Modul Matrikulasi Matematika SMA Dan Soal Latihan

(1)

BAB I

BILANGAN BULAT

A. MATERI

Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang terdiri dari himpunan bilangan positif (bilangan asli), bilangan nol, dan bilangan bulat negatif. Bilangan bulat dapat di gambarkan dalam bentuk garis bilangan :

dari gambar di atas kamu akan menemukan bahwa semakin ke kanan, bilangan bulat pada garis bilangan tersebut semakin besar, sebaliknya semakin ke kiri, bilangan bulat pada garis bilangan semakin kecil. Misalnya:

 -2 terletak di sebelah kiri 0 sehingga -2 < 0;

 0 terletak di sebelah kanan -1 sehingga 0 > -1;

 -5 terletak di sebelah kiri -3 sehingga -5 …. -3;

 -4 terletak di sebelah kanan -6 sehingga -4 …. -6.

INVERS / LAWAN BILANGAN BULAT

 Setiap bilangan bulat mempunyai tepat satu lawan yang juga merupakan bilangan bulat

 Dua bilangan bulat dikatakan berlawanan, apabila dijumlahkan menghasilkan nilai nol. a + (-a) = 0

Misalnya :

a. Lawan dari 4 adalah -4, sebab 4 + (-4) = 0 b. Lawan dari -7 adalah 7, sebab -7 + 7 = 0 c. Lawan dari -2 adalah 2, sebab -2 + 2 = …. d. Lawan dari 3 adalah …. , sebab 3 + ( …. ) = 0 e. Lawan dari …. adalah -10, sebab …. + (-10) = 0 f. Lawan dari 0 adalah …. , sebab 0 + …. = 0

SIFAT-SIFAT OPERASI BILANGAN BULAT 1. Penjumlah dan Pengurangan Bilangan Bulat

1.1 Sifat-sifat penjumlahan bilangan bulat

1.1.1. Sifat tertutup : a + b = n jika a dan b adalah bilangan bulat, maka n adalah bilangan bulat. 1.1.2. Sifat komutatif : a + b = b + a

1.1.3. Sifat assosiatif : (a + b) + c = a + (b + c)

1.1.4. Unsur identitas penjumlahan adalah 0 : Suatu bilangan bulat jika dijumlahkan dengan bilangan nol "0", maka hasilnya adalah bilangan bulat itu sendiri.

1.1.5. Invers/lawan penjumlahan : Jika a adalah bilangan bulat, maka lawan dari a adalah -a

(2)

a. Model a + b = b + a

1.2. Sifat-sifat Pengurangan Bilangan Bulat

1.2.1. Sifat Tertutup : Untuk setiap a, b anggota himpunan bilangan bulat, jika a – b = c maka c pasti anggota bilangan bulat.

1.2.2. Unsur identitas pengurangan adalah 0 : Suatu bilangan bulat jika dikurangkan dengan bilangan nol "0", maka hasilnya adalah bilangan bulat itu sendiri.

1.2.3. Pengurangan pada bilangan bulat tidak memiliki sifat komutatif dan sifat asosiatif.

2.1 Sifat-sifat perkalian bilangan bulat :

2.1.1 Bersifat tertutup: Jika a dan b adalah bilangan bulat, maka a × b akan menghasilkan bilangan bulat juga.

2.1.2 Sifat komutatif : a × b = b × a

2.1.3 Unsuridentitas perkalian adalah 1 : Jika a adalah bilangan bulat dikalikan dengan 1 maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri. a × 1= a

2.1.4 Perkalian dengan nol, Jika a adalah bilangan bulat dan dikalikan dengan "0", maka hasilnya adalah "0". a × 0=0

2.1.5 Sifat Assosoatif : a × (b × c) = (a × b)× c

2.1.6 Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, a × (b + c) = (a × b) + (a × c) 2.1.7 Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, a × (b - c) = (a × b) - (a × c)

2.2 Sifat-sifat Pembagian Bilangan Bulat

2.2.1 Bersifat Terbuka : Jika a dan b adalah bilangan bulat, maka a : b belum tentu

(3)

2.2.2 Unsur identitas : Jika a adalah bilangan bulat dibagi dengan 1 maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri.

