FUNGSI
TUJUAN PEMBELAJARANSetelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami idefi nisi fungsi.
2. Memahami domain dan range fungsi linear. 3. Memahami domain dan range fungsi kuadrat.
4. Memahami domain dan range fungsi rasional linear-linear.
A. Defi nisi Fungsi
Fungsi adalah aturan yang merelasikan setiap elemen himpunan X dengan tepat satu elemen himpunan Y. Perhatikan contoh berikut.
1 2 3 a b c Fungsi 1 2 3 a b c Fungsi 1 2 3 a b c Bukan fungsi 1 2 3 a b c Bukan fungsi Notasi fungsi X ke Y dinyatakan dengan F : X → Y, F(x) = y (dibaca: fungsi F memetakan semua anggota himpunan X tepat satu dengan anggota himpunan Y atau F memetakan
x ∈ X tepat satu dengan y ∈ Y). Perhatikan bentuk fungsi berikut.
matematika WAJIB
K
e
l
a
s X
K-13
2
Super "Solusi Quipper"
1. F : R → R, F(x) = 3x – 5 (dibaca: fungsi F memetakan himpunan bilangan real ke himpunan
bilangan real, di mana bilangan real x dipetakan kepada bilangan real 3x – 5). 2. G : Z → R, G(x) = 1
3x2 + 6x – 2 (dibaca: fungsi G memetakan himpunan bilangan bulat ke himpunan bilangan real, di mana bilangan bulat x dipetakan kepada bilangan real
1
3x2 + 6x – 2).
B. Domain dan Range Fungsi Linear
Domain adalah daerah asal suatu fungsi. Dengan kata lain, domain merupakan nilai variabel yang boleh disubstitusikan pada suatu fungsi. Range adalah daerah hasil yang diperoleh dengan mensubstitusikan anggota domain pada fungsinya.
Contoh Soal 1
Tentukan range dari H(x) = 5x – 2 dengan domain {–3, –2, –1, 0, 1, 2}.
Pembahasan:
Untuk menentukan rangenya, cukup substitusikan x∈ {–3, –2, –1, 0, 1, 2} pada H(x) = 5x – 2
H(–3) = 5(–3) – 2 = –17 H(–2) = 5(–2) – 2 = –12 H(–1) = 5(–1) – 2 = –7 H(0) = 5(0) – 2 = –2 H(1) = 5(1) – 2 = 3 H(2) = 5(2) – 2 = 8
Jadi, range dari H(x) = 5x – 2 dengan domain {–3, –2, –1, 0, 1, 2} adalah {–17, –12, –7, –2, 3, 8}.
Range dari fungsi linear F(x) = ax + b dengan domain berurutan dapat ditentukan dengan cara berikut.
1. Tentukan nilai fungsi dari domain terkecil. 2. Kemudian, selalu tambahkan hasilnya dengan a.
Sekarang, coba selesaikan contoh soal 1 dengan Solusi Quipper.
3
Domain terkecil adalah –3, sehingga:
H(–3) = –17
Dengan demikian, range fungsi H(x) adalah sebagai berikut. {–17, –12, –7, –2, 3, 8}
+5 +5 +5 +5 +5
Contoh Soal 2
Jika g : z → R, g(x) = 6x – 3, maka tentukan domain, range, dan grafik dari g(x)!
Pembahasan:
Berdasarkan notasi fungsinya, nampak jelas domain dari g(x) adalah semua x bilangan bulat atau dapat ditulis dengan:
Dg = {x|x ∈ Z}
Range dari g(x) = 6x – 3 dapat ditentukan dengan memperhatikan domain dan operasi yang ada pada fungsi tersebut. Jika bilangan bulat x dikalikan bilangan bulat 6, kemudian dikurangkan oleh bilangan bulat 3, maka hasilnya pasti bilangan bulat. Berbeda halnya bila ada operasi pembagian yang memungkinkan munculnya bilangan desimal dan lain-lain. Dengan demikian, range dari g(x) adalah semua y bilangan bulat atau dapat ditulis dengan:
Rg = {y|y ∈ Z}
Oleh karena domain dari g(x) adalah bilangan bulat, maka bentuk grafiknya hanyalah berupa kumpulan titik pada bidang Cartesius. Untuk menggambarkannya, cukup ambil beberapa titik, misalnya kita ambil x = 0, x =1, dan x = 2.
x g(x) = 6x – 3 (x , y)
0 –3 (0, –3)
1 3 (1, 3)
4
Dengan demikian, grafik dari g(x) = 6x – 3 adalah sebagai berikut.
