PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI INVERS MAXWELL UKURAN BIAS SAMPEL MENGGUNAKAN METODE BAYESIAN. Rince Adrianti 1, Haposan Sirait 2 ABSTRACT ABSTRAK

PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI INVERS MAXWELL UKURAN BIAS SAMPEL MENGGUNAKAN

METODE BAYESIAN

Rince Adrianti^1∗, Haposan Sirait²

1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika

2 Dosen Matematika, Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru, 28293

∗rinceadrianti.17@gmail.com

ABSTRACT

This article discusses the estimator for parameter of inverse Maxwell distribution via size-biased sampling by Bayes method, this is a review of Singh dan Srivastava [International Journal of Science and Research, 3 (2014), 1835–1839]. The process of Bayes inference starts under squared error loss function and entropy loss function, by using quasi prior. The performance of the obtained estimator from Bayes method with two different loss function are then compared among themselves by computing mean square error (MSE) of each estimator.

Keywords: Bayes method, quasi prior, squared error loss function, entropy loss function, mean square error

ABSTRAK

Artikel ini membahas penaksir parameter distribusi invers Maxwell ukuran bias sampel menggunakan metode Bayes, yang merupakan kajian ulang dari artikel Singh dan Srivastava [International Journal of Science and Research, 3 (2014), 1835–1839]. Proses inferensi pada metode Bayes didasarkan pada fungsi kerugian kuadratik dan fungsi kerugian entropi, dengan menggunakan quasi prior. Penaksir parameter yang diperoleh dari metode Bayes dengan dua fungsi kerugian berbeda kemudian dibandingkan berdasarkan MSE masing-masing penaksir.

Kata kunci: Metode Bayes, quasi prior, fungsi kerugian kuadratik, fungsi kerugian entropi, mean square error

1. PENDAHULUAN

Dalam Lind et al.[5, h. 6] dijelaskan bahwa statistika inferensi adalah serangkaian teknik yang digunakan untuk mengkaji, menaksir, dan meng- ambil kesimpulan data sampel yang dipilih secara acak dari populasi.

Walpole et al. [12, h. 265] menjelaskan bahwa statistika inferensi dapat dibagi dalam dua bagian besar yaitu penaksiran dan uji hipotesis.

Menaksir dapat dilakukan dalam dua cara yaitu menaksir titik dan menaksir interval. Secara garis besar, teori penaksiran dikelompokkan menjadi dua metode, yaitu metode penaksiran klasik dan metode penaksiran Bayes.

Pada metode penaksiran klasik, penaksiran dilakukan semata-mata atas dasar informasi yang diperoleh dari nilai statistik, sedangkan pada metode penaksiran Bayes di samping atas dasar informasi statistik tersebut, juga didasarkan pada unsur subjektif yang berupa pengetahuan terdahulu tentang distribusi suatu parameter.

Pada Bayesian parameter-parameter yang akan diestimasi dipandang sebagai variabel-variabel random yang mempunyai distribusi awal yaitu distribusi prior. Dalam Box dan Tiao [3, h. 3] dijelaskan bahwa distribusi prior dianggap mewakili pengetahuan tentang parameter sebelum hasil percobaan diketahui. Konsep dari metode penaksiran Bayes adalah mengkombinasikan informasi data sampel dan data prior menggunakan teorema Bayes yang menghasilkan distribusi yang disebut dengan distribusi posterior, selanjutnya distribusi posterior dengan memakai fungsi kerugian tertentu akan menghasilkan penaksir Bayes.

Kriteria penaksir dalam statistika ada dua macam yaitu penaksir bias dan penaksir tak bias. Apabila penaksir tersebut tak bias maka penaksir terbaik dari beberapa penaksir adalah yang memiliki variansi terkecil, sedangkan untuk penaksir bias penaksir yang efisien adalah yang mempunyai rata-rata kuadrat eror terkecil (Mean Square Error atau disingkat dengan MSE ).

Artikel ini merupakan kajian dari artikel Singh dan Srivastava [10] yang membahas tentang penaksir Bayes distribusi invers Maxwell ukuran bias sampel dengan lima fungsi kerugian, tetapi penulis membatasi pembahasan hanya menggunakan dua fungsi kerugian yaitu fungsi kerugian kuadratik dan fungsi kerugian entropi. Setelah diperoleh penaksir parameter berdasarkan kedua fungsi kerugian tersebut, selanjutnya akan ditentukan bias atau tak bias kedua penaksir tersebut. Setelah itu, ditentukan efisiensi relatif dari kedua penaksir.