2.2.3 Pembagian pada bilangan bulat tidak memiliki sifat komutatif dan sifat asosiatif.

Jika a suatu bilangan bulat bila dibagi dengan b bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat juga jika a habis dibagi oleh b. Ciri-ciri suatu bilangan bulat habis dibagi oleh bilangan bulat lainnya dapat dilihat pada tabel di bawah ini :

Habis dibagi Ciri-ciri

2 Digit terakhirnya bilangan genap

3 Jumlah digitnya habis dibagi dengan 3

4 Dua digit terakhirnya habis dibagi 4

5 Digit terakhirnya 0 atau 5

6 Jumlah dari semua digit habis dibagi 3 dan digit satuannya genap

7 M habis dibagi 6, dimana M adalah bilangan yang lebih kecil yang berasal dari bilangan N yang ditambahkan dua kali pada digit terakhir dari bilangan yang dibentuk dari sisa digit.

8 Tiga digit terakhir habis dibagi dengan 8

9 Jumlah digitnya habis dibagi dengan 9

11 Selisih digit-digit pada tempat ganjil dan tempat genap adalah 0

12 Bilangan yang dibentuk dua digit terakhir habis dibagi 4 dan jumlah digitnya habis dibagi 3

Pola Perkalian Bilangan Bulat Pola Pembagian Bilangan Bulat

(+) x (+) = (+) pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut.

a. Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

b. Operasi perkalian ( x ) dan pembagian ( : ) sama kuat artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

c. Operasi perkalian ( x ) dan pembagian ( : ) lebih kuat daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–), artinya operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu

daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–).

B. PENERAPAN

Penerapan pada Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru

(4)

jika menjawab salah diberi skor -1.Misalnya, jika ada 40 soal. Kamu bisa menjawab 25 soal dan dari jawaban soal tersebut ternyata yang benar hanya 10 soal. Berapakah nilai kamu jadinya?

Jawab :

C. PEMAHAMAN KONSEP

1. Lengkapi titik-titik berikut dengan tanda ">" atau "<" sehingga diperoleh pernyataan yang benar.

a. 1 ... 3

b. 2 ... 9

c. -3 ... 0 d. -5 ... 10 e. -90 ... -100

2. Tentukan hasil dari penjumlahan dan pengurangan bilangan berikut. a. 4 + 5 = ….

b. 7 + (-5) = …. c. 9 - 2 = .... d. 9 - (-2) = .... e. -4 - 5 = ….

3. Tentukan hasil kali dan hasil bagi dari bilangan berikut. a. 5 x 3 = ....

b. -5 x 3 = .... c. -5 x (-3) = .... d. 27 : 3 = .... e. 27 : (-3) = .... f. -27 : (-3) = ....

D. SOAL ANALISIS

1. Diketahui aturan dari tes masuk ke suatu SMP adalah jawaban benar diberi nilai 4, jawaban salah diberi nilai –2, dan tidak menjawab diberi nilai nol. Jumlah soal seluruhnya 50.

(5)

b. Berapakah nilai terendah yang dapat diperoleh?

c. Berapakah nilai yang didapatkan jika menyelesaikan 40 soal dan 10 soal di antaranya dijawab salah.

d. Berapakah nilai yang didapatkan jika menyelesaikan 50 soal dan 36 soal di antaranya dijawab benar.

e. Berapakah jumlah soal-soal yang dijawab benar jika diketahui nilai yang diperoleh 40 dan sepuluh soal tidak dijawab.

JAWAB :

2. Persegi ajaib terdiri dari 16 bilangan dari 1 sampai 16 dimana jumlah empat bilangan baik secara vertical, horizontal maupun diagonal sama. Isilah kotak yang kosong untuk melengkapi persegi ajaib tersebut.

7

12

4

9

5

16

8

11

BAB II

BILANGAN RASIONAL DAN IRASIONAL

(6)

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan

a

b

_dimana_a dan b ¿ _{Bilangan Bulat. Secara umum, menurut kaidah bahasa Indonesia, bilangan irasional adalah}

bilangan yang tidak rasional. Jadi, bilangan irasional adalah bilangan yang TIDAK dapat disusun ulang

dalam bentuk pecahan

a

b

_. Bilangan rasional terdiri atas :

1. Bilangan bulat (lihat BAB I) 2. Bilangan pecahan (lihat BAB III)

Pada umumnya bilangan bentuk akar merupakan bilangan irasional, akan tetapi perlu diketahui bahwa tidak semua bilangan yang menggunakan tanda akar pasti bentuk akar. Bentuk akar adalah akar suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan rasional.