1 10 8 6 4 2 –2 –4 2 3
Jika dalam soal dinyatakan x ∈ R, maka grafiknya bukan berupa titik-titik, melainkan berupa garis lurus dengan titik-titik tersebutsebagai patokannya.
Contoh Soal 3
Diketahui fungsi h : R → R, h(x) = ax + 5 dengan domain Dh = {x|–1 ≤ x ≤ 3}. Jika h(2) = 11, maka tentukan:
a. nilai a;
b. range dari h; dan c. grafik h(x).
Pembahasan:
a. Oleh karena h(x) = ax + 5 dan h(2) = 11, maka: h(2) = 11
⇔ 2a + 5 = 11 ⇔ 2a = 6 ⇔ a = 3
Dengan demikian, fungsinya menjadi h(x) = 3x + 5.
b. Untuk domain berbentuk interval tertutup seperti –1 ≤ x ≤ 3, range fungsi linear dapat ditentukan dari domainnya.
–1 ≤ x ≤ 3
⇔ –3 ≤ 3x ≤ 9 {ketiga ruas dikali 3}
⇔ 2 ≤ 3x + 5 ≤ 14 {ketiga ruas ditambah 5}
x y
5
⇔ 2 ≤ y ≤ 14
Jadi, range dari h(x) = 3x + 5 adalah Rh = {y|y ∈ R, 2 ≤ y ≤ 14}.
c. Domain fungsi h(x) = 3x + 5 adalah bilangan real, sehingga bentuk grafiknya adalah garis. Untuk menggambarnya, hanya dibutuhkan 2 titik sebagai patokan untuk menarik garis pada bidang Cartesius.
x h(x) = 3x + 5 (x , y)
–1 2 (–1, 2)
3 14 (3, 14)
Dengan demikian, grafik dari h(x) = 3x + 5 adalah sebagai berikut.
0 –2 –1 1 2 3 x y –1 2 4 6 8 10 12 14
C. Domain dan Range Fungsi Kuadrat
Domain dan range dari sebuah fungsi kuadrat f(x) = y = ax2 + bx + c, a ≠ 0 berlaku secara
umum, yaitu sebagai berikut.
1. Domain fungsi kuadrat adalah Df = {x|x ∈ R}.
2. Range fungsi kuadrat untuk a < 0 adalah Rf = {y|y ≤ yp}, sedangkan untuk a > 0 adalah
Rf = {y|y ≥ yp}. yp adalah ordinat titik puncak yang dirumuskan sebagai berikut.
y D a b ac a p= 4 = 4 4 2 − − −
(
)
6
Grafik fungsi kuadrat lebih mudah digambar dengan menemukan titik puncaknya (xp, yp).
xp merupakan absis titik puncak yang dirumuskan sebagai berikut.
x b
a
p= 2−
Setelah menemukan titik puncaknya, tentukan titik-titik yang absisnya di sekitar xp. Kemudian, buatlah plot titik-titik tersebut pada bidang Cartesius sehingga didapat grafiknya.
Contoh Soal 4
Jika f : R → R, f(x) = x2 + 4x + 3, tentukanlah: a. Df; b. Rf ; dan c. grafik f(x) = x2 + 4x + 3. Pembahasan:a. Domain dari f(x) = x2 + 4x + 3 adalah D
f = {x|x ∈ R}.
b. Range dari f(x) = x2 + 4x + 3 dapat ditentukan berdasarkan ordinat titik puncaknya.
Oleh karena a = 1 > 0, maka y ≥ yp.
y D a b ac a p= 4 = 4 4 =16 12 4 = 1 2 − − − − − −
Jadi, range dari f(x) = x2 + 4x + 3 adalah R
f = {y|y ≥ -1}.
c. Untuk menggambar grafiknya, temukan dahulu koordinat titik puncaknya. Oleh karena ordinat titik puncaknya telah diketahui, maka kamu tinggal menentukan absisnya.
x b a p= 2 = 4 2 1 = 2 − − −
( )
7
Setelah menemukan titik puncaknya, tentukan titik-titik yang absisnya di sekitar xp. Kemudian, buatlah plot titik-titik tersebut pada bidang Cartesius sehingga didapat grafiknya. Titik-titik di sekitar xp: x f(x) = x2 + 4x + 3 (x , y) 0 3 (0. 3) –1 0 (–1, 0) –2 –1 (–2, –1) –3 0 (–3, 0) –4 3 (–4, 3)
Dengan demikian, grafik dari f(x) = x2 + 4x + 3 adalah sebagai berikut.
y 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 0 x
Contoh Soal 5
Diketahui fungsi f : R → R, f(x) = –x2 + 2x + 3, dengan D
f = {x|x ≥ 0}. Tentukan:
a. Rf; dan
b. grafik f(x) = –x2 + 2x + 3.