2. DISTRIBUSI INVERS MAXWELL UKURAN BIAS SAMPEL Distribusi Maxwell-Boltzmann merupakan aplikasi dari teori kinetik gas, yang menjelaskan sifat gas, termasuk difusi dan tekanan dari gas tersebut.

Distribusi Maxwell menggambarkan kecepatan pergerakan partikel dalam gas,

dari sistem, massa partikel dan ke cepatan pergerakan partikel. Partikel dalam konteks ini mengacu pada atom atau molekul dari gas [4]. Variabel random X dikatakan berdistribusi Maxwell dengan parameter θ jika mempunyai fkp sebagai berikut [11]:

f (x; θ) = 4

√π x² θ³² exp

(−x² θ

)

, x > 0, θ > 0, √ π = Γ

(1 2

) .

Misalkan Y = 1/X variabel random distribusi invers Maxwell, sehingga fkp dari distribusi invers Maxwell dapat diperoleh dengan menggunakan teknik transformasi seperti pada Roussas [9, h. 170].

f (y; θ) = 4

√πθ³² 1 y⁴ exp

(

− 1 y²θ

)

, y > 0, θ > 0. (1)

Distribusi ukuran bias merupakan kasus khusus dari bentuk umum yang dikenal dengan distribusi terbobot[1]. Jika Y variabel random dengan fkp f (y; θ), maka Y^∗ disebut variabel random versi ukuran bias dari Y dengan fkp f^∗(y; θ) didefinisikan sebagai berikut [7]:

f^∗(y; θ) = yf (y; θ)

E[Y ] , y ∈ Y, (2)

dengan

E[Y ] =

∫ _∞

0

yf (y; θ)dy, y > 0. (3)

Untuk mendapatkan fkp dari distribusi invers Maxwell ukuran bias sampel perlu diketahui E[Y ], menggunakan persamaan (3) dengan f (y; θ) terdefinisi pada persamaan (1), diperoleh

E[Y ] =

∫ _∞

0

y 4

√πθ³² 1 y⁴ exp

(

− 1 y²θ

) dy,

E[Y ] = 2

√πθ. (4)

Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (4) ke persamaan (2), diper- oleh fkp dari distribusi invers Maxwell ukuran bias sampel dinotasikkan dengan h(y; θ) sebagai berikut:

h(y; θ) = 2 θ

1 y³ exp

(

− 1 y²θ

)

, y > 0, θ > 0. (5) Distribusi invers Maxwell ukuran bias sampel mempunyai fungsi kumulatif, serta ekspektasi dan variansi yang akan digunakan dalam mencari

MSE berturut - turut sebagai berikut:

E ( 1

y² )

= θ. (6)

Var ( 1

y² )

= θ². (7)

Selanjutnya dibahas penaksir parameter distribusi invers Maxwell ukuran bias sampel menggunakan metode Bayesian berdasarkan fungsi kerugian kuadratik dan fungsi kerugian entropi.

3. PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI INVERS MAXWELL UKURAN BIAS SAMPEL DENGAN METODE BAYESIAN Misalkan Y₁, Y₂, ..., Y_n merupakan sampel random berukuran n yang memiliki fkp pada persamaan (5), ditentukan penaksir Bayes dengan menggunakan quasi prior berdasarkan fungsi kerugian kuadratik dan fungsi kerugian entropi. Untuk mencari penaksir Bayes, terlebih dahulu tentukan distribusi posterior. Distribusi posterior merupakan kombinasi linier dari fungsi likelihood dengan distribusi prior. Fungsi likelihood dari distribusi invers Maxwell ukuran bias sampel yaitu

L(θ) = (2

θ

)n∑n

i=1

1 y_i³exp

((

−

∑n i=1

1 y²_i

) (1 θ

))

. (8)

Setelah diperoleh fungsi likelihood, selanjutnya dicari distribusi posterior.

Ramachandran dan Tsokos [8, h. 563] mendefinisikan distribusi posterior sebagai berikut:

π(θ|y) = ∫_∞f (y|θ)π(θ)

−∞f (y|θ)π(θ)dθ, (9)

dengan π(θ|y) menunjukkan distribusi posterior, f(y|θ) menunjukkan fungsi likelihood , dan π(θ) menunjukkan distribusi prior. Untuk situasi percobaan tidak memiliki informasi prior untuk parameter θ, maka dapat menggunakan densitas quasi sebagai distribusi prior [6].