Contoh bilangan irasional :

√

2

,

√

3

,

√

5

, p, log 2, log 3. Untuk lebih jelasnya mari kita perhatikan beberapa contoh berikut :

1. Angka 4. Angka ini dapat disusun ulang menjadi

4

1

_,

a = 4 dan b = 1, a dan b ¿ _{bilangan bulat. Jadi, 4 bilangan rasional.}

2. Pecahan

2

3

_{. Pecahan ini jelas merupakan bilangan rasional,}

karena a = 2 dan b = 3 , a dan b ¿ _{bilangan bulat.}

3. Pecahan desimal 0,5 .

0,5 =

5

10

_,_a_{= 5 dan}_b_{= 10,}_a_dan_b ¿ bilangan bulat.

Jadi, bilangan 0,5 merupakan bilangan rasional.

4.

√

2

bukan bilangan rasional.

√

2

= 1.414213562 tidak dapat diubah bentuknya menjadi

a

b

sehingga

√

2

disebut bilangan irasional.

Apakah 0,3333

33

termasuk bilangan rasional atau bilangan irasional? JAWAB :

(7)

1. Apakah bilangan 0,25252525... termasuk bilangan rasional? Jawab:

Misalkan

A = ... --- (persamaan pertama) Kalikan A dengan 100 menghasilkan:

100A = ... --- (persamaan kedua) Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu:

100A = …………... A = ………..… 99A = 25

A =

...

99

Ternyata bilangan 0,25252525... dapat dibentuk menjadi pecahan

a

b

_{di mana a = …. dan b =} 99.

Jadi, bilangan 0,25252525... adalah bilangan ………..

2. Apakah 0,12111111... adalah bilangan rasional? Jawab:

Jangan terkecoh dengan angka 2. Ini juga bagian dari bilangan berpola. Anggap

A = 0,121111...

Kalikan A dengan …. menghasilkan

100A = 12,1111 ... --- (persamaan pertama) Kalikan dengan 1000 menghasilkan

…….. A = 121,1111... --- (persamaan kedua) Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu

1000 A = 121,1111... 100 A = 12,1111... 900 A = 109

A =

...

_.

(8)

BAB III

BILANGAN PECAHAN

A. MATERI

Secara umum, semua bilangan pecahan merupakan bilangan rasional meskipun tidak semua biangan rasional adalah bilangan pecahan. Hal ini dikarenakan perbedaan dari bilangan rasional yang

dapat dituliskan ke dalam bentuk

a

b

_{dengan a dan b adalah bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0.}

Tetapi untuk bilangan pecahan dapat dituliskan ke dalam bentuk

a

b

_{dengan a dan b adalah bilangan} bulat, a ≠ b (karena akan menyebabkan angka 1), b ≠ 0, dan b ≠ 1. a disebut pembilang dan b disebut penyebut.

Pecahan terdiri dari beberapa bentuk, diantaranya pecahan biasa, pecahan campuran, pecahan desimal, persen dan permil.

a. Pecahan biasa : Pecahan yang berbentuk

a

b

_{, a dan b adalah bilangan bulat, a ≠ b (karena} akan menyebabkan angka 1), b ≠ 0.

b. Pecahan campuran : Bilangan yang terdiri dari bilangan bulat dan pecahan biasa.

c. Pecahan desimal : Bilangan yang mengandung koma sebagai pembatas angka satuan dan angka persepuluhannya.

d. Persen (%) : Bilangan perseratusan

e. Permil (‰) : Bilangan perseribuan.

1. Mengubah Bentuk Pecahan Biasa menjadi Bentuk Lainnya 1.1. Pecahan Biasa → Pecahan Campuran

Suatu pecahan biasa

8

_{diubah menjadi pecahan campuran :}

26

8 =

....

+

8 ....

=

...

8 +

...

8 =

...

+

...

8 =

...

... atau disederhanakan menjadi ...

....

c. Apakah

6

10

_{dapat diubah menjadi pecahan campuran? Jelaskan!}

1.2. Pecahan Biasa → Pecahan Desimal

(9)

a. Mengubah penyebutnya menjadi 10, 100, 1000, dst

b. Pembagian pembilang dengan penyebutnya

2

Cobalah pada soal yang lain!

1.3. Pecahan Biasa → Persen

Mengubah pecahan biasa ke bentuk persen dengan cara mengalikan pecahan tersebuh dengan 100%. Contoh :

1.4. Pecahan Biasa → Permil

(10)

2. Mengubah Bentuk Pecahan Campuran menjadi Bentuk Lainnya 2.1. Pecahan Campuran → Pecahan Biasa

Suatu pecahan campuran

A

p

q

=

(

A

×

q

)+

p

_{. Contoh :}

3

2 ₅

=

(

3 ×

₅

5 )+

2 =

...

_...

12

1 ₃

=

...

_...

2.2. Pecahan Campuran → Pecahan Desimal

3

2 ₅

=

3 +

2 ₅

=

3 +

...

=

3,...

( ubah

2

5

_{menjadi pecahan desimal. Lihat 1.2.)}

5

2 ₃

=

...

2.3. Pecahan Campuran → Persen

Pada dasarnya sama seperti 1.3 di halaman sebelumnya, cukup mengalikan pecahan dengan 100% dan manfaatkan sifat distributif.

A

_q

p

=

A

p

_q

×

100%

=(

A

×

100%

)+(

_q

p

×

100%

)

Contoh :

3

2 ₅

=

3

2 ₅

×

100%

=(

3 +

2 ₅

)×

100%

=(

3 ×

100%

)+(

2 ₅

×

100%

)=

300%

+

...%

=

...%

3. Mengubah Bentuk Pecahan Desimal menjadi Bentuk Lainnya

3.1 Pecahan Desimal → Pecahan Biasa

Mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa sangat sederhana, hanya dengan melihat banyaknya digit di sebelah kanan tanda koma (,). Sebagai contoh pemisalan digit menggunakan huruf a,b,c,d,e, dst dimana digit yang kita kenal adalah angka 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

0, 5 =

5

10

_{(satu digit kanan koma → persepuluh)}

1, 5 =

15

10

_{(satu digit kanan koma → persepuluh)}

1, 56 =

156

100

_{(dua digit kanan koma → perseratus)}

1, 567 =

1567

1000

_{(tiga digit kanan koma → perseribu)}

(11)

*perlu diingat bahwa pecahan biasa harus disederhanakan hingga ke bentuk yang paling sederhana!

0, 5 =

5

10

_{masih dapat disederhanakan menjadi}

10:....

5:...

=

...

3.2 Pecahan Desimal → Pecahan Campuran

Ubah dulu pecahan desimal ke bentuk pecahan biasa (lihat 3.1) baru ubah ke pecahan campuran (lihat 1.1) . Contoh:

2, 25 =

...

100 =

...

100 +

...

=

...

100 +

...

100 =

...

+

...

=

...

3.3 Pecahan Desimal → Persen

Pecahan desimal dikalikan dengan 100% 0,5 = 0,5 x 100% = ………….%

1,5 = 1,5 x 100% = ………….%

2,25 = ………... % 3,456 = ………. % 41,5678 = ………. % 4. Mengubah Bentuk Persen menjadi Bentuk Lainnya

4.1 Persen → Pecahan Biasa

Mengubah bentuk persen menjadi pecahan biasa adalah dengan mengganti notasi % menjadi

perseratus (

4.2 Persen → Pecahan Campuran

Syarat persen dapat diubah menjadi bentuk pecahan campuran adalah : ……….. Mengubah persen menjadi pecahan biasa (lihat 4.1.) kemudian mengubah pecahan biasa tersebut menjadi pecahan campuran (lihat 1.1). Contoh :

125% = …… 250% = ……

4.3 Persen → Pecahan Desimal

Mengubah persen menjadi pecahan biasa (lihat 4.1.) kemudian mengubah pecahan biasa tersebut menjadi pecahan desimal (lihat 1.2). Contoh :

(12)

15% = …. 125% = ……

Operasi Bilangan Pecahan Biasa

a. Penjumlahan dan Pengurangan dengan penyebut sama

3

5 +

1

5 =

...

