Modul Matematika SMA dan Soal Latihan 07 Logaritma

EKSPONEN DAN LOGARITMA

F. Logaritma.

Bentuk umum dari bilangan berpangkat adalah an, dimana a dinamakan bilangan pokok dan n dinamakan pangkat.

Sebagai contoh : 23 = 8 2

/ 1

16 = 4

Tetapi jika persoalannya dibalik, misalnya 3x = 9 berapakah nilai x ? y

25 = 5 berapakah nilai y ?

Untuk persoalan diatas tentu mudah ditebak bahwa x = 2 dan y = 1/2. Namun untuk masalah yang lebih rumit nilai x dan y dapat ditentukan dengan aturan logaritma, yaitu Misalkan b adalah bilangan positip dan a adalah bilangan positip yang tidak sama dengan 1, maka :

Dimana a dinamakan bilangan pokok atau basis, b dinamakan numerus dan c adalah hasil logaritma.

Jika a = e (e = 2,7128…) maka elogbditulis ln b (dibaca: logaritma natural dari b), yaitu logaritma dengan bilangan pokok e

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini : 01. Hitunglah nilai tiap logaritma berikut ini

(a) 7log49 (b) 3log81 (c) 4log32 (d) 64log4 (e) 25log 5 (f) 2log2 2

Jawab

(a) Misalkan 7log49 = x, maka 49 = 7x

2

7 = 7x

x = 2 Jadi 7log49 = 2

(b) Misalkan 3log81 = x, maka 81 = 3x

4

3 = 3x

x = 4 Jadi 3log81 = 4 c

b log

a _

(c) Misalkan 4log32 = x, maka 32 = 4x

5

2 = (22)x

5

2 = 22x 2x = 5

x = 5/2 Jadi 4log32 = 5/2

(d) Misalkan 64log4 = x, maka 4 = 64x

1

4 = (43)x

1

4 = 43x 3x = 1

x = 1/3 Jadi 64log4 = 1/3

(e) Misalkan 25log 5 = x, maka 5 = 25x

1/2

5 = (52)x

1/2

5 = 52x 2x = 1/2

x = 1/4 Jadi 25log 5 = 1/4

(f) Misalkan 2log2 2 = x, maka 2 2 = 2x

1/2 1

.2

2 = 2x

(1/2) 1

2  = 2x

3/2

2 = 2x

x = 3/2 Jadi 2log2 2 = 3/2

Terdapat sembilan sifat-sifat dasar logaritma, yaitu :

Sifat 1

Jika a adalah bilangan real positip yang tidak sama dengan 1, maka

Bukti

Misalkan : aloga= x maka a = ax artinya a1 = ax Jadi x = 1

Sifat 2

Jika p dan q adalah bilangan real positip dan a adalah bilangan real positip yang tidak sama dengan 1, maka

p.q log a

= alogp  alogq a

log a

Bukti

Misalkan : alogp= x maka p = ax ………...………….. (1)

q log

a _{= y maka q = a}y _{………...………….. (2)}

Sehingga p . q = ax.ay

p . q = axy

Menurut pengertian logaritma, diperoleh x + y = alogp.q

p log

a ₊

q log

a ₌ a_{logp.q (terbukti)}

Sifat 3

Jika p dan q adalah bilangan real positip dan a adalah bilangan real positip yang tidak sama dengan 1, maka

Bukti

Misalkan : alogp= x maka p = ax ………...…….. (1)

q log

a _{= y maka q = a}y _{……….... (2)}

Sehingga q p

= y a

x a

q p

= axy

Menurut pengertian logaritma, diperoleh x – y = q p log a

p log

a _– a_{logq =} q p log

a _(terbukti)

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini : 02. Hitunglah nilai dari :

(a) 2log8 + 2log4 (b) 6log18 + 6log2 (c) 3log81– 3log27 Jawab

(a) Cara 1 : 2log8 + 2log4 = 3 + 2 = 5

Cara 2 : 2log8 + 2log4 = 2log(8 x 4) = 2log32 = 5

(b) 6log18 + 6log2 = 6log(18 x 2)

= 6log36 = 2

q log p log q p

log a a

(c) Cara 1 : 3log81– 3log27 = 4 – 3 = 1

Cara 2 : 3log81– 3log27 =

27 81 log

3 ₌

3 log

3 _{= 1}

03. Sederhanakanlah setiap bentuk logaritma berikut :

(a) log 60 + log 5 – log 3 (b) 2log8 + 2log16 – 2log4 (c) log 16 – log 2 + log 125

Jawab

(a) log 60 + log 5 – log 3 =

3 5 x 60 log = log 100 = 2

(b) Cara 1 : 2log8 + 2log16 – 2log4 _{= 3 + 4} – 2 = 5 Cara 2 : 2log8 + 2log16 – 2log4 ₌

4 16 x 8 log

2

= 2log32 = 5

(c) log 16 – log 2 + log 125 =

2 125 x 16 log

= log 1000 = 3

Sifat 4

Jika p adalah bilangan real positip dan a adalah bilangan real positip yang tidak sama dengan 1serta n adalah bilangan real sembarang, maka