π(θ) = 1

θ^d, θ > 0, d > 0. (10) Dengan mensubtitusikan persamaan (10) dan persamaan (8) ke persamaan (9) diperoleh

π(θ|y) = s^n+d−1exp(

−_θ^s)

θ^n+dΓ(n + d− 1). (11)

Setelah diperoleh distribusi posterior pada persamaan (11), selanjutnya cari

kuadratik dan fungsi kerugian entropi. Menurut Bain dan Engelhardt [2, h.

322] penaksir bayes berdasarkan fungsi kerugian kuadratik dinotasikan dengan θˆ_s merupakan ekspektasi bersyarat dari θ yang relatif terhadap distribusi posterior

θˆ_s= E(θ|y).

Dengan distribusi posterior pada persamaan (11), diperoleh θˆ_s=

∫ _∞

0

θ s^n+d−1exp(

−^s_θ) θ^n+dΓ(n + d− 1)dθ, θˆ_s=

∑n i=1

1 y_i²

n + d− 2.

Adapun penaksir Bayes berdasarkan fungsi kerugian entropi dinotasikan dengan ˆθe yaitu [6]

θˆe= [∫ _∞

−∞

θ⁻¹π(θ|x)dθ ]₋₁

.

Dengan distribusi posterior pada persamaan (11), diperoleh

θˆ_e= [∫ _∞

0

θ⁻¹ s^n+d−1exp(

−_θ^s) θ^n+dΓ(n + d− 1)dθ

]₋₁ ,

θˆe=

∑_n

i=1 1 y_i²

(n + d− 1).

4. SIFAT PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI INVERS MAXWELL UKURAN BIAS SAMPEL

Penaksir yang diperoleh dapat berupa penaksir bias dan tak bias. Dalam menentukan bias atau tak bias dari suatu penaksir, maka dicari ekspektasi dari penaksir tersebut. Menggunakan sifat ekspektasi pada Ramachandran dan Tsokos[8, h. 95] ditentukan sifat penaksir Bayes berdasarkan fungsi kerugian kuadratik dan penaksir Bayes berdasarkan fungsi kerugian entropi. Terlebih dahulu tentukan sifat penaksir Bayes berdasarkan fungsi kerugian kuadratik sebagai berikut:

E(ˆθs) =E

( ∑_n

i=1 1 y_i²

n + d− 2 )

,

E(ˆθ_s) = 1 n + d− 2

∑n i=1

E ( 1

y²_i )

. (12)

Dengan mensubtitusikan persamaan (6) ke persamaan (12) diperoleh E(ˆθ_s) = nθ

(n + d− 2). (13)

Dari persamaan (13), diketahui bahwa ˆθ_smerupakan penaksir bias untuk d̸= 2.

Selanjutnya ditentukan sifat penaksir Bayes berdasarkan fungsi kerugian entropi.

E(ˆθ_e) = E

( ∑n i=1

1 y²_i

n + d− 1 )

,

E(ˆθ_e) = 1 n + d− 1

∑n i=1

E (1

y_i² )

. (14)

Dengan mensubtitusikan persamaan (6) ke persamaan (14) diperoleh E(ˆθ_e) = nθ

(n + d− 1). (15)

Dari persamaan (15), diketahui bahwa ˆθ_emerupakan penaksir bias untuk d̸= 1.

5. MSE PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI INVERS MAXWELL UKURAN BIAS SAMPEL

Untuk mendapatkan MSE penaksir Bayes berdasarkan fungsi kerugian kuadratik, terlebih dahulu perlu diketahui bias dari ˆθ_s yang dinotasikan dengan b( ˆθ_s) yaitu

b( ˆθ_s) = (2− d)θ

n + d− 2. (16)

Dengan menggunakan persamaan (7) dan persamaan (16) diperoleh M SE (θˆs

)

sebagai berikut:

M SE(ˆθ_s) = 1 (n + d− 2)²

∑n i=1

Var( 1

y²_i) + (1− d)²θ² (n + d− 2)²,

= 1

(n + d− 2)²

∑n i=1

(θ²) + (2− d)²θ² (n + d− 2)²,

= nθ²

(n + d− 2)² + (2− d)²θ² (n + d− 2)², M SE(ˆθ_s) = (n + (2− d)²)θ²

(n + d− 2)² .

