8. FUNGSI
TRANSENDEN
8.1 Invers Fungsi
Misalkan denganf : Df → Rf
) ( x f y
x ! =
v
u ≠
f (u) ≠ f (v)Definisi 8.1 Fungsi y = f(x) disebut satu-satu jika f(u) = f(v) maka u = v atau jika maka
x y =
x y = −
x2
y =
u v
Secara geometri grafik fungsi satu-satu dan garis yang sejajar dengan sumbu x berpotongan di satu titik.
Teorema : Jika fungsi f satu-satu maka f mempunyai invers notasi f −1
f
f
D
R
f
−1: →
( ) y
f x
y ! =
−1Berlaku hubungan
x x
f
f
−1( ( )) =
y y
f
f (
−1( )) =
f f
f
R
fR D
D
−1= ,
−1=
Df Rf
f
x y=f(x)
R R
−1
) f
1(y f
x = −
Teorema : jika f monoton murni(selalu naik/selalu turun) maka f mempunyai invers
x x
f ( ) =
x x
f ( ) = −
) 2
(x x
f =
u v
f(x)=x
R x
x
f '( ) =1> 0,∀ ∈ f selalu naik
f(x)=-x
R x
x
f '( ) = −1< 0,∀ ∈ f selalu turun
⎩⎨
⎧
<
<
>
= >
= 0, 0
0 ,
2 0 ) (
' x
x x x
f
f naik untuk x>0 turun untuk x <0
−1
f
−1
f
−1
f ada ada tidak ada
Contoh : Diketahui f x x ( ) = x −
+ 1
a. Periksa apakah f mempunyai invers 2 b. Jika ada, tentukan inversnya
Jawab
a. ( 2)2
) 1 .(
1 ) 2 .(
) 1 (
' +
−
−
= +
x
x x x
f x Df
x > ∀ ∈
= + 0,
) 2 (
3
2
Karena f selalu naik(monoton murni) maka f mempunyai invers b. Misal
2 1 +
= − x y x
1 2 = − + y x
xy 1
1 1 2
2 −
−
= −
⇒
−
−
=
− y
x y y
x y
x
1 1 ) 2
1 ( 1 ) 2
(
11
−
−
= −
− ⇒
−
= −
−−
x x x
y f y y
f
Suatu fungsi yang tidak mempunyai invers pada daerah asalnya dapat dibuat mempunyai invers dengan cara membatasi daerah asalnya.
) 2
(x x
f =
u v
−1
f tidak ada
R x ∈
Untuk
) 2
(x x
f =
Untuk x>0 ada f −1
) 2
(x x
f =
Grafik fungsi invers
Titik (x,y) terletak
pada grafik f Titik (y,x) terletak pada grafik f −1
Titik (x,y) dan (y,x) simetri terhadap garis y=x Grafik f dan semetri terhadap garis y=x f −1 f
−1
f
Turunan fungsi invers
Teorema Misalkan fungsi f monoton murni dan mempunyai turunan
pada selang I. Jika maka dapat diturunkan di y=f(x) dan
f ' ( x ) ≠ 0 , x ∈ I
f −1) ( ' ) 1
( )'
(
1x y f
f
−=
Bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai
dx dy
dy dx
/
= 1
Contoh Diketahui tentukan f (x) = x5 + 2x +1 ( f −1)'(4)
2 5
) (
' x = x
4+
f
,y=4 jika hanya jika x=11 1
Jawab :
Soal Latihan
f x x
x x
( ) = + 1 , >
0 f x( ) = 3 2x −1
f x( ) = 5 4x + 2
f x( ) = x , x
+ ≥
5
1 0
2
f x x ( ) = x +
− 1 1 3 ) 2
( −
= x x
f
Tentukan fungsi invers ( bila ada ) dari 1.
2.
3.
4.
5.
6.
