KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana. Bagian 3. Fungsi & Model ALZ DANNY WOWOR

(1)

Fungsi & Model

KALKULUS (IT 131)

Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana

(2)

(3)

Sebelum membahas fungsi, akan ditunjukkan pengertian dari

relasi yang kemudian mempunyai hubungan dengan fungsi.

(4)

(5)

Pengertian Relasi

Secara umum relasi berarti hubungan

Matematika: Relasi antara dua himpunan (himpunan A dan

himpunan B) adalah suatu aturan yang memangsangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota pada himpunan B.

(6)

Menyatakan Relasi

Terdapat tiga cara untuk menyatakan relasi antara dua himpunan,

yaitu dengan menggunakan

diagram panah

himpuanan pasangan berurutan diagram Cartesius

(7)

Contoh 1

Diberikan tabel untuk nama kota dan propinsinya, sebagai berikut:

No Kota Propinsi 1 Semarang Jateng 2 Makasar Sulsel 3 Kupang NTT 4 Sala7ga Jateng 5 Jailolo Malut

(8)

1. Diagram Panah

Dinamakan relasi diagram panah karena dihubungkan/ dinyatakan dengan arah panah.

(9)

Relasi dari Contoh 1, diperoleh:

Kupang Makasar Semarang Saltiga Jailolo Malut Sulsel Jateng NTT

(10)

2. Himpunan Pasangan Berurutan

Menyatakan relasi antara dua himpunan dengan memasangkan domain dengan range.

Misalnya himpunan A dan B yang dinyatakan sebagai pasangan berurutan (x, y) dengan x ∈ A dan y ∈ B

(11)

Dari Tabel pada Contoh 1, diperoleh pasangan berurutan:

{(Semarang, Jateng), (Makasar, Sulsel), (Kupang, NTT), (Salatiga, Jateng), (Jailolo, Malut)}

(12)

3. Diagram Cartesius

Relasi yang menempatkan sebuah himpunan pada sumbu mendatar dan himpunan yang lain pada sumbu tegak, atau sebaliknya.

Setiap anggota suatu himpunan yang berpasangan dengan anggota himpunan yang lain, diberi tanda (

•

).

(13)

Dari Tabel pada Contoh 1, digambarkan dalam diagram Cartesius

Semarang Makasar Kupang Sala7ga Jailolo Jateng

Sulsel NTT Malut

(14)

(15)

1. Pengertian Fungsi

Fungsi (pemetaan) f adalah relasi khusus yang memasangkan

setiap elemen x dalam himpunan D secara tepat ke satu anggota f(x) di himpunan E.

(16)

Contoh 2

Dari diagram panah berikut, manakah yang merupakan fungsi?

p ⦁ q ⦁ r ⦁ ⦁ ₁ ⦁ ₂ A B p ⦁ q ⦁ r ⦁ ⦁ ₁ ⦁ ₂ A B p ⦁ q ⦁ r ⦁ ⦁ ₁ ⦁ ₂ A B i ii iii

(17)

Penyelesaian

(contoh 2)

Diagram panah (i) merupakan fungsi karena setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.

(i) p ⦁ q ⦁ r ⦁ ⦁ ₁ ⦁ ₂ A B

(18)

Diagram (ii) bukan merupakan fungsi karena ada anggota A, yaitu p, mempunyai dua pasangan anggota B, yaitu 1 dan 2.

(ii) p ⦁ q ⦁ r ⦁ ⦁ ₁ ⦁ ₂ A B

Penyelesaian

(contoh 2)

(19)

Diagram panah (iii) bukan merupakan fungsi kerana ada anggota A, yaitu p, tidak mempunyai pasangan anggota B.

(iii) p ⦁ q ⦁ r ⦁ ⦁ ₁ ⦁ ₂ A B

Penyelesaian

(contoh 2)

(20)

2. Domain, Kodomain, & Range

Ketiga istilah ini sering dijumpai dalam fungsi.

Domain merupakan daerah asal, Kodomain adalah daerah kawan, Range merupakan daerah hasil.

(21)

Contoh 3

a ⦁ b ⦁ c ⦁ ⦁ 1 ⦁ 2 ⦁ 3 P Q

Diberikan fungsi berikut

Maka diperoleh :

Domain (Df) adalah P = {a, b, c}

Kodomain (Kf) adalah Q = {1, 2, 3}

(22)

Diagram mesin untuk fungsi

Akan mudah membayangkan sebuah fungsi sebagai sebuah mesin.