Bukti n p log

a ₌ a_{log(p x p x p x p x …. x p x p x p )}

= alogp+alogp+alogp+alogp+alogp+ …. + alogp + alogp+alogp

= n. alogp

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini : n

p log

a

= n.alogp

kali n sebanyak muncul

p

suku n sebanyak muncul

05. Diketahui 3loga = 5 dan 3logb = 2, maka tentukanlah nilai 3_loga4_b6

Jika b adalah bilangan real positip serta a dan n adalah bilangan real positip yang tidak sama dengan 1, maka

Bukti

Misalkan : alogb= x maka b = ax ………...…….. (1) Jika kedua ruas pada persamaan (1) dilogaritmakan dengan basis n, maka

b

Jika a dan b adalah bilangan real yang tidak sama dengan 1, maka

Bukti

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini : 06. Hitunglah setiap logaritma berikut ini :

(a) 81log27 =

07. Jika 2log3 = a maka nyatakanlah logaritma-logaritma berikut ini dalam a

Sifat 7

Jika c adalah bilangan real positip serta a dan b adalah bilangan real positip yang tidak sama dengan 1, maka

Bukti

c log b log b

a

_.

₌

a log

b log n n

.

b log

c log n n

c log b log b

a

_.

₌

a log

c log n n

c log b log b

a

_.

₌

c log

a _(terbukti)

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini : 08. Hitunglah setiap logaritma berikut ini

(a) 2log8.8log64 (b) 3log5.8log27.5log8 Jawab

(a) 2log8.8log64 = 2log64 = 6

(b) 3log5.8log27.5log8 = 3log5.5log8.8log27 = 3log27

= 3

09. Hitunglah setiap logaritma berikut ini

(a) 3log125.5log81 (b) 8log 3.3log16 Jawab

(a) 3log125.5log81 = 3log125.5log81 = 3log53.5log34 = 3.3log5.4.5log3 = (3)(4) 3log5.5log3 = (12) 3log3

= 12

(b) 8log 3.3log16 = 23log31/2.3log24 = 3log53

2 / 1

3

.5log34 = 3.3log5.4.5log3 = (3)(4) 3log5.5log3 = (12) 3log3

= 12

c log b log b

Sifat 8

Jika b adalah bilangan real positip dan a adalah bilangan real positip yang tidak sama dengan 1 serta n dan m adalah bilangan real sembarang, maka

Bukti

m n

a _{logb =}

n n

m n

a log

b log

m n a

b

log = n m

a log

b log n n

m n

a _{logb = . logb} n

ma _(terbukti)

Jika n = m, maka anlogbn = . logb n

n a ₌ b log a

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini : 10. Hitunglah setiap logaritma berikut ini

(a) 64log16 (b)

27 1 log

3

Jawab

(a) 64log16 = 26log24 = . log2

6 4 ₂

= .(1) 3 2

= 3 2

(b)

27 1 log

3 ₌ 31/2_log33

= . log3 2 / 1

3 ₃ 

= (–6)(1) = –6

m n a

b

log = . logb n

m a

Sifat 9

Jika b adalah bilangan real positip serta a adalah bilangan real positip yang tidak sama dengan 1, maka

Bukti

Misalkan : alogb= x ………...……….. (1)

maka b = ax

Jika kedua ruas pada persamaan (1) dipangkatkan dengan bilangan pokok a, maka

b log a

a

=

a

x b

log a

a

=

b

(terbukti)

Untuk lebih jelasnya diskusikanlah contoh soal berikut ini 11. Sederhanakanlah

(a)

6

6log4 (b)

9

3log5

(c)

2

4log3 (d)

16

8log 27 Jawab

(a)

6

6log4 = 4

(b)

9

3log5 =

(

3

2

)

3log5

=

3

2.3log5

=

3

3log52

=

3

3log25 = 25

(c)

2

4log3 =

(

4

1/2

)

4log3

=

4

(1/2).4log3

=

4

4log31/2

=

4

4log 3

= 3

12. Jika 2log3 = p dan 3log5 = q maka nyatakanlah setiap bentuk berikut ini dalam p dan q

(a) 2log20 (b) 5log6

Jawab

b log a

(a) 2log20 = 2log(5 x 4) = 2log5 + 2log4 = 2log3.3log5 + 2log4 = pq + 2

(b) 5log6 =

5 log

6 log

3 3

=

5 log

3) x 2 log(

3 3

=

5 log

3 log 2 log

3 3

3 _

=

5 log

3 log 3

log 1

3 3

2 

= q

p 1

1 

= q

p p p 1



= pq

p



1

13. Tentukanlah nilai dari

25

36log3.

30

6log2 Jawab

3 log 36

25

.

30

6log2 = 2 6 log3

2

)

5

(

.

(

5

.

6

)

6log2

=

5

6log3.

5

6log2.

6

6log2

=

5

6log36log2 .

6

6log2

=

5

6log6.

6

6log2 = 5 . 2