8.2 Fungsi Logaritma Asli
n Fungsi Logaritma asli ( ln ) didefinisikan sebagai :
n Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh :
n Secara umum, jika u = u(x) maka
ln x ,
t dt x
x
= ∫ 1 > 0
1
[ ]
dt x D t
x D
x x x
1 ln 1
1
⎟ =
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
= ⎛ ∫
[ u ] D dt du
D
x
u
1 1
ln
) (
⎟ =
⎜ ⎞
= ⎛ ∫
.
Contoh : Diberikan
maka
Jika
Jadi,
Dari sini diperoleh :
Sifat-sifat Ln :
1. ln 1 = 02. ln(ab) = ln a + ln b 3. ln(a/b)=ln(a) – ln(b)
)) 2 4
ln(sin(
)
( x = x +
f
)) 2 4
(sin(
) 2 4
sin(
) 1 (
' +
= + D x
x x
f
x= 4 cot( 4 x + 2 )
0 ,|
|
ln ≠
= x x y
⎩⎨
⎧
<
−
= >
0 ,
) ln(
0 ,
ln
x x
x
x y x y 1x
'
ln → =
=
x y x
x
y 1 1
' )
ln( =
−
= −
→
−
=
. 0 1 ,
|)
|
(ln = x ≠
x x dx
d
∫ x 1 dx = ln | x | + C
a r
a
rln ln
.
4 =
x dx
∫ x +
4
0
3 2
2
dx x
du x
u =
3+ 2 → = 3
2Contoh: Hitung jawab
Misal
2 2
3 2
3
2 x
du u
dx x x
∫ x + = ∫ = 3 1 ∫ u 1 du = 1 3 ln | u | + c
c x + +
= ln | 2 | 3
1
3] 0 4
| 2
| 3 ln 1 2
3 4
0 3
2
+ + =
∫ x x dx x = 3 1 (ln 66 − ln 2 ) = 1 3 ln 33 .
sehingga
Grafik fungsi logaritma asli
0 ,
ln )
(
1
>
=
= x ∫ dt t x
x f
x
D
fx x x
f = 1 > 0 ∀ ∈ )
( '
f selalu monoton naik pada Df
D
fx x x
f = − 1 < 0 ∀ ∈ )
(
''
2Diketahui a.
b.
c.
Grafik selalu cekung kebawah d. f(1) = 0
1
f(x)=lnx
8.3 Fungsi Eksponen Asli
n
Karena maka fungsi logaritma asli monoton murni, sehingga mempunyai invers. Invers dari fungsi
logaritma asli disebut fungsi eksponen asli, notasi exp. Jadi berlaku hubungan
n
Dari sini didapat : y = exp(ln y) dan x =ln(exp(x))
n
Definisi 8.2 Bilangan e adalah bilangan Real positif yang bersifat ln e = 1.
Dari sifat (iv) fungsi logaritma diperoleh
[ ] ln = 1 > 0 untuk x > 0 ,
x x D
xy x
x
y = exp( ) ⇔ = ln
r e
r e
e
r= exp(ln
r) = exp ln = exp exp ( x ) = e
xe
xdy y dx
dx
dy = = =
/ 1
x x
x
e e
D ( ) = ,
Jadi
y x
e
y =
x⇔ = ln
Turunan dan integral fungsi eksponen asli Dengan menggunakan turunan fungsi invers Dari hubungan
y dy
dx 1
=
' . )
( e
( )e u
D
x u x=
uSecara umum Sehingga
∫ e
xdx = e
x+ C
1
y=ln x y=exp (x)
Grafik fungsi eksponen asli
Karena fungsi ekponen asli merupakan invers dari fungsi logaritma asli maka grafik fungsi eksponen asli diperoleh dengan cara mencerminkan grafik fungsi logaritma asli terhadap garis y=x
1
Contoh
) ln 3
( .
)
( e
3 lne
3 lnD x x
D
x x=
x x= e
3xlnx( 3 ln x + 3 ).