Jika x adalah daerah asal fungsi f, maka pada waktu x memasuki mesin, dia diterima sebagai masukan (input) dan mesin

(23)

3. Sejarah Fungsi

I

stilah fungsi pertama kali digunakan G. W. Leibniz pada tahun 1673, yang digunakan untuk menujukan suatu besaran tergantung pada kuantitas yang lain.

Misalnya luas daerah A adalah lingkaran dengan jari-jari r, sehingga A = ᴨr2_{maka A}

adalah fungsi dari r.

(24)

Setelah itu matematikawan berasal dari Swis, Leonhard Euler menotasikan f

sebagai fungsi.

Yang di tulis y = f(x) (dibaca: y sama dengan f dari x atau y sama dengan “f x”)

Kadang fungsi juga dinotasikan w = f(t), g (x), v(r), dll.

(25)

4. Grafik Fungsi

Dari Gambar di samping, diperoleh

Himpunan P = 1, dan Q = 1 sehingga (1,1). Himpunan P = 2, berpasangan dengan Q = 4 sehingga (2,4). Himpunan P = 3, dan Q = 9 sehingga (3,9). P 1 4 9 Q

(26)

Dimana untuk setiap x anggota P dipetakan ke x2_{anggota pada himpunan Q.}

Dari Gambar, menunjukkan aturan yang memetakan anggota pada himpunan P tepat satu anggota ke himpunan Q.

1 2 3 P 1 4 9 Q

(27)

Untuk memudahkan cara menulis atau membaca, suatu pemetaan dapat dituliskan dalam tabel. Seperti pada fungsi y = f (x) = x2

x -‐2 -‐1 0 1 2 3

f (x) = x2 4 1 0 1 4 9

(28)

Sehingga dapat dibuat grafik fungsi y = x2 x 1 4 9 f(x)

(29)

Contoh 4

Gambarlah grafik fungsi dari f(x) = |x| Solusi:

y = f(x) = |x|, berdasarkan defenisi nilai mutlak maka

{

y =

x, x ≥ 0 – x, x < 0

(30)

Atau dapat juga diselesaikan menggunakan tabel x -3 -2 -1 0 1 2 3 f (x) = | x | 3 2 1 0 1 2 3 (x, y) (-3,3) (-2, 2) (-1, 1) (0, 0) (1, 1) (2, 2) (3, 3) 1 2 3 f(x) Grafik f(x) = |x|

(31)

Domain & Range pada Grafik Fungsi

Grafik fungsi f(x) digambarkan dengan daerah asal (domain) pada sumbu-x dan daerah hasil (range) pada sumbu-y

(32)

Contoh 5

Grafik fungsi dari f, ditunjukkan pada gambar di bawah ini. a). Carilah nilai f(1) dan f(5)

(33)

Penyelesaian

Contoh 5

Dari grafik fungsi dari f, diperoleh bahwa a) nilai f(1) = 3, dan f(5) = − 0.7

b) f(x) terdefenisi jika 0 ≤ x ≤ 7 sehingga domain f pada [0, 7], dan hasil dari f adalah semua nilai dari −2 sampai 4, maka range f adalah

(34)

Contoh 6

Diberikan grafik dari fungsi f, maka carilah

a. Nilai dari f(−1).

b. Estimasi dari nilai f(2).

c. Untuk x bernilai berapakah f(x) = 2? d. Estimasi nilai dari x agar f(x) = 0. e. Domain dan range dari f.

(35)

Pembahasan

(Contoh 6)

a. f(-1) = -2 b. f(2) = 2.8

c. Untuk f(x) = 2, maka x = −3 dan x = 1. d. Untuk f(x) = 0, x = −2.5 dan x = 0.3 e. Domain = [−3, 3] atau −3 ≤ x ≤ 3, dan

Range = [−2, 3] atau −2 ≤ x ≤ 3

f. Fungsi naik (increasing) pada selang [−1, 3] atau −1 ≤ x ≤ 3.

