (x) = ax dengan a > 1, a ϵ Ɍ dan x ϵ Ɍ. • y = f (x) = ax dengan 0 < a < 1, a ϵ Ɍ dan x ϵ Ɍ
• Bentuk y = f (x) = ax dengan a > 1, aϵɌ dan xϵɌ.
Misalkan kita akan menggambar grafik dari f (x) = 2x dengan x ϵ Ɍ.
Untuk membantu kita dalam melukis grafik fungsi eksponen, terlebih dahulu pilih beberapa titik yang terletak di sumbu x positif, x = 0 dan sumbu x negatif, seperti terlihat pada tabel berikut.
Dari nilai x dan y, diperoleh titik-titik:
Titik-titik tersebut dilukiskan berupa titik (bulatan kecil) pada diagram kartesius dan dihubungkan sehingga membentuk kurva f (x) = 2x seperti pada gambar di bawah ini.
Perhatikan gambar di atas. Bila nilai x bertambah, maka nilai y = f (x) juga bertambah dan bilaxberkurang, maka nilai y = f (x) pun berkurang mendekati nol.
• y = f (x) = ax dengan 0 < a < 1, aϵɌ dan xϵɌ
Misalkan kita akan menggambar grafik dari f (x) = (12)x dengan x ϵ Ɍ.
Mula-mula pilih beberapa titik yang terletak di sumbu x positif, x = 0 dan sumbu x negatif seperti terlihat pada tabel berikut.
Dari nilai x dan y, diperoleh titik-titik:
Titik-titik tersebut dilukiskan berupa titik (bulatan kecil) pada diagram kartesius dan dihubungkan sehingga membentuk kurva y = f (x) = (12)x seperti pada gambar di bawah ini.
Perhatikan gambar di atas. Bila x bertambah, maka nilai y = f(x) berkurang mendekati nol dan bila x berkurang, maka nilai y = f(x) bertambah.
Dari grafik f (x) = 2 x dan f (x) = (12)x diperoleh:
• Domain kedua fungsi adalah himpunan semua bilangan real, Df = {x | x ϵ Ɍ} atau (-∞, ∞). • Rangenya berupa himpunan semua bilangan real positif, Rf = {y | y > 0, y ϵ Ɍ } atau (0, ∞).
• kurva memotong sumbu y (intersep y) pada satu titik yaitu (0, 1).
• Kurva mempunyai asimtot datar atau tidak akan pernah memotong sumbu x (garis y = 0). • Pada f (x) = 2x , untuk x > 0, nilai y = f (x) selalu naik artinya kurva y = f (x) = 2x monoton naik.
• Pada f (x) = (12)x, untuk x > 0, nilai y = f (x) selalu turun, artinya kurva y = f (x) = (12)xmonoton turun.
Grafik f (x) = 2x dan f (x) = (12)x adalah contoh grafik y = f (x) = ax dengan a > 1 dan 0 < a < 1.
Dari kedua grafik tersebut diperoleh:
• Kedua grafik melalui titik (0, 1).
• Grafik hanya terdapat di atas sumbu x karena nilai y selalu positif untuk semua nilai x. • y = f (x) = ax merupakan fungsi naik untuk a > 1 dan merupakan fungsi turun untuk 0 < a < 1.
CARA 2. MENGGUNAKAN GRAFIK FUNGSI LAIN
Jika f (x) = (12)x adalah contoh dari y = (1a)x dan f (x) = 2 x adalah contoh dari y = ax , maka kedua fungsi tersebut dapat digambarkan dalam satu gambar sebagai berikut:
Gambar di atas menginformasikan bahwa grafik y = (1a)x juga dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik y = ax , (a > 1) terhadap sumbu y. Dengan kata lain, kedua grafik tersebut simetris terhadap sumbu y. Oleh karena suatu grafik fungsi eksponen dapat diperoleh dari grafik lain, maka cara untuk menggambarkannya yaitu sebagai berikut.