3 . 1 3
1 3
1
3/2 / 3
c e
c e
du e x dx
e
x u u x+
−
= +
−
=
−
= ∫
∫
Contoh Hitung
x dx e
x∫
2/ 3
Jawab :
du x dx
x dx x du
u 3
1 1
3 3
2
2 → = −
= −
→ Misalkan =
Sehingga
)
))
(( ( )
( x g x
h xf =
Penggunaan fungsi logaritma dan eksponen asli
Menghitung turunan fungsi berpangkat fungsi Diketahui
)) (
ln(
) ( ))
(
ln( f x = h x g x
))) (
ln(
) ( ( )))
(
(ln( f x D h x g x
D
x=
x) ( ) '
( ) )) (
( ln(
) ( ) '
( ) (
' g x
x g
x x h
g x
x h f
x
f = +
) ( )
( ) ' (
) )) (
( ln(
) ( ' )
(
' g x f x
x g
x x h
g x
h x
f ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
=
? ) ( '
, f x =
Contoh
Tentukan turunan fungsi
f ( x ) = (sin x )
4x)) ln(sin(
4 )
ln(sin )
(
ln f x = x
4x= x x
Jawab
))) ln(sin(
4 ( ))
(
(ln f x D x x
D
x=
xx x
x x x
x x x
f x
f cos 4 ln(sin( )) 4 cot
sin )) 4
ln(sin(
) 4 (
) (
' = + = +
x
xx x
x x
f ' ( ) = ( 4 ln(sin( )) + 4 cot )(sin )
4Ubah bentuk fungsi pangkat fungsi menjadi perkalian fungsi dengan menggunakan fungsi logaritma asli
Turunkan kedua ruas
B. Selesaikan integral tak tentu berikut 4
2x 1 dx
∫
+ 4 22 5 x
x +x dx
∫
+ +( )
2
x x 2 dx
∫
ln∫
ln x3x dx2
∫
tan(lnx x) dxx
x dx
3 2 +1
∫
(x+ )ex + xdx
∫
32 6
( )
e−x − e−x dx
∫
sec2 2(cos ) x e
sin xdx
∫
e 2 ln x dx
∫
∫
x2e2x3dx∫ e e
x+ dx
x
3
2
∫ − e e
xdx
x
2 3 3
) 2
1 (
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
C. Selesaikan integral tentu berikut 3
11 2
4
∫
− x dx( )
1 1 1
4
x x dx
∫ +
e
e dx
x x +
−
∫ 3 4
3 ln ln
( )
ex 3 4ex dx 0
5
∫ − ln
e2x 3dx
0
1 +
∫
dx e x
∫
−2 ln
0 3
e
x x dx
3
1 2 2
∫
∫
−2
0
4 2
dx xe
x∫
2
)
2(ln
e
e
x x
dx
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
x
x
x
−→
1 1
lim
1( )
xx
x
10
1 sin 2 lim +
→
lim cos x
x
→∞ x
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
2 2
(
x)
xx
e
2 ln10
1
lim
+−
→
( )
xx
1 x
2 ln1lim +
∞
→
( )
xx
ln x
1lim
→∞(
x x)
xx
1
5 3
lim +
∞
→
x
lim
x
x→∞
x
+ +
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
1 2
D. Hitung limit berikut :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
8.5 Fungsi Eksponen Umum
Fungsi , a > 0 disebut fungsi eksponen umum
Untuk a > 0 dan x ∈ R, definisikan Turunan dan integral
Jika u = u(x), maka
Dari sini diperoleh : :
a
xx f ( ) =
a
x= e
x ln aa a
a e
e D a
D
x(
x) =
x(
xlna) =
xlnaln =
xln a u
a u
a e
e D a
D
x(
u) =
x(
ulna) =
ulnaln . ' =
u' ln
∫ a
xdx = ln 1 a a
x+ C
Sifat–sifat fungsi eksponen umum
Untuk a > 0, b > 0, x, y bilangan riil berlaku
y x y
x
a a
a =
+y x y
x
a a
a
−=
xy y
x
a
a ) = (
x x x
b a b
a ⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
1.
