IRISAN KERUCUT
C. Hiperbola
Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik eksentrisitasnya lebih besar dari satu. Berikut akan dicari persamaan hiperbola menggunakan defnisi ini. Diberikan titik tertentu F (focus) dan garis tertentu d (direktriks), maka hiperbola adalah tempat
kedudukan titik-titik P(x, y) yang bergerak sedemikian sehingga perbandingan jaraknya
dari titik F dan garis d konstan lebih besar dari 1, yaitu .
PR PF
.= e
Terdapat dua macam bentuk hiperbola, yakni
1. hiperbola horizontal 2. hiperbola vertical.
Untuk hiperbola vertical persamaannya didapat dengan cara memutar hiperbola horizontal 900 , Sedangkan untuk
hiperbola dengan pusat M(p, q) persamaannya didapat dengan cara menggeser (translasi) hiperbola pusat
O(0, 0) menurut matriks T =
q p
Berikut akan diuraikan proses mendapatkan persamaan hiperbola horizontal dengan pusat O(, 0). Dengan memperhatikan garis d1 tegak lurus dengan sumbu-x, maka
terdapat titik A1 pada sumbu-x dengan 1 1 KA F A
= e, dan terdapat titik A2 pada sumbu-x
sedemikian sehingga 2 2 KA F A
= e, sehingga A1 dan A2 terletak pada hiperbola.
Misalkan A2 A1 = 2a, dan O titik titik tengah, maka A2O = A1O = a. Akan ditentukan KO dan FO dalam suku-suku a dan e.
Karena FA1 = e. KA1 ……… (1) A2F = e. KA2 ……… (2) maka diperoleh: A2F – FA1 = e(KA2– KA1) dan
A2F – FA1 = 2a Sehingga e(KA2 – KA1) = 2a
e((a + OK) – (a – OK)) = 2a e. 2OK = 2a
OK =
e a
Dari (1) dan (2) diperoleh juga : FA1 + A2F = e.KA1 + e.KA2 FA1 + A2F = e.(KA1 + KA2)
(FO – a) + (FO+ a) = e.([a – KO] + [a + KO]) 2.FO = e.2a
FO = ea Dari sini diperoleh koordinat titik focus F(–ea, 0)
Dengan mengambil titik P(x, y) sebarang titik pada hiperbola, maka persamaan
hiperbola diperoleh dari kondisi
PR
Selanjutnya akan diuraikan unsur-unsur hiperbola dengan pusat di O(0, 0), yakni sebagai berikut:
Karena ae =c, maka nilai eksentrisitas hiperbola adalah e =
a c
Titik puncak hiperbola ada dua, yang kesemuanya berada pada sumbu-x, sehingga :
Sumbu-x dinamakan sumbu nyata dan sumbu-y dinamakan sumbu sekawan Titik fokus hiperbola ada di F1(c, 0) dan F2(–c, 0)
Untuk menentukan persamaan direktris hiperbola terlebih dahulu dicari jarak dari O ke
K yakni: OK =
Maka persamaan direktriks hiperbola adalah x =
c a2
dan x = –
c a2
Latus rectum adalah ruas garis yang melalui titik fokus hiperbola dan tegak lurus dengan sumbu nyata (sumbu-X). Panjang latus rectum diukur dari jarak kedua titik potongnya dengan hiperbola, sehingga untuk x = c diperoleh :
1
Jadi kurva hiperbola tidak pernah memotong
atau menyinggung garis
b
Kedua garis tersebut dinamakan asimtot hiperbola
1. Hiperbola Horizontal dengan Pusat O(0, 0)
Hiperbola ini mempunyai bentuk Umum : 1 2 2
2 2
b y a x
,
Koordinat titik puncaknya di A1(a, 0) dan A2(–a, 0)
Sumbu nyata adalah sumbu-X dan Sumbu sekawan adalah sumbu-Y Titik fokus di F1(c, 0) dan F2(–c, 0) dimana c2 = a2 + b2
Nilai eksentrisitas elips dinyatakan dengan e = a c
Persamaan asimtoot dirumuskan y =
a b
x dan y = –
a b
x
Panjang latus rectum : LR =
a 2b2
2. Hiperbola Vertikal dengan Pusat O(0, 0)
Hiperbola ini mempunyai bentuk Umum
1 2 2
2 2
a y b x
Titik puncaknya di A1(0, a) dan A2(0, –a) Sumbu nyata adalah sumbu-Y dan Sumbu sekawan adalah sumbu-X Titik focus di F1(0, c) dan F2(0, –c) dimana c2 = a2 + b2
Garis asimtoot dirumuskan :
y =
b a
x dan y = –
b a
x
Panjang latus rectum : LR =
a 2b2
01. Tentukan koordinat titik fokus hiperbola x2 – 3y2 = 48 Jawab
x2 – 3y2 = 48
48 48 48
3y 48
x2 2
1
16 y 48
x2 2
Maka a2 = 48 dan b2 = 16, sehingga c2 = 48 + 16
c2= 64, c = 8
Jadi koordinat titik fokusnyanya (8, 0) dan (–8, 0)
02. Tentukan persamaan garis asimtoot hiperbola 3x2 – y2 = 48 Jawab
3x2 – y2 = 48
48 48 48 y 48
3x2 2
1
48 y 16
x2 2
Maka a2 = 16 a = 4
b2 = 48 b = 48 = 4 3
Jadi persamaan asimtootnya y =
4 3 4
x atau y = 3x
y = – 4
3 4
x atau y = – 3x
03. Tentukan panjang Latus rectum hiperbola 1
144 x 25
y2 2
Jawab
a = 5 dan b = 12 sehingga panjang Latus rectum =
5 2(12 2)
=
5 144
04. Diketahui hiperbola –9x2 + 16y2 = 576. Tentukan Nilai eksentrisitasnya Jawab
–9x2 + 16y2 = 576
1
16 y 64
x2 2
Maka a = 4 dan b = 8 sehingga c = 6416
c = 4 5
Sehingga nilai eksentrisitasnya e =
4 5 4
05. Tentukan persamaan hiperbola dengan titik puncaknya di (4, 0) dan (–4, 0) serta panjang panjang latus rectum 16/3 satuan
Jawab
Hiperbola horizontal dengan puncak (–4, 0) dan (4, 0), maka a = 4
Panjang latus rectum 9 satuan sehingga
b 2(4 2)
=
3 16
maka b = 6
Jadi persamaan elips : 1
36 y 16
x2 2
9x2– 4y2 = 144
06. Tentukan persamaan hiperbola jika puncaknya di (0, 0), salah satu fokusnya di (0, 8) dan salah satu puncaknya di titik (0, –4) adalah …
Jawab
Hiperbola berbentuk vertikal dengan fokus F(0, 8) maka c = 8 salah satu puncaknya di titik (0, –4) sehingga a = 4
Sehingga c2 = a2 + b2 82 = 42 + b2 64 = 16 + b2 b2 = 48
Jadi persamaan hiperbola : 1
64 y 48
x2 2
–4x2 + 3y2 = 192 4x2– 3y2 = –192
07. Tentukan persamaan hiperbola horizontal yang berpusat di O(0, 0) dan
mempunyai eksentrisitas e = 2 serta melalui titik (2 3, 3) Jawab
e = a c
= 2 maka c = 2a sehingga a2 + b2 = 4a2. Jadi b2 = 3a2
Hiperbola berbentuk horizontal dengan pusat O(0, 0) melalui (2 3, 3) maka :
1 b 3 a
) 3 (2
2 2 2
2
salah satu puncaknya di titik (0, –4) sehingga a = 4
12b2– 9a2 = a2b2 12(3a2) – 9a2 = a2(3a2) a2 = 9
maka b2 = 3a2 = 3(9) = 27
Jadi persamaan hiperbola : 1
27 y 9
x2 2
3. Hiperbola Horizontal dengan Pusat M(p, q)
Hiperbola ini mempunyai bentuk Umum : p) p) 1 2
2
2 2
b (y a
(x
,
Koordinat titik puncaknya di A1(a+p, q) dan A2(–a+p, q)
Sumbu utama adalah garis x = p dan Sumbu sekawan adalah garis y = q Titik fokus di F1(c+p, q) dan F2(–c+p, q) dimana c2 = a2 + b2
Nilai eksentrisitas hiperbola dinyatakan dengan e = a c
> 1
Persamaan asimtoot dirumuskan y – q =
a b
(x –p) dan y – q = –
a b
(x –p)
Panjang latus rectum : LR=
a 2b2
3. Hiperbola Vertikal dengan Pusat M(p, q)
Hperbola ini mempunyai bentuk Umum :
p) q) 1 2
2
2 2
a (y b
(x
Puncaknya di A1(p, a+q) dan A2(p, –a+q) Sumbu Nyata adalah garis y = p dan Sumbu sekawan adalah garis y = q Titik focus di F1(p, c+q) dan F2(p, –c+q) dimana c2 = a2 + b2
Nilai eksentrisitas dirumuskan e = a c
> 1
Garis asimtoot dirumuskan:
y – q =
b a
(x – p) dan y – q = –
b a
Panjang latus rectum : LR =
a 2b2
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :
08. Tentukan titik fokus hiperbola 4x2– 5y2 – 40x – 30y + 245 = 0 adalah …
10. Tentukan persamaan hiperbola dengan pusat di (–5, 4), puncaknya di (–11, 4) dan salah satu asimtotnya adalah 4x – 3y + 32 = 0
Hiperbola diatas adalah hiperbola horizontal, dimana: Pusat hiperbola (–5, 4) maka p = –5 dan q = 4
Puncak hiperbola (–11, 4) = (–a+p, q) maka –a – 5 = –11 a = 6
asimtotnya : y – q =
a b
(x – p) 4x – 3y + 32 = 0
y – 4 =
6 b
(x + 5) 4x – 3y + 32 = 0
6y – 24 = bx + 5b 4x – 3y + 32 = 0 bx – 6y + 5b + 24 = 0 4x – 3y + 32 = 0
2 b
x – 3y +
2 5b
+ 12 = 0 4x – 3y + 32 = 0
Sehingga
2 b
= 4 , b = 8
Jadi persamaan hiperbolanya : 5 4 1 64
) (y
36 )
(x 2 2