Pembahasan:
a. Perhatikan bahwa domain fungsi kuadrat tersebut tidak mencakup semua bilangan real. Oleh karena itu, range fungsi untuk a = –1 < 0, y ≤ yp hanya akan berlaku jika xp ada pada domain. Jika tidak ada pada domain, maka batas-batas domain digunakan untuk menentukan range dari fungsi kuadrat tersebut.
8
x b a x x p p p = 2 = 2 2( 1) = 1 − ⇔ − − ⇔Oleh karena nilai xp = 1 > 0, maka xp merupakan salah satu anggota domain. Dengan demikian, diperoleh:
yp = f(xp) = –12 + 2(1) + 3 = 4
Jadi, range dari f(x) = –x2 + 2x + 3 adalah R
f = {y|y ≤ 4}.
b. Grafik f(x) = –x2 + 2x + 3 dengan domain D
f = {x|x ≥ 0} dapat digambar dengan
menentukan dahulu titik-titik di sekitar xp. Kemudian, buatlah plot titik-titik tersebut pada bidang Cartesius sehingga didapat grafiknya.
x f(x) = –x2 + 2x + 3 (x , y) –1 0 (–1, 0) 0 3 (0, 3) 1 4 (1, 4) 2 3 (2, 3) 3 0 (3, 0)
Dengan demikian, grafik dari f(x) = –x2 + 2x + 3 adalah sebagai berikut.
y 5 4 3 2 1 –1 0 –1 –2 1 2 3 x
9
D. Domain dan Range Fungsi Rasional Linear-Linear
Bentuk umum fungsi rasional linear-linear adalah sebagai berikut.
f x ax b cx d
( ) = + +
Untuk menentukan domain dan range dari fungsi tersebut, perhatikan ketentuan berikut. 1. Domain dari f(x) adalah D x R x d
c f = ∈ | ≠ − . Nilai x d c = − karena cx + d ≠ 0 merupakan syarat agar fungsi terdefinisi. Garis x d
c
= − disebut sebagai asimptot vertikal. 2. Range dari f(x) adalah R y R y a
c f = ∈ | ≠ . Nilai y a c
= tidak akan bisa dipenuhi oleh
f x ax b cx d
( ) = +
+ karena alasan berikut.
ax b cx d a c acx bc acx ad bc ad + + = + = + =
Oleh karena tidak ada suku yang mengandung variabel x, maka nilai y= tidak akan ac pernah didapat oleh f x ax b
cx d
( ) = +
+ . Garis y a= disebut sebagai asimptot horizontal.c
Untuk menggambar grafik dari fungsi rasional linear-linear, gunakan ketentuan berikut.
asimpt ot v er tik al asimptot horizontal y a c = x d c = −
10
atau asimpt ot v er tik al asimptot horizontal y a c = x d c = −Agar mendapatkan grafik yang tepat, gunakan titik-titik yang absisnya dekat dengan x d
c
= − .
Contoh Soal 6
Tentukan domain, range, dan grafik dari f : R → R, f(x) = x
x + 3 2 − . Pembahasan: Domain dari f(x): D x R x d c D x R x D x R x f f f = | = | 2 1 = | 2 ∈ ≠ − ∈ ≠− − ∈ ≠
( )
{
}
Range dari f(x): R y R y a c R y R y R y R y f f f = | = | 1 1 = | 1 ∈ ≠ ∈ ≠ ∈ ≠ {
}
11
Untuk menggambar grafik dari fungsi tersebut, tentukan titik-titik yang absisnya dekat dengan asimptot vertikal x = 2 dan asimptot tegak y = 1.
x f x x x ( ) = + 3 2 − (x , y) 0 −3 2 0, 3 2 − 1 –4 (1, –4) 2 – – 3 6 (3, 6) 4 4,7 2 4, 7 2
Kemudian, gambarlah asimptot-asimptotnya dan plot titik-titik tersebut pada bidang Cartesius sehingga didapat grafik berikut.
–8 –6 –4 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 x y –2 2 4 6 8 10 12 14