Mari kita cermati beberapa contoh soal berikut ini.
Contoh 1
Gambarlah grafik f (x) = 3x dan f (x) = 6x pada satu koordinat Cartesius.
Penyelesaian
Mula-mula pilih beberapa titik yang terletak di sumbu x positif, x = 0 dan sumbu x negatif seperti terlihat pada tabel berikut.
Selanjutnya, gambarkan dan hubungkan titik-titik tersebut pada diagram kartesius sehingga
membentuk kurva f (x) = 3x(kurva merah) dan f (x) = 6x(kurva biru) seperti pada gambar di bawah ini.
Contoh 2
Lukislah grafik fungsi eksponen y = 2 –x – 2.
Penyelesaian
Selain cara yang digunakan pada contoh 1, melukis grafik fungsi eksponen juga dapat dilakukan dengan cara berikut.
Langkah-langkah melukis grafik y = 2 –x – 2. • Gunakan grafik y = 2x.
Dari grafik diketahui bahwa, y = 2x memilki domain (-∞,∞), range (0, ∞), asimtot garis y = 0 (sumbu x) dan titik potong sumbu y (0, 1).
• Cerminkan grafik y = 2x terhadap sumbu y sehingga diperoleh y = 2 -x = (12)x.
• Geser y = 2 –x(kurva biru) sebanyak 2 satuan ke bawah sehingga diperoleh y = 2 –x – 2 (kurva merah).
Hal ini berarti asimtot dan perpotongan sumbu y juga mengalami perubahan pergeseran dua satuan ke bawah.
Untuk memperoleh perpotongan sumbu x, substitusikan y = 0 sehingga diperoleh persamaan sederhana berikut ini.
Grafik y = 2 –x – 2 (kurva merah) dapat digambarkan sebagai berikut.
Dari grafik y = 2 –x – 2 (kurva merah) diperoleh:
Grafik Fungsi Logaritma – Pada topik sebelumnya telah dibahas tentang grafik fungsi eksponen dengan bentuk y = axdengan a suatu konstanta dan a > 0 serta a ≠ 0 . Pada topik ini, kita akan membahas tentang grafik fungsi logaritma. Agar kamu lebih mudah memahami tentang grafik fungsi logaritma, mari kita ingat kembali tentang fungsi logaritma.
Definisi Fungsi Logaritma
Untuk selanjutnya penulisan fungsi logaritma cukup ditulis dengan bentuk f (x) = a log x atau y= alog x atau y = logax...
Contoh:
f (x) = 2 log x (fungsi logaritma)
g (x) = log x (fungsi logaritma)
Ada dua cara dalam menggambarkan grafik fungsi logaritma yaitu dengan menggunakan grafik fungsi eksponen dan substitusi titik.
MENGGUNAKAN GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
Grafik fungsi y = a log x dapat diperoleh dari grafik fungsi inversnya yaitu y = ax.
Untuk melukis grafik y = a log x, kurva y = ax dapat dicerminkan terhadap garis y = x seperti contoh di
Contoh:
Gambarkan grafik fungsi y = 2 log x dengan menggunakan grafik y = 2x berikut.
Bila y = 2x dicerminkan terhadap garis y = x, seperti tampak pada gambar di atas, maka hasil pencerminan dari y = 2x adalah y = 2 log x.
Substitusi Titik
Misalkan kita akan menggambar grafik dari f (x) = 3 log x untuk -3 ≤ y ≤ 3, y ϵ Ɍ.
Untuk membantu kita dalam melukis grafik fungsi logaritma, mula-mula pilih nilai y yang terletak pada selang yang diketahui, kemudian substitusikan ke f (x) untuk memperoleh nilai x.
Titik yang diperoleh dilukiskan pada diagram kartesius berupa titik (bulatan kecil). Titik tersebut dihubungkan sehingga membentuk kurva f (x) = 3 log x seperti gambar di bawah ini.