2.
3.
4.
( ab )
x= a
xb
x5.
∫ 4
x2. xdx
C
du u C x
u = + = +
∫
4 2 21 ln4 4 24ln42
x
x
xf ( ) = 3
2 +1+ 2
sin22 ln 2
cos 2
. 2 3
ln 3
. 2 )
(
' x
2 1 sin2x
f =
x++
xContoh
1. Hitung turunan pertama dari
Jawab :
2. Hitung
Jawab :
du dx
xdx du
x
u =
2→ = 2 → =
21xMisal
∫
4x2.xdx =Grafik fungsi eksponen umum
0 ,
)
( x = a a >
f
x) , ( −∞ ∞ Df =
a.
b.
f ' ( x ) = a
xln a
⎩⎨
⎧
>
>
<
<
= <
1 ,
0 ln
1 0
, 0 ln
a a
a
a a
a
x x
f monoton naik jika a > 1
monoton turun jika 0 < a < 1
f
x
a x D
a x
f '' ( ) = (ln )
2> 0 ∀ ∈
c.
Grafik f selalu cekung keatas d. f(0) = 1
Diketahui
1 ,
)
(x = a a >
f x
1 0
, )
(x = a <a <
f x
8.6 Fungsi Logaritma Umum
Karena fungsi eksponen umum monoton murni maka ada Inversnya. Invers dari fungsi eksponen umum disebut fungsi Logaritma Umum
( logaritma dengan bilangan pokok a ), notasi , sehingga berlaku :
Dari hubungan ini, didapat
Sehingga
Jika u=u(x), maka
a
log x
a
yx =
⇔
x y =
alog
a x x
a y x
a y
a
x
y aln log ln
ln ln ln
ln
ln = = ⇒ = ⇒ =
a x
a D x
x
Dx a x
ln ) 1
ln (ln )
log
( = =
a u
u a
D u u
Dx a x
ln ) '
ln (ln )
log
( = =
Contoh Tentukan turunan pertama dari
) 1 log(
)
( x =
3x
2+ f
1 ) log( 1
)
(
4−
= +
x x x
f
1.
2.
Jawab :
1. ln3
) 1 ) ln(
1 log(
) (
2 2
3 +
= +
= x
x x
f
ln 3
1 1 ) 2
(
'
2= + x x x
f
2.
ln 4
) ) ln(
1 log( 1
)
(
14 −1
+
− =
= +
xx
x x x
f ( ) 1 )
( 1 1
4 ln ) 1
( '
11
−
= +
−
+
x
Dx x x
f
xx
)2
1 (
) 1 (
1 1
1 4
ln 1
− +
−
− +
= −
x x x
x x
2
1 −
Grafik fungsi logaritma umum
Untuk a > 1
a
xx f ( ) =
Untuk 0 < a < 1
ax
x f ( ) =
Grafik fungsi logaritma umum diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi eksponen umum terhadap garis y=x
x x
f ( )=alog
x x
f( )=alog
y = 3
2x4−4x( 9 )
log
210
+
= x
y
x 2 x
2dx
∫
10
5 1x−dx
∫
Soal Latihan
A. Tentukan dari
y '
1.
2.
2 )
3
log(
= + y xy
3.
x
B. Hitung 1.
2.
8.7 Fungsi Invers Trigonometri
Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi, fungsi trigonometri bisa dibuat menjadi satu- satu sehingga mempunyai invers.
a. Invers fungsi sinus
Diketahui f(x) = sinx , −2π
≤ x ≤
π2Karena pada f(x)=sinx monoton murni maka inversnya ada.