(36)

Cara Menyajikan Fungsi

Terdapat empat cara untuk menyajikan suatu fungsi:

Secara lisan (dengan uraian dalam kata-kata)

Secara numerik (dengan tabel nilai)

Secara visual (dengan grafik)

(37)

Menentukan kurva sebagai grafik fungsi

Grafik fungsi adalah kurva pada bidang-xy

Tetapi muncul pertanyaan: kurva mana di bidang-xy yang merupakan grafik fungsi?

(38)

Uji Garis Tegak

Kurva di bidang-xy merupakan grafik suatu fungsi x jika dan hanya jika tidak terdapat garis tegak yang memotong kurva lebih dari sekali.

(39)

Contoh 7

Parabola x = y2 ₋_{2 pada gambar berikut, bukan merupakan}

fungsi x, karena dengan uji garis tegak akan memotong parabola dua kali.

(40)

Contoh 8

Dari Contoh 7, x = y2 ₋_{2 berarti y}2_{= x}₋_{2 sehingga} _{y = ± x + 2}

Maka setengah bagian atas dan bawah parabola merupakan grafik fungsi f(x) = x + 2 dan g(x) = − x + 2

(41)

Fungsi

Piecewise

Fungsi Piecewise merupakan sebuah fungsi yang terdefenisi

(42)

Contoh 9

Fungsi f didefenisikan oleh

y = f(x) = 1- x, jika x ≤ 1 x2, jika x > 1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪

(43)

Pembahasan

Contoh 9

Karena fungsinya y = f(x) = 1- x, jika x ≤ 1 x2, jika x > 1

⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪

Maka f(0) = 1− 0 =1, f(1) = 1−1=0 & f(2) = 22_{= 4, sehingga}

(44)

Contoh 10

(45)

Penyelesaian

Contoh 10

Dari grafik

✴ _{f(x) = x untuk (0,0) & (1,1), diperoleh}

f(x) = x jika 0 ≤ x ≤ 1

✴ _{f(x) =}₋_{x untuk (1,1) & (2,0),}

diperoleh f(x) = −x jika 0 < x ≤ 2

✴ _{f(x) = 0 untuk (2,0) dan seterusnya,}

diperoleh f(x) = 0 jika x > 2

x, jika 0 ≤ x ≤1

⎧ ⎪

(46)

Contoh 11

(Fungsi Tangga)

Diberikan C sebagai biaya pengiriman surat, terhadap berat w, sehingga menjadi fungsi C(w)

(47)

Fungsi yang Simetri

Fungsi Genap

Jika fungsi f memenuhi f(−x) = f(x) untuk setiap bilangan x di dalam daerah asalnya.

Fungsi Ganjil

Jika fungsi f memenuhi f(−x) = −f(x) untuk setiap bilangan x di dalam daerah asalnya.

(48)

Fungsi Genap

Memenuhi f(x) = f(−x), juga

Secara geometris, grafiknya simetris terhadap sumbu-y. Lihat f(x) = x2

Diperoleh:

(49)

Fungsi Ganjil

Memenuhi f(x) = −f(x), juga

Secara geometris, grafiknya simetris terhadap titik asal. Contoh: Fungsi f(x) = x3

Diperoleh:

(50)

Contoh 11

Tentukan apakah masing-masing fungsi berikut genap atau ganjil atau tidak keduanya

a) f(x) = x5_{+ x}

b) g(x) = 1 − x4

(51)

Penyelesaian

Contoh 11 a) f(x) = x5_{+ x} f(−x) = (−x)5_{+ (}₋_x) = (−1)5_x5_{+ (}₋_1)x = −x5 ₋_x = −(x5_{+ x) =}₋_f(x)

(52)

Penyelesaian

Contoh 11

b) g(x) = 1 − x4

g(−x) = 1 − (−x)4

= 1 − (−1)4_x4

= 1 − x4_{= g(x)}

maka, g(x) adalah fungsi genap Dilakukan uji pada g(x)

(53)

Penyelesaian

Contoh 11

c) h(x) = 2x − x2

h(−x) = 2(−x) − (−x)2

= −2x − x2

_≠_h(x)_≠ ₋_h(x)

(54)

Fungsi Naik dan Turun

Dari Gambar, menujukkan grafik naik dari A ke B pad interval [a, b], turun dari B ke C di interval [b, c], dan naik lagi dari C ke D pada interval [c, d].

(55)