Dari gambar di atas diperoleh bahwa:
• Bila nilai x bertambah, maka nilai f (x) bertambah, dan bila x berkurang mendekati nol, maka nilai f (x) juga semakin berkurang.
• Garis x = 0 merupakan asimtot tegak.
• Grafik fungsi logaritma y = 3 log x selalu naik untuk setiap x, dengan kata lain fungsi y = a log xdengan a > 1 merupakan fungsi naik.
Dengan demikian, dapat disimpulkan:
Fungsi logaritma y = a log x dengan a > 1 merupakan fungsi monoton naik, sebab
Misalkan kita akan menggambar dari grafik y = 13log x untuk -3 ≤ y ≤ 3, y ϵ Ɍ.
Untuk membantu kita dalam melukis grafik fungsi logaritma, mula-mula pilih nilai y yang terletak pada selang yang diketahui, kemudian substitusikan ke f (x).
Titik yang diperoleh dilukiskan pada diagram kartesius berupa titik (bulatan kecil). Titik tersebut dihubungkan sehingga membentuk kurva y = 13 log x seperti gambar di bawah ini.
Dari gambar di atas diperoleh bahwa:
• Bila nilai x bertambah, maka nilai f (x) berkurang dan bila x berkurang mendekati nol, maka nilai f(x) semakin besar.
• Garis x = 0 merupakan asimtot tegak.
• Grafik fungsi logaritma y = 13log x selalu turun untuk setiap x, dengan kata lain fungsi y = a logxdengan 0 < a < 1 merupakan fungsi turun.
Dengan demikian, dapat disimpulkan:
Fungsi logaritma y = a log x dengan 0 < a < 1 merupakan fungsi monoton turun, sebab bila x1 <x2 maka a log x1 > a log x2
Jika grafik y = 3 log x dan y = 13log x digambar pada satu diagram maka grafiknya adalah sebagai berikut.
Berdasarkan gambar di atas, dapat diperoleh bahwa:
• Grafik y = a log x dengan 0 < a < 1 dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik y = a log xdengan a >1 terhadap sumbu x.
• Grafik y = a log x dengan 0 < a < 1 dan y = a log x dengan a >1 berpotongan di titik (1, 0) • Jika x1 dan x2 adalah dua buah titik sembarang pada grafik dan x2 > x1,
maka a log x2 > a logx1untuk a > 1 dan a log x2 < a log x1 untuk 0 < a < 1.
• y = f (x) a log x merupakan fungsi naik untuk a > 1 dan merupakan fungsi turun untuk 0 < a < 1. Mari kita mencermati beberapa contoh soal berikut ini.
Contoh 1
Gambarlah grafik dari y = 2 log (x – 1).
Penyelesaian:
Untuk mempermudah perhitungan, mula-mula pilih nilai y yang terletak di sumbu y positif, y = 0 dan sumbu y negatif misalnya nilai y pada selang -3 ≤ y ≤ 3.
Nilai y tersebut kemudian disubstitusikan ke f (x).
Hasil dari substitusi titik dapat dituliskan pada tabel berikut.
Titik yang terdapat pada tabel dilukiskan pada diagram kartesius berupa titik (bulatan kecil). Titik tersebut dihubungkan sehingga membentuk kurva y = 2 log (x – 1) seperti gambar di bawah ini.
Pada gambar di atas terlihat garis x = 1 merupakan asimtot tegak.
Contoh 2
Gambarlah grafik fungsi f (x) = 13log x dan g (x) = (13)x .
Penyelesaian:
Oleh karena f (x) = 13log x adalah invers dari g (x) = (13)x , maka dari grafik g (x) dapat diperoleh dari f (x) dengan mencerminkan g (x) terhadap garis y = x.
Mula-mula gambarkan grafik f (x)
Untuk mempermudah perhitungan, pilih nilai y yang terletak di sumbu y positif, y = 0 dan sumbu ynegatif.