Invers dari fungsi sinus disebut arcus sinus, notasi arcsin(x),atau sin−1(x)
2 2π
≤ ≤
π−
x
Sehingga berlaku
y x
x
y = sin
−1⇔ = sin
2π
−
π2
Turunan
Dari hubungan y =sin−1 x⇔ x =siny
y dy
dx dx
dy
cos 1 /
1 =
=
2
, 2
1
1≤ ≤ π ≤ ≤ π
− x − y
dan rumus turunan fungsi invers diperoleh
1
| 1 |,
1 sin
1 1
2
2 <
−
=
−
= x
x y
2 1
1 ) 1
(sin x x
Dx
= −
atau −
Jika u=u(x)
2 1
1 ) '
(sin u
u u Dx
−
− =
Dari rumus turunan diperoleh
∫
dx 2 = sin−1 x +Cb. Invers fungsi cosinus
Fungsi f(x) = cosx ,0 ≤ x ≤π
π
x x
f( ) = cos
monoton murni(selalu monoton turun), sehingga mempunyai invers
Definisi : Invers fungsi cosx disebut arcuscosx, notasi arc cosx atau cos−1(x)
Berlaku hubungan
y x
x
y = cos
−1⇔ = cos
Turunan Dari
y = cos
−1x ⇔ x = cos y
dy 1 − 1
=
=
π
≤
≤
≤
≤
− 1 x 1 , 0 y ,
1
| 1 |,
1 − <
− =
= x
diperoleh
atau
2 1
1 ) 1
(cos x x
Dx
−
= −
−
2 1
1 ) '
(cos u
u u Dx
−
= −
Jika u= u(x) −
Dari rumus turunan diatas diperoleh
∫
1dx− x2 =−cos−1 x+CContoh
−
( )) = (sin
1x
2D
x ( )) ( 1
1 2
2
2 D x
x x
− 1 4
2 x x
−
=
−
(tan )) = (cos
1x
D
x (tan )) (tan 1
1
2 D x
x x
−
−
x x
2 2
tan 1
sec
−
= −
Contoh Hitung
∫ 4 − 1 x
2dx
Jawab :
Gunakan rumus
∫
1−1u2 du = sin−1(u)+C∫
−
= dx
x ) 1 4
( 4
1
∫
41− x2 dx 2∫
−
= dx
x 2 2) ( 1 (
1 2
1
Misal
x du dx dx du
u 2
2
21
→ =
=
→
=
∫
41− x2 dx = 12∫
(12−u2 du = sin−1 u +C= sin
−1(
2x) + C
c. Invers fungsi tangen
Fungsi f(x) = tanx,
2 2π
≤ ≤
π−
x
2π
− π2
f(x)=tanx
Monoton murni (selalu naik) sehingga mempunyai invers.
Definisi Invers dari tan x disebut fungsi arcus tanx, notasi arc tanx atau
tan
−1( x )
Berlaku hubungan
y x
x
y = tan
−1⇔ = tan
y x
x
y = tan
−1⇔ = tan
dy 1 1
=
=
Turunan Dari
2
,
−2π< y <
πdan turunan fungsi invers diperoleh
1
1 =
=
2 1
1 ) 1
(tan x x
Dx
= +
−
2 1
1 ) '
(tan u
u u Dx
= +
−
∫
1+dxx2 = tan−1 x + Catau
Jika u=u(x)
d. Invers fungsi cotangen
Fungsi f(x)= cot x
, 0 < x < π
π
f(x)=cotx
selalu monoton turun(monoton murni) sehingga mempunyai invers
Definisi Invers dari fungsi cot x disebut Arcus cotx, notasi arc cotx atau cot−1 x
Berlaku hubungan
y x
x
y = cot
−1⇔ = cot
Turunan
y dy
dx dx
dy
csc
21 /
1 = −
=
2 21 1 cot
1
1
x
y +
= − +
= −
atau 2 1
1 ) 1
(cot x x
Dx
+
= −
−
∫
4 +dxx2∫ 1 + dx x
2= − cot
−1x + C
2 1
1 ) '
(cot u
u u Dx
+
= − Jika u=u(x) −
Contoh
) 1 (
(tan
−1x
2+
D
x ( 1)) 1 (
1
1 2
2
2 +
+
= + Dx x
x
1 (
21 )
22 +
= +
x x
) (sin (cot
1x
D
x − (sin )) (sin 1
1
2 Dx x
+ x
= −
x x sin2
1
cos +
= −
Contoh Hitung a.
b.
∫
dx∫ ∫
+
+ = dx
dx x
x )
1 4 ( 4
1 4
1
2 2
Jawab
a.
∫
+
= dx
x 2 2) ( 1
1 4
1
du dx
dx x du
u 2
2
21
→ =
=
→
=
∫ 4 + 1 x
2dx = 4 1 ∫ 1 + 2 u
2du = 1 2 tan
−1u + C
x C +
=
−)
( 2 2 tan
1
1Gunakan rumus
∫
1+1u2 du = tan−1(u)+Cb.
Gunakan rumus
∫
1+1u2 du = tan−1(u)+C∫
∫
x2 +dx2x + 4 = (x +11)2 + 3 dx∫
++
= dx
x )
3 ) 1 1 (
( 3
1
2
∫
⎟⎟ ⎠
⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ +
+
= dx
x
23 ) 1 1 (
1 3
1
du dx
dx x du
u 3
3 1 3
1 → = → =
= + Misal
∫
∫ x
2+ dx 2 x + 4 = 3 1 1 + 3 u
2du = 1 3 tan
−1u + C
x C
⎟⎟ +
⎞
⎜⎜
⎛ +
= − 1
1 tan 1
e. Invers fungsi secan
Diberikan f(x) = sec x
, 2
0
, ≤ x ≤
π
x ≠ π,
20 , 0 tan
sec )
(
' x = x x > ≤ x ≤ π x ≠
πf
f(x) = sec x monoton murni Ada inversnya
Definisi Invers dari fungsi sec x disebut arcus secx, notasi arc secx atau sec−1 x
Sehingga
y x
x
y = sec
−1⇔ = sec
Turunan
Dari
y = sec
−1x ⇔ x = sec y
y 1 x
cos = y = cos
−1( )
1x( )
xx
1 11
cos
sec
−=
−Sehingga
( )
x xx
x D
D (sec
−1) = (cos
−1 1 21 2
1 )
( 1
1
x
x
−
−
= −
1
|
|
2
2
−
= x x x
1
|
|
1
2 −
= x x
Jika u = u(x)
1
|
| ) '
(sec 2
1
−
− =
u u u u
Dx
∫ x x 1
21 dx = sec
−1| x | + c
e. Invers fungsi cosecan
Diberikan f(x) = csc x , −2π ≤ x ≤ π2 ,x ≠ 0
0 ,
, 0 cot
csc )
(
' x = − x x <
−2≤ x ≤
2x ≠
f
π πf(x) = sec x monoton murni Ada inversnya
Definisi Invers dari fungsi csc x disebut arcus csc x, notasi arc cscx atau csc−1 x
Sehingga
y x
x
y = csc
−1⇔ = csc
Turunan
Dari
y = csc
−1x ⇔ x = csc y
y 1 x
sin = y = sin
−1( )
1x( )
xx
1 11
sin
csc
−=
−Sehingga
( )
x xx
x D
D (csc
−1) = (sin
−1 1 21 2
1 )
( 1
1
x
x
−
= −
1
|
|
2
2
−
= −
x x
x
1
|
|
1
2 −
= −
x x
Jika u = u(x)
1
|
| ) '
(sec 2
1
−
= −
−
u u u u
Dx
∫ x x 1
21 dx = − csc
−1| x | + c
Contoh
A. Hitung turunan pertama dari
) ( sec )
( x
1x
2f =
−1 ) 2
1 ( )
(
|
| ) 1 (
'
2 42 2
2
2
= −
−
= x x
x x x Dx
x x
f
12
4 −
= x x a.
b.