b (θˆ_e

)

sebagai berikut:

b( ˆθ_e) = (1− d)θ

n + d− 1. (17)

Dengan menggunakan persamaan (7) dan persamaan (17) diperoleh M SE (θˆ_e

)

sebagai berikut:

M SE(ˆθ_e) = 1 (n + d− 1)²

∑n i=1

Var( 1

y²_i) + (1− d)²θ² (n + d− 1)²,

= 1

(n + d− 1)²

∑n i=1

(θ²) + (1− d)²θ² (n + d− 1)²,

= nθ²

(n + d− 1)² + (1− d)²θ² (n + d− 1)², M SE(ˆθe) = (n + (1− d)²)θ²

(n + d− 1)² .

Kriteria penaksir yang efisien dari beberapa penaksir bias adalah yang memiliki MSE minimum. Apabila ˆθ_e relatif efisien daripada ˆθ_s, maka

(n + (1− d)²)θ²

(n + d− 1)² < (n + (2− d)²)θ²

(n + d− 2)² , (18)

dari pertaksamaan (18) diperoleh pertaksamaan kuadrat dalam bentuk d yaitu 2d²+ (2n− 8)d + (−5n + 7) < 0, (19) karena d > 0, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi pertaksamaan (19) adalah

0 < d < (4− n) +√

n²+ 2n + 2

2 . (20)

dengan n̸= 1, 4.

7. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa penaksir parameter distribusi invers Maxwell ukuran bias sampel dengan metode Bayes berdasarkan fungsi kerugian kuadratik dan fungsi kerugian entropi bersifat bias. Faktor yang mempengaruhi efisiensi relatif dari kedua penaksir adalah ukuran sampel dan nilai d yang merupakan parameter prior. Penaksir Bayes berdasarkan fungsi kerugian entropi lebih efisien dari penaksir Bayes berdasarkan fungsi kerugian kuadratik jika nilai d memenuhi himpunan penyelesaian pada pertaksamaan (20).

DAFTAR PUSTAKA

[1] O. Akman, J. Gamage, J. Jannot, S. Juliano, A. Thurman dan D. Whit- man, A simple test for detection of length biased sampling, Journal of Biostatistics, 1 (2007), 189-195.

[2] L. J. Bain dan M. Engelhardt, Introduction to Probability and Mathemat- ical Statistics, Second Edition, Duxbury Press, New York, 1992.

[3] G. E. P. Box dan G. C. Tiao, Bayesian Inference in Statistical Analysis, Addisonn-Wesley Publishing Company, California, 1973.

[4] I. K. Fayyadh, H. A. R. Hassan, M. A. Eleiwi dan F. L. Rashid Determi- nation of the Maxwell-Boltzmann distribution probability for different gas mixtures, Engineering and Technology Journal, 32 (2014), 1485–1496.

[5] D. A. Lind, R. D. Mason dan W. G. Marchal, Basic Statistics for Business and Economics, Internasional Edition, The McGraw-Hill Higher Education, Singapore, 2000.

[6] H. Pandey dan A. K. Rao, Bayesian estimation of the shape parameter of a generalized pareto distribution under assimetric loss function, Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 3 (2009), 69–83.

[7] G. P. Patil, Weighted distributions, Encyclopedia of Environmetrics, 4 (2002), 2369–2377.

[8] K. M. Ramachandran dan C. P. Tsokos, Mathematical Statistics with Applications, Elsevier Academic Press, San Diego, 2009.

[9] G. Roussas, Introduction to Probability and Statistical Inference,Elsevier Science, San Diego, 2003.

[10] K. L. Singh dan R. S. Srivastava, Bayesian estimation of parameter of invers Maxwell distribution via size-biased sampling, International Journal of Science and Research, 3 (2014a), 1835–1839.

[11] K. L. Singh dan R. S. Srivastava, Invers Maxwell distribution as survival model, genesis, and parameter estimation, Research Journal of Mathematical and Statistical Sciences, 2 (2014b), 23–28.

[12] R. E. Walpole, R. H. Myers, S. L. Myers dan K. Ye, Probability and Statistics for Engineer and Scientists, Ninth Edition, Pearson Education, New York, 2012.