Nilai y tersebut kemudian disubstitusikan ke f (x) untuk memperoleh nilai x.
Dengan cara perhitungan yang sama dengan contoh-contoh sebelumnya diperoleh nilai (x, y) seperti pada tabel berikut.
Nilai (x, y) yang ada pada tabel dilukiskan pada diagram kartesius berupa titik (bulatan kecil) kemudian dihubungkan sehingga membentuk kurva f (x) = 13log x.
Kurva f (x) = 13log x kemudian dicerminkan terhadap garis y = x, sehingga diperoleh kurva g (x) = (13)x seperti grafik di bawah ini.
Contoh 3
Tentukan domain dari fungsi f (x) = log (3 – 4x).
Penyelesaian:
Untuk menentukan domain (daerah asal) dari fungsi f (x) = log (3 – 4x), kita memerlukan syarat numerus logaritma, yaitu:
Jadi, domain (Df) dari fungsi f (x) = log (3 – 4x) adalah:
CONTOH TAMBAHAN
B. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
EKSPONENSIAL
Fungsi eksponensial adalah salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(x) atau ex, di mana e adalah basis logaritma
natural yang kira-kira sama dengan 2.71828183.
Fungsi eksponensial (merah) terlihat hampir mendatar horizontal (naik secara sangat perlahan) untuk nilai x yang negatif, dan naik secara cepat untuk nilai x yang positif.
Sebagai fungsi variabel bilangan realx, grafik ex selalu positif (berada di atas sumbu x) dan nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak menyentuh sumbu x, namun mendekati sumbu tersebut secara asimptotik. Invers dari fungsi ini, logaritma natural, atau ln(x), didefinisikan untuk nilai x yang positif.
1.
SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONEN
Untuk menentukan penyelesaian persamaan eksponen, sebaiknya kalian mengingat kembali sifat-sifat fungsi yang telah dipelajari di Kelas X. Jika a, b ∈ R, a ≠ 0, m dan n bilangan rasional, maka sifat-sifat fungsi eksponen adalah sebagai berikut.
Contoh Soal
42x + 1 = 32x– 3 merupakan persamaan eksponen yang eksponennya memuat variabel x.
(y + 5)5y - 1 = (y + 5)5 – y merupakan persamaan eksponen yang eksponen dan bilangan pokoknya memuat variabel y.
16t + 2 . 4t + 1 = 0 merupakan persamaan eksponen yang eksponennya memuat variabelt.
BENTUK-BENTUK PERSAMAAN EKSPONENSIAL
Bentuk-bentuk persamaan eksponen yang akan kita bahas yaitu a. Bentuk persamaan a^f(x)=1
Misal terdapat persamaan a^f(x)=1 dengan a>0 dan a≠1, untuk menentukan himpunan penyelesaian bentuk persamaan tersebut gunakan sifat bahwa :
a^f(x) = 1 ⇔f(x)=0 b. Bentuk persamaan a^f(x) = a^p
Misalkan terdapat persamaan a^f(x) = a^p, dengan a>0 dan a≠1. Himpunan penyelesaian bentuk persamaan eksponen diatas ditentukan dengan cara menyamakan pangkat ruas kiri dengan ruas
a^f(x)= a^p ⇔ f(x) = p c. Bentuk persamaan a^f(x) = a^g(x)
Misalkan terdapat persamaan a^f(x) = a^g(x) dengan a>0 dan a≠1. Himpunan penyelesaian
persamaan diatas dapat ditentukan dengan cara menyamakan persamaan pangkatnya. Jadi dapat kita katakan sebagai berikut :
a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x) d. Bentuk Persamaan a^f(x) = b^f(x)
Misalkan terdapat persamaan a^f(x) = b^f(x), dengan a≠b ;a,b >0 ; a,b ≠1. Himpunan penyelesaian persamaan eksponen tersebut dapat ditentukan dengan cara menyamakan f(x0 dengan nol. Jadi dapat disimpulkan sebagai berikut :
a^f(x) = b^f(x) ⇔ f(x) = 0 e. Bentuk persamaan a^f(x) = b^g(x)
Misalkan diberikan persamaan a^f(x) = b^g(x) dengan a≤b ; a,b >0 ; a,b ≠1, dan f(x) ≠ g(x). Himpunan penyelesaian untuk bentuk persamaan eksponen tersebut dengan melogaritmakan kedua ruas, yaitu :
log a^f(x) = log b^g(x) f. Bentuk Persamaan A{a^f(x)}² + B{a^f(x)}+ C = 0
Untuk menentukan penyelesaian persamaan eksponen yang berbentuk persamaan kuadrat dapat dikerjakan dengan cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna atau rumus abc.
g. Bntuk persamaan f(x)^g(x) =1 ; f(x)≠g(x)
Untuk menyelesaikan persamaan eksponen dengan bentuk tersebut, lakukanlah langkah-langkah berikut :
1). g(x)=0 karena ruas kanan nilainya 1 berarti g(x) harus sama dengan nol. 2). f(x)=1 karena jika f(x)=1 maka bilangan 1 dipangkatkan berapapun nilainya 1. 3). f(x)=-1, dengan syarat g(x) harus genap.
h. Bentuk persamaan f(x)^g(x) = f(x)^h(x)
Untuk nilai g(x) ≠ h(x). Himpunan penyelesaian bentuk eksponen tersebut diperoleh dari empat kemungkinan berikut :
2). f(x)=1 karena g9x) ≠ h(x) maka bilangan pokok harus bernilai 1 (satu) agar persamaan bernilai benar.
3). f(x)=-1, bewrakibat g(x) dan h(x) harus sama-sama bernilai genap atau sama-sama bernilai ganjil. 4). f(x)=0, dengan g(x) dan h(x) masing-masing bernilai positif dituliskan g(x)>0 atau h(x)>0.
i. Bnetuk persamaan g(x)^f(x) = h(x)^f(x) persamaan diatas akan bernilai benar jika a. f(x)=0 untuk g(x)≠0 dan h(x)≠0 ;
b. g(x)=h(x)
Ada beberapa bentuk persamaan eksponen ini, di antaranya:
a. af(x) = am
Jika af(x) = am, a > 1 dan a ≠ 1, maka f (x) = m
Contoh Soal
Tentukanlah penyelesaian 3 = 271 x Jawab:
Jadi, penyelesaian 25x + 3 = 5x1 adalah x = 7.
c. af(x) = bf(x), a ≠ b
Jika af(x) = bf(x), a > 0 , a ≠ 1, b > 0 , b ≠ 1 dan a ≠ b maka f (x) = 0
Contoh Soal
d. f(x) g(x) = f(x) h(x)
Jika f(x)g(x) = f(x) h(x), maka penyelesaiannya adalah sebagai berikut. g(x) = h(x)
f(x) = 1
f(x) = 0, asalkan g(x) dan h(x) keduanya positif
f(x) = 1, asalkan g(x) dan h(x) keduanya genap atau keduanya ganjil e.A(af(x))2 + B . af(x) + C = 0, a > 0, a 1, A, B, C ∈ R, A ≠ 0
Terlebih dahulu, misalkan y = af(x). Dari pemisalan ini, diperoleh Ay2 + By + C = 0. Nilai y yang kalian peroleh, substitusi kembali pada pemisalan y = a f(x) sehingga kalian memperoleh nilai x.
PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN
Pembahasan kali ini tentang Pertidaksamaan Eksponen. Sebelumnya, kalian telah mengetahui sifat-sifat fungsi eksponen, yaitu sebagai berikut.
Untuk a>1, fungsi f(x) = ax merupakan fungsi naik. Artinya, untuk setiap x1, x2 ∈ R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika f(x1) < f(x2).
Untuk 0 < a < 1, fungsi f(x) = ax merupakan fungsi turun. Artinya, untuk setiap x1, x2 ∈ R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika f(x1) > f(x2).
Contoh Soal
Fungsi Logaritma adalah Fungsi yang berbentuk log f(x). [1] Bentuk perpangkatan dalam bentuk
logaritma, secara umum adalah sebagai berikut : Jika ab = c dengan a > 0 dan a ≠ 1 maka alog c = b dalam hal ini a disebut basis atau pokok logaritma dan c merupakan bilangan yang
dilogaritmakan.[2] Jika fungsi eksponen menyatakan fungsinya sebagai y=ax, maka fungsi logaritma
mempunyai bentuk ylog a=x. [2] Fungsi Logaritma adalah fungsi yang peubah bebasnya berupa
bentuk logaritma. [2] Fungsi Logaritma adalah invers dari fungsi eksponen
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
Persamaan logaritma adalah persamaan yang di dalamnya mengandung bentuk logaritma dengan numerus berupa fungsi dalam peubah x. Untuk menyelesaikan sebuah persamaan logaritma, jadikan terlebih dahulu bilangan pokok logaritma di ruas kiri sama dengan bilangan pokok logaritma di sebelah kanan kemudian membentuk persamaan baru dari numerusnya. Bisa juga dengan mengubahnya ke bentuk persamaan eksponen dengan menggunakan definisi logaritma, kemudian selesaikan dengan menggunakan konsep persamaan eksponen. Simak beberapa bentuk persamaan logaritma dan bagaimana menentukan penyelesaiannya
.
PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
Penyelesaian pertidaksamaan logaritma mirip dengan penyelesaian persamaan logaritma. Pada pertidaksamaan logaritma, tanda untuk menyelesaikan pertidaksamaan tergantung bilangan pokoknya. Jika bilangan pokoknya lebih besar dari 1 maka tanda penyelesaian tidak berubah dari tanda asalnya, sendangkan bila bilangan pokok pertidaksamaan diantara 0 dan 1 maka tanda penyelesaian berbeda dari tanda asalnya. Secara sederhana, disajikan sebagai berikut.
Untuk materi Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma secara umum bisa kita rangkum sebagai berikut :
Bentuk-bentuk persamaan logaritma
Jika alog f(x) = alog m, f(x) > 0, maka f(x) = m Jika alog f(x) = blog f(x), a ≠ b, maka f(x) = 1
Jika alog f(x) = alog g(x), g(x) > 0, dan g(x) > 0, maka f(x) = g(x) Jika f(x)log g(x) = f(x)log h(x), f(x) > 0, g(x) > 0, h(x) = 0, dan f(x) = 1 Sifat-sifat fungsi logaritma
Para mahasiswa yang mengikuti percobaan psikologi, menghadiri beberapa perkuliahan pada satu
mata kuliah tertentu dan melakukan tes. Setiap bulan dalam satu tahun, setelah dilakukan tes, para
mahasiswa tersebut melakukan tes kembali untuk melihat seberapa banyakkah materi yang mereka
ingat. Skor rata-rata dari mahasiswa tersebut dapat dirumuskan oleh model daya ingat manusiaf(t) =
1. Berapakah skor rata-rata pada tes awal (t = 0)? 2. Berapakah skor rata-rata pada akhir t = 2 bulan? 3. Berapakah skor rata-rata pada akhir t = 6 bulan? Pembahasan
1. Skor rata-rata pada tes awal adalah
2.
Setelah 2 bulan, skor rata-rata tes ulang yang dilakukan adalah3.
Setelah 6 bulan, skor rata-ratanya adalahGrafik dari model daya ingat manusia pada permasalahan ini dapat ditunjukkan oleh Gambar 12berikut.