Jawab a.
) (tan sec
)
( x
1x
f =
−1 x tan
| x tan
|
x ) sec
x (tan 1 Dx
) x (tan
| x tan
| ) 1 x ('
f
22
2
−
=
−
b.
=
B. Hitung
∫
x x12 − 4 dx∫
∫
−
=
−
x dx x
x dx
x 1)
( 4 4
1 4
1
2
2
∫
⎟ −
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
= dx
x x 1
2 1 2
1
2
Jawab
Misal
x du dx dx du
u 2
2
21
→ =
=
→
=
∫ ∫
∫
x x12 − 4 dx = 21 2u u12 −1 2du = 21 u u12 −1 dux 1
1
Soal Latihan
2 1
) (sin x y =
−) ( tan
1e
xy =
−x x
y = tan
−1ln
e
tt
f ( ) =
sec−1) 3 ( cot
12
x
x
y =
−) 1
(
tan
1x x
2y =
−− +
A. Tentukan turunan pertama fungsi berikut, sederhanakan jika mungkin 1.
2.
3.
4.
5.
6.
B. Hitung
∫ 9 x
2dx + 16
∫
4x xdx2 −16∫ 2 dx − 5 x
2∫ −
2 − / 1
0 2
1
1
sin dx x
x
∫ e e
x+ dx
x 2
1
∫ e − e
xdx
x 4 2
1
∫
x[4+dx(ln x)2]1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.8 Fungsi Hiperbolik
Definisi
a. Fungsi kosinus hiperbolik :
cosh 2 )
(
x
x e
x e x
f + −
=
= b. Fungsi sinus hiperbolik :
sinh 2 )
(
x
x
e
x e x
f −
−=
=
c. Fungsi tangen hiperbolik : x x
x x
e e
e e
x x x
x
f −−
+
= −
=
= cosh
tanh sinh )
(
x x
x x
e e
e e
x x x
x
f −−
−
= +
=
= sinh
coth cosh )
(
x
x e
e x x
h x
f −
= −
=
= 2
cosh sec 1
) (
x
x e
e x x
h x
f −
= +
=
= 2
sinh csc 1
) (
d. Fungsi cotangen hiperbolik : e. Fungsi secan hiperbolik : f. Fungsi cosecan hiperbolik :
1 sinh
cosh
2x −
2x = x
h
x
22
sec
tanh
1 − =
x h
x
22
1 csc
coth − =
Persamaan identitas pada fungsi hiperbolik
e
xx x + sinh = cosh
1.
2.
cosh x − sinh x = e
−x 3.4.
5.
Turunan
e x e
e D e
x D
x x
x x
x
x cosh
2 ) 2
(sinh + =
⎟⎟ =
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
=
−
−
e x e
e D e
x D
x x
x x
x
x sinh
2 ) 2
(cosh − =
⎟⎟ =
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
=
−
−
∫ sinh x dx = cosh x + C
∫ cosh x dx = sinh x + C
cosh ) (sinh )
(tanh
x D x
x
Dx = x h x
x x
x
x 2
2 2
2 2
cosh sec 1 cosh
sinh
cosh − = =
= sinh )
(cosh )
(coth
x D x
x
Dx = x
x
x x
x
x x
2
2 2
2
2 2
sinh
) sinh (cosh
sinh
cosh
sinh − −
− =
=
x x h
2
2 csc
sinh
1 = −
= − cosh )
( 1 )
(sechx D x
Dx = x hx x
x
x sec tanh cosh
sinh
2 = −
= −
sinh ) ( 1 )
(cschx D x
Dx = x hx x
x
x csc coth sinh
cosh
2 = −
= −