IRISAN KERUCUT
Irisan kerucut didapat dari sepasang kerucut (kerucut ganda) seperti tampak pada
gambar, yang dipotong oleh sebuah bidang. Irisan dari kerucut ganda dengan bidang disebut irisan kerucut. Bentuk bidang yang diperoleh dari irisan kerucut ini adalah lingkaran, parabola, elips dan hiperbola. Namun pembahasan pada bab ini hanya pada parabola, elips dan hiperbola saja. Bentuk parabola, elips atau hiperbola yang diperoleh dari irisan kerucut ini sangat tergantung dari nilai eksentrisitas
(dilambangkan dengan e)
Misal titik P adalah sembarang titik pada parabola, elips atau hiperbola, maka terdapat titik tertentu F (dinamakan focus atau titik api) dan garis tertentu d (dinamakan direktriks), sehingga eksentrisitas adalah nilai perbandingan jarak titik P ke fokus dan jarak titik P ke direktriks, dengan ketentuan sebagai berikut:
a. Jika e = 1, maka irisan kerucut dinamakan parabola. b. Jika e < 1, maka irisan kerucut dinamakan ellips. c. Jika e > 1, maka irisan kerucut dinamakan hiperbola.
Berikut ini akan diuraikan penjelasan masing-masing parabola, elips dan hiperbola
A. Parabola
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya terhadap titik tertentu dan garis tertentu selalu sama. (karena e = 1)
Titik tersebut dinamakan fokus (F), dan
garis tersebut dinamakan direktrik (d).
Terdapat dua macam bentuk parabola, yakni
1. Parabola horizontal 2. Parabola vertikal.
Berdasarkan definisi, titik-titik pada parabola memenuhi FP = QP . Misalkan 2p adalah notasi untuk jarak tetap dari garis d ke titik F. Maka O(0, 0) adalah titik tengah KF, berjarak sama dari d dan F. Dengan mengambil titik puncak di titik asal O(0, 0) maka diperoleh koordinat titik fokus F(p, 0)
Ambil sebarang titik P(x, y) pada parabola, maka persamaan parabola ditentukan dari kondisi FP = QP; yaitu :
Jadi persamaan parabola horizontal dengan puncak O(0, 0) adalah y2 = 4px Persamaan garis direktriks didadapat dengan mencari jarak KO = p. Jadi garisnya adalah x = –p
Latus rectum adalah ruas garis yang melalui titik fokus dan tegak lurus dengan sumbu simetris (sumbu-X).
Untuk parabola vertical dengan puncak O(0, 0) dapat diperoleh dengan memutar (rotasi) persamaan parabola diatas sejauh 900. Sedangkan untuk parabola yang berpuncak di P(a, b) didapat dengan cara menggeser (translasi) parabola menurut
matriks T =
. Berikut ini diuraikan rangkuman rumus-rumusnya
1. Parabola Horizontal dengan Puncak O(0, 0)
Parabola ini mempunyai bentuk Umum :
y2 = 4px ,
dimana Koordinat titik fokusnya di F(p, 0) persamaan direktrisnya x = –p Sumbu simetrisya adalah sumbu-x Panjang latus rectum LR = 4p Dengan catatan :
2. Parabola Vertikal dengan Puncak O(0, 0)
Parabola ini mempunyai bentuk Umum : x2 = 4py
dimana Koordinat titik fokusnya di F(0, p) Persamaan direktrisnya y = –p Sumbu simetrisya adalah sumbu-y Panjang latus rectum LR = 4p Catatan :
Jika p > 0 maka kurva membuka ke atas Jika p < 0 kurva membuka ke bawah
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini : 01. Tentukan titik fokus dari parabola y2 = –12x
Jawab
4px = –12x 4p = –12 p = –3
Jadi koordinat fokus F(–3, 0)
02. Tentukan persamaan garis direktris dari parabola y2 = 20x Jawab
4px = 20x
4p = 20 maka p = 5 Persamaan garis direktris adalah x = –p
x = –5
03. Tentukan panjang Latus Rectum dari parabola 3y2 – 18x = 0 Jawab
3y2 – 18x = 0 3y2 = 18x
4px = 6x 4p = 6
Panjang Latus Rectum = 4p = 6 satuan
04. Tentukan titik fokus dari parabola x2 = 32y Jawab
4py = 32y 4p = 32
p = 8 Jadi koordinat fokus F(0, 8) y2 = –12x
y2 = 4px
y2 = 20x y2 = 4px
y2 = 6x y2 = 4px
05. Tentukan persamaan garis direktris dari parabola x2 + 24y = 0 Jawab
x2 + 24y = 0 x2 = –24y maka 4p = –24
p = –6
Jadi persamaan garis direktris adalah y = –p y = –(–6) y = 6
06. Sebuah parabola dengan puncak di O(0, 0) dan fokus pada sumbu-X serta melalui titik (2, 6). Tentukanlah persamaan parabola tersebut
Jawab
Karena pusat di O(0, 0) dan fokus pada sumbu-X maka bentuk umum parabola tersebut : y2 = 4px
Melalui (2, 6) maka 62 = 4p(2) 36 = 8p p = 9/2
Jadi persamaan persamaan parabola : y2 = 4(9/2)x y2 = 18x
07. Sebuah parabola dengan puncak di O(0, 0) dan titik fokusnya di F(0, 5). Tentukanlah persamaan parabola tersebut
Jawab
Karena pusat di O(0, 0) dan fokusnya di F(0, 5) maka parabola tersebut vertikal Sehingga bentuk umumnya: x2 = 4py
Maka p = 5
Sehingga persamaan parabolanya : x2 = 4(5)y x2 = 20y
3. Parabola Horizontal dengan Puncak M(a, b)
Bentuk Umum : (y – b)2 = 4p(x – a) , dimana Koordinat fokusnya di F(p+ a, b)
Persamaan direktrisnya x = –p + a Persamaan sumbu simetrisya y = b Panjang latus rectum LR = 4p Dengan catatan :
Jika p > 0 maka kurva membuka ke kanan Jika p < 0 kurva membuka ke kiri
4. Parabola Vertikal dengan Puncak M(a, b)
Parabola ini mempunyai bentuk Umum : (x – a)2 = 4p(y – b) ,
dimana Koordinat fokusnya di F(a, p + b) Persamaan direktrisnya y = –p + b Persamaan sumbu simetrisya x = a Panjang latus rectum AB = 4p Dengan cataran
Jika p > 0 maka kurva membuka ke atas Jika p < 0 kurva membuka ke bawah
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :
08. Tentukan titik puncak dari parabola y2 + 2x – 6y + 11 = 0 Jawab
y2 + 2x – 6y + 11 = 0 y2 – 6y = –2x – 11
y2 – 6y + 9 = –2x – 11 + 9 (y – 3)2 = –2x – 2
(y – 3)2 = –2(x + 1)
Jadi titik pusatnya adalah (–1, 3)
09. Tentukan titik fokus dari parabola x2 + 10x – 8y + 41 = 0 Jawab
x2 + 10x – 8y + 41 = 0 x2 + 10x = 8x – 41
x2 + 10x + 25 = 8x – 41 + 25 (x + 5)2 = 8x + 16
(x + 5)2 = 8(x + 4)
Sehingga a = –5 , b = –4 dan p = 2
Jadi titik fokusnya adalah F(a, p + b) = F(–5, –4 + 2) = F(–5, –2)
10. Diketahui parabola x2– 6x – 12y – 15 = 0. Persamaan sumbu simetrinya adalah …
Jawab
x2– 6x – 12y – 15 = 0 x2 – 6x = 12y + 15
x2 – 6x + 9 = 12y + 15 + 9 (x – 3)2 = 12y + 24
11. Diketahui parabola (y – 4)2 = 2(x – 3). Persamaan garis direktrisnya adalah … Jawab
(y – 4)2 = 2(x – 3)
Maka a = 3 , b = 4 dan p = 1/2
Jadi Persamaan direktrisnya adalah x = –p + a y = –1/2 + 3 y = 5/2
12. Sebuah parabola dengan puncak di (3, –2) dan fokus di (4, –2). Tentukanlah persamaan parabola tersebut
Jawab
Bentuk Umum : (y – b)2 = 4p(x – a) Puncak di (3, –2), maka a = 3 dan b = –2
Fokus F(p + a, b) = F(p + 3, –2) = F(4, –2) maka p + 3 = 4 p = 1 Jadi persamaan parabola : (y + 2)2 = 4(1)(x – 3)
y2 + 4y + 4 = 4x – 12 y2 – 4x + 4y + 4 + 12 = 0 y2 – 4x + 4y + 16 = 0
13. Tentukanlah Persamaan parabola yang berpuncak di (4, 3), mempunyai sumbu simetri x = 4 dan panjang latus rectum 8
Jawab
Bentuk Umum : (x – a)2 = 4p(y – b) Puncak di (4, 3), maka a = 4 dan b = 3 Panjang latus rectum = 8 = 4p maka p = 2 Jadi persamaan parabola : (x – 4)2 = 4(2)(y – 3)