5

7 −

3

7 =

...

7

b. Penjumlahan dan Pengurangan dengan penyebut berbeda

2

3 +

5

6 =

...

6 +

...

6 =

...

6

4

5 −

1

2 =

...

+

...

=

...

c. Perkalian dan Pembagian

2

15 ×

5

6 =

...

21 40 :

7

8 =

21

40 ×

...

=

...

Operasi Bilangan Pecahan Desimal

a. Penjumlahan dan Pengurangan

0,5 + 0,75 =

0,4 - 0,12 =

b. Perkalian dan Pembagian

0,3 x 1,3 =

1,2 : 0,8 =

B. PENERAPAN

1. Pada saat penerimaan siswa baru di sebuah SMP swasta, terdapat 500 pendaftar. Dari jumlah itu, hanya ¾ yang memenuhi kriteria. Berapakah jumlah siswa yang tidak masuk kriteria?

2. Suatu malam, Ayu meletakkan 1 loyang kue bolu di atas meja. Karena ketiduran, kue tersebut di makan tikus dan kue bolu yang tersisa hanya 3/7 bagian. Berapakah bagian yang di makan tikus?

(13)

3. Pak Togar seorang buruh di sebuah perusahaan. Setiap harinya ia menerima gaji Rp80.000,00. Dari gaji tersebut 1/5 bagian akan digunakan untuk kebutuhan rumah tangga, 5/8 bagian untuk pendidikan anak-anaknya dan 3/8 bagian untuk ditabung. Berapakah jumlah uang Pak Togar yang ditabung?

C. SOAL PEMAHAMAN KONSEP

1.

3

5 +

1

2 =

2.

2

3 −

1

5 =

3.

1

15 ×

5 4 :

1

2 =

4. 0,6 x 0,5 – 1,25 =

D. SOAL DISKUSI

1. Nyatakan penjumlahan berikut dalam pecahan yang paling sederhana

1

2 +

1 ₂

+

1

3 +

1 ₃

2. Tentukan nilai dari:

(14)

BAB IV BILANGAN REAL

Bilangan real atau bilangan nyata adalah semua bilangan yang dapat ditemukan pada garis bilangan dengan cara penghitungan, pengukuran, atau bentuk geometrik.

Bilangan – bilangan tersebut ada di dunia nyata. Ada berbagai macam bilangan yang termasuk dalam bilangan nyata.

a. Bilangan asli adalah bilangan bulat positif. { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... }

b. Bilangan cacah adalah bilangan asli dengan tambahan bilangan 0 { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... } c. Bilangan bulat negatif (integer negatif) adalah bilangan yang letaknya disebelah kiri nol ( 0 )

Contoh : {-1 , -2, -3, -4, -5,... }

d. Bilangan Bulat adalah bilangan asli, bentuk negatif dari bilangan asli tersebut, dan bilangan 0. Contoh : {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... }

e. Bilangan rasional adalah bilangan-bilangan yang merupakan rasio (pembagian) dari dua bilangan bulat.

Contohnya adalah ¾ , 2/3, ½, 5/4, dll.

Pecahan termasuk sekumpulan bilangan rasional. Pecahan desimal adalah pecahan-pecahan dengan bilangan penyebut 10, 100, dst. { 1/10, 1/100, 1/1000 } semua bilangan ini dapat ditemukan dalam garis-garis bilangan.

f. Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang terdapat pada suatu garis bilangan yang tidak dapat di alokasikan dengan cara biasa karena bilangan ini tidak dapat digambarkan seperti halnya bilangan rasional.

Contoh bilangan irasional adalah

√

2

. Nilai taksiran nilai dari

√

2

adalah 1,414. π juga merupakan bilangan irrasional. π merupakan hasil pembagian dari keliling lingkaran dengan diameter dan taksirannya adalah 3,14.

BAB V

BILANGAN IMAJINER

Bilangan imajiner merupakan bilangan yang tidak real atau tidak nyata. apabila sebuah bilangan bukan merupakan bilangan nyata (dalam artian bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional maupun irasional), maka bilangan tersebut dikatakan imajiner. Bilangan imajiner dinyatakan